3 当代观点

实在论与唯名论的动机
1. 刻板唯名论：抽象实体带来的认识论困难
  1. 人类作为一个物理宇宙中的物理生物，如何能拥有关于永恒的、独立的、脱离因果关系的数学王国的知识使完全神秘的
  2. 本体论实在论者假设不把握数学宇宙的某些神秘能力就不能对数学知识做出解释
  3. 知识的因果性理论：人们不能知道任何对象的任何事情，除非与这些对象的至少某些样品有因果性的联系
  4. 要求本体论实在论者为数学对象提供可接受的认识论
2. 刻板反唯名论者：自然化的认识论者，认为科学给了人类知识上的最好路线
  1. 如果数学在人类最好的科学中被使用，那么数学就是真的并且数学实体存在
  2. 要求唯名论者为反对数学对象的存在提供科学的理由
3. 不可或缺论证（数学对象的信念得到保证当且仅当数学是对科学不可或缺的）是当代数学哲学主流共识
  1. 本体论实在论首先有证明的义务
  2. 不可或缺论证实际上是唯一被认真对待的证明，摧毁这个论证使问题回到缺省状态，则实在论者有着不能承受的负担
对数学或数学化的物理的重构宣称了什么
1. 革命路线：宣称唯名论理论优于标准的数学化的物理，所以应该代替它；使用综合理论，以代替 \(\text{Plato}\) 主义理论
  1. 哲学在先倾向：唯名论科学比广为接受的数学化科学更为可取，后者建立于先验的、形而上学的基础之上，这个基础先于科学家在选择自己的理论时所使用的标准
  2. 自然主义倾向：严格的唯名论理论要优于建立在日常科学基础之上的日常科学理论，即有很好的科学的理由去偏爱避开数学对象的理论
2. 解释学的选择：宣称重构的唯名论理论为原初的科学理论提供了底层的意义

3.1 实在论

3.1.1 Gödel 与 Plato 主义

恶性循环原则：没有整体能包含只有借助这个整体才可定义的元素，或含有或预设此整体的元素
1. 只有「没有整体能包含只有借助这个整体才可定义的元素」才导致数学或其表现形式上的限制，即阻止数学引入某些词项，如非直谓定义
2. 经典数学的形式主义的公理蕴含一些实数的存在性，这些实数在形式主义中只能通过提及所有实数才能被定义
3. 本体实在论：如果问题关于独立于人类构造而存在的对象，那么存在只能通过援引全体才能被描述的对象
数学对象和日常物理对象的类比
1. 将逻辑和数学的公理与自然律相对比，把逻辑证据与感性知觉相对比
2. 这些公理需要的不是必然的自明，而是它们在物理学中一样事实之中的正当性，这个事实就是它们使得这些「感性知觉」被推出是可能的
3. 反对：在某个特定命题为真的知识和关于个体对象的知识之间存在着差别
传统本体实在论：超穷集合论的对象不属于物理世界
1. 数学公理迫使人们视其为真，并且人们可能没有关于这些对象本身的当下知识
2. 数学直观不必被设想为提供关于所涉及对象的当下知识的一种功能。即使对于物理对象，感性知觉也不是精确地匹配关于物理对象的直观信念
3. 数学直观是对客观数学世界的模糊认识，虽然直观代表了人类与数学实在之间的关系，但数学世界超出了人类对它的知觉
连续统假设（\(\mathbf{CH}\)）：是否存在一个实数的无穷子集 \(S\) 使得 \(S\) 与自然数之间没有一一对应且 \(S\) 与全体实数之间也没有一一对应
1. \(\text{G}\ddot{\mathrm o}\text{del}\) 证明了连续统假设独立于 \(\mathbf{ZFC}\)：如果 \(\mathbf{ZFC}\) 一致，那么 \(\mathbf{ZFC+CH}\) 也一致，即不可能在 \(\mathbf{ZFC}\) 中否定连续统假设，除非 \(\mathbf{ZFC}\) 是不一致的
2. 演绎主义者：元数学的独立性结果表明 \(\mathbf{CH}\) 既不是真的也不是假的
3. 直觉主义者：没有什么形式系统能捕捉到数学断言的构造性含义，\(\mathbf{CH}\) 的任何合法的版本依然是开放的。因此直觉主义者不会断言 \(\mathbf{CH}\) 是真的或是假的
4. \(\text{G}\ddot{\mathrm o}\text{del}\) ：集合论的初始词项有确定的含义，集合论的概念和定理描述某种完全确定的实在，在其中 \(\text{Cantor}\) 的猜想必定或真或假。因此 \(\mathbf{CH}\) 的独立性说明「这些公理没有包含对这个实在的完全描述」，需要进一步「揭示集合概念」的新公理
新数学公理会因它在物理中的丰富性而被接受的可能性
1. 人们还远不能在被提议的新数学公理与物理原则之间建立任何建设性的联系
2. 如果采用这种方法论，数学知识将失去它的先验状态，人们将用物理理论来决定数学真理

3.1.2 Quine 与信念之网

坚定的经验主义者 \(\text{Mill}\) 的继承者：所有实质上的知识最终都基于感觉观察
1. 自然主义：放弃第一哲学的目标，承认正是在科学本身中实在被识别和描述。认识论必须与自然科学（物理学为主）相结合
2. 对彻底经验主义教条的攻击
  1. 存在着某种根本的裂痕，处于分析的或以独立于事实的意义为根据的真理和综合的或根植于事实中的真理之间
  2. 还原主义：每一个有意义的陈述等价于在指称当下经验的词项之上的逻辑构造
整体主义：对第二个教条的回应
1. 科学是一个用来凭借过去的经验预测未来经验的工具，经验并不是逐个地影响被考虑的科学命题
2. 没有真正的哲学需求引进分析性概念，它仅下沉到一个支持其直观占统治地位的领域：语言学习和经验语义学的领域
信念之网：信念系统是一个「无缝的网」，每个节点（即信念）都联结着网中其他节点
1. 这些联结中有些是逻辑的（即赞同某些信念以赞同另一些为前提），有些联结是语言学（以语言的运用为指导）
2. 那些直接与经验相关的节点，它们能通过直接的观察确证，处于这张网的边缘。感官经验只在边缘上与网有紧密接触，观察使得网内部发生变化，直到达到某种新的平衡
3. 所有知识（即整个信念之网）基于感性经验之上，不存在其他的知识来源
科学理论是信念之网中以组织和预言观察为目的的装置
1. 最基本的科学理论是物理学，人们因其在信念之网中的首要地位而接受物理学为真，数学是科学的核心部分
2. 整体主义者除了接受科学主体为真，或近乎为真，没有其他选择，所以其也同样必须接受数学为真
3. \(\mathrm{Quine-Putnam}\) 不可或缺论证：「存在」只有一个含义，中等尺度的物理对象、行星、电子和数都在同一个意义上存在
  
  不可或缺论证
  
  考虑万有引力定律 \(G=\dfrac{gMm}{d^2}\)。\(\text{Newton}\) 定律有一个内容（即引力的「吸引」与质量成正比并且遵循平方反比律）在一定意义上完全清晰，且远远超出了唯名论语言所能表达。如果物理量的数字化是有意义的，那么人们必须接受函数和实数这样的概念，而这些正是唯名论拒绝的概念
解释为何数学曾经并依然被认为是必然的、确定的和先验被认识的
1. 数学和理论物理学之间的一个区别：至少对于简单的数学真理，人们不能想象它们是别的情况
2. 数学遍布科学之网，因为数学的分布是如此广泛，它至少有可能成为修正无法解释的观察的候选者

3.1.3 Maddy 与集合论实在论

自然主义：关于一类实体的本体论实在论是合理的，如果这些实体的客观存在性是人们对世界最好解释的一部分
1. 支持不可或缺论证：由于数学对现代科学是本质的，而这个现代科学是人类最好的理论，有充足的理由相信数学对象的存在
2. 容纳数学的主体（而不仅仅是那些在科学中找到应用的部分）是任何数学哲学所必需的
3. 不可或缺论证忽略了初等数学的「显然性」，即信念之网的最理论化的部分恰恰不是显然的
折中的 \(\text{Plato}\) 主义：两层数学认识论，两层互相支持，并且一起容纳了整个数学
1. 下层直观：支持着基本数学理论的底层原则
2. 上层数学：通过它对下层的数学和自然科学的应用而得到了外在的辩护
数学直观必须在科学的领地获得体面的身份才能为自然主义者所援引
1. 对象探测器：正常人在儿童阶段会形成神经生理学上的细胞群落，它们可以知觉和分辨物理对象。这些细胞群落在感应物和感知物之间的鸿沟上架起了桥梁，它们允许主体把物理对象从环境中分离出来
  物理对象集合的知觉
  
  考虑 \(4\) 双鞋的集合 \(A\)（把每双鞋看作两只鞋的集合）。\(B\) 为同样的 \(8\) 只鞋的集合
  1. \(A\) 有 \(4\) 个元素而 \(B\) 有 \(8\) 个，\(A\) 的元素本身也是集合，\(B\) 的元素是鞋而不是集合
  2. 在知觉作为 \(8\) 只鞋的质料和知觉作为 \(4\) 双鞋的质料之间存在着一个差别，即 \(A\) 和 \(B\) 有不同的格式塔，即使它们占据了同样大小的空间和时间
2. 集合论（包括无穷公理）为数学提供了一个统一的基础，后者又是信念之网的本质部分
  1. 现代集合论不涉及物理对象的集合，集合论层谱完全是抽象的。\(\text{Maddy}\) 没有主张人类能知觉到这样的「纯集合」，也不主张人类有关于其直接直观
  2. \(\text{Maddy}\) 通过勾勒出一种足够强的集合论，在其中所有对象都是物理对象或物理对象的集合的集合，展示如何放弃纯集合
3. 人类需要某些经验以便发展他们的对象探测器和集合探测器，但是没有特别的感觉经验是必需的
每一无歧义的集合论语句都有客观真值
1. \(\text{Maddy}\) 考察了扩展 \(\mathbf{ZFC}\) 的几种方式，注意到它们中的每一个回答了至少「某些」未解决的问题，每个都享有一系列外在的支持、不同程度的直观和经验法则证据的补充
2. 在何种理性的基础上人们可以在这些理论中作出选择

3.2 唯名论

3.2.1 Field 与虚构主义

有且只有一个严肃的对数学对象存在性的论证，其他论证只有在不可或缺论证成功后才会有分量
1. 如果能破坏不可或缺论证，那么本体论实在论就是没有依据的教条
2. 不可或缺论证的前提
  1. 实分析指称，且拥有变元取值于被称为实数的抽象实体
  2. 实分析对物理学不可或缺
  3. 如果实分析对物理学是不可或缺的，那么接受物理学对于物质实在为真的人因此就要承诺实分析的真理性
  4. 物理学为真或几乎为真
3. 否认实分析对物理学的不可或缺性：数学对科学是有用的，但并非主张数学在与本体论相关的方面对科学是本质的
科学在某种意义上能够不需要数学而继续进行
1. 对 \(\text{Newton}\) 引力理论的表述假设了有变元取值于其上的时空的点和时空的区域，点和区域存在且不是数学对象，每一点的集合构成了区域
2. 物理上真实的不一定相同于具体的。时空点不具有普通物理对象，点不持续于时间之中，且一个单独的点既没有质量也没有广延。点的存在不是偶然的，它是一个位置
3. \(\text{Field}\) 时空理论的公理蕴含存在无穷多的点，它同构于 \(R^4\)。对于实在论者，\(\text{Field}\) 本体论的尺度是连续统的幂集
  名词主义与关系主义
  - 名词主义：空间或时间是物理上真实的，\(\text{Field}\) 属于名词主义
  - 关系主义：用实际的或可能的物理对象之间的关系来刻画时空，其创始人是 \(\text{Leibniz}\)
4. 在假设这样一个丰富的物理空间和假设实数之间没有非常有意义的区别
数学如何能加之于综合理论之上
1. 令 \(N\) 为一个综合理论且令 \(S\) 是一个加到 \(N\) 上的数学理论。忽略技术因素，数学理论 \(S\) 对科学理论 \(N\) 的保守性可表述如下：「令 \(\Phi\) 为唯名论语言中的语句，则 \(\Phi\) 不是 \(S+N\) 的后承，除非 \(\Phi\) 是 \(N\) 的后承」
2. 非形式论证：根据数学研究对象的本性（特别是其抽象本体论），数学是对科学保守的
3. 模型论论证：对唯名论语言中的每一语句 \(\Phi\)，在数学理论 \(S\) 的语言中存在一个抽象对应物 \(\Phi'\)，使得可以在组合后的理论 \(S+N\) 中证明 \(\Phi\) 等价于 \(\Phi'\)
  1. 在 \(\text{Newton}\) 引力理论中，存在着从时空点到由实数定义的合适的结构上的结构保持函数，表示同态
  2. 表示同态允许科学家把强有力的集合论手段用作替代品，人们能把时空区域当作集合来处理，而不必真的相信集合的存在
  3. \(\text{Field}\) 计划：
    
    比较项 \(\text{Hilbert}\) 计划 \(\text{Field}\) 计划
    
    基础有穷数学唯名论科学
    
    工具理想数学数学
    
    需求一致性保守性
    保守性和不完全性
    
    类似于 \(\text{Hilbert}\) 计划，\(\text{Field}\) 计划也会由于类似于 \(\text{G}\ddot{\mathrm o}\text{del}\) 不完备定理的原因而失败。
    1. 存在一个唯名论语言中的语句 \(G\)，使得 \(G\) 不是综合物理的定理，但 \(G\) 能从综合物理再加上一些集合论（以及桥接原理）被推导出来
    2. 语句 \(G\) 类似于用来建立算术的不完全性的语句，它不能单独从综合理论中导出

3.2.2 Chihara 与模态构造

语言学项目：对开语句的谈论替代对集合的谈论
1. 开语句：一个其中的单独词项（如一个专名）被替换为变元的语句
2. 满足：在对象与开语句之间的关系「对……为真」
3. 本体论承诺：某类实体存在的方式就是用量词取值于那些实体，即「存在是约束变元的值」
写出开语句的可能性，从而使当代数学的主体最终在一种本体论上严格的解释下为真
1. 可构造性量词：如果 \(\Phi\) 是公式而 \(x\) 是某类变元，则 \((Cx)\Phi\) 是一个公式，读作「构造一个 \(x\) 使得 \(\Phi\) 成立是可能的」
2. 就本体论承诺的概念是常识的一部分来说，可构造性量词没有承担本体论承诺
『可构造性与数学存在』中的形式语言：拥有无穷多不同种类（或称为「型」）的变元，形式上等价于简单类型论，但存在重要的哲学上的差别
1. \(0\) 层变元取值于普通对象
2. \(1\) 层变元取值于普通对象满足的开语句，这种语言谈论何种开语句是可能的
3. \(2\) 层变元取值于为 \(1\) 层开语句满足的开语句

3.2.3 其他唯名论

\(\text{Azzouni}\)
1. 数学实践确定了数学的指称
  1. 一个数学分支（如算术或实分析）对应着一个末端开放的假设系统的族，这些系统相互嵌入，并且在每一分支的假设系统之间没有明确的、固定不变的边界
  2. 一个数学分支的本体论（本体论承诺）是一个句法问题
2. 数学指称是超薄的
  1. 在给定的话语中单独词项 \(t\) 指称一个对象 \(o\)，若如果存在一种认识论通过人们自身与同 \(o\) 一类的对象之间的因果作用来解释这种指称，则称对 \(o\) 的指称是厚的；如果这一指称通过假设一种理论才存在，而这种理论则因对人们经验的组织作用而被接受，则称对对象 \(o\) 的指称是薄的
  2. 如果数学的一个分支包含两个重叠的系统，那么在这一分支中，尽管有超薄性，共有的词项具有同样的指称
3. 人类选择有用假设系统的能力来解释数学对物质世界的可应用性，但是人类对数学的直观信念不能通过引用数学在科学中的核心地位来解释
\(\text{Balaguer}\)
1. 只有一种站得住脚的 \(\text{Plato}\) 主义（纯正 \(\text{Plato}\) 主义），这种观点是不可征服的，对任何理性的挑战都具有免疫力：所有可能的数学对象都存在
  1. 纯正 \(\text{Plato}\) 主义可解释人类与抽象数学对象之间没有任何因果上的相互作用，因为可能的知识不要求与其对象的任何联系
  2. 可能性等同于一致性：一致蕴含存在
  3. 纯正 \(\text{Plato}\) 主义中起作用的一致性概念不是一致性或可满足性，而是一个人类已经理解的初始概念
2. 也只存在一种站得住的反 \(\text{Plato}\) 主义（\(\text{Field}\) 虚构主义），这种观点同样不可征服
  1. 人们能够提供对数学可应用性的虚构主义说明，在科学以及任何其他地方中人们作出关于虚构的数学实体的陈述是为了刻画非数学的宇宙
  2. 即使人们为了物理世界而需要使用数学语言，也没有关于物理世界的什么东西被看作是数学对象存在的证据
  3. 如果不借助不存在的实体，人们就不能完整地描述真实的事情
3. 认识论的两难处境归咎于不存在数学对象存在与否的相关事实
  1. 永远不能拥有一个论证在理性上迫使人们接受或否定数学对象的存在
  2. 如果像「数存在」这样的语句有真值条件，那它们由人们使用语言的方式来决定，但是没有什么语言使用中的东西确定这个语句的真值条件，因此这个命题没有真值条件

3.3 结构主义

结构主义者严格拒绝自然数中的任何种类的本体论独立性
1. 算术：一个自然数的本质是其与其他自然数的关系，数字之间认识上的独立性不能排除自然数之间的本体论联系
2. 实分析：任何完全实闭域的模式
系统：一个对象的集合连同这些对象之间的某些关系，一个模式或结构称为一个系统的抽象形式
1. 强调对象之间的关系，忽略掉对象的那些不影响它们与本系统中其他对象如何相关的特征
2. 在数学中，对结构的研究独立于它们在非数学世界中可能会有的任何例示
共相：由于一个同样的结构能被超过一个的系统例示，因此一个结构是「多上之一」
1. 先物实在论：（\(\text{Plato}\)）至少某些共相先于并独立于例示它们的任何事项而存在，称如此解释的共相为先物共相
2. 在物实在论：（\(\text{Aristotle}\)）共相在本体论上依赖于它们的例示，称如此解释的共相为在物共相
3. 概念论：为共相是心灵的构造
4. 唯名论：为共相或是语言学的构造，或它们不存在
母结构：\(\text{Bourbaki}\) 学派认为数学结构没有任何事先指定特征，它是只着眼于它们之间关系的对象的集合
1. 代数结构：数量关系
2. 序结构：时间关系
3. 拓扑结构：空间关系

3.3.1 先物结构主义

\(\text{Caesar}\) 问题：本体论实在论者必须提供一个标准来确定任何给定的数是同于还是不同于任何其他对象，例如「\(\text{Caesar}=2\)」
1. 本质上数学的每个领域都可还原或模拟为集合论，算术对集合论有多种还原，但没有在它们中作出抉择的原则性方法
  1. \(\text{Zermelo}\) 还原：\(0=\varnothing, 1=\{\varnothing\}, 2=\{\{\varnothing\}\}, \cdots, n+1 = \{n\}\)
  2. \(\text{von Neumann}\) 还原：\(0=\varnothing, 1=\{\varnothing\}, 2=\{\varnothing, \{\varnothing\}\}, \cdots, n+1 = n\cup \{n\}\)
2. 数字关系在自然数结构中是内在的，人们能探究算术语言中的不同刻画所指称的数之间的等式，因此结构主义无需回答 \(\text{Caesar}\) 问题
结构主义指向有关（至少是数学中的）对象和存在的相对性，数学对象与组成它们的结构绑在一起，其本质是模型论
1. 在对象与结构中的位置之间，存在一种直观上的差别
  1. 位置即职位：一个结构的位置是在一个或多个例示这一结构的系统的语境下被处理
  2. 位置即对象：一个给定结构的位置，至少在语法上，凭其本身就被视为对象
2. 位置和位置拥有者之间的区别至少在数学中是相对的

3.3.2 取消结构主义

取消论的结构主义：把关于一种数学的陈述看作关于特定类型的结构的一般陈述，并且通过这种思想来寻找一种方式，消除对所考虑的这类数学对象的指称
1. 凭借「位置即职位」的观点来解释位置即对象的陈述，本体论中对象的本性无关紧要，但一定要有很多对象
2. 取消论结构主义者对算术的解释要求一种无穷的本体论，对实分析和 \(\text{Euclid}\) 几何的解释要求基数至少为连续统的背景本体论
3. 对集合论的取消论的解释要求更多的对象，否则这一领域是空洞的
本体论的取消结构主义：假设存在足够多的抽象对象，使所有被研究的结构可被例示，这称为本体论选择
1. 把集合论层谱作为全部数学的本体论，如果假设这一层谱中的每个集合都存在，那必然有足够的对象来例示任何可能的结构
2. 如果集合论层谱是背景，那么无论如何集合论都不是特定结构的理论，而是关于对象的特定类的背景本体论
模态取消结构主义：使算术、分析等等避免成为空洞的又不假设存在一个可能结构的系统
1. 可能结构：令 \(\Phi\) 为算术语言中的一个语句。按照本体论选择，一个算术语句 \(\Phi\) 被解释为「对任意系统 \(S\)，如果 \(S\) 例示自然数结构，则有 \(\Phi[S]\)」
2. 模态选择：一个数学分支中的陈述被理解为一个可能性或必然性算子的辖域之内的概括，即不是断言各种结构或系统存在，而是断言这些系统可能存在
  1. 物理可能性：存在一个系统例示自然数结构，但这一模态概念将被延伸得不能辨认
  2. 形而上学可能性：如果数学对象在根本上存在，那么其存在是形而上学上必然的，使用形而上学模态没有真正地减轻取消论结构主义的本体论负担
3. 逻辑模态：类似于一致性，对于有算术语句 \(\Phi\)，对任意逻辑上可能的系统 \(S\)，如果 \(S\) 例示自然数结构，那么 \(\Phi[S]\)

3.3.3 结构主义认识论

模式识别
1. 先物主义：将有穷基数结构视为凭自己本身就是的对象，然后形成由这些有穷结构的集合以及一个适当的顺序组成的系统
  1. 这一策略依赖于把各种有穷结构解释为能够被组织到一个系统中的对象
  2. 有穷结构本身被组织到一个系统中，而那个系统的结构也被思考
  3. 先物实在论者有义务提供至少是一种推测性的解释以说明如何生出关于结构的可信的知识
2. 模态取消论：有义务解释导致关于模式的信念的手段如何有时候产生有关那些结构是可能的可靠知识
隐定义：对数个条目同时进行的特征描述，即功能定义
1. 用单独词项指称结构的位置，在隐定义中词项指称各个结构中的位置，即「位置即对象」
2. 如果一个隐定义刻画了任何东西，那么它一定刻画了一个结构或可能系统的一个类

比较项	\(\text{Hilbert}\) 计划	\(\text{Field}\) 计划
基础	有穷数学	唯名论科学
工具	理想数学	数学
需求	一致性	保守性