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1 基本问题与历史观点

1.1 基本问题

1.1.1 对象与真理

  1. 对象：数学对象（例如集合，函数，自然数）的客观性
    1. 本体论实在论（\(\text{Plato}\) 主义）：至少某些数学对象客观地独立于人类而存在
      1. 数学真理独立于物理世界的偶然和关于人类心灵的偶然，使数学具有必然性
      2. 心灵与数学世界的直观联系使得数学知识成为先验的， 由于这种直观被自然主义排除，除非找到其自然的，科学的基础。因此本体论实在论维护 \(\text{Plato}\) 式的本体论，而不是 \(\text{Plato}\) 式的认识论
    2. 观念论者：主观观念论者认为数学对象的存在依赖于心灵活动构造；其他观点将数学客体视作人类共有观念的一部分
      1. 数学真理在以下程度上是必然的：人类思想结构是必然的
      2. 数学在以下程度是先验的：数学是关于自我心灵的知识，这种知识独立于感性经验
    3. 唯名论：数学对象只是语言的构造；对于怀疑主义者而言，数学对象不存在
      1. 如果数学对象是语言学项构造的，则数学在以下程度是先验的：人类关于语言的知识是先验的
      2. 如果不承认数学对象存在，则需要解释不指称数学对象的数学命题或承认数学命题是彻底为假或空洞的
  2. 真理：真值的客观性
    1. 真值实在论：数学陈述有客观的真值，独立于心灵，语言或约定
      1. 某些数学陈述的真实性超出了人类认识这一真理的能力，即存在不可知的数学真理的可能性
      2. 语义学上，无歧义的数学语言是二值的
    2. 真值反实在论：真值依赖于人类，例如人类心灵或可能的心理活动
      1. 所有的数学真理都是原则上可知的
      2. 人类心灵可以确定每一无歧义的语句，无论其是否是真假

1.1.2 数学与物理

  1. 语义学问题：寻找对语言的解释，使得数学的证明适用于物理的语境
  2. 形而上学问题：数学对象如何与物理世界相关，使应用成为可能

1.2 Plato 与 Aristotle

1.2.1 Plato 的理性主义

  1. 本体论与认识论
    1. 相的本体论：物理世界是变化的世界，物理对象受变化与堕落支配。相的世界是永恒不变的，存在完美的事项
    2. 两种认识论
      1. 通过感觉理解物理界，通过心灵的反思把握相。对应诸杂多事物的集合，必有一个单一的相或真实的本质
      2. 「学习」的实质是对过去生活的回忆，那时的灵魂可以直达「在的世界」
    3. 线喻：在的世界与变的世界
      1. 在的世界：「善」在所有事物之上。顶部的相与底部的数学对象
      2. 变的世界：顶部的物理对象以及底部物理对象的映像
  2. 实在论：以真值实在论作为预设，论证本体论实在论
    1. 几何：某些物理对象近似于 \(\text{Euclid}\) 图形，几何学中不应存在动态的语言
    2. 算术：有物质对象的数称为「物理数」，区别于「数自身」，后者只能被思想所把握。通过研究数与数的关系，灵魂得以把握数的如其所是的本性
  3. \(\text{Plato}\) 与 \(\text{Socrates}\) 的不同
    1. \(\text{Socrates}\) 认为数学是通向在的世界的大门。作为哲学的预备，数学需要长时间的热切学习
    2. 数学理应通过证明前行，而不仅是检验和归谬（即辩证法）

1.2.2 Aristotle 与经验主义

  1. 在的世界的反对：物理世界的事物有相或共相，但没有供这些相存在的独立世界。如果摧毁了所有美的事物，则摧毁了美自身

  2. 数学对象：\(\text{Aristotle}\) 对数学对象的解释源于对相的解释，有多种解读方式

    1. 假设一种抽象能力，通过对物理对象的沉思，抽象出某些特征，对象被创造出来，或被把握或被获得

      自然数

      通过这种解释，自然数通过对物理对象的聚合抽象而来：有意忽略个体之间的区别，着眼于它们是不同对象的事实，得到自然数（因此很难解释自然数「一」）。而 \(\text{Frege}\) 批判其「抽象能力」，如果忽略其间的差异，那么就无法区分各计数块，也就无法计数

    2. 反对本体论的抽象，并拒绝本体论。即无论借助什么过程，都无法得到几何或算术对象，因为这类对象不存在

  3. 物理对象与数学对象（尤几何学对象）的不匹配

    1. 抽象主义阐述：抽象掉物理对象的缺陷，但与 \(\text{Plato}\) 主义没有本质区别
    2. 虚构主义阐述：完美的几何学对象在物理世界的存在是可能的；如果任何物理对象的可能集合，总可能存在一个比起多一个对象的集合，那么算术的后继原则就是肯定的

1.3 Kant 与 Mill

1.3.1 理性主义与经验主义

  1. 理性主义：理想下，所有知识都是基于理性的
  2. 经验主义：关于世界所知的任何事情最终来自中立与无偏见的观察
  3. 共同点与分歧：在某种意义下，数学是先验的或独立于经验的。但是对于心理获得关于广义对象的观念途径，以及理性关于这些观念的状态不同
    1. 理性主义者：相信人类理智对数学地退出关于物理世界的实质性的先验结论是一个有力的工具
    2. 经验主义者：数学观念源自经验

1.3.2 Kant

  1. 超验主义：视哲学为自然科学的的超越，哲学解释了经验科学的预设
  2. 先验综合命题是何以可能的：揭示数学如何既能先验被知道，又能以无可被更改的确定性普遍地应用于所有经验
    1. 分析命题：全称命题的谓项概念包含于主项中，概念分析并未胜出关于世界的新知识（例如「三角形有三个角」）
    2. 综合命题：全称命题的谓项概念不是主项的一部分，综合命题只能通过直觉被得到
  3. 直觉的特征
    1. 直觉是单个的：再现个体对象的模式
      1. 直觉本质上是关于个体对象的知识，而概念分析是普遍真理
      2. 人类需要直觉在线数或图形，先验的概念分析无法导出数和空间的潜无穷
    2. 直觉产生当下的知识：直觉与感性知觉紧密相连，纯然直观涉及可能的感性知觉形式
      1. 直观是经验的，且生成的知识是偶然的
      2. 存在一种直观的形式产生出关于必然真理的知识，这种纯然直观分送出可能的经验直观的形式，即是对日常感性直觉的时空形式的一种觉悟。\(\text{Euclid}\) 几何涉及人类直觉空间和空间对象的方式；算术涉及人类必然直觉空间和事件对象的方式

1.3.3 Mill

  1. 自然主义:人类心灵完全是自然的一部分，因此关于世界有价值的知识没有一个能是先验的
  2. 认识论推理：枚举归纳法，所有关于世界的真是只是都可简介追溯到对观察的概括，数学和逻辑定律可以直接追溯到枚举归纳法
    1. 几何学：不存在抽象对象
      1. 将理想几何对象视作极限概念，在物理上不存在这样的极限
      2. 几何学不处理存在着的对象，因此 \(\text{Euclid}\) 几何是虚构的作品
    2. 算术：自然数是聚合的数，数字不是指称单个对象的单独词项，而是普遍词项
      1. 算数的结果是真正的，而非字面的，是关于物理聚合及其结构性质的命题。因此它们必须通过规矩归纳，通过对经验的概括才能被认识
      2. 人类通过几乎统一的经验，包括聚集和划分对象，证实了这些算术的和