1 演绎与证成

1.1 后承关系

1.1.1 保真性

保真性：正确有效的推理必须确保从真前提推出真结论，其本质是一个代入标准
实质蕴含怪论：实质蕴含和经典的逻辑语义后承不符合日常思维的逻辑推理关系，不符合人类的直觉与常识
1. 它们没有反应条件句中前件与后件，推理中前提和结论在意义、内容上的相互关联
2. 实质蕴含和经典的逻辑后承概念有「推出过多」的问题
  1. 由假得全原则：\((\alpha \wedge \neg \alpha) \to \beta\)，即由假命题推出一切命题
  2. 本体论承诺：\(\exists x \ (\alpha(x) \vee \neg \alpha(x)), \exists x \ (x = x), \forall x\alpha(x) \to \exists x \alpha(x)\)。这看起来更像是关于这个世界的实质性断言，即关于什么东西存在或不存在的断言，而不是毫无争议的逻辑真理，它们源自经典逻辑中本体论承诺的假设
3. 实质蕴含和经典的逻辑后承概念有「推出过少」的问题
  1. 由直观上有效的推理在基于实质蕴含的经典逻辑中得不到反映，例如「他是单身汉，所以他是一个未结婚的男人。」
  2. 紧致性：\(\omega-\)规则不能作为经典证明论的规则来接受，否则与紧致性定理矛盾
    
    \(\omega-\)规则
    
    设论域为 \(\mathbf N\)，公式 \(\forall n P(n)\) 成立，则 \(\omega-\)规则要求 \(\{P(n) \mid n \in N\} \vDash \forall n P(n)\) 成立，由紧致性定理可知存在 \(\Gamma \subseteq \{P(n) \mid n \in N\} \vDash \forall n P(n)\)。但是这样的集合不存在，因此 \(\omega-\)规则不应该被引入，这说明经典逻辑能推出的结论比预期少
4. 实质蕴含和经典的逻辑后承概念不适于刻画反事实条件句：假设前件为假或不大可能为真，则不论其后见是否为真，该条件句都为真，这与直觉相悖

1.1.2 必然性

必然性：前提和结论之间存在必然的联系，使得前提真而结论假是不可能的
严格蕴含：\(\text{Lewis}\) 认为对蕴含的理解和直觉理解相差太远，且前者需要加强
1. 用 \(\sim\) 表示不可能，用 \(-\) 表示否定，用 \(\prec\) 表示严格蕴含，并定义为 \(\alpha \prec \beta = \sim (\alpha - \beta)\)
2. 严格蕴含与实质蕴含不相同
  1. 内容上实质蕴含反应语句之间的具体真假关系，严格蕴含反应语句之间的必然性关系
  2. 与实质蕴含不同，\(\alpha \prec \beta\) 断定 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 的逻辑语义后承，「\(\alpha\) 真 \(\beta\) 假」是不可能的
  3. 推演能力上，严格蕴含弱于实质蕴含，因此将后者的要求强化了
3. 严格蕴含成功避免了实质蕴含怪论，但产生了新的弱严格蕴含怪论
  1. \(\square \alpha \to (\beta \prec p)\)：必然语句被任一语句所严格蕴含
  2. \(\neg \lozenge \alpha \to (\alpha \prec \beta)\)：不可能语句严格蕴含任一语句
  3. \((\alpha \wedge \neg \alpha) \prec \beta\)：逻辑矛盾严格蕴含任一语句
  4. \(\beta \prec (\alpha \wedge \neg \alpha)\)：逻辑真理被任一语句所严格蕴含
4. 以严格蕴含为基础的逻辑系统包括经典命题逻辑，甚至是后者的直接扩充；它没有强严格蕴含悖论，最终发展成为模态逻辑

1.1.3 相干性与独立性

相干性：推理的前提和结论之间必须有意义和内容上的关联
独立性：两个语句之间是否存在推理关系与两语句单独所具有的任何性质（如真值或模态）等无关
1. 推理是两组语句之间的一种关系，这种关系是否成立不能仅取决于这两组语句独自具有的性质，而是取决于这两组语句之间共有的某种意义内容或形式联系
2. 将实质蕴含或严格蕴含和推理关系视为同一时违反独立性要求的
相干蕴含：\(\alpha\) 相干蕴含 \(\beta\) 当且仅当 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 之间具有某种共同的意义内容，使得由 \(\alpha\) 可逻辑地推出 \(\beta\)
1. 相干原理：\(\alpha\) 与 \(\beta\) 相干之必要条件是 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 具有共同的语句变元
2. 相干蕴含虽然试图反映语句之间意义、内容上的联系，却没有反映语句之间的必然联系，因此相干逻辑系统虽然免除了不相干谬误，但无法避免模态谬误
衍推逻辑
1. 衍推关系用 \(\Rightarrow\) 表示既反映语句之间的必然联系，又反映语句之间内容上的联系
  1. 衍推关系试图反映语句之间的必然关系，如果 \(\alpha \Rightarrow \beta\)，则这种衍推关系独立于语句 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 之实际情况，与语句 \(\alpha\) 之假和语句 \(\beta\) 之真无关
  2. 衍推关系试图反映语句之间在内容、意义上的相互关联，如果 \(\alpha \Rightarrow \beta\)，则 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 相干，即 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 具有共同的语句变元
2. 衍推系统是一个相干的严格蕴含系统，相干原理在系统中成立、析取三段论不在其中成立

1.1.4 普遍性与简单性

普遍性：逻辑应该对一切题材或内容保持中立，从而普遍适用于一切领域和一切学科
简单性：在同等条件下，相互竞争的那些逻辑理论在逻辑上越简单越好
对于实质蕴含及以之为基础的经典的逻辑后承概念，可能提出的辩护
1. 与其他相竞争的概念和理论相比，它们抽象、概括出了自然语言中「如果……则……」这类联结词的共性。它们在对「如果……则……」的解释性最弱，因而在普适性和简单性方面表现得最好
2. 如果承认「否定」和「析取」分别是「并非」和「或者」的合理抽象，那么也应承认实质蕴含是「如果……则……」的合理抽象
3. 实质蕴含怪论不能合法地用于推理的目的，它们对于推理来说至多是无用的

1.2 演绎的证成

绝对主义逻辑观：用演绎推理建构起来的逻辑真理是绝对正确、普遍适用且不容修改的；它们是其他一切科学的基础和真理的标准，其本身的真理性是毋庸置疑的
1. \(\text{Kant}\)：逻辑学是关于理性的科学，是关于思维的必然规律的先验科学。它不仅适用于特殊的对象，而且适用于一切对象
2. \(\text{Frege}\)：逻辑是确实可靠、绝对必然的，一旦用逻辑概念定义出其他数学概念，从逻辑公理和定理推导出其他数学命题，就把数学建立在绝对可靠的基础之上了
演绎的证成
1. \(\text{Hume}\) 对于归纳证成的二律背反：演绎证成过强，归纳证成构成循环论证
2. \(\text{Haack}\) 对于演绎证成的二律背反：归纳证成较弱，演绎证成构成循环论证
逻辑系统 \(\mathbf L\) 的可靠性和完全性证明只具有相对意义
1. 对 \(\mathbf L\) 的证成最终归结为对其逻辑常项的解释的证成；对推理规则的证成归结为对真值表的证成
2. 通过 \(\mathbf L\) 的语义学，逻辑学使 \(\mathbf L\) 和 \(\mathbf L\) 之外的某种东西关联起来
  1. 形式演绎装置及其自然语言读法
  2. 形式语义学及其非形式解释
逻辑真理的相对必然性
1. 一个逻辑常常建立在许多基本假定或原则上，其中的命题只是相对于这些假定或原则才是必然的
2. 逻辑命题的必然性与推出该命题的逻辑系统的解释有关，其真理性只能在相应的解释或模型中才能得到刻画与说明
3. 逻辑命题相对于不同的系统和解释可能有不同的真值
4. 使一系统的所有定理都逻辑真的解释不是唯一的，对于同一个逻辑系统，可以设计不同的语义学加以解释。这些不同解释可以是彼此独立，相互平权的
逻辑的可修正性
1. 整体主义知识观：\(\text{Quine}\) 认为逻辑与人类的知识中的其他部分一道分享经验内容，因而在性质上与其他知识没有原则性区别
2. 对逻辑的修正必须慎重且具有充足理由
  1. 逻辑真理从根源上起源于经验，但是它起源于关于日常语言用法以及基于这种用法的思维的经验，具有极大的稳定性
  2. 逻辑在整个科学体系中处于核心地位，按 \(\text{Quine}\) 提出的最小代价获得最大收益原则，让逻辑不受伤害始终是合理策略

1.3 逻辑系统

1.3.1 非经典逻辑

经典逻辑是由 \(\text{Frege}\)、\(\text{Peirce}\)、\(\text{Russell}\) 等人创立的现代逻辑系统
1. 外延原则：在处理语词、语句时，只考虑它们的外延
  1. 语词的外延是其指称的对象，语句的外延是其具有的真值
  2. 外延论题：若某一复合语句中用具有同样指称但涵义不同的语词或语句替换另一语词或子语句，则该其真值保持不变
2. 二值原则：任意命题或真或假，非真即假，非假即真
3. 存在假定：结构的论域非空，\(\text{Quine}\) 称之为「本体论承诺」
4. 扩展律：也称由假得全原则，即不一致性可以扩展到一个理论中的每一个语句，任何一个不一致的理论都是平凡的
5. 实无穷抽象法：将无穷作为已经完成的整体，而不只是一个潜在的无穷延伸的过程
非经典逻辑：异常逻辑与扩充逻辑
1. 异常逻辑：也称择代系统，是否定或修改经典逻辑的一个或多个假定而导致的系统，至少在某些定理上与经典逻辑不一致，设 \(\mathbf H_1\) 是经典一阶逻辑形式系统，则对于逻辑系统 \(\mathbf L\)
  1. \(\mathbf L\) 的合式公式类和 \(\mathbf H_1\) 的合式公式类相重合，但是 \(\mathbf L\) 的定理或有效推理类以如下方式与 \(\mathbf H_1\) 的定理或有效推理类相区别：\(\mathbf H_1\) 的某些定理或有效推理在 \(\mathbf L\) 中不再有效。在这种情况下，\(\mathbf H_1\) 与 \(\mathbf L\) 互相发生歧义，\(\mathbf L\) 是一个异常逻辑
  2. \(\mathbf L\) 的合式公式类真包含 \(\mathbf H_1\) 的合式公式类，\(\mathbf L\) 的定理或有效推理类的区别不仅在于 \(\mathbf L\) 包含附加的定理或有效推理，它们涉及附加词项的本质出现，而且在于 \(\mathbf H_1\) 的某些定理或有效推理在 \(\mathbf L\) 中不再有效。此时称 \(\mathbf L\) 与 \(\mathbf H_1\) 是互为准歧义的，\(\mathbf L\) 是一个准异常逻辑
2. 扩充逻辑：也称扩充系统，是在经典逻辑的基础上通过引入新的逻辑常项以及与这些常项相关的新公理和推理规则而构成的系统。对于逻辑系统 \(\mathbf L_1\) 与 \(\mathbf L_2\)，则若 \(\mathbf L_1\) 的合式公式类真包含 \(\mathbf L_2\) 的合式公式类，并且 \(\mathbf L_1\) 的定理或有效推理类真包含 \(\mathbf L_2\) 的定理或有效推理类，\(\mathbf L_1\) 的附加定理或有效定理全部包含 \(\mathbf L_1\) 附加词项的本质出现，则称 \(\mathbf L_1\) 是 \(\mathbf L_2\) 的扩充，如果 \(\mathbf L_2\) 是经典一阶逻辑 \(\mathbf H_1\)，则 \(\mathbf L_1\) 是一个扩充逻辑
  本质出现与空的出现
  
  \(\text{Quine}\) 最先提出
  - 本质出现：如果一个词语在一个陈述中可以通过用另一个词语替换该词语使得陈述变成假的，则称该词语在陈述中有本质出现
  - 空的出现：如果一个表达式用任意句法上可允许的表达式替换它之后，该陈述的真假毫无改变，则称表达式空虚地出现于一给定陈述内
逻辑系统的正确性：逻辑系统是否有正确和不正确之分；是否只存在一个正确的逻辑系统，还是存在多个同等正确的逻辑系统
1. 有效性观念
  1. 逻辑系统内的有效性，即相对于系统的有效性：句法有效性与语义有效性
  2. 逻辑系统外的有效性，即直观有效性：如果一个非形式论证不可能前提真而结论假，则它可以被看作是有效的
2. 工具主义：不存在任何正确的逻辑，只有内部问题即一逻辑系统是否一致与可靠是允许的
  1. 工具论者拒绝关于非形式论证的系统外的有效性或逻辑真观念，外部问题即一逻辑系统是否正确地刻画了日常语言中的非形式论证是不被承认的
  2. 温和工具论：尽管逻辑是人们进行推理的工具，但也有正确与否的问题，即凡具有保真性的逻辑就是正确的工具
3. 一元论与多元论：承认形式论证和非形式论证
  1. 一元论认为正确的逻辑只有唯一的一个，经典逻辑及其扩充一起构成了正确的逻辑，其他逻辑与前者构成竞争关系
  2. 多元论认为正确的逻辑系统不止一个，不同逻辑系统之间的竞争是表面的，内在是相同的，这渊源于系统外的有效性观念的模糊性和歧义性
4. 逻辑系统的适用性：逻辑系统是否必须具有普遍适用性（适用于无论什么题材的推理），还是一个逻辑可以是局部正确的（适用于某个有限的话语领域）
  1. 一元论：假定逻辑应该是普遍适用的
  2. 多元论
    1. 局部多元论：不同的逻辑系统可以适用于不同的话语领域，一个论证不是普遍地有效，而是在某个范围内有效
    2. 整体多元论：逻辑应该是普遍适用的，可以是应用于任何题材，
非经典逻辑的相容性
1. 讨论的问题：变异是否是冲突或竞争的必要条件、变异是否是竞争的充分条件
2. \(\text{Haack}\) 提出两种冲突的可能性：① 异常逻辑具有经典逻辑定理的矛盾公式作为定理；② 存在一些经典逻辑学赞成，但是异常逻辑学不赞成的原则
意义改变论：异常逻辑与经典逻辑不相冲突，因为他们之间表面上的不相容性可以用逻辑连接词的意义变化来解释
1. \(\text{Quine}\) 认为当一种新的逻辑被采纳，其规律不同已有规律，则可推测新逻辑仅在赋予某些已熟知的旧词汇以新的意义
2. 当直觉主义者拒斥排中律时，他们只不过改变了联结词的意义（特别是否定的意义）使得 \(p \vee \neg p\) 意谓着「或者 \(p\) 已被证成或者 \(p\) 已被拒斥」
3. 如果此论证是对的，那么异常逻辑与经典逻辑之间不仅没有竞争关系，甚至是不可比较的
  
  对意义改变论的驳斥
  
  \(\text{Haack}\) 认为变异不仅可以发生在联结词规则上，而且可以发生在关于可演绎性的结构规则上，于是异常逻辑与经典逻辑之间的差异不总能归结为逻辑连接词的意义变化
翻译不确定性论题（\(\text{QIT}\)）
1. \(\text{Quine}\) 根据其自然主义语言观和行为主义意义论，为其 \(\text{QIT}\) 做出论证，据此证明逻辑方面的明显冲突是错误翻译的结果
  1. 甚至在观察句的翻译中就存在归纳的不确实性
  2. 在词和短语的翻译中存在根本的不确定性
  3. 在理论语句的翻译中存在根本的不确定性
2. 尽管量词的翻译易于感染根本的不确定性，但真值联结词的翻译并非如此
  1. 真值函项算子是由语句形成语句的算子，量词是由开语句形成语句的算子。对真值函项联结词，可以给出根据赞成和反对来表述的于一标准，当一个构造满足这样的标准时，这就足以证明可以用适当的真值函项来翻译它
  2. 有可能辨别出被翻译语言 \(L\) 的某个表达式应该翻译成某个联结词
  3. 出现下述情况是不可能的：根据语句联结词对语言 \(L\) 的表达式的正确翻译，却使得说 \(L\) 这种语言的人赞成其疑问是一个经典矛盾式的语句，或者是说这种语言的人反对其译文是一个经典逻辑重言式的语句
  对 \(\text{QIT}\) 的驳斥
  
  \(\text{Haack}\) 认为 \(\text{Quine}\) 的论证需要下述假定的支持
  1. 使不同人群之间的一致最大化原则，这意味着只有人们假定经典逻辑是正确的逻辑，正确的翻译才不变地将经典逻辑置于一种特殊地地位
  2. 采用有关真值函项的经典标准，这是可以受到挑战的，因为人们可以采用其他基本参数，例如弃权
  3. 采用赞成和反对作为行为参数

1.3.2 归纳逻辑

归纳的问题
1. 心理学问题：归纳推理的起源、发现或得到归纳结论的心理过程和心理机制，以及对某个归纳结论所持的相信或拒斥的心理态度及其理由
2. 逻辑问题：归纳结论与观察证据之间的逻辑联系
3. 哲学问题：归纳推理是否能得出必然性结论，如何对其合理性进行证成
\(\text{Hume}\) 问题：归纳的合理性及其证成
1. 人类理智对象被分为两类：观念的联系和实际的事情
2. 人类知识被分为两类：关于观念间联系的知识与关于实际事情的知识
3. 一切因果推理建立在经验上，一切经验的推理建立在自然进程将一律不变地进行下去的假定上。这种从原因到结果的转移不是借助于理性，而是完全来自于习惯和经验
归纳证成方案
1. 演绎主义证成（\(\text{Mill}\)、\(\text{Russell}\)）：通过给归纳推理增加一个被认为是普遍必然的大前提，将之与归纳例证相结合，以此确保归纳结论的必然真实性
2. 先验论与约定论证成（\(\text{Kant}\)、\(\text{Poincare}\)）：通过把归纳推理的大前提归诸某类主管约定或社会约定来为归纳证成
3. 实用主义证成（\(\text{Peirce}\)、\(\text{Reichenbach}\)）：归纳是人们用来预测事件进程的一种策略，尽管这种策略不能保证人们一定获得真理，但其合理性在于它是人们为获得真理所能采取的诸多策略中的最佳策略，且归纳是一个自我修正的过程
4. 归纳主义证成：通过列举归纳法在实践中所获得的成功来为归纳法证成
5. 概率主义证成：由逻辑实证主义提出的一种归纳证成方案