4 集宇宙
4.1 von Neumann 宇宙
4.1.1 良基集
-
定义良基集合类 \(\mathbf{WF} = {\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathrm{On}} V_{\alpha}}\)，其中 \(V_{\alpha}\)
- \(V_{0}=\varnothing\)
- \(V_{\alpha+1}=\mathcal{P}\left(V_{\alpha}\right)\)
- 对任意极限序数 \(\alpha\)，\(V_{\alpha}={\displaystyle \bigcup_{\beta<\alpha} V_{\beta}}\)
则 \(\mathbf{WF}\) 是一个真类，称作 \(\text{von Neumann}\) 宇宙
- 对任意序数 \(\alpha \in \mathbf{On}\)
- \(V_{\alpha}\) 是传递的
- 如果 \(\xi \leqslant \alpha\)，则 \(V_{\xi} \subseteq V_{\alpha}\)
- 如果 \(\kappa\) 是不可达基数，则 \(\left|V_{\kappa}\right|=\kappa\)
- \(V_{\alpha} \cap \mathbf{O n}=\alpha\)
- 对任意集合 \(x \in \mathbf{WF}\)，定义 \(x\) 的秩 \(\operatorname{rank}(x)\) 为使得 \(x \in V_{\beta+1}\) 的最小 \(\beta\)，设 \(\alpha \in \mathbf{On}\)
- \(V_{\alpha}=\{x \in \mathbf{WF} \mid \operatorname{rank}(x)<\alpha\}\)
- 对任意 \(x, y \in \mathbf{WF}\)，如果 \(x \in y\)，则 \(\operatorname{rank}(x)<\operatorname{rank}(y)\)
- 对任意 \(y \in \mathbf{WF}, \operatorname{rank}(y)=\sup \{\operatorname{rank}(x)+1 \mid x \in y\}\)
- \(\alpha \in \mathbf{WF}\) 且 \(\operatorname{rank}(\alpha)=\alpha\)
- \(\mathbf{WF}\) 是传递的，即对任意 \(y \in \mathbf{WF}\)，若 \(x \in y\)，则 \(x \in \mathbf{WF}\)
- 对任意集合 \(x\)，\(x \in \mathbf{WF}\) 当且仅当 \(x \subseteq \mathbf{WF}\)
- 设 \(x \in \mathbf{WF}\)，则 \(\bigcup x, \mathcal{P}(x)\) 以及 \(\{x\}\) 属于 \(\mathbf{WF}\)，且其秩都小于 \(\operatorname{rank}(x)+\omega\)
- 若 \(x, y \in \mathbf{WF}\)，则 \(x \times y, x \cup y, x \cap y,\{x, y\},(x, y), x^{y}\) 都属于 \(\mathbf{WF}\)，且其秩都小于 \(\operatorname{rank}(x)+\operatorname{rank}(y)+\omega\)
- 整数集 \(\mathbf{Z}\)，有理数集 \(\mathbf{Q}\) 和实数集 \(\mathbf{R}\) 都属于 \(V_{\omega+\omega}\)
- 若 \(A \in \mathbf{WF}\)，则 \(\in\) 是 \(A\) 上的良基关系
- 假设选择公理成立
- 对任意群 \(G\)，存在 \(\mathbf{WF}\) 中的群 \(G^{\prime}\) 与 \(G\) 同构
- 对任意拓扑空间 \(T\)，存在 \(\mathbf{WF}\) 中的拓扑空间 \(T^{\prime}\) 与 \(T\) 同胚
- 任意集合 \(x\)，存在一个最小的传递集 \({\displaystyle \operatorname{trcl}(x)=\bigcup_{n<\omega} x_{n}}\) 使得 \(x \subseteq \operatorname{trcl}(x)\)，其中 \({\displaystyle x_{0} =x, x_{n+1} =\bigcup x_{n}}\)
- 若 \(A\) 是传递集，且 \(\in\) 是 \(A\) 上的良基关系，则 \(A \in \mathbf{WF}\)
- 若 \(x\) 是传递的，则 \(\operatorname{trcl}(x)=x\)
- 若 \(y \in x\)，则 \(\operatorname{trcl}(y) \subseteq \operatorname{trcl}(x)\)
- \(\operatorname{trcl}(x)=x \cup \bigcup\{\operatorname{trcl}(y) \mid y \in x\}\)
- \(X \in \mathbf{WF}\) 当且仅当 \(\operatorname{trcl}(X) \in \mathbf{WF}\) 当且仅当 \(\in\) 是 \(\operatorname{trcl}(X)\) 上的良基关系
- 对任意序数 \(\alpha \in \mathbf{On}\)，若 \(\kappa\) 是不可达基数，则 \(\left|V_{\kappa}\right|=\kappa\)
- 若 \(\gamma>\omega\) 是无穷极限序数，则在 \(\mathbf{ZF}\) 中可证明 \(V_{\gamma} \vDash \mathbf{Z}\)；在 \(\mathbf{ZFC}\) 中可证明 \(V_{\gamma} \vDash \mathbf{ZC}\)
- 若 \(\kappa\) 是不可达基数，则在 \(\mathbf{ZF}^{-}\) 中可证明 \(V_{\kappa} \vDash \mathbf{ZF}\)；在 \(\mathbf{ZFC}^{-}\) 中可证明 \(V_{\kappa} \vDash \mathbf{ZFC}\)
- 在 \(\mathbf{ZF}^{-}\) 中可证明以下命题等价
- 基础公理
- 对任意集合 \(X\)，\(\in\) 是 \(X\) 上的良基关系
- \(\mathbf{V}=\mathbf{WF}\)
-
定义类 \(\mathbf{R}\) 是类 \(\mathbf{X}\) 上的良基关系当且仅当 \(\forall U \subseteq \mathbf{X} \ (U \neq \varnothing \rightarrow \exists y \in U \ (\neg \exists z \in U \ (z \mathbf{R} y)))\)
-
定义 \(\mathbf{X}\) 上的关系 \(\mathbf{R}\) 是似集合的当且仅当对任意 \(x \in \mathbf{X}\)，\(\{y \in \mathbf{X} \mid y \mathbf{R} x\}\) 是一个集合，并定义前驱 \(\mathrm{pred}\) 及其闭包 \(\mathrm{cl}\)
\[ \begin{aligned} \operatorname{pred}^{0}(\mathbf{X}, x, \mathbf{R}) & =\{y \in \mathbf{X} \mid y \mathbf{R} x\} \\ \operatorname{pred}^{n+1}(\mathbf{X}, x, \mathbf{R}) & =\bigcup\left\{\operatorname{pred}(\mathbf{X}, y, \mathbf{R}) \mid y \in \operatorname{pred}^{n}(\mathbf{X}, x, \mathbf{R})\right\} \\ \operatorname{cl}(\mathbf{X}, x, \mathbf{R}) & =\bigcup_{n \in \omega} \operatorname{pred}^{n}(\mathbf{X}, x, \mathbf{R}) \end{aligned} \]- 通常将 \(\operatorname{pred}^{0}(\mathbf{X}, x, \mathbf{R})\) 记作 \(\operatorname{pred}(\mathbf{X}, x, \mathbf{R})\)；如果 \(\mathbf{X}\) 是传递的，则 \(\operatorname{pred}(\mathbf{X}, x, \in)=x, \operatorname{cl}(\mathbf{X}, x, \in)=\operatorname{trcl}(x)\)
- 若 \(\mathbf{R}\) 是 \(\mathbf{X}\) 上的似集合关系，则对任意 \(y \in \operatorname{cl}(\mathbf{X}, x, \mathbf{R})\) 有 \(\operatorname{pred}(\mathbf{X}, y, \mathbf{R}) \subseteq \operatorname{cl}(\mathbf{X}, x, \mathbf{R})\)
- 若 \(\mathbf{R}\) 是 \(\mathbf{X}\) 上的良基关系且是似集合的，则 \(\mathbf{X}\) 的每一非空子类 \(\mathbf{Y}\) 都有 \(\mathbf{R}\) 极小元
-
若 \(\mathbf{R}\) 是 \(\mathbf{X}\) 上的似集合良基关系，则定义 \(\operatorname{rank}(x, \mathbf{X}, \mathbf{R})=\sup \{\operatorname{rank}(y, \mathbf{X}, \mathbf{R})+1 \mid y \mathbf{R} x \wedge y \in \mathbf{X}\}\)
- 假设 \(\mathbf{R}\) 是 \(\mathbf{X}\) 上的似集合的良基关系．如果 \(\mathbf{F}: \mathbf{X} \times \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{V}\) 是类函数，则存在唯一的 \(\mathbf{G}: \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{V}\) 使得
- 在 \(\mathbf{ZF}^{-}\) 中可证若 \(\mathbf{X}\) 是传递的而 \(\in\) 是 \(\mathbf{X}\) 上的良基关系，则 \(\mathbf{X} \subseteq \mathbf{WF}\)，并且对任意 \(x \in \mathbf{X}\) 有 \(\operatorname{rank}(x, \mathbf{X}, \in)=\operatorname{rank}(x)\)
-
-
令 \(\mathbf{R}\) 是 \(\mathbf{X}\) 上的似集合良基关系，\((\mathbf{X}, \mathbf{R})\) 上的 \(\text{Mostowski}\) 函数 \(\mathbf{G}\) 定义为 \(\mathbf{G}(x)=\{\mathbf{G}(y) \mid y \in \mathbf{X} \wedge y \mathbf{R} x\}\)
- \(\mathbf{G}\) 的值域通常记为 \(\mathbf{M}\)，称为 \((\mathbf{X}, \mathbf{R})\) 的 \(\text{Mostowski}\) 折叠
- \(\forall x, y \in \mathbf{X} \ (x \mathbf{R} y \rightarrow \mathbf{G}(x) \in \mathbf{G}(y))\)
- \(\mathbf{M}\) 是传递的
- 假设幂集公理成立，则 \(\mathbf{M} \subseteq \mathbf{WF}\)
- 假设幂集公理成立，并且 \(x \in \mathbf{X}\)，则 \(\operatorname{rank}(x, \mathbf{X}, \mathbf{R})= \operatorname{rank}(\mathbf{G}(x))\)
- \(\mathbf{R}\) 在 \(\mathbf{X}\) 上是外延的当且仅当 \(\forall x, y \in \mathbf{X} \ (\forall z \in \mathbf{X} \ (z \mathbf{R} x \leftrightarrow z \mathbf{R} y) \rightarrow x=y)\)
- \(\mathbf{R}\) 是外延的当且仅当对任意 \(x, y \in \mathbf{X}\) 有 \(x \neq y \rightarrow \operatorname{pred}(\mathbf{X}, x, \mathbf{R}) \neq \operatorname{pred}(\mathbf{X}, y, \mathbf{R})\)
- 若 \(\mathbf{X}\) 是传递的，则 \(\in\) 在 \(\mathbf{X}\) 上是外延的
- \(\text{Mostowski}\) 折叠定理：令 \(\mathbf{R}\) 是 \(\mathbf{X}\) 上的似集合良基关系且在 \(\mathbf{X}\) 上是外延的，则存在传递类 \(\mathbf{M}\) 与双射 \(\mathbf{G}: \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{M}\) 满足 \(\mathbf{G}\) 是 \((\mathbf{X}, \mathbf{R})\) 与 \((\mathbf{M}, \in)\) 之间的同构；此外，\(\mathbf{M}\) 和 \(\mathbf{G}\) 都是唯一的
- \(\mathbf{G}\) 的值域通常记为 \(\mathbf{M}\)，称为 \((\mathbf{X}, \mathbf{R})\) 的 \(\text{Mostowski}\) 折叠
- 设 \(\kappa\) 为无穷基数，\(H_{\kappa}=\{x \mid |\operatorname{trcl}(x)| <\kappa\}\)，称 \(H_{\kappa}\) 中元素的遗传基数小于 \(\kappa\)，\(H_{\omega}\) 的元素为遗传有穷集，\(H_{\omega_{1}}\) 的元素为遗传可数集
- 对任意无穷基数 \(\kappa\)，\(H_{\kappa}\) 都是传递集
- \(H_{\kappa} \subseteq V_{\kappa}\)
- \(H_{\kappa} \cap \mathbf{On}=\kappa\)
- 若 \(x \in H_{\kappa}\)，则 \(\bigcup x \in H_{\kappa}\)
- 若 \(x, y \in H_{\kappa}\)，则 \(\{x, y\} \in H_{\kappa}\)
- 若 \(x \in H_{\kappa}\) 而 \(y \subseteq x\)，则 \(y \in H_{\kappa}\)
- 若 \(\kappa\) 是正则的，则 \(\forall x \ \left(x \in H_{\kappa} \leftrightarrow x \subseteq H_{\kappa} \wedge|x|<\kappa\right)\)
- 若 \(\kappa\) 是不可数正则基数，则以下命题等价
- \(\kappa\) 是不可达的
- \(H_{\kappa}=V_{\kappa}\)
- \(H_{\kappa} \vDash \mathbf{ZFC}\)
- 若 \(\kappa\) 是不可数正则基数，则 \(H_{\kappa}\) 是 \(\mathbf{ZFC}-\mathrm{Pow}\) 的模型
- 若 \(V_{\kappa} \vDash \mathbf{ZFC}\)，则称 \(\kappa\) 为世界基数
- 对任意无穷基数 \(\kappa\)，\(H_{\kappa}\) 都是传递集
- 反映定理：在 \(\mathbf{ZF}\) 中可证对任意有穷公式集 \(F=\left\{\varphi_{1}, \cdots, \varphi_{n}\right\}\)，对任意 \(V_{\alpha}\)，存在 \(V_{\beta}\) 有 \(V_{\alpha} \subseteq V_{\beta}\) 且 \(\varphi_{1}, \cdots, \varphi_{n}\) 相对于 \(V_{\beta}\) 是绝对的
- 在 \(\mathbf{ZF}\) 中可证若 \(F=\left\{\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{n}\right\}\) 为 \(\mathbf{ZF}\) 公理的有穷子集，则 \(\forall \alpha \exists \beta>\alpha \ (\sigma_{1}^{V_{\beta}} \wedge \cdots \wedge \sigma_{n}^{V_{\beta}})\)
- 令 \(F=\left\{\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{n}\right\}\) 为 \(\mathbf{ZF}\) 公理的有穷子集，除非 \(\mathbf{ZF}\) 是不一致的，否则 \(F\) 不能证明 \(\mathbf{ZF}\) 的所有公理
- 在 \(\mathbf{ZFC}\) 中可证对任意有穷公式集 \(F=\left\{\varphi_{1}, \cdots, \varphi_{n}\right\}\) 与任意集合 \(N\)，存在集合 \(M\) 使得
- \(N \subseteq M, |M| \leqslant|N| \cdot \omega\)
- \(\varphi_{1}, \cdots, \varphi_{n}\) 相对于 \((M, \in)\) 是绝对的
- 若 \(N\) 是至多可数的，则 \(M\) 是可数的
- 若 \(N\) 是传递的，则 \(M\) 也是传递的
4.1.2 绝对性
-
相对化：令 \(\mathbf{M}\) 为类，\(\varphi\) 为公式，则 \(\varphi\) 对 \(\mathbf{M}\) 的相对化 \(\varphi^{\mathbf{M}}\) 递归定义为
- \((x=y)^{\mathbf{M}}\) 即 \(x=y\)
- \((x \in y)^{\mathbf{M}}\) 即 \(x \in y\)
- \((\varphi \rightarrow \psi)^{\mathbf{M}}\) 即 \(\varphi^{\mathbf{M}} \rightarrow \psi^{\mathbf{M}}\)
- \((\neg \varphi)^{\mathbf{M}}\) 即 \(\neg \varphi^{\mathbf{M}}\)
- \((\forall x \varphi)^{\mathbf{M}}\) 即 \(\forall x \in \mathbf{M} \ \varphi^{\mathbf{M}}\)
\(\varphi^{\mathbf{M}}\) 读作「\(\varphi\) 在 \(\mathbf{M}\) 中为真」，相当于 \(\mathbf{M} \vDash \varphi\)，且有 \(\varphi^{\mathbf{V}} = \varphi\)
- 其他逻辑符号的相对化可由定义得到
- \((\varphi \vee \psi)^{\mathbf{M}}\) 即 \(\varphi^{\mathbf{M}} \vee \psi^{\mathbf{M}}\)
- \((\varphi \wedge \psi)^{\mathbf{M}}\) 即 \(\varphi^{\mathbf{M}} \wedge \psi^{\mathbf{M}}\)
- \((\exists x \varphi)^{\mathbf{M}}\) 即 \((\exists x \in \mathbf{M}) \varphi^{\mathbf{M}}\)
- 函数与类的相对化通过公式的相对化定义
- 对于 \(n\) 元函数符号 \(f\)，假设其定义由 \(\varphi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}, x_{n+1}\right)\) 给出，则 \(f^{\mathbf{M}}=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n}, x_{n+1}\right) \in \mathbf{M} \mid \varphi^{\mathbf{M}}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}, x_{n+1}\right)\right\}\) 表示 \(f\) 在 \(\mathbf{M}\) 中的相对化，其中隐含了 \(\mathbf{M} \vDash \forall x_{1} \cdots \forall x_{n} \exists^{1} \ x_{n+1} \varphi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}, x_{n+1}\right)\) 的要求
- 类 \(\mathbf{X}\) 是一个公式 \(\mathbf{X}(x)\)，其相对化 \(\mathbf{X}^{\mathbf{M}}\) 表示为 \(\left\{x \in \mathbf{M} \mid \mathbf{X}^{\mathbf{M}}(x)\right\}\)
-
对任意集合论公式 \(\psi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) 与任意满足 \(\mathbf{M} \subseteq \mathbf{N}\) 的类，若 \(\forall x_{1} \cdots \forall x_{n} \in \mathbf{M} \ \left(\psi^{\mathbf{M}}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \leftrightarrow \psi^{\mathbf{N}}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)\)，则称 \(\psi\) 对于 \(\mathbf{M}, \mathbf{N}\) 是绝对的；若 \(\mathbf{N}=\mathbf{V}\)，则称 \(\psi\) 对于 \(\mathbf{M}\) 是绝对的
- 函数与类的绝对性通过公式的绝对性定义
- 设 \(\mathbf{M} \subseteq \mathbf{N}, f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\) 是函数，则 \(f\) 相对于 \(\mathbf{M}, \mathbf{N}\) 是绝对的当且仅当定义 \(f\) 的公式 \(\varphi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}, x_{n+1}\right)\) 也是绝对的．因此 \(f\) 相对于 \(\mathbf{M}\) 是绝对的当且仅当 \(f^{\mathbf{M}}=f \upharpoonright \mathbf{M}\)
- 类 \(\mathbf{X}\) 是一个公式 \(\mathbf{X}(x)\)，它对 \(\mathbf{M}\) 是绝对的当且仅当 \(\forall x \in \mathbf{M} \ \left(\mathbf{X}^{\mathbf{M}}(x) \leftrightarrow \mathbf{X}(x)\right)\) 或 \(\mathbf{X}^{\mathrm{M}}=\mathbf{X} \cap \mathbf{M}\)
- 假设 \(\mathbf{M} \subseteq \mathbf{N}\)，且 \(\varphi, \psi\) 是公式
- 若 \(\varphi, \psi\) 相对于 \(\mathbf{M}, \mathbf{N}\) 是绝对的，则 \(\neg \varphi, \varphi \rightarrow \psi\) 也是如此
- 若 \(\varphi\) 不含量词，则 \(\varphi\) 对任意 \(\mathbf{M}\) 都是绝对的
- 若 \(\mathbf{M}, \mathbf{N}\) 都是传递的，并且 \(\varphi\) 相对于它们是绝对的，则 \(\forall x \in y \ \varphi\) 也是如此
- 令 \(\mathbf{M} \subseteq \mathbf{N}\) 都是传递的，\(\psi\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right)\) 为集合论公式
- 若 \(\psi\) 是 \(\Delta_{0}\) 公式，则 \(\psi\) 对于 \(\mathbf{M}, \mathbf{N}\) 是绝对的
- 如果 \(\psi\) 是 \(\Sigma_{1}\) 公式，则 \(\forall x_{1} \cdots \forall x_{n} \ \left(\psi^{\mathbf{M}}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow \psi^{\mathbf{N}}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)\)
- 如果 \(\psi\) 是 \(\Pi_{1}\) 公式，则 \(\forall x_{1} \ldots \forall x_{n} \ \left(\psi^{\mathbf{N}}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow \psi^{\mathbf{M}}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)\)
- 绝对性的性质：设 \(\mathbf{M} \subseteq \mathbf{N}\)
- 设 \(\mathbf{M}, \mathbf{N}\) 都是语句集 \(\Sigma\) 的模型，\(\Sigma \vdash \forall x_{1} \cdots \forall x_{n} \ \left(\varphi\left(x_{1} \cdots x_{n}\right) \leftrightarrow \psi\left(x_{1} \cdots x_{n}\right)\right)\)，则 \(\varphi\) 对 \(\mathbf{M}, \mathbf{N}\) 是绝对的当且仅当 \(\psi\) 也是
- 设 \(\varphi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\) 是一个公式，\(f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\)，\(g_{i}\left(y_{1}, \cdots, y_{m}\right), 1 \leqslant i \leqslant n\) 为一系列函数，且都相对于 \(\mathbf{M}, \mathbf{N}\) 绝对，则公式 \(\varphi\left(g_{1}\left(y_{1}, \cdots, y_{m}\right), \cdots, g_{n}\left(y_{1}, \cdots, y_{m}\right)\right)\) 与函数 \(f\left(g_{1}\left(y_{1}, \cdots, y_{m}\right), \cdots, g_{n}\left(y_{1}, \cdots, y_{m}\right)\right)\) 也相对于 \(\mathbf{M}, \mathbf{N}\) 绝对
-
以下关系与函数在 \(\mathbf{ZFC}\) 相关理论的模型中不是绝对的
- 幂集
- \(x\) 是可数集
- \(x\) 是基数
- \(x\) 是极限基数
- \(x\) 是正则基数
- \(x\) 是不可达基数
因此 \(\text{Skolem}\) 佯谬并非悖论：\(\mathbf{ZFC}\) 的模型有一个初等等价的可数子模型，但 \(\mathbf{ZFC}\) 中存在不可数集合
- 函数与类的绝对性通过公式的绝对性定义
-
设 \(T\) 是集合论理论，\(\Sigma\) 是语句集，\(\mathbf{M}\) 为类且在 \(T\) 中可证 \(\mathbf{M} \neq \varnothing\)．则若在 \(T\) 中可证 \(\mathbf{M} \vDash \Sigma\)，即对任意 \(\sigma \in \Sigma\)，都在 \(T\) 中可证 \(\sigma^{\mathrm{M}}\)
- 对集合论语言的任何语句 \(\varphi\)，如果 \(\Sigma \vdash \varphi\)，则 \(T \vdash \varphi^{\mathbf{M}}\)
- 如果 \(T\) 一致，则以 \(\Sigma\) 为公理的理论也一致
- 在 \(\mathbf{ZF}^{-}\) 中可证 \(\mathbf{WF} \vDash \mathbf{ZF}\)，因此 \(\operatorname{Con}(\mathbf{ZF}^{-}) \to \operatorname{Con}(\mathbf{ZF})\)
- 在 \(\mathbf{ZF}^{-}\) 中可证 \(V_{\omega} \vDash \mathbf{ZFC}-\operatorname{Inf}+\neg \operatorname{Inf}\)，因此 \(\operatorname{Con}(\mathbf{ZF}^{-}) \to \operatorname{Con}(\mathbf{ZFC}-\operatorname{Inf}+\neg \operatorname{Inf})\)
- \(\mathbf{ZFC} \nvdash\) 存在不可达基数
- \(\operatorname{Con}(\mathbf{ZFC}) \not \to \operatorname{Con}(\mathbf{ZFC} \;+\) 存在不可达基数\()\)
- \(\operatorname{Con}(\mathbf{ZFC}) \to \operatorname{Con}(\mathbf{ZFC}+\neg\) 存在不可达基数\()\)
- \(\operatorname{Con}(\mathbf{ZFC}) \rightarrow \operatorname{Con}(\mathbf{ZFC}-\mathrm{Pow}+\forall x \ (x\) 是可数的\())\)
4.2 Gödel 可构成宇宙
-
\(\text{G}\ddot{\mathrm o}\text{del}\) 运算：设 \(X, Y\) 是集合
- \(G_{1}(X, Y) =\{X, Y\}\)
- \(G_{2}(X, Y) =X \times Y\)
- \(G_{3}(X, Y) =\in \upharpoonright X \times Y=\{(u, v) \mid u \in X \wedge v \in Y \wedge u \in v\}\)
- \(G_{4}(X, Y) =X-Y\)
- \(G_{5}(X, Y) =X \cap Y\)
- \(G_{6}(X, Y) =\bigcap X\)
- \(G_{7}(X, Y) =\operatorname{dom}(X)\)
- \(G_{8}(X, Y) =\{(x, y) \mid(y, x) \in X\}\)
- \(G_{9}(X, Y) =\{(x, y, z) \mid(x, z, y) \in X\}\)
- \(G_{10}(X, Y) =\{(x, y, z) \mid(y, z, x) \in X\}\)
称类 \(C\) 对 \(\text{G}\ddot{\mathrm o}\text{del}\) 运算封闭的当且仅当对任意 \(X, Y\)，\(X, Y \in C\) 蕴含 \(G_{i}(X, Y) \in C\)，其中 \(1 \leqslant i \leqslant 10\)
- 对任意集合 \(M\)，\(\mathrm{cl}_{G}(M)\) 表示 \(M\) 的 \(\text{G}\ddot{\mathrm o}\text{del}\) 闭包，即包含 \(M\) 并且对 \(\text{G}\ddot{\mathrm o}\text{del}\) 运算封闭的最小集合
-
对任意 \(\Delta_{0}\) 公式 \(\psi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\)，存在函数 \(G\) 是 \(\text{G}\ddot{\mathrm o}\text{del}\) 运算的复合，并且对任意 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 都有
\[ G\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)= \left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{1} \in X_{1} \wedge \cdots \wedge x_{n} \in X_{n} \wedge \psi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\right\} \]- 若 \(M\) 是传递的且 \(\mathrm{cl}_{G}(M)=M\)，则对任意 \(\Delta_{0}\) 公式 \(\psi\left(x, y_{1}, \cdots, y_{m}\right)\)，任意集合 \(X \in M\)，以及任意 \(y_{1}, \cdots, y_{m} \in M\)，若 \(Y=\left\{x \in X \mid \psi\left(x, y_{1}, \cdots, y_{m}\right)\right\}\)，则 \(Y \in M\)，即 \(\Delta_{0}-\)分离公理模式在 \(M\) 中为真
- 若 \(G\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)\) 是 \(\text{G}\ddot{\mathrm o}\text{del}\) 运算的组合，则 \(Z= G\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)\) 等价于一个 \(\Delta_{0}\) 公式
-
对任意传递集 \(M\)，\(\operatorname{Def}(M)=\operatorname{cl}_{G}(M \cup\{M\}) \cap \mathcal{P}(M)\)
- 若 \(\mathbf{M}\) 是 \(\mathbf{ZF}\) 的传递模型，则对任意传递集 \(M \in \mathbf{M}\)，\(\operatorname{Def}(M)\) 相对于 \(\mathbf{M}\) 是绝对的
- 对任意传递集 \(M\)
- \(M \subseteq \operatorname{Def}(M) \subseteq \mathcal{P}(M)\)
- 对任意 \(X \subseteq M\)，如果 \(X\) 有穷，则 \(X \in \operatorname{Def}(M)\)
- 假设选择公理成立且 \(|M| \geqslant \omega\)，则 \(|\operatorname{Def}(M)|=|M|\)
- 序数可定义类：\(\mathbf{OD}={\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \mathbf{On}} \operatorname{cl}_{G} \left\{V_{\beta} \mid \beta<\alpha\right\}}\)
-
定义可构成宇宙 \(\mathbf{L}={\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathbf{O} \mathbf{n}} L_{\alpha}}\)，其中 \(L_{\alpha}\)
- \(L_{0}=\varnothing\)
- \(L_{\alpha+1}=\operatorname{Def}\left(L_{\alpha}\right)\)
- 对任意极限序数 \(\alpha\)，\(L_{\alpha}={\displaystyle \bigcup_{\beta<\alpha} L_{\beta}}\)
称 \(\mathbf{L}\) 内的元素为可构成集
- 对任意序数 \(\alpha \in \mathbf{On}\)
- \(L_{\alpha}\) 是传递的
- 若 \(\alpha<\beta\)，则 \(L_{\alpha} \subseteq L_{\beta}\)
- \(L_{\alpha} \subseteq V_{\alpha}\)；特别地，若 \(\alpha \in \omega + 1\)，则 \(L_{\alpha}=V_{\alpha}\)
- \(L_{\alpha} \in L_{\alpha+1}\) 且 \(L_{\alpha}\) 的任意有穷子集属于 \(L_{\alpha+1}\)
- \(\alpha \in \mathbf{L}\) 且 \(L_{\alpha} \cap \mathbf{On}=\alpha\)
- 若选择公理成立，则对任意 \(\alpha \geqslant \omega\)，\(\left|L_{\alpha}\right|=|\alpha|\)
- 若 \(x \in \mathbf{L}\)，则 \(x\) 在 \(\mathbf{L}\) 中的秩 \(\operatorname{rank}_{\mathbf{L}}(x)\) 定义为 \(\operatorname{rank}_{\mathbf{L}}(x)=\min \left\{\beta \mid x \in \mathbf{L}_{\beta+1}\right\}\)，设 \(\alpha \in \mathbf{On}\)
- \(L_{\alpha}=\left\{x \in \mathbf{L} \mid \operatorname{rank}_{\mathbf{L}}(x)<\alpha\right\}\)
- \(\operatorname{rank}_{\mathbf{L}}(\alpha)=\alpha\)
- \(\mathbf{L}\) 是 \(\mathbf{ZF}\) 的最小内模型
- \(\text{G}\ddot{\mathrm o}\text{del}\) 凝聚性定理：\(\mathbf{L}\) 具有凝聚性，即若 \(X\) 是一个传递集且存在序数 \(\alpha\) 使得 \((X, \in)\) 是 \((\mathbf{L}_{\alpha}, \in)\) 的初等子结构
-
可构成公理：\(\mathbf{V}=\mathbf{L}\)，即所有集合都是可构成集
- 函数 \(\alpha \mapsto L_{\alpha}\) 对 \(\mathbf{ZF}\) 的任何传递模型都是绝对的
- 设 \(\mathbf{M}\) 是传递的真类且是 \(\mathbf{ZF}-\mathrm{Pow}\) 的模型，则 \(\mathbf{L}=\mathbf{L}^{\mathbf{M}} \subseteq \mathbf{M}\)
- \(\mathbf{L} \vDash \mathbf{ZF} + \mathbf{V}=\mathbf{L}\)，因此 \(\operatorname{Con}(\mathbf{ZF}) \rightarrow \operatorname{Con}(\mathbf{ZF}+\mathbf{V}=\mathbf{L})\)
- \(\mathbf{L}\) 上存在良序，因此 \(\mathbf{V}=\mathbf{L}\) 蕴含 \(\mathbf{AC}\)
- 存在 \(\mathbf{ZF} - \mathrm{Pow}\) 公理的有穷子集 \(\{\psi_{1}, \cdots, \psi_{n}\}\) 满足 \(\forall M \ (M \textsf{ 传递 } \wedge \psi_{1}^{M} \wedge \cdots \wedge \psi_{n}^{M} \rightarrow (L_{\alpha^{M}}=\mathbf{L}^{M} \subseteq M))\)
- 存在 \(\mathbf{ZF}-\mathrm{Pow}+\mathbf{V}=\mathbf{L}\) 公理的有穷子集 \(\left\{\psi_{1}, \cdots, \psi_{n+1}\right\}\) 满足
- 若 \(\mathbf{M}\) 是传递真类且 \(\psi_{1}^{\mathbf{M}} \wedge \cdots \wedge \psi_{n+1}^{\mathbf{M}}\)，则 \(\mathbf{M}=\mathbf{L}\)
- \(\forall M \ \left(M\right.\) 传递 \(\wedge \psi_{1}^{M} \wedge \cdots \wedge \psi_{n+1}^{M} \rightarrow\left(L_{\alpha^{M}}=M\right)\)
- 在 \(\mathbf{ZF}\) 中可证 \((\mathbf{AC}+\mathbf{GCH})^{\mathbf{L}}\)，因此 \(\operatorname{Con}(\mathbf{ZF}) \rightarrow \operatorname{Con}(\mathbf{ZFC}+\mathbf{GCH})\)
- 若 \(\mathbf{V}=\mathbf{L}\)，则对任意无穷序数 \(\alpha\)，\(\mathcal{P}\left(L_{\alpha}\right) \subseteq L_{|\alpha|+}\)
- 设 \(\mathbf{V}=\mathbf{L}\)，则对任意不可数正则基数 \(\kappa\)，\(L_{\kappa}=H_{\kappa}\)
- 设 \(S_{0}=\left\{\psi_{1}, \cdots, \psi_{n}\right\}\) 是 \(\mathbf{ZF}+\mathbf{V}=\mathbf{L}\) 的有穷子集，则 \(\mathbf{ZF} \vdash \exists M \ (|M|=\omega \wedge M\) 是传递的 \(\wedge(\psi_{1}^{M} \wedge \cdots \wedge \psi_{n}^{M}))\)
- 若 \(\kappa\) 是不可数正则基数，则 \(L_{\kappa} \vDash \mathbf{ZF}-\mathrm{Pow}+\mathbf{V}=\mathbf{L}\)；若 \(\kappa\) 还是不可达基数，则幂集公理也在 \(L_{\kappa}\) 中成立
- \(\mathbf{V}=\mathbf{L}\) 蕴含钻石原理与 \(\text{Jensen}\) 方块原理
- 钻石原理：存在集合序列 \(\left\langle S_{\alpha}: \alpha<\omega_{1}\right\rangle\)，其中 \(S_{\alpha} \subseteq \alpha\)，使得对每个 \(X \subseteq \omega_{1}\)，\(\left\{\alpha<\omega_{1} \mid X \cap \alpha=S_{\alpha}\right\}\) 是 \(\omega_{1}\) 的稳定子集
- \(\text{Jensen}\) 方块原理：所有不可数集均满足 \(\square_{\kappa}\) 性质，即存在一个序列 \(\left\langle C_{\alpha}: \alpha \in \operatorname{lim}\left(\kappa^{+}\right)\right\rangle\) 使得
- \(C_{\alpha}\) 是 \(\alpha\) 的封闭无界子集
- 若 \(\beta \in \operatorname{lim}\left(C_{\alpha}\right)\)，则 \(C_{\beta}=C_{\alpha} \cap \beta\)
- 若 \(\operatorname{cf}(\alpha)<\kappa\) 则 \(\left|C_{\alpha}\right|<\kappa\)
- \(\text{Jensen}\) 二歧性定理：假设 \(\mathbf{V}=\mathbf{L}\)，则下列定理之一成立
- \(\mathbf{L}\) 接近 \(\mathbf{V}\)：任意奇异基数 \(\gamma\) 都在 \(\mathbf{L}\) 中奇异
- \(\mathbf{L}\) 远离 \(\mathbf{V}\)：任意不可数基数在 \(\mathbf{L}\) 中都是正则极限基数
- 函数 \(\alpha \mapsto L_{\alpha}\) 对 \(\mathbf{ZF}\) 的任何传递模型都是绝对的
-
定义 \(0^{\sharp}\) 为良基的显著 \(\text{E.M.}\) 集
-
为 \(\mathscr{L}(S)\) 中的公式 \(\varphi\) 定义 \(\text{Skolem}\) 函数 \(h_{\varphi}\)；称通过 \(\mathscr{L}\) 中函数与 \(\text{Skolem}\) 函数从变量或常量符号构建的项为 \(\text{Skolem}\) 项
-
\(\text{E.M.}\) 集：设 \(\Sigma\) 是一个公式集，则称 \(\Sigma\) 是一个 \(\text{E.M.}\) 集或 \(\text{Ehrenfeucht}-\text{Mostowski}\) 集当且仅当存在
- 极限序数 \(\lambda\)，使得模型 \(\mathfrak{A}\) 与 \(\mathbf{L}_{\lambda}\) 初等等价
- 无穷不可辨元序列组成的序数集 \(I\)
使得任意 \(\varphi \in \Sigma\) 当且仅当 \(\mathfrak{A} \vDash \varphi(x_1, \cdots, x_n)\) 对任意 \(x_1, \cdots, x_n \in I\) 且 \(x_1 < \cdots < x_n\) 成立，记作 \(\Sigma = \Sigma(\mathfrak{A}, I)\)
-
显著性：称 \(\text{E.M.}\) 集 \(\Sigma\) 是显著的当且仅当 \(\Sigma\) 无界且包含全体满足如下性质的 \(\text{Skolem}\) 项 \(t\)
\[ t(\overline x, \overline y) \textsf{ 是序数 } \wedge t(\overline x, \overline y) < y_1 \to t(\overline x, \overline y) = t(\overline x, \overline z) \]其中 \(\overline x = (x_1, \cdots, x_m) \in I^{m}, \overline y = (y_1, \cdots, y_n) \in I^{n}, \overline z = (z_1, \cdots, z_n) \in I^{n}\)
-
-
若 \(0^{\sharp}\) 存在，那么
- \(0^{\sharp} = \left\{\varphi \mid \mathbf L_{\aleph_{\omega}} \vDash \varphi\left[\aleph_{1}, \aleph_{2}, \ldots, \aleph_{n}\right]\right\}\)
- \(\mathbf{L}\) 中可定义的可构成集都是可数的
- 对于任意无穷的 \(x \in L\) 都有 \(\left|\mathcal{P}(x)^{\mathbf L}\right|=|x|\)
- \(0^{\sharp}\) 存在与以下各命题等价
- 存在一个初等嵌入 \(j: \mathbf{L} \to \mathbf{L}\)
- 对于某些 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，存在一个初等嵌入 \(j: \mathbf{L}_{\alpha} \to \mathbf{L}_{\beta}\) 且 \(\operatorname{crit}(j) < |\alpha|\)
- 存在一个 \(\mathbf{L}\) 上的超滤 \(U\)，使得其 \(\mathbf{L}\) 的超幂是良基的
- 存在一个可迭代的 \(\mathbf{L}\) 超滤
- \(\aleph_{\omega}\) 在 \(\mathbf{L}\) 中是正则的
- 设初等嵌入 \(j: L_{\alpha} \to L_{\beta}\)，\(\gamma = \operatorname{crit}(j)\)．若 \(\gamma < |\alpha|\)，则 \(0^{\sharp}\) 存在
- \(\text{Jensen}\) 覆盖定理：若 \(0^{\sharp}\) 不存在，则对于任意不可数序数集 \(X\)，都存在一个可构造集 \(Y \supseteq X\)，使得 \(|Y|=|X|\)
-
4.3 Grothendieck 宇宙
-
\(\text{Grothendieck}\) 宇宙是满足以下性质的集合 \(U\)
- \(U\) 是传递集
- 若 \(x, y \in U\)，则 \(\{x, y\}, \mathcal P(x), \mathcal P(y) \in U\)
- 若 \(\{x_{\alpha}\}_{\alpha \in I}\) 是 \(U\) 的一族元素且 \(I \in U\)，则 \({\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I} x_{\alpha} \in U}\)
易知空集 \(\varnothing\) 与所有遗传有穷集的集合 \(V_{\omega}\) 是 \(\text{Grothendieck}\) 宇宙
-
设 \(\kappa\) 是强不可达基数，\(S\) 是集合，若对任意 \(s_n \in \cdots \in s_0 \in S\) 有 \(|s_n| < \kappa\)，则称 \(S\) 是强类型 \(\kappa\) 的，令 \(u(\kappa)\) 是所有强类型 \(\kappa\) 的集合
- 对于任意 \(\text{Grothendieck}\) 宇宙 \(U\)，\(|U|\) 为 \(0\)，\(\aleph_0\) 或某个强不可达基数
- 若基数 \(\kappa\) 为 \(0\)，\(\aleph_0\) 或某个强不可达基数，则存在 \(\text{Grothendieck}\) 宇宙 \(U = u(\kappa)\)，此时 \(u(|U|) = U, |u(\kappa)| = \kappa\)
- \(\text{Grothendieck}\) 宇宙等价于强不可达基数：以下两条公理互相等价
- 对任意集合 \(x\)，存在 \(\text{Grothendieck}\) 宇宙 \(U\) 使得 \(x \in U\)
- 对任意基数 \(\kappa\)，存在强不可达基数 \(\lambda\) 有 \(\lambda > \kappa\)