3 序数与基数
3.1 序数理论
3.1.1 良序集
- 前段：令 \((L, <)\) 为全序，\(S\) 是 \(L\) 的子集．如果对每一 \(a \in S\)，所有 \(L\) 中小于 \(a\) 的元素也都属于 \(S\)，则称 \(S\) 是 \(L\) 的前段，不等于 \(L\) 的前段称为真前段
- 如果 \((W, <)\) 是良序且 \(S\) 是 \(W\) 的真前段，则存在 \(a \in W\) 满足 \(S=\{x \in W \mid x<a\}\)．此时称 \(W[a]=\{x \in W \mid x<a\}\) 为由 \(a\) 给定的 \(W\) 的真前段．特别地，如果 \(a\) 是 \(W\) 的最小元，则 \(W[a]=\varnothing\)
- 如果 \((W, <)\) 是良序，\(f: W \rightarrow W\) 是递增映射，则对所有的 \(x \in W\) 都有 \(f(x) \geqslant x\)
-
良序集：集合 \(W\) 上的全序 \(\leqslant\) 若有良基性，即 \(W\) 的每一非空子集都有最小元，则称 \(\leqslant\) 为 \(W\) 上的良序，记作 \((W, \leqslant)\)
- 良序集的同构性
- 没有良序集同构于自已的真前段
- 任意良序集都只有一个自同构，即等同映射
- 如果 \(W_{1}\) 和 \(W_{2}\) 是同构的良序集，则其间的同构唯一
-
良序集的和与积
-
令 \(\left(W_{1},<_{1}\right)\) 与 \(\left(W_{2},<_{2}\right)\) 为良序集且 \(W_{1} \cap W_{2}=\varnothing\)，则如下定义的 \(W=W_{1} \cup W_{2}\) 上的关系 \(<\) 是良序
\[ \begin{array}{ll} u<v \quad \textsf { 当且仅当 } & u, v \in W_{1} \wedge u<_{1} v \\ & \textsf {或 } u, v \in W_{2} \wedge u<_{2} v \\ & \textsf {或 } u \in W_{1}, v \in W_{2} \end{array} \]称良序集 \((W,<)\) 是 \(\left(W_{1},<_{1}\right)\) 与 \(\left(W_{2},<_{2}\right)\) 的和，记做 \(\left(W_{1},<_{1}\right)+\left(W_{2},<_{2}\right)\) 或 \(\left(W_{1} \cup W_{2},<_{1}+<_{2}\right)\)
-
令 \(\left(W_{1},<_{1}\right)\) 和 \(\left(W_{2},<_{2}\right)\) 为良序集, 则如下定义的 \(W=W_{1} \times W_{2}\) 上的关系 \(<\) 是良序
\[ \left(u_{1}, u_{2}\right)<\left(v_{1}, v_{2}\right) \leftrightarrow u_{2}<_{2} v_{2} \vee (u_{2}=v_{2} \wedge u_{1}<_{1} v_{1}) \]称良序集 \((W,<)\) 是 \(\left(W_{1},<_{1}\right)\) 与 \(\left(W_{2},<_{2}\right)\) 的积，记做 \(\left(W_{1},<_{1}\right) \times\left(W_{2},<_{2}\right)\) 或 \(\left(W_{1} \times W_{2},<_{1} \times<_{2}\right)\)
-
- 良序集的同构性
-
良序集基本定理：如果 \(\left(W_{1},<_{1}\right)\) 和 \(\left(W_{2},<_{2}\right)\) 为良序集，则以下条件恰有一个成立
- \(W_{1}\) 与 \(W_{2}\) 同构
- \(W_{1}\) 与 \(W_{2}\) 的前段同构
- \(W_{2}\) 与 \(W_{1}\) 的前段同构
3.1.2 序数
-
序数：满足以下条件的集合 \(\alpha\) 称为序数
- \(\alpha\) 是传递的，即 \(\alpha\) 的元素都是其子集
- \(\in\) 是 \(\alpha\) 上的良序
定义 \(\alpha < \beta\) 当且仅当 \(\alpha \in \beta\)
- 如果 \(\alpha\) 是序数，则 \(\alpha\) 的后继 \(\alpha^{+} = \alpha \cup \{\alpha\}\) 也是序数
- 如果不为 \(0\) 的序数 \(\alpha\) 有 \(\exists \beta \ (\alpha = \beta^{+})\)，则称 \(\alpha\) 为后继序数，否则称 \(\alpha\) 为极限序数
- 自然数集 \(\mathbf N\) 是首个极限序数，因此作为序数的 \(\mathbf N\) 通常记作 \(\omega\)
- 所有的序数都是 \(0\)、后继序数与极限序数中的一种
- 定义所有属于序数 \(\alpha\) 的极限序数为 \(\operatorname{lim}(\alpha)\)；特别地，记全体极限序数的类为 \(\operatorname{lim}(\mathbf{V})\)
- 自然数恰好就是有穷序数，大于等于 \(\omega\) 的序数称为无穷序数
- 如果不为 \(0\) 的序数 \(\alpha\) 有 \(\exists \beta \ (\alpha = \beta^{+})\)，则称 \(\alpha\) 为后继序数，否则称 \(\alpha\) 为极限序数
- 传递集与序数的关系
- 如果 \(\alpha\) 是序数且 \(B \subseteq \alpha\) 是传递集，则 \(B\) 是序数且 \(B \in \alpha\)．特别地，对任意序数 \(\alpha, \beta\)，如果 \(\beta \subseteq \alpha\)，则 \(\beta \in \alpha\)
- 如果 \(M\) 是传递集，则 \(M \cap \mathbf{On}\) 是序数，且是不属于 \(M\) 的最小序数，简记为 \(\alpha^{M}\) 或 \(o(M)\)
- 序数的性质
- 如果 \(\alpha\) 是序数，则 \(\alpha\) 的所有元素是序数，所以 \(\alpha=\{\beta \mid \beta<\) \(\alpha \wedge \beta\) 是序数\(\}\)
- 对任意序数的集合 \(X\)，\(\bigcup X\) 是序数且 \(\bigcup X=\sup (X)\)；若 \(X \neq \varnothing\)，则 \(\bigcap X\) 是序数且 \(\bigcap X=\inf (X)\)
- 序数间的 \(<\) 关系具有良序性质，因此任意非空的序数集合都在 \(<\) 下是良序集
- 序型：假设 \((X, R)\) 是良序集，定义其序型为与其同构的唯一序数，记作 \(\operatorname{type}(X, R)\) 或 \(\operatorname{type}(X)\)
- 序数类：全体序数构成一个真类，记作 \(\mathbf{On}\)，「\(\alpha\) 是序数」可简写作 \(\alpha \in \mathbf{On}\)
-
序数的算术
-
序数的加法：对所有序数 \(\beta\)
- 定义 \(\beta+0=\beta, \beta+1=\beta^{+}\)
- 对任意序数 \(\alpha\)，都有 \(\beta+(\alpha+1)=(\beta+\alpha)+1\)
- 对任意极限序数 \(\alpha\)，都有 \(\beta+\alpha=\sup \{\beta+\gamma \mid \gamma<\alpha\}\)
对任意序数 \(\alpha, \beta\)，都有 \(\alpha+\beta=\alpha \cup\{\alpha+\delta \mid \delta<\beta\}\)
- 令 \(\left(W_{1},<_{1}\right),\left(W_{2},<_{2}\right)\) 为良序集，分别与 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}\) 同构．令 \((W,<)=\left(W_{1} \cup W_{2},<_{1}+<_{2}\right)\) 是 \(W_1\) 与 \(W_2\) 的和，则 \((W,<)\) 与 \(\alpha_{1}+\alpha_{2}\) 同构
- 如果 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}\) 和 \(\beta\) 是序数，则 \(\beta+\alpha_{1}<\beta+\alpha_{2}\) 当且仅当 \(\alpha_{1}<\alpha_{2}\)
- 对所有的序数 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}\) 和 \(\beta\)，都有 \(\beta+\alpha_{1}=\beta+\alpha_{2}\) 当且仅当 \(\alpha_{1}=\alpha_{2}\)
- 对所有的序数 \(\alpha, \beta, \gamma\)，都有 \((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)
- 对任意序数 \(\alpha, \beta\)，如果 \(\alpha<\beta\)，则存在唯一的序数 \(\gamma\) 使得 \(\alpha+\gamma=\beta\)
-
序数的乘法：对所有序数 \(\beta\)
- 定义 \(\beta \cdot 0=0\)
- 对任意序数 \(\alpha\)，都有 \(\beta \cdot(\alpha+1)=\beta \cdot \alpha+\beta\)
- 对任意极限序数 \(\alpha\)，都有 \(\beta \cdot \alpha=\sup \{\beta \cdot \gamma \mid \gamma<\alpha\}\)
对任意序数 \(\alpha, \beta\)，都有 \(\alpha \cdot \beta=\{\alpha \cdot \xi+\eta \mid \xi<\beta \wedge \eta<\alpha\}\)
- 对任意序数 \(\alpha, \beta\)，序数 \(\alpha \cdot \beta\) 与集合 \(\alpha \times \beta\) 同构
- 对任意序数 \(\alpha, \beta, 1 \leqslant \alpha<\beta\)，存在唯一的序数的有序对 \((\xi, \eta)\) 使得 \(\eta<\alpha\) 且 \(\beta=\alpha \cdot \xi+\eta\)
-
序数的幂：对所有序数 \(\beta\)
- 定义 \(\beta^{0}=1\)
- 对任意序数 \(\alpha\)，都有 \(\beta^{\alpha+1}=\beta^{\alpha} \cdot \beta\)
- 对任意极限序数 \(\alpha\)，都有 \(\beta^{\alpha}=\sup \left\{\beta^{\gamma} \mid \gamma<\alpha\right\}\)
-
\(\text{Cantor}\) 正则形式：令 \(\alpha, \beta\) 为序数且 \(1<\alpha, 1 \leqslant \beta\)．则 \(\beta\) 可以唯一地表示为以下形式
\[ \beta=\alpha^{\gamma_{0}} \cdot \delta_{0}+\cdots+\alpha^{\gamma_{k-1}} \cdot \delta_{k-1} \]其中 \(k \in \omega\)，\(\delta_{i}\) 和 \(\gamma_{i}\) 都是序数且 \(\gamma_{0}>\cdots>\gamma_{k-1}\)
-
-
超限归纳与递归
-
第一形式超限归纳原理：令 \(\varphi(x)\) 为一个谓词．假设对所有的序数 \(\alpha\)，都有
\[ (\forall \beta < \alpha \ (\varphi(\beta))) \to \varphi(\alpha) \]则 \(\varphi(\alpha)\) 对所有的序数 \(\alpha\) 都成立
-
第二形式超限归纳原理：令 \(\varphi(x)\) 为一个谓词，假设
- \(\varphi(0)\) 成立
- 对所有后继序数 \(\alpha\)，\(\varphi(\alpha) \to \varphi(\alpha^{+})\)
- 对所有极限序数 \(\alpha \neq 0\), 如果对所有 \(\beta<\alpha\)，\(\varphi(\beta)\) 都成立，则 \(\varphi(\alpha)\) 成立
则对所有的 \(\alpha\)，都有 \(\varphi(\alpha)\)
-
超限递归定理：假设 \(\mathbf{G}: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{V}\) 为映射，则存在唯一的映射 \(\mathbf{F}: \mathbf{O n} \rightarrow \mathbf{V}\) 满足对任意序数 \(\alpha\)，都有 \(\mathbf{F}(\alpha)=\mathbf{G}(\mathbf{F}\upharpoonright \alpha)\)
- 令 \(\mathbf{G}: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{V}\) 为映射, 则存在运算 \(\mathbf F: \mathbf V \times \mathbf{On} \rightarrow \mathbf V\) 满足对所有的集合 \(z\) 和序数 \(\alpha\)，都有 \(\mathbf{F}(z, \alpha)=\mathbf{G}\left(\mathbf{F}_{z} \upharpoonright \alpha\right)\)
-
令 \(\mathbf G_{1}, \mathbf G_{2}, \mathbf G_{3}\) 为 \(\mathbf V\) 上的映射，则存在 \(\mathbf{On}\) 上的映射 \(\mathbf F\) 满足
\[ \begin{aligned} \mathbf{F}(0) &=\mathbf{G}_{1}(\varnothing) \\ \mathbf{F}(\alpha+1) &=\mathbf{G}_{2}(\mathbf{F}(\alpha)) \\ \mathbf{F}(\alpha) &=\mathbf{G}_{3}(\mathbf{F} \upharpoonright \alpha) \textsf { 对所有的极限 } \alpha \end{aligned} \]
-
-
\(\text{Goodstein}\) 定理：对任意 \(m\)，存在 \(n \geqslant 1\) 使得 \(g_{n}(m)=0\)
-
对任意自然数 \(n \geqslant 2\)，定义 \(S_{n}\) 如下
\[ S_{n}(m) = \left\{\begin{aligned} & m, & m < n \\ & k \cdot(n+1)^{S_{n}(t)}+S_{n}(b), & m \geqslant n \wedge m=k \cdot n^{t}+b, k<n, b<n^{t}, t \geqslant 1 \end{aligned}\right. \] -
对任意自然数 \(n \geqslant 2\)，定义 \(f_{n}\) 如下
\[ \begin{aligned} & f_{n}(k)=k, & k<n \\ & f_{n}(m)=\omega^{f_{n}(t)} \cdot k+f_{n}(b), & m \geqslant n \wedge m=k \cdot n^{t}+b,k<n, b<n^{t}, t \geqslant 1 \end{aligned} \] -
对任意自然数 \(n \geqslant 1\) 定义 \(g_{n}\) 如下
\[ \begin{aligned} g_{1}(m) &=m \\ g_{n+1}(m) &= \left\{\begin{aligned} & S_{n+1}\left(g_{n}(m)\right)-1, & g_{n}(m)>0 \\ & 0, & \textsf{否则} \end{aligned}\right. \end{aligned} \]
-
3.2 基数理论
3.2.1 势
- 如果存在一个以集合 \(X\) 为定义域，以集合 \(Y\) 为值域的双射，则称集合 \(X\) 与 \(Y\) 等势，记作 \(|X| = |Y|\) 或 \(X \approx Y\)；如果存在集合 \(X\) 到 \(Y\) 的单射，则称 \(X\) 的势小于等于 \(Y\) 的势，记作 \(|X| \leqslant |Y|\) 或 \(X \preccurlyeq Y\)
- 定义 \(|X| < |Y| = |X| \leqslant |Y| \wedge |X| \neq |Y|\)
- 关系 \(\approx\) 是一个等价关系；关系 \(\preccurlyeq\) 是一个偏序关系
- 势的比较
- 如果 \(X \subseteq Y\)，则 \(|X| \leqslant |Y|\) 且 \(\exists Z \subseteq Y \ (|X| = |Z|)\)
- \(\text{Zermelo}\) 定理：\(|X| < |Y| \vee |X| = |Y| \vee |Y| < |X|\)
- \(\text{Cantor} - \text{Bernstein}\) 定理：如果 \(|X| \leqslant |Y| \wedge |Y| \leqslant |X|\)，则 \(|X| = |Y|\)
- 有穷集与无穷集：对于任意集合 \(X\)，如果存在 \(n \in \mathbf N\)，使得 \(|X| = |n|\)，则称 \(X\) 是有穷的，否则称 \(X\) 是无穷的
- 集合 \(X\) 是有穷的等价于以下三个命题
- 存在 \(X\) 上的全序 \(\leqslant\) 满足 \(X\) 的每一非空子集在 \(\leqslant\) 下有最大元和最小元
- \(X\) 的每一非空子集族都有 \(\subseteq\) 关系下的极大元
- \(X\) 是 \(\text{Dedekind}\) 有穷的，即不存在由 \(X\) 到其真子集的双射
- 无穷集的性质
- 每一无穷集合都有一个可数子集，可数集的任何无穷子集都是可数集
- 无穷集是 \(\text{Dedekind}\) 无穷的，即存在由 \(X\) 到其真子集的双射
- 集合 \(X\) 是有穷的等价于以下三个命题
- 如果 \(|X| = |\mathbf N|\)，则称 \(X\) 是可数的或可数无穷的，不是可数集的无穷集合被称作不可数的，有穷集或可数集称作至多可数的
- 可数集的性质
- 可数集增加或减少有穷个元素后，得到的集合仍是可数集
- 如果 \(A_1, A_2, \cdots, A_n, \cdots\) 都是可数的，则 \({\displaystyle \bigcup_{k \leqslant n}} A_k\) 是可数的且 \({\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbf N}} A_n\) 也是可数的
- 如果 \(A_1, A_2, \cdots, A_n, \cdots\) 都是可数的，则 \(A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n\) 是可数的，但 \(A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n \times \cdots\) 是不可数的
- 如果 \(A\) 是可数的，则 \(A^{< \mathbf N}\) 与 \(A\) 的所有有穷子集组成的集合都是可数的
- 如果 \(A\) 是可数的，则 \(A\) 上等价关系的等价类是至多可数的
- 可数集与不可数集合例举
- \(\text{Cantor}\) 定理：\(2^{\mathbf N}\) 是不可数的
- 自然数集合 \(\mathbf N\) 、整数集合 \(\mathbf Z\) 与有理数集合 \(\mathbf Q\) 是可数的，实数集合 \(\mathbf R\) 是不可数的
- 有限小数是可数的，无限小数是不可数的
- 可数集的性质
3.2.2 基数
-
基数：集合 \(A\) 的基数 \(|A|\) 定义为与其等势的最小序数
-
对任意基数 \(\alpha\), 以下条件等价
- \(|\alpha|=\alpha\)
- 对任意序数 \(\beta\)，如果 \(\beta<\alpha\)，则 \(\beta<|\alpha|\)
- 对任意序数 \(\beta\)，如果 \(\beta<\alpha\)，则 \(|\beta|<|\alpha|\)
- 对任意序数 \(\beta\)，如果 \(\beta<\alpha\)，则 \(|\beta| \neq|\alpha|\)
一个序数是某个集合的基数当且仅当不存在比它小的序数与其等势，称这样的序数为前段序数
-
\(\text{Cantor}\) 定理：对任意集合 \(X\) 都有 \(|X|<|\mathcal{P}(X)|\)
- 对任何基数 \(\lambda\)，都存在一个大于它的最小基数，记作 \(\lambda^{+}\)，称其为 \(\lambda\) 的 \(\text{Hartogs}\) 数
- 如果 \(K\) 是基数的集合，则 \(\alpha=\bigcup K\) 是基数
-
基数的分类
- 自然数恰好就是有穷基数，大于等于 \(\omega\) 的基数称为无穷基数
-
如果 \(\lambda=\kappa^{+}\)，则称 \(\lambda\) 为后继基数．如果 \(\lambda \geqslant \omega\) 且不是后继基数，则称 \(\lambda\) 为极限基数
无穷基数的表示
通常用字符 \(\aleph\) 或 \(\omega\) 表示无穷基数，从第一个无穷基数开始分别记作 \(\aleph_{0}, \aleph_{1}, \aleph_{2}, \cdots\) 或 \(\omega_{0}, \omega_{1}, \omega_{2}, \cdots\)．对任意序数 \(\alpha\)，递归定义 \(\omega_{\alpha}\) 与 \(\aleph_{\alpha}\) 如下：
- \(\omega_{0}=\aleph_{0}=\omega\) 为极限基数
- \(\omega_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}^{+}\) 为后继基数
- 对极限序数 \(\gamma\)，有 \(\omega_{\gamma}=\aleph_{\gamma}=\sup \left\{\aleph_{\alpha} \mid \alpha<\gamma\right\}\) 为极限基数
无穷基数一定是极限序数，\(\aleph_{\alpha}\) 恰好表示「第 \(\alpha\) 个无穷基数」，由以下定理保证：
- 对任意 \(\alpha\)，\(\aleph_{\alpha}\) 是无穷基数
- 对任意无穷基数 \(\kappa\)，存在 \(\alpha\) 使得 \(\kappa=\aleph_{\alpha}\)
-
强极限基数：对任意 \(\lambda<\kappa\)，\(\kappa\) 都是 \(\lambda-\)强（即对任意 \(\mu < \kappa\) 都有 \(\mu^{\lambda}<\kappa\)）的
-
-
基数的和与积
- 基数的加法：定义 \(\kappa \oplus \lambda=|A \cup B|\)，其中 \(\kappa=|A|, \lambda=|B|\) 且 \(A \cap B=\varnothing\)
- 对加法的定义不依赖于 \(A, B\) 的选择：如果 \(|A|=\left|A^{\prime}\right|\) 且 \(|B|=\left|B^{\prime}\right|\)，而且 \(A \cap B=A^{\prime} \cap B^{\prime}=\varnothing\)，则 \(|A \cup B|=\left|A^{\prime} \cup B^{\prime}\right|\)
- 基数加法的性质
- 交换律：\(\kappa \oplus \lambda=\lambda \oplus \kappa\)
- 结合律：\(\kappa \oplus(\lambda \oplus \mu)=(\kappa \oplus \lambda) \oplus \mu\)
- \(\kappa \leqslant \kappa \oplus \lambda\)
- 若 \(\kappa_{1} \leqslant \kappa_{2}\) 且 \(\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2}\)，则 \(\kappa_{1} \oplus \lambda_{1} \leqslant \kappa_{2} \oplus \lambda_{2}\)
- 基数的乘法：定义 \(\kappa \otimes \lambda=|A \times B|\)，其中 \(|A|=\kappa, |B|=\lambda\)
- 对乘法的定义不依赖于 \(A, B\) 的选择：如果 \(A, B, A^{\prime}, B^{\prime}\) 满足 \(|A|=\left|A^{\prime}\right|\) 且 \(|B|=\left|B^{\prime}\right|\)，则 \(|A \times B|=\) \(\left|A^{\prime} \times B^{\prime}\right|\)
- 基数乘法的性质
- 交换律：\(\kappa \otimes \lambda=\lambda \otimes \kappa\)
- 结合律：\(\kappa \otimes(\lambda \otimes \mu)=(\kappa \otimes \lambda) \otimes \mu\)
- 分配律：\(\kappa \otimes(\lambda \oplus \mu)=\kappa \otimes \lambda \oplus \kappa \otimes \mu\)
- 如果 \(\lambda>0\)，则 \(\kappa \leqslant \kappa \otimes \lambda\)
- 如果 \(\kappa_{1} \leqslant \kappa_{2}\) 且 \(\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2}\)，则 \(\kappa_{1} \otimes \lambda_{1} \leqslant \kappa_{2} \otimes \lambda_{2}\)
- \(\kappa \oplus \kappa=2 \otimes \kappa\)．如果 \(\kappa \geqslant 2\)，则 \(\kappa \oplus \kappa \leqslant \kappa \otimes \kappa\)
-
对任意无穷基数 \(\kappa, \lambda\) 均有
\[ \begin{aligned} & \kappa \otimes \kappa=\kappa \\ & \kappa \oplus \lambda=\kappa \otimes \lambda=\max (\kappa, \lambda) \end{aligned} \]
- 基数的加法：定义 \(\kappa \oplus \lambda=|A \cup B|\)，其中 \(\kappa=|A|, \lambda=|B|\) 且 \(A \cap B=\varnothing\)
-
基数的无穷和与无穷积：假设 \(\left\{\kappa_{i} \mid i \in I\right\}\) 为一集基数，\(\left\{X_{i} \mid i \in I\right\}\) 为两两不交的集合族且对任意 \(i \in I\) 都有 \(\left|X_{i}\right|=\kappa_{i}\)，则
\[ \begin{aligned} & \bigoplus_{i \in I} \kappa_{i}=\left|\bigcup_{i \in I} X_{i}\right| \\ & \bigotimes_{i \in I} \kappa_{i}=\left|\prod_{i \in I} X_{i}\right| \end{aligned} \]由选择公理可以证明以上定义不依赖于 \(X_{i}\) 的选择，\(\otimes\) 的定义不要求 \(X_{i}\) 是两两不交的
- 若 \(\lambda\) 为无穷基数且 \(\left\{\kappa_{\xi}\right\}_{\xi<\lambda}\) 是非零基数的序列，则 \({\displaystyle \bigoplus_{\xi<\lambda} \kappa_{\xi}= \lambda \otimes \sup _{\xi<\lambda} \kappa_{\xi}}\)
- \({\displaystyle \bigoplus_{\xi<\lambda} \kappa_{\xi}=\max \{\lambda, \sup _{\xi<\lambda} \kappa_{\xi}\}}\)
- 如果 \(\left\langle\kappa_{\xi} \mid \xi<\operatorname{cf}(\kappa)\right\rangle\) 是一个序列且 \(2 \leqslant \kappa_{\xi}<\kappa\)，则 \({\displaystyle \bigoplus_{\xi<\operatorname{cf}(\kappa)} \kappa_{\xi}=\max \{\operatorname{cf}(\kappa), \sup _{\xi<\operatorname{cf}(\kappa)} \kappa_{\xi}\}=\kappa}\)
- \({\displaystyle \sup_{\xi<\lambda} \kappa_{\xi} \leqslant \bigoplus_{\xi<\lambda} \kappa_{\xi}}\) 对任意基数成立
- 如果 \({\displaystyle \lambda \leqslant \sup _{\xi<\lambda} \kappa_{\xi}}\)，则 \({\displaystyle \bigoplus_{\xi<\lambda} \kappa_{\xi}=\sup _{\xi<\lambda} \kappa_{\xi}}\)
- 假设 \(\left\langle\kappa_{i}\right\rangle_{i \in I}\) 为基数序列且 \(\lambda\) 为基数，则
- 如果 \(\left\{X_{j} \mid j \in J\right\}\) 是 \(I\) 的划分，则
- 交换律和结合律：\({\displaystyle \bigoplus_{i \in I} \kappa_{i}=\bigoplus_{j \in J} \bigoplus_{i \in X_{j}} \kappa_{i} \bigotimes_{i \in I} \kappa_{i}=\bigotimes_{j \in J} \bigotimes_{i \in X_{j}} \kappa_{i}}\)
- 分配律：\({\displaystyle \bigotimes_{j \in J} \bigoplus_{i \in X_{j}} \kappa_{i}=\bigoplus\left(\bigotimes_{j \in J} \kappa_{f(j)} \ \left|\ f \in \prod_{j \in J} X_{j} \right. \right)}\)
- \({\displaystyle \lambda \cdot \bigoplus_{i \in I} \kappa_{i}=\bigoplus_{i \in I} \lambda \cdot \kappa_{i}}\)
- \({\displaystyle \lambda^{\oplus_{i \in I} \kappa_{i}}=\bigotimes_{i \in I} \lambda^{\kappa_{i}}}\)
- \({\displaystyle \left(\bigotimes_{i \in I} \kappa_{i}\right)^{\lambda}=\bigotimes_{i \in I} \kappa_{i}^{\lambda}}\)
- 如果 \(\left\{X_{j} \mid j \in J\right\}\) 是 \(I\) 的划分，则
- 假设 \(\lambda\) 为无穷基数，\(\left\{\kappa_{\xi}\right\}_{\xi<\lambda}\) 是非零基数的序列且是非降的，则 \({\displaystyle \bigotimes_{\xi<\lambda} \kappa_{\xi}}=({\displaystyle \sup _{\xi<\lambda} \kappa_{\xi}})^{\lambda}\)
- 若 \(\lambda\) 为无穷基数且 \(\left\{\kappa_{\xi}\right\}_{\xi<\lambda}\) 是非零基数的序列，则 \({\displaystyle \bigoplus_{\xi<\lambda} \kappa_{\xi}= \lambda \otimes \sup _{\xi<\lambda} \kappa_{\xi}}\)
-
基数的幂：定义 \(\kappa^{\lambda}=\left|A^{B}\right|\)，其中 \(|A|=\kappa\) 且 \(|B|=\lambda\)
- 对幂的定义不依赖于 \(A, B\) 的选择：如果 \(|A|=\left|A^{\prime}\right|\) 且 \(|B|=\left|B^{\prime}\right|\)，则 \(\left|A^{B}\right|=\left|A^{\prime B^{\prime}}\right|\)
- 基数幂的性质：设 \(\kappa, \lambda\) 是基数
- 如果 \(\lambda>0\)，则 \(\kappa \leqslant \kappa^{\lambda}\)
- 如果 \(\kappa>1\)，则 \(\lambda \leqslant \kappa^{\lambda}\)
- 如果 \(\kappa_{1} \leqslant \kappa_{2}\) 且 \(\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2}\)，则 \(\kappa_{1}^{\lambda_{1}} \leqslant \kappa_{2}^{\lambda_{2}}\)
- \(\kappa \otimes \kappa=\kappa^{2}\)
- 无穷基数幂的性质：设 \(\kappa, \lambda\) 是无穷基数
- \(\kappa^{\lambda \oplus \mu}=\kappa^{\lambda} \otimes \kappa^{\mu}\)
- \(\left(\kappa^{\lambda}\right)^{\mu}=\kappa^{\lambda \otimes \mu}\)
- \((\kappa \otimes \lambda)^{\mu}=\kappa^{\mu} \otimes \lambda^{\mu}\)
- \(2^{\kappa}>\kappa\)
-
设 \(\alpha, \beta\) 是序数，\(n \in \omega\)，则以下命题成立
-
\(\text{Hausdorff}\) 公式：\(\aleph_{\alpha+1}^{\aleph_{\beta}}=\aleph_{\alpha+1} \otimes \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}\)
广义 \(\text{Hausdorff}\) 公式：\(\aleph_{\alpha+n}^{\aleph_{\beta}}=\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} \otimes \aleph_{\alpha+n}\)
-
\(\text{Tarski}\) 公式：如果 \(|\gamma| \leqslant \aleph_{\beta}\)，则 \(\aleph_{\alpha+\gamma}^{\aleph_{\beta}}=\aleph_{\alpha+\gamma}^{|\gamma|} \otimes \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}\)
- \(\text{Bernstein}\) 公式：\(\aleph_{n}^{\aleph_{\beta}}=2^{\aleph_{\beta}} \otimes \aleph_{n}\)
- 如果 \(\alpha \leqslant \aleph_{\beta}\)，则 \(\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}=2^{\aleph_{\beta}} \otimes \aleph_{\alpha}^{|\alpha|}\)
-
-
幂函数在 \(\kappa^{\lambda}\) 在 \(\textbf{ZFC}\) 下的行为：令 \(\lambda\) 为无穷基数，对任意无穷基数 \(\kappa\)，\(\kappa^{\lambda}\) 可计算如下
- 如果 \(\kappa\) 不是 \(\lambda-\)强的，则存在 \(\mu<\kappa\) 使得 \(\kappa^{\lambda}=\mu^{\lambda}\)
- 如果 \(\kappa \leqslant \lambda\)，则 \(\kappa^{\lambda}=2^{\lambda}\)
- 如果 \(\kappa>\lambda\) 且 \(\kappa\) 是 \(\lambda-\)强的，则
- 如果 \(\operatorname{cf}(\kappa)>\lambda\)，则 \(\kappa^{\lambda}=\kappa\)
- 如果 \(\operatorname{cf}(\kappa) \leqslant \lambda\)，则 \(\kappa^{\lambda}=\kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)}\)
-
基数与序列：设 \(\kappa, \lambda\) 是无穷基数，则以下命题成立
- 设 \(\lambda\) 是基数，定义 \(\kappa^{<\lambda}=\left|X^{<\lambda}\right|\)，其中 \(|X|=\kappa\)，则 \(\kappa^{<\lambda}=\sup \left\{\kappa^{\eta} \mid \eta\right.\) 是基数且 \(\left.\eta<\lambda\right\}\)
- 以 \([\kappa]^{\lambda}\) 表示集合 \(\{X \subseteq \kappa\mid |X|=\lambda\}\) 的基数，那么若 \(\kappa<\lambda\)，则\([\kappa]^{\lambda}=0\)；若 \(\lambda \leqslant \kappa\), 则 \([\kappa]^{\lambda}=\kappa^{\lambda}\)
- 以 \([\kappa]^{<\lambda}\) 表示集合 \(\{X \subseteq \kappa \mid |X|<\lambda\}\) 的基数，那么若 \(\lambda \leqslant \kappa\), 则 \([\kappa]^{<\lambda}=\kappa^{<\lambda}\)
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共尾：对任意序数 \(\alpha\)，若 \(\operatorname{cf}(\alpha)\) 是满足性质「存在映射 \(f: \beta \rightarrow \alpha\) 使得 \(f[\beta]\) 在 \(\alpha\) 中无界」的最小序数 \(\beta\)，则称映射 \(f\) 为共尾映射，\(\operatorname{cf}(\alpha)\) 为 \(\alpha\) 的共尾．对任何序数 \(\alpha\)，若 \(\operatorname{cf}(\alpha)=\alpha\)，则称 \(\alpha\) 是正则的，非正则的序数称为奇异的
序数的无界性
设 \(A\) 是序数 \(\alpha\) 的子集，如果 \(A\) 满足 \(\forall \gamma<\alpha \ \exists \xi \in A \ (\gamma \leqslant \xi)\)，则称 \(A\) 在 \(\alpha\) 中是无界的
- 共尾的性质
- \(A \subset \alpha\) 是无界的当且仅当 \(\alpha=\bigcup\{\xi+1 \mid \xi \in A\}\)，因此对任意序数，如果 \(f: \operatorname{cf}(\alpha) \rightarrow \alpha\) 是共尾映射，则 \(\bigcup_{\xi<\mathrm{cf}(\alpha)}[f(\xi)+1]=\alpha\)
- 对任意序数 \(\alpha\) 都有 \(\operatorname{cf}(\alpha) \leqslant \alpha\)
- 任意后继序数 \(\alpha=\beta+1\) 的共尾是 \(1\)
- 任意极限序数 \(\alpha>0\) 都有 \(\operatorname{cf}(\alpha) \geqslant \omega\)
- 对任意极限序数 \(\alpha\) 都有 \(\operatorname{cf}(\operatorname{cf}(\alpha))=\operatorname{cf}(\alpha)\)
- 任意序数的共尾都是正则的，又因为所有正则的序数都是基数，所以任意一个序数的共尾都是基数
- 对任何极限序数 \(\alpha\) 都存在一个严格递增的共尾映射 \(f: \operatorname{cf}(\alpha) \rightarrow\) \(\alpha_{\circ}\)
- 假设 \(\gamma\) 是极限序数，\(\left\langle\alpha_{\xi} \mid \xi<\gamma\right\rangle\) 是序数的严格递增序列且 \(\alpha\) 是其极限，则 \(\operatorname{cf}(\alpha)=\operatorname{cf}(\gamma)\)
-
对任意无穷基数 \(\kappa\)，\(\kappa^{+}\) 是正则的
- 任何奇异的基数都是极限基数
- 对任意无穷基数，总存在比它大的奇异基数，例如对于任意无穷基数 \(\aleph_{\alpha}\)，存在 \(\operatorname{cf}(\aleph_{\alpha + \omega}) = \omega\)
- 一个极限基数是正则基数的必要条件是 \(\alpha=\aleph_{\alpha}\)
\[ \textsf{序数} \left\{\begin{aligned} & \textsf{有穷序数} \\ & \textsf{无穷序数} \left\{\begin{aligned} & \textsf{非基数的序数} \to \textsf{奇异序数} \\ & \textsf{基数} \left\{\begin{aligned} & \textsf{后继基数} \to \textsf{正则序数} \\ & \textsf{极限基数} \to \left\{\begin{aligned} & \textsf{奇异序数} \\ & \textsf{正则序数：弱不可达基数} \end{aligned}\right. \end{aligned}\right. \end{aligned}\right. \end{aligned}\right. \] -
\(\text{K}\ddot{\mathrm o}\text{nig}\) 定理：如果对任意 \(i \in I\) 都有 \(\kappa_{i}<\lambda_{i}\)，则 \({\displaystyle \bigoplus_{i \in I} \kappa_{i}<\bigotimes_{i \in I} \lambda_{i}}\)
- \(\text{K}\ddot{\mathrm o}\text{nig}\) 引理：对任何无穷基数 \(\kappa\)，都有 \(\kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)}>\kappa\)
- 对任意序数 \(\alpha, \beta\) 都有 \(\operatorname{cf}(2^{\aleph_{\alpha}})>\aleph_{\alpha}\) 且 \(\operatorname{cf}(\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}})>\aleph_{\beta}\)
- 设 \(\kappa\) 是无穷基数，则以下命题等价
- \(\kappa\) 是正则基数
- 若 \(A \subseteq \kappa\) 且 \(|A|<\kappa\)，则 \(A\) 在 \(\kappa\) 中有界，即存在 \(\alpha<\kappa\)，\(A \subseteq \alpha\)
- 如果 \(|I|<\kappa\)，\(\left\{\kappa_{i} \mid i \in I\right\}\) 为一集基数，且对任意 \(i \in I\) 有 \(\kappa_{i}<\kappa\)，则 \({\displaystyle \bigoplus_{i \in I} \kappa_{i}<\kappa}\)
- 令 \(\lambda<\kappa\)，如果长度为 \(\lambda\) 的序列 \(\left\langle X_{\xi}\right\rangle_{\xi<\lambda}\) 满足对任意 \(\xi<\lambda\)，都有 \(\left|X_{\xi}\right|<\kappa\)，则 \({\displaystyle \left|\bigcup_{\xi<\lambda} X_{\xi}\right|<\kappa_{0}}\)
- 共尾的性质
-
连续统假设 \(\mathbf{CH}: 2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}\) 与广义连续统假设 \(\mathbf{GCH}: 2^{\aleph_{\alpha}}=\aleph_{\alpha+1}\) 均独立于 \(\mathbf{ZFC}\)
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对任意 \(\alpha \in \mathbf{On}\)，定义 \(\mathrm{Beth}\) 数 \(\beth_{\alpha}\)
- \(\beth_0 = \aleph_0\)
- \(\beth_{\alpha + 1} = 2^{\beth_\alpha}\)
- 若 \(\alpha\) 为极限序数，则 \(\beth_{\alpha} = \sup \{\beth_{\gamma} \mid \gamma < \alpha\}\)
则 \(\mathbf{CH}\) 等价于 \(\beth_{1} = \aleph_{1}\)，\(\mathbf{GCH}\) 等价于 \(\beth_{\alpha} = \aleph_{\alpha}\) 对任意序数 \(\alpha\) 成立
-
奇异基数假设 \(\mathbf{SCH}\)：对任意无穷基数 \(\kappa\)，如果 \(2^{\mathrm{cf}(\kappa)}<\kappa\)，则 \(\kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}=\kappa^{+}\)
- \(\mathbf{GCH}\) 蕴含 \(\mathbf{SCH}\)
- 奇异基数假设的早期形式 \(\mathbf{SCH}'\)：如果 \(\kappa\) 是强极限的奇异基数，则 \(2^{\kappa}=\kappa^{+}\)．显然 \(\mathbf{SCH}\) 蕴含 \(\mathbf{SCH}'\)
-
连续统函数：\(2^{\aleph_{\alpha}}\)，并称 \(2^{\aleph_{0}}\) 为连续统的基数
-
定义无穷基数上 \(\text{Gimel}\) 函数为 \(\gimel(\kappa)=\kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)}\)，则对任意无穷基数 \(\kappa, \lambda\) 有
\[ \kappa^{\lambda}= \left\{\begin{aligned} & 2^{\lambda}, & \textsf{或 } \\ & \kappa, & \textsf{或 } \\ & \gimel(\mu), & \operatorname{cf}(\mu) \leqslant \lambda<\mu \end{aligned}\right. \] -
对任意基数 \(\kappa\)，如果存在 \(\mu_{0}<\kappa\) 使得对任意 \(\mu_{0} \leqslant \mu<\kappa\) 都有 \(2^{\mu}=2^{\mu_{0}}\)，则称 \(2^{\mu_{0}}\) 为连续统函数在 \(\kappa\) 下的不动点；如果这样的不动点存在，也称连续统函数在 \(\kappa\) 下终究为常量．设 \(\kappa\) 为无穷基数，则
\[ 2^{\kappa}= \left\{\begin{aligned}& J(\kappa), & \textsf{ 若 } \kappa \textsf{ 是后继基数 } \\ & 2^{\mu_{0}} \otimes I(\kappa), & \textsf{ 若 } \kappa \textsf{ 是极限基数且 } 2^{\mu_{0}} \textsf{ 是连续统函数在 } \kappa \textsf{ 下的不动点 } \\ & I\left(2^{<\kappa}\right), & \textsf{ 若 } \kappa \textsf{ 是极限基数且连续统函数在 } \kappa \textsf{ 下不存在不动点 }\end{aligned}\right. \]- 如果 \(\kappa\) 是极限基数，则 \(2^{\kappa}=\left(2^{<\kappa}\right)^{\mathrm{cf}(\kappa)}\)
- 如果 \(\kappa\) 是强极限基数，则 \(2^{\kappa}=\kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}\)
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连续统假设下的基数幂
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令 \(\kappa, \lambda\) 为无穷基数，同时假设 \(\textbf{GCH}\) 成立，则
\[ \kappa^{\lambda}=\left\{\begin{aligned} & \lambda^{+}, & \kappa \leqslant \lambda ; \\ & \kappa^{+}, & \operatorname{cf}(\kappa) \leqslant \lambda<\kappa ; \\ & \kappa, & \lambda<\operatorname{cf}(\kappa) \end{aligned}\right. \] -
令 \(\kappa, \lambda\) 为无穷基数，同时假设 \(\textbf{SCH}\) 成立，则
\[ \kappa^{\lambda}= \left\{\begin{aligned} & 2^{\lambda}, & \kappa \leqslant 2^{\lambda} \\ & \kappa^{+}, & \kappa>2^{\lambda} \wedge \operatorname{cf}(\kappa) \leqslant \lambda \\ & \kappa, & \kappa>2^{\lambda} \wedge \operatorname{cf}(\kappa)>\lambda_{0} \end{aligned}\right. \] -
令 \(\kappa\) 为奇异基数，同时假设 \(\mathbf{SCH}\) 成立，则
\[ 2^{\kappa}= \left\{\begin{aligned} & 2^{\mu_{0}}, & \textsf{若 } 2^{\mu_{0}} \textsf{ 是连续统函数在 } \kappa \textsf{ 下的不动点 } \\ & \left(2^{<\kappa}\right)^{+}, & \textsf{若连续统函数在 } \kappa \textsf{ 下没有不动点 } \end{aligned}\right. \]
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3.2.3 稳定集
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无界闭集：令 \(\alpha\) 为极限序数，\(\alpha\) 的子集 \(C \subseteq \alpha\) 如果满足
- \(C\) 在 \(\alpha\) 中无界．即 \(\sup C=\alpha\)，或等价地，对任意 \(\beta<\alpha\)，存在 \(\xi \in C\) 使得 \(\beta<\xi\)
- \(C\) 在 \(\alpha\) 中是闭的．即对任意极限序数 \(\gamma<\alpha\)，如果 \(\sup (C \cap \gamma)=\gamma\)，则 \(\gamma \in C\)
则称 \(C\) 是 \(\alpha\) 的无界闭集
- 假设 \(C\) 是极限序数 \(\alpha\) 的子集，如果 \(\gamma\) 是 \(C\) 某一子集的上确界且 \(\gamma<\alpha\)，则称 \(\gamma\) 是 \(C\) 的极限点
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无界闭集的性质：设 \(\alpha\) 是极限序数且 \(\operatorname{cf}(\alpha)>\omega\)，则
- \(\alpha\) 是 \(\alpha\) 上的无界闭集
- 任取 \(\beta<\alpha\)，则集合 \(\{\delta<\alpha \mid \delta>\beta\}\) 是 \(\alpha\) 上的无界闭集
- 集合 \(X=\{\beta<\alpha \mid \beta\) 是极限序数\(\}\) 是 \(\alpha\) 上的无界闭集
- 如果 \(X\) 在 \(\alpha\) 中无界，则 \(X^{\prime}=\{\gamma \in X \mid \gamma<\alpha \wedge \alpha \textsf{ 是 } X \textsf{ 的极限点}\}\) 是 \(\alpha\) 上的无界闭集
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假设 \(\alpha\) 是极限序数且 \(\operatorname{cf}(\alpha)>\omega\)，则对任意 \(\gamma<\operatorname{cf}(\alpha)\)，如果 \(\left\langle C_{\xi}\right\rangle_{\xi<\gamma}\) 是无界闭集的序列，则 \({\displaystyle \bigcap_{\xi<\gamma} C_{\xi}}\) 也是 \(\alpha\) 的无界闭集
- 如果 \(\alpha\) 是极限序数且 \(\operatorname{cf}(\alpha)>\omega\)，\(f: \alpha \rightarrow \alpha\) 是严格递增且连续的
- 如果 \(\kappa\) 是不可数正则基数，则 \(\kappa\) 上的无界闭滤是 \(\kappa-\)完全的
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无界闭滤：对任意共尾数大于 \(\omega\) 的极限序数 \(\alpha\)
\[ F_{C B}(\alpha)=\{X \subseteq \alpha \mid \exists C \ (C \textsf{ 是 } \alpha \textsf{ 的无界闭子集 } \wedge C \subseteq X)\} \]是一个滤，称为 \(\alpha\) 上的无界闭滤
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对角线交与对角线并：对任意序数 \(\alpha\)，\(\left\langle X_{\xi} \mid \xi<\alpha\right\rangle\) 是 \(\alpha\) 子集的序列
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\(X_{\xi}\) 的对角线交定义为
\[ \triangle_{\xi<\alpha} X_{\xi}=\left\{\eta<\alpha \ \left|\ \eta \in \bigcap_{\xi<\eta} X_{\xi} \right.\right\} \]在不引起混淆的情况下，可简记为 \(\triangle X_{\xi}\)
-
\(X_{\xi}\) 的对角线并定义为
\[ \triangledown_{\xi<\alpha} X_{\xi}=\left\{\eta<\alpha \ \left|\ \eta \in \bigcup_{\xi<\eta} X_{\xi}\right.\right\} \]在不引起混淆的情况下，可简记为 \(\triangledown X_{\xi}\)
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\(F_{CB}(\kappa)\) 关于对角线交封闭：对任意不可数正则基数 \(\kappa\) 及 \(\kappa\) 上的无界闭集的序列 \(\left\langle X_{\gamma} \mid \gamma<\kappa\right\rangle\)，\(\triangle_{\gamma<\kappa} X_{\gamma}\) 是无界闭集
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稳定集：设 \(\alpha\) 为任意极限序数且 \(\operatorname{cf}(\alpha)>\omega\)．若 \(S \subseteq \alpha\) 满足对任意 \(\alpha\) 的无界闭集 \(C\) 都有 \(S \cap C \neq \varnothing\)，则称 \(S\) 是 \(\alpha\) 上的稳定集；称 \(I_{N S}(\alpha)=\{X \subseteq \alpha \mid \exists C \ (C\) 是 \(\alpha\) 的无界闭子集 \(\wedge X \cap C=\varnothing\}\) 为 \(\alpha\) 上的非稳定理想
- 假设 \(\alpha\) 是极限序数，\(\operatorname{cf}(\alpha)>\omega\)
- \(\alpha\) 上的无界闭集都是稳定集，若 \(S\) 是稳定集且 \(S \subseteq T \subseteq \alpha\)，则 \(T\) 是稳定集
- \(\alpha\) 上的稳定集都是无界的
- 存在 \(\alpha\) 上无界子集 \(T\)，但 \(T\) 不是稳定集
- 假设 \(\alpha\) 是极限序数，\(\operatorname{cf}(\alpha)>\omega\)，而 \(\lambda<\operatorname{cf}(\alpha)\) 是正则的，定义 \(E_{\lambda}^{\alpha}=\{\beta<\alpha \mid \operatorname{cf}(\beta)=\lambda\}\)，则 \(E_{\lambda}^{\alpha}\) 是 \(\alpha\) 上的稳定集
- \(I_{N S}(\kappa)\) 关于对角线并封闭：对任意不可数正则基数 \(\kappa\)，如果 \(\left\langle X_{\xi} \mid \xi<\kappa\right\rangle\) 是非稳定集的序列，则 \(\nabla_{\xi<\kappa} X_{\xi}\) 仍是非稳定集
- \(\text{Solovay}\) 定理：对任意不可数的正则基数 \(\kappa\)，\(\kappa\) 上的任一稳定集都是 \(\kappa\) 个互不相交的稳定集的并
- 退缩函数：定义在序数的集合 \(S\) 上的函数 \(f\) 如果满足对任意非 \(0\) 的 \(\alpha \in S\)，都有 \(f(\alpha)<\alpha\)，则称 \(f\) 是退缩的
- \(\text{Fodor}\) 定理：任取不可数正则基数 \(\kappa\)，稳定集 \(S \subseteq \kappa\)．如果 \(f\) 是定义在 \(S\) 上的退缩函数，则存在稳定集 \(T \subseteq S\) 和序数 \(\gamma<\kappa\) 使得对任意 \(\alpha \in T\) 都有 \(f(\alpha)=\gamma\)
- 令 \(S\) 是不可数正则基数 \(\kappa\) 上的稳定集．定义 \(S\) 的子集 \(T=\{\alpha \in S \mid \operatorname{cf}(\alpha)=\omega \vee(\operatorname{cf}(\alpha)>\omega \wedge S \cap \alpha \textsf{ 不是 } \alpha \textsf{ 上的稳定集})\}\)，则 \(T\) 是 \(\kappa\) 上的稳定集
- 令 \(\kappa\) 是不可数正则基数，\(K=\{\gamma<\kappa \mid \gamma\) 是极限序数\(\}\)，\(S \subseteq K\) 是 \(\kappa\) 上的稳定集．如果对任意 \(\alpha \in S\)，\(f_{\alpha}\) 是 \(\alpha\) 中递增的共尾序列且是连续的，则以下二者必有一真
- 存在 \(\eta<\kappa\)，对任意 \(\xi<\kappa\)，\(S_{\xi}=\left\{\alpha \in S \mid \eta \in \operatorname{dom}\left(f_{\alpha}\right) \wedge f_{\alpha}(\eta) \geqslant \xi\right\}\) 是 \(\kappa\) 上的稳定集
- 存在 \(\kappa\) 上的无界闭集 \(C\)，对任意 \(\gamma\) 都有 \(\alpha \in C \cap S, \gamma<\alpha\) 蕴含 \(\gamma=f_{\alpha}(\gamma)\)
- 假设 \(\alpha\) 是极限序数，\(\operatorname{cf}(\alpha)>\omega\)