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5 高阶无穷

5.1 力迫

5.1.1 脱殊扩张

  1. 令 \((\mathbf{P}, \leqslant, \mathbf{1})\) 为偏序集，其中 \(\leqslant\) 为 \(\mathbf{P}\) 上的偏序，且 \(\mathbf{1}\) 为 \(\mathbf{P}\) 的最大元，不引起歧义时可简记为 \(\mathbf{P}\)
    1. 称 \(\mathbf{P}\) 为力迫偏序或力迫，\(\mathbf{P}\) 的元素称为力迫条件．若 \(p \leqslant q\)，则称力迫条件 \(p\) 强于力迫条件 \(q\)
      1. 设 \(p \in \mathbf{P}\)，则 \(\mathbf{P}\) 的子集 \(D\) 是稠密的当且仅当 \(\forall p \in \mathbf{P} \ \exists q \in D \ (q \leqslant p)\)；\(D\) 是 \(p\) 下稠密的当且仅当 \(\forall q \leqslant p \ \exists r \leqslant q \ (r \in D)\)
      2. \(\mathbf{P}\) 的子集 \(G\) 称为 \(\mathbf{P}\) 上的滤当且仅当 ① \(\mathbf{1} \in G\)；② \(\forall p, q \in G \ \exists r \in G \ (r \leqslant p \wedge r \leqslant q)\)，即任意 \(p, q \in G\) 都是相容的；③ \(\forall p, q \in G \ (q \leqslant p \wedge q \in G \rightarrow p \in G)\)
      3. 令 \(M\) 为集合，若 \(G \subseteq \mathbf{P}\) 是滤，且对任意稠密子集 \(D \subseteq \mathbf{P}, D \in M\) 蕴含 \(G \cap D \neq \varnothing\)，则称 \(G\) 是 \(M\) 上的 \(\mathbf{P}-\)脱殊滤
    2. 如果 \(M\) 是 \(\mathbf{ZF} - \mathrm{Pow}\) 的可数传递模型且 \(\mathbf{P} \in M\)，则对任意 \(p \in \mathbf{P}\)，存在 \(M\) 上的 \(\mathbf{P}-\)脱殊滤 \(G\) 且 \(p \in G\)
    3. 设 \(M\) 是 \(\mathbf{ZFC}\) 的传递模型，\(\mathbf{P} \in M\)．若 \(\mathbf{P}\) 是无原子的（即对每一 \(p \in \mathbf{P}\)，存在不相容的 \(r, q \in \mathbf{P}\) 满足 \(r \leqslant p \wedge q \leqslant p\)）且 \(G\) 是 \(M\) 上 \(\mathbf{P}-\)脱殊滤，则 \(G \notin M\)
    4. 设 \(M\) 是 \(\mathbf{ZFC}\) 的传递模型，\(\mathbf{P} \in M, D \subseteq \mathbf{P}\) 且 \(D \in M\)，\(G\) 为 \(M\) 上的 \(\mathbf{P}-\)脱殊滤
      1. 或者 \(G \cap D \neq \varnothing\)，或者存在 \(q \in G\)，对任意 \(r \in D\) 都有 \(r \perp q\)
      2. 若 \(p \in G\) 且 \(D\) 是 \(p\) 下稠密的，则 \(G \cap D \neq \varnothing\)

  2. 对任意力迫 \(\mathbf{P}\)，任意序数 \(\alpha\)，递归定义 \(V_{\alpha}^{\mathbf{P}}\)

    1. \(V_{0}^{\mathbf{P}}=\varnothing\)
    2. \(V_{\alpha+1}^{\mathbf{P}}=\mathcal{P}\left(V_{\alpha}^{\mathbf{P}} \times \mathbf{P}\right)\)
    3. 对任意极限序数 \(\lambda\)，\(V_{\lambda}^{\mathbf{P}}={\displaystyle \bigcup_{\xi<\lambda} V_{\xi}^{\mathbf{P}}}\)

    令 \(\mathbf{V}^{\mathbf{P}}={\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathbf{O}} V_{\alpha}^{\mathbf{P}}}\)，称 \(\mathbf{V}^{\mathbf{P}}\) 的元素为 \(\mathbf{P}\)-名字

    1. 对任意力迫 \(\mathbf{P}\)，对任意集合 \(x\)，递归定义 \(\check{x}=\{(\check{y}, \mathbf{1}) \mid y \in x\}\)
    2. 对任意力迫 \(\mathbf{P}\)，任意 \(\mathbf{P}\) 上的滤 \(G\)，以及任意 \(\mathbf{P}-\)名字 \(\tau\)，递归定义 \(\tau\) 的值 \(\tau_{G}\) 或 \(\operatorname{val}(\tau, G)\) 为 \(\tau_{G}=\left\{\sigma_{G} \mid \exists p(\sigma, p) \in \tau \wedge p \in G\right\}\) 对于任意 \(\beta<\alpha\)，\(\sigma \in V_{\beta}^{\mathbf{P}}, \sigma_{G}\) 已有定义的 \(\tau \in V_{\alpha}^{\mathbf{P}}\) 成立

  3. 脱殊扩张：令 \(M\) 为 \(\mathbf{ZFC}\) 的传递模型，\(\mathbf{P} \in M\)，定义 \(M^{\mathbf{P}}=\mathbf{V}^{\mathbf{P}} \cap M\)．若 \(G \subseteq \mathbf{P}\) 是 \(\mathbf{P}\) 上的滤，则 \(M[G]=\left\{\tau_{G} \mid \tau \in M^{\mathbf{P}}\right\}\)

    1. 设 \(M\) 为 \(\mathbf{ZFC}\) 的传递模型，\(\mathbf{P} \in M\) 为力迫，\(G \subseteq \mathbf{P}\) 是非空的滤
      1. \(M[G]\) 是传递的
      2. \(o(M)=o(M[G])\)
      3. 对任意 \(\mathbf{ZFC}\) 的传递模型 \(N\)，如果 \(M \subseteq N\) 且 \(G \in N\)，则 \(M[G] \subseteq N\)
      4. \(\forall x \in M \ \left(\check{x} \in M^{\mathbf{P}} \wedge \check{x}_{G}=x\right)\)，因此 \(M \subseteq M[G]\)
      5. 若 \(\Gamma=\{(\check{p}, p) \mid p \in \mathbf{P}\}\)，则 \(\Gamma_{G}=G\)，因此 \(G \in M[G]\)
      6. \(\forall \tau \in M^{\mathbf{P}} \ \left(\operatorname{rank}\left(\tau_{G}\right) \leqslant \operatorname{rank}(\tau)\right)\)
    2. 令 \(M\) 为 \(\mathbf{ZFC}\) 的可数传递模型，\(\mathbf{P}\) 为 \(M\) 中的力迫，\(G\) 为 \(M\) 上的 \(\mathbf{P}-\)脱殊滤，则 \(M[G]\) 是 \(\mathbf{ZFC}\) 的模型
      1. 令 \(M\) 为 \(\mathbf{ZFC}\) 的任意可数传递模型，\(\mathbf{P} \in M\) 为偏序集，\(G\) 为 \(\mathbf{P}\) 中 \(M-\)脱殊滤，则存在 \(\mathbf{ZFC}\) 的可数传递模型 \(M[G]\)，有 \(M \subseteq M[G], G \in M[G]\) 且 \(o(M)=o(M[G])\)，同时，\(M[G]\) 是满足以上条件的模型中最小的
      2. \(\operatorname{Con}(\mathbf{ZF}) \rightarrow \operatorname{Con}(\mathbf{ZF}+\mathbf{V}\neq\mathbf{L})\)

  4. 令 \(\varphi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\) 为公式，自由变元在 \(x_{1}, \cdots, x_{n}\) 中．令 \(M\) 为 \(\mathbf{ZFC}\) 的可数传递模型，\(\mathbf{P} \in M\) 为力迫，\(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n} \in M^{\mathbf{P}}\) 且 \(p \in \mathbf{P}\)，则 \(p \Vdash_{\mathbf{P}, M} \varphi\left(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\right)\) 当且仅当 \(\forall G \ ((G\) 是 \(\mathbf{P}\) 中的 \(M-\)脱殊滤 \(\wedge p \in G) \rightarrow \varphi^{M[G]}\left(\tau_{1 G}, \cdots, \tau_{n G}\right))\)；\(p \Vdash \varphi\) 读作 \(p\) 力迫 \(\varphi\)

    1. \(\left(p \Vdash \varphi\left(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\right) \wedge q \leqslant p\right) \rightarrow q \Vdash \varphi\left(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\right)\)
    2. 给定力迫 \(\mathbf{P}\)，令 \(p \in \mathbf{P}\) 为力迫条件，\(\varphi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\) 为公式，\(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\) 为 \(\mathbf{P}-\)名字．定义 \(p \Vdash^{*} \varphi\left(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\right)\) 如下
      1. 若 \(\varphi\) 是 \(x_{1}=x_{2}\)，则 \(p \Vdash^{*} \tau_{1}=\tau_{2}\) 当且仅当
        1. 对任意 \(\left(\pi_{1}, s_{1}\right) \in \tau_{1}\)，\(\left\{q \leqslant p \mid q \leqslant s_{1} \rightarrow \exists\left(\pi_{2}, s_{2}\right) \in \tau_{2}\left(q \leqslant s_{2} \wedge q \Vdash^{*} \pi_{1}=\pi_{2}\right)\right\}\) 是 \(p\) 下稠密的
        2. 对任意 \(\left(\pi_{2}, s_{2}\right) \in \tau_{2}\)，\(\left\{q \leqslant p \mid q \leqslant s_{2} \rightarrow \exists\left(\pi_{1}, s_{1}\right) \in \tau_{1}\left(q \leqslant s_{1} \wedge q \Vdash^{*} \pi_{1}=\pi_{2}\right)\right\}\) 是 \(p\) 下稠密的
      2. 若 \(\varphi\) 是 \(x_{1} \in x_{2}\)，则 \(p \Vdash^{*} \tau_{1} \in \tau_{2}\) 当且仅当 \(\left\{q \mid \exists(\pi, s) \in \tau_{2}\left(q \leqslant s \wedge q \Vdash^{*} \tau_{1}=\pi\right)\right\}\) 是 \(p\) 下稠密的
      3. 若 \(\varphi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\psi_{1}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \wedge \psi_{2}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\)，则 \(p \Vdash^{*} \varphi\left(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\right)\) 当且仅当 \(p \Vdash^{*} \psi_{1}\) 且 \(p \Vdash^{*} \psi_{2}\)
      4. 若 \(\varphi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\neg \psi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\)，则 \(p \Vdash^{*} \varphi\left(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\right)\) 当且仅当 \(\neg \exists q \leqslant p \ (q \Vdash^{*} \psi)\)
      5. 若 \(\varphi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\exists x \ \psi\left(x, x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\)，则 \(p \Vdash^{*} \varphi\left(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\right)\) 当且仅当 \(\left\{r \mid \exists \sigma \in V^{\mathbf{P}}\left(r \Vdash^{*} \psi\right)\right\}\) 是 \(p\) 下稠密的
    3. 设 \(\varphi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\) 为公式，\(M\) 为 \(\mathbf{ZFC}\) 的传递模型，\(\mathbf{P}\) 为 \(M\) 的力迫，\(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n} \in M^{\mathbf{P}}\) 为 \(M\) 中 \(\mathbf{P}-\)名字，令 \(G\) 为 \(M-\)脱殊滤
      1. 若 \(p \in G\) 且 \(\left(p \Vdash^{*} \varphi\left(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\right)\right)^{M}\)，则 \(\left(\varphi\left(\tau_{1 G}, \cdots, \tau_{n G}\right)\right)^{M[G]}\)
      2. 若 \(\left(\varphi\left(\tau_{1 G}, \cdots, \tau_{n G}\right)\right)^{M[G]}\)，则 \(\exists p \in G \ (\left(p \Vdash^{*} \varphi\left(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\right)\right)^{M})\)
    4. 力迫定理：设 \(M\) 为 \(\mathbf{ZFC}\) 的可数传递模型，\(\mathbf{P}\) 为 \(M\) 的力迫．令 \(\varphi\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\) 为公式，\(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n} \in M^{\mathbf{P}}\) 为 \(\mathbf{P}-\)名字
      1. 对任意 \(p \in \mathbf{P}\)，\(p \Vdash \varphi\left(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\right)\) 当且仅当 \(\left(p \Vdash^{*} \varphi\left(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\right)\right)^{M}\)
      2. 对任意 \(M\) 上的 \(\mathbf{P}\) 脱殊滤 \(G\)，\(\varphi\left(\tau_{1 G}, \cdots, \tau_{n G}\right)^{M[G]}\) 当且仅当 \(\exists p \in G\left(p \Vdash \varphi\left(\tau_{1}, \cdots, \tau_{n}\right)\right)\)

5.1.2 相对独立性

  1. 若对任意 \(\mathbf{ZFC}\) 的有穷子集 \(S\)，总存在其另一有穷子集 \(T\)，使得 \(T\) 的任何可数传递模型 \(M\) 都可扩展为 \(S+\sigma\) 的可数传递模型 \(N\)
    1. \(\mathbf{ZFC}+\sigma \vdash \tau_{\mathbf{N}} \to \mathbf{ZFC} \vdash \tau_{\mathbf{N}}\)
    2. \(\mathbf{ZFC}\) 一致蕴含 \(\mathbf{ZFC}+\sigma\) 一致

  2. 对任意基数 \(\lambda\)，令 \(\operatorname{Func}_{\lambda}(I, J)=\{p \mid |p| <\lambda \wedge p\) 是函数 \(\wedge \operatorname{dom}(p) \subseteq I \wedge \operatorname{ran}(p) \subseteq J\}\)，则相应的力迫为 \(\left(\operatorname{Func}_{\lambda}(I, J), \supseteq, \varnothing\right)\)

    1. 给定基数 \(\kappa\)，如果偏序集 \(\mathbf{P}\) 的任意反链的基数都小于 \(\kappa\)，则称 \(\mathbf{P}\) 具有 \(\kappa-\)反链性质，记作 \(\kappa\text{-}c.c.\)
      1. 对任意基数 \(\lambda\)，\(\operatorname{Func}_{\lambda}(I, J)\) 有 \(\left(|J|^{<\lambda}\right)^{+}-\)反链性质
      2. 设 \(\mathbf{P} \in M\)，\((\kappa \textsf{ 是不可数基数 })^{M}\) 且 \((\mathbf{P}\) 有 \(\kappa-\)反链性质\()^{M}\)，\(G\) 为 \(M\) 上的 \(\mathbf{P}-\)脱殊滤．令 \(A, B \in M\)，\(f: A \rightarrow B \in M[G]\)，则存在 \(M\) 中的映射 \(F: A \rightarrow \mathcal{P}(B)\)，\(\forall a \in A \ (f(a) \in F(a))\) 且 \(\forall a \in A \ (|F(a)| \leqslant \kappa)^{M}\)
    2. （广义）\(\Delta-\)系统引理：令 \(\lambda, \kappa\) 是（无穷）正则基数且 \(\kappa>\lambda\)．假设对任意 \(\alpha<\kappa\)，都有 \(\left|\alpha^{<\lambda}\right|<\kappa\)．对任意集合 \(\mathcal{A}\)，如果 \(|\mathcal{A}|=\kappa\)，但对任意 \(A \in \mathcal{A},|A|<\lambda\)，则存在 \(\mathcal{A}_{0} \in[\mathcal{A}]^{\kappa}\)，\(\mathcal{A}_{0}\) 是 \(\Delta-\)系统，即存在集合 \(R\) 使得对任意 \(A, B \in \mathcal{A}_{0}\)，如果 \(A \neq B\)，则 \(A \cap B=R\)．称 \(R\) 为 \(\mathcal{A}_{0}\) 的根
    3. 设 \(\mathbf{P} \in M\) 为力迫，\((\kappa\) 是基数\()^{M}\)
      1. \(\mathbf{P}\) 是保持 \(\geqslant \kappa-\)基数的当且仅当若 \(G\) 是 \(M\) 上的 \(\mathbf{P}-\)脱殊滤且 \(\kappa \leqslant \beta \leqslant o(M)\)，则 \((\beta\) 是基数\()^{M} \leftrightarrow(\beta\) 是基数 \()^{M[G]}\)
      2. \(\mathbf{P}\) 是保持 \(\geqslant \kappa-\)共尾的当且仅当若 \(G\) 是 \(M\) 上的 \(\mathbf{P}-\)脱殊滤而 \(\gamma\)是 \(M\) 中的基数且 \(\operatorname{cf}(\gamma)^{M} \geqslant \kappa\)，则 \(\operatorname{cf}(\gamma)^{M}=\operatorname{cf}(\gamma)^{M[G]}\)

  3. 设 \(\mathbf{P}\) 是力迫，\(\lambda\) 是基数，称 \(\mathbf{P}\) 是 \(\lambda-\)封闭的当且仅当对任意 \(\alpha<\lambda\)，\(\mathbf{P}\) 中长度为 \(\alpha\) 的下降链 \(\left(p_{\xi} \mid \xi<\alpha\right)\) 都有下界，即存在 \(q \in \mathbf{P}\) 使得对任意 \(\xi<\alpha\) 都有 \(q \leqslant p_{\xi}\)

    1. 设 \(\mathbf{P}=\operatorname{Func}_{\lambda}(I, J) \in M\)，\((\lambda \geqslant \aleph_{0}\) 是正则基数\()^{M}\)，\((2^{<\lambda}=\lambda)^{M}\) 且 \((|J| \leqslant \lambda)^{M}\)，则 \(\mathbf{P}\) 保持共尾并且保持基数
      1. 若 \(\lambda\) 是正则的，则 \(\mathrm{Func}_{\lambda}(I, J)\) 是 \(\lambda-\)封闭的
      2. 设 \((\mathbf{P}\) 是 \(\lambda-\)封闭的\()^{M}\)，\(A, E \in M\) 且 \((|A|<\lambda)^{M}\)，则若 \(f: A \rightarrow E\) 是 \(M[G]\) 中的函数，那么 \(f\) 也属于 \(M\)
    2. 设在 \(M\) 中有 \(\mathbf{P}=\mathrm{Func}_{\lambda}(\kappa \times \lambda, 2)\)，其中 \(\kappa, \lambda\) 是基数且 \(\kappa>\lambda \geqslant \aleph_{0}, \lambda\) 是正则的．假设 \(\kappa^{\lambda}=\kappa\)，且 \(2^{<\lambda}=\lambda\)，则 \(\mathbf{P}\) 保持共尾和基数，且在 \(M[G]\) 中有 \(2^{\lambda}=\kappa\)
      1. \(\operatorname{Con}(\mathbf{ZFC}) \rightarrow \operatorname{Con}(\mathbf{ZFC}+\neg \mathbf{CH})\)；特别地，\(\operatorname{Con}(\mathbf{ZFC}) \rightarrow \operatorname{Con}(\mathbf{ZFC}+\neg \mathbf{GCH})\)
      2. \(\operatorname{Con}(\mathbf{ZFC}) \rightarrow \operatorname{Con}\left(\mathbf{ZFC}+2^{\kappa_{0}}=\kappa\right)\) 对任意满足 \(\mathrm{cf}(\kappa)>\aleph_{0}\) 的基数 \(\kappa\) 成立

5.2 大基数理论

  1. 反射原理：令 \(\varphi\) 为公式，对任意 \(\mathbf{M}_{0}\)，都存在类 \(\mathbf{M} \supseteq \mathbf{M}_{0}\) 使得 \(\varphi^{\mathbf{M}} \leftrightarrow \varphi\)，则称 \(\mathbf{M}\) 反射 \(\varphi\)
    1. 存在传递模型 \(\mathbf{M} \supseteq \mathbf{M}_{0}\) 反射 \(\varphi\)；更进一步地，存在一个极限序数 \(\alpha\)，使得 \(\mathbf{M}_{0} \subseteq V_{\alpha}\) 且 \(V_{\alpha}\) 反射 \(\varphi\)
    2. 假设 \(\mathbf{AC}\) 成立，则存在一个 \(\mathbf{M} \supseteq \mathbf{M}_{0}\)，使得 \(\mathbf{M}\) 反射 \(\varphi\) 且 \(|\mathbf{M}| \leqslant\left|\mathbf{M}_{0}\right| \cdot \aleph_{0}\)．特别地，存在一个可数的 \(\mathbf{M}\) 反射 \(\varphi\)
  2. 关键点：设 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{M}\) 是从 \(\mathbf{V}\) 到传递内模型 \(\mathbf{M}\) 的初等嵌入，\(j\) 将 \(\mathbf{V}\) 中的序数映射为 \(\mathbf{M}\) 中的序数，且是严格递增的
    1. 非平凡（非等同函数）的初等嵌入总会改变至少一个序数，称第一个被改变的序数 \(\kappa\) 为初等嵌入 \(j\) 的关键点，记作 \(\operatorname{crit}(j)\)，
      1. \(j(\kappa) > \kappa\)
      2. 对任意 \(a \in V_{\kappa}\) 有 \(j(a) = a\)，因此 \(V_{\kappa}^{M} = v_{\kappa}\)
      3. 对任意 \(X \subseteq V_{\kappa}\) 有 \(j(X) \cap V_{\kappa}^{M} = X\)，因而 \(V_{\kappa+1}^{M} = v_{\kappa+1}\)
    2. \(\text{Kunen}\) 定理：以下定理在 \(\mathbf{ZFC}\) 中成立
      1. 若 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{M}\) 是非平凡初等嵌入，则 \(\mathbf{M} \neq \mathbf{V}\)
      2. 不存在 \(V_{\lambda+2}\) 到 \(V_{\lambda+2}\) 的非平凡初等嵌入
      3. 若 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{M}\) 是初等嵌入且 \(\delta\) 是 \(\operatorname{crit}(j)\) 之上使得 \(j(\delta)=\delta\) 的最小序数，则 \(j[\delta] \notin M\)

  3. 对于任意两个 \(\text{LCA}\)（大基数公理）\(A_{1}, A_{2}\)，下列情况有且仅有一种成立

    1. 除非 \(\mathbf{ZFC}\) 是不一致的，否则 \(\operatorname{Con}\left(\mathrm{ZFC}+A_{1}\right) \leftrightarrow \operatorname{Con}\left(\mathrm{ZFC}+A_{2}\right)\)，则称 \(A_{1}, A_{2}\) 的一致性强度相同
    2. 若 \(\operatorname{Con}\left(\mathbf{ZFC}+A_{1}\right) \rightarrow \operatorname{Con}\left(\mathbf{ZFC}+A_{2}\right)\)，反之不成立，则称 \(A_{1}\) 的一致性强度高于 \(A_{2}\)
    3. 若 \(\operatorname{Con}\left(\mathbf{ZFC}+A_{2}\right) \rightarrow \operatorname{Con}\left(\mathbf{ZFC}+A_{1}\right)\)，反之不成立，则称 \(A_{2}\) 的一致性强度高于 \(A_{1}\)
    \(\text{LCA}\) 一致性强度关系图

5.2.1 不可描述性

  1. 不可达基数：\(\Sigma_1^1-\)不可描述基数
    1. 若 \(\mathbf{GCH}\) 成立，则弱不可达基数等价于强不可达基数
      1. 弱不可达基数：正则的不可数极限基数
      2. 强不可达基数：正则的不可数强极限基数
    2. 设 \(\gamma \in \mathbf{On}\)，所有不可达基数构成的类为 \(X\)，则 \(\gamma-\)不可达基数的类 \(\Lambda^{\gamma}(X)\) 定义为
      1. \(\Lambda^{0}(X) = X\)
      2. \(\Lambda^{\gamma+1}(X)=\Lambda\left(\Lambda^{\gamma}(X)\right)=\left\{\alpha \in \Lambda^{\gamma}(X) \mid |\Lambda^{\gamma}(X) \cap \alpha| =\alpha\right\}\)
      3. 若 \(\gamma\) 为极限序数，则 \(\Lambda^{\gamma}(X) = {\displaystyle \bigcup_{\alpha<\gamma} \Lambda^{\alpha}(X)}\)
    3. \(\text{Mahlo}\) 基数：若不可达基数 \(M\) 中的所有正则基数构成 \(M\) 的稳定集，则称 \(M\) 为弱 \(\text{Mahlo}\) 基数；若不可达基数 \(M\) 中的所有不可达基数构成 \(M\) 的稳定集，则称 \(M\) 为（强）\(\text{Mahlo}\) 基数
      1. 若 \(\kappa\) 是 \(\text{Mahlo}\) 基数，则 \(\kappa\) 是 \(\kappa-\)不可达基数
      2. 设 \(\gamma \in \mathbf{On}\)，所有 \(\text{Mahlo}\) 基数构成的类为 \(X\)，则 \(\gamma-\text{Mahlo}\) 基数的类 \(H^{\gamma}(X)\) 定义为
        1. \(H^{0}(X) = X\)
        2. \(H^{\gamma+1}(X)=H\left(H^{\gamma}(X)\right)=\{\alpha \in H^{\gamma}(X) \mid H^{\gamma}(X) \cap \alpha\) 是 \(\alpha\) 的稳定集\(\}\)
        3. 若 \(\gamma\) 为极限序数，则 \(H^{\gamma}(X) = {\displaystyle \bigcup_{\alpha<\gamma} H^{\alpha}(X)}\)
      3. 定义超 \(\text{Mahlo}\) 基数类 \(H^{\triangle}(X)=\left\{\alpha \mid \forall \beta<\alpha \ (\alpha \in H^{\beta}(X))\right\}\)
  2. 弱紧致基数：\(\Pi_1^1-\)不可描述基数
    1. 不可数基数 \(\kappa\) 是弱紧致基数当且仅当
      1. \(\kappa \rightarrow(\kappa)^{2}\)
      2. 对任意 \(n < \omega\) 与 \(\lambda < \kappa\)，都有 \(\kappa \rightarrow(\kappa)_{\lambda}^{n}\)
      3. \(\kappa\) 是不可达的，且具有树性质，即每个高度为 \(\kappa\) 且层数基数小于 \(\kappa\) 的树都有一个基数为 \(\kappa\) 的分支
      4. \(\kappa\) 是不可达的，且语言 \(\mathscr{L}_{\kappa, \kappa}\)（或 \(\mathscr{L}_{\kappa, \omega}\)）具有弱紧致性
    2. \(\text{Erd}\ddot{\mathrm{o}}\text{s}\) 基数 \(\eta_{\alpha}\)：满足划分性质 \(\kappa \rightarrow(\alpha)^{<\omega}\) 的最小基数 \(\kappa\)
      1. 对于任意的 \(\kappa<\eta_{\alpha}\)，都有 \(\eta_{\alpha} \rightarrow(\alpha)_{\kappa}^{<\omega}\)
      2. 所有的 \(\text{Erd}\ddot{\mathrm{o}}\text{s}\) 基数 \(\eta_{\alpha}\) 都是不可达基数，且若 \(\alpha<\beta\)，则 \(\eta_{\alpha}<\eta_{\beta}\)
      3. \(\eta_{\omega}\) 的存在与 \(\mathbf{V} = \mathbf{L}\) 一致；但 \(\eta_{\omega_1}\) 的存在与 \(\mathbf{V} = \mathbf{L}\) 不一致，此时 \(\mathbf{L}\) 中只有有限个实数
    3. \(\text{Ramsey}\) 基数：满足划分性质 \(\kappa \rightarrow(\kappa)^{<\omega}\) 的基数 \(\kappa\)
      1. 若存在 \(\text{Ramsey}\) 基数，则 \(\mathbf{L}\) 中只有有限个实数
      2. 若存在 \(\text{Ramsey}\) 基数 \(\kappa\)，设 \(\lambda\) 是小于 \(\kappa\) 的无穷级数，则 \(|\mathcal P^{\mathbf{L}}(\lambda)| = \lambda\)
  3. 不可描述基数：设 \(\kappa\) 是基数，若对任意新增到集合论语言的谓词 \(U \subseteq V_{\kappa}\) 与使得 \(\left(V_{\kappa}, \in, U\right) \vDash \sigma\) 成立的 \(\Pi_{n}^{m}\)（或 \(\Sigma_{n}^{m}\)）语句 \(\sigma\)，都存在 \(\alpha<\kappa\)，使得 \(\left(V_{\alpha}, \in, U \cap V_{\alpha}\right) \vDash \sigma\)，则称 \(\kappa\) 是 \(\Pi_{n}^{m}-\)不可描述的（或 \(\Sigma_{n}^{m}-\)不可描述的）
    1. 对于任意的 \(n\)，\(\kappa\) 是 \(\Sigma_{n+1}^{1}-\)不可描述的当且仅当 \(\kappa\) 是 \(\Pi_{n}^{1}-\)不可描述的
    2. 定义 \(\pi_{n}^{m}\) 为最小的 \(\Pi_{n}^{m}-\)不可描述基数，\(\sigma_{n}^{m}\) 为最小的 \(\Sigma_{n}^{m}-\)不可描述基数
      1. \(\pi_{1}^{1}=\sigma_{2}^{1}<\pi_{2}^{1}=\sigma_{3}^{1}<\cdots\)
      2. 对于 \(m>1\) 和 \(n>0\) 有 \(\pi_{n}^{m}<\sigma_{n+1}^{m}, \pi_{n}^{m}<\pi_{n+1}^{m}\) 且 \(\sigma_{n}^{m} \neq \pi_{n}^{m}\)
    3. 若基数 \(\kappa\) 对所有 \(m, n\) 都是 \(\Pi_{n}^{m}-\)不可描述的，则称其为完全不可描述基数
    4. 若基数 \(\kappa\) 不是不可达基数，则对某个 \(n\)，\(\kappa\) 总是 \(\Pi_{n}^{0}-\)可描述的

5.2.2 初等嵌入

  1. 可测基数：设 \(\kappa\) 是基数，若存在 \(\mathbf{V}\) 到传递内模型 \(\mathbf{M}\) 的初等嵌入 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{M}\)，使得 \(\kappa = \operatorname{crit}(j)\)，则称 \(\kappa\) 为可测基数

    1. 不可数基数 \(\kappa\) 是可测的当且仅当 \(\kappa\) 上存在 \(\kappa-\)完全的非主超滤
      1. 若不可数基数在 \(\kappa\) 上存在非平凡的 \(\kappa-\)可加测度 \(\mu\)，则称 \(\kappa\) 是实值可测的
      2. 若对可测基数 \(\kappa\) 存在一个 \(A \subseteq \kappa\)，且 \(\left\{\alpha \in \kappa: A \cap \alpha=A_{\alpha}\right\}\) 是稳定集，则称 \(\kappa\) 为不可表达基数

    2. 正规测度与精细测度：记 \(\mathcal{P}_{\kappa}(\lambda)=\{\sigma \subseteq \lambda \mid |\sigma| <\kappa\}\)，设 \(\kappa<\lambda\) 是正则基数，\(U \subseteq \mathcal{P}\left(\mathcal{P}_{\kappa}(\lambda)\right)\) 是超滤

      1. 若对每个 \(\alpha<\lambda\) 都有 \(\left\{\sigma \in \mathcal{P}_{\kappa}(\lambda) \mid \alpha \in \sigma\right\} \in U\)，则称 \(U\) 是精细的
      2. 若对每个函数 \(f: \mathcal{P}_{\kappa}(\lambda) \rightarrow \lambda\) 有 \(\left\{\sigma \in \mathcal{P}_{\kappa}(\lambda) \mid f(\sigma) \in \sigma\right\} \in U\)，存在 \(\alpha<\lambda\) 有 \(\left\{\sigma \in \mathcal{P}_{\kappa}(\lambda) \mid f(\sigma)=\alpha\right\} \in U\)，则称 \(U\) 是正规的

      则基数 \(\kappa\) 是可测的当且仅当在不可数基数 \(\kappa\) 上存在一个正规测度

    3. 设一元谓词 \(Q \in S\)，考察可数语言 \(\mathscr{L}(S)\) 的结构 \(\mathfrak{A}\)．若 \(|A|=\kappa\) 且 \(\left|Q^{\mathfrak{A}}\right|=\lambda\)，则称 \(\mathfrak{A}\) 具有类型 \((\kappa, \lambda)\)．若每个类型为 \((\kappa, \lambda)\) 的结构都有一个类型为 \((\mu, \nu)\) 的初等子结构，则记为 \((\kappa, \lambda) \rightarrow(\mu, \nu)\)

      1. 设 \(\kappa>\aleph_{1}\) 是一个基数，若对任意不可数基数 \(\lambda<\kappa\) 都有 \((\kappa, \lambda) \rightarrow \left(\kappa, \aleph_{0}\right)\)，则称 \(\kappa\) 为 \(\text{Rowbottom}\) 基数
      2. 设 \(\kappa\) 是一个无穷基数，若每个大小为 \(\kappa\) 的模型都有一个大小为 \(\kappa\) 的初等子结构，则称 \(\kappa\) 为 \(\text{J}\acute{\mathrm{o}}\text{nsson}\) 基数
    4. 强紧致基数：若对任何集合 \(S\)，每个 \(S\) 上的 \(\kappa-\)完全滤都可扩展为 \(S\) 上的 \(\kappa-\)完全超滤，则称不可数基数 \(\kappa\) 是强紧致基数
      1. 对于任何正则基数 \(\kappa\)，\(\kappa\) 是强紧致基数当且仅当
        1. 对于任何 \(A\) 使得 \(|A| \geqslant \kappa\)，存在一个 \(\mathcal P_{\kappa}(A)\) 上的精细测度
        2. 语言 \(\mathscr{L}_{\kappa, \omega}\) 具有紧致性
      2. 若存在一个强紧致基数，则就存在具有两个可测基数的内模型
    5. 强基数与超强基数：设初等嵌入 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{M}\)，\(\kappa = \operatorname{crit}(j)\) 是可测基数
      1. 若 \(V_{\lambda} \subseteq \mathbf{M}\)，则称 \(\kappa\) 为 \(\lambda-\)强基数；若对任意基数 \(\lambda\)，\(\kappa\) 为 \(\lambda-\)强基数，则称 \(\kappa\) 为强基数
      2. 若 \(V_{j(\kappa)} \subseteq \mathbf{M}\)，则称 \(\kappa\) 为超强基数
        1. 设 \(\kappa\) 为超强基数，则存在 \(M\) 的一个脱殊扩张 \(M[G]\) 使得存在一个初等嵌入 \(j: \mathbf L(\mathbf{R}) \to \mathbf L(\mathbf{R})^{M[G]}\)
        2. 若存在超强基数，则 \(\mathbf{L}(\mathbf{R})\) 中的每个实数集都具有正则性质．特别地，\(\mathbf{R}\) 不存在投影良序
    6. 如果存在可测基数（即存在非平凡的初等嵌入 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{M}\)），则
      1. \(\text{Scott}\) 定理：\(\mathbf{V} \neq \mathbf{L}\) 且 \(\mathbf{L}\) 中只有有限多个实数
      2. \(\text{Martin}\) 定理：所有的 \(\mathbf{\Pi}_{1}^{1}\) 集都是被决定的；所有的 \(\mathbf{\Sigma}_{2}^{1}\) 集都具有正则性质

  2. \(\text{Woodin}\) 基数：若对于所有 \(A \subseteq V_{\delta}\)，都有任意大的 \(\kappa<\delta\)，使得对于所有 \(\lambda<\delta\)，都存在一个初等嵌入 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{M}\) 且 \(\operatorname{crit}(j) = \kappa\)，使得 \(j(\kappa)>\lambda\)，\(V_{\lambda} \subseteq M\)，且 \(A \cap V_{\lambda}=j(A) \cap V_{\lambda}\)，则称基数 \(\delta\) 为 \(\text{Woodin}\) 基数

    1. 假设存在 \(n\) 个 \(\text{Woodin}\) 基数，且在其上有一个可测基数
      1. 所有的 \(\mathbf{\Pi}_{n+1}^{1}\) 都是被决定的
      2. 所有的 \(\mathbf{\Sigma}_{n+2}^{1}\) 集合都满足完备集性质，可测性和 \(\text{Baire}\) 性质
    2. 假设存在无穷多个 \(\text{Woodin}\) 基数，那么
      1. \(\mathrm{PD}\) 成立
      2. 若 \(\text{Woodin}\) 基数之上有一个可测基数，则 \(\mathrm{AD}\) 在 \(\mathbf{L}(\mathbf{R})\)上成立
      3. 有穷个 \(\text{Woodin}\) 基数不具有上述性质：\(\operatorname{Con}(\mathbf{ZF} + \mathrm{AD}) \leftrightarrow \operatorname{Con}(\mathbf{ZF}\;+\) 存在无穷多个 \(\text{Woodin}\) 基数\()\)
  3. 超紧致基数：设初等嵌入 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{M}\)，\(\kappa = \operatorname{crit}(j)\) 是可测基数．若 \(\kappa, j(\kappa)>\lambda\) 且 \(\mathbf{M}^{\lambda} \subseteq \mathbf{M}\)，则称 \(\kappa\) 为 \(\lambda-\)超紧致基数；若对任意基数 \(\lambda\)，\(\kappa\) 为 \(\lambda-\)超紧致基数，则称 \(\kappa\) 为超紧致基数
    1. \(\kappa\) 是超紧致基数的当且仅当
      1. 语言 \(\mathscr L_{\kappa \kappa}^{1}\) 具有紧致性
      2. 对于每个 \(A\) 使得 \(|A| \geqslant \kappa\)，在 \(\mathcal{P}_{\kappa}(A)\) 上存在正规测度
      3. 对于每个 \(\eta>\kappa\) 都存在一个 \(\alpha<\kappa\) 和初等嵌入 \(e: V_{\alpha} \to V_{\eta}\)，并存在一个关键点 \(\delta\)，使得 \(e(\delta)=\kappa\)
    2. 设 \(\kappa\) 是超紧致基数，那么
      1. 若对于每个 \(\alpha<\kappa\) 有 \(2^{\alpha}=\alpha^{+}\)，则对每个 \(\alpha \leqslant \lambda\) 都有 \(2^{\alpha}=\alpha^{+}\)
      2. \(V_{\kappa} \prec_{\Sigma_{2}} \mathbf{V}\)
      3. \(\left(2^{\kappa}\right)^{+} \geqslant \kappa^{++}\)
      4. \(\kappa\) 上有 \(2^{2^{\kappa}}\) 个正规测度
      5. 对每个 \(\lambda \geqslant \kappa\)，\(\mathcal P_{\kappa}(\lambda)\) 上有 \(2^{2^{\lambda^{<\kappa}}}\) 个正规测度
    3. 若存在一个可测基数，且是强紧致基数的极限，那么符合条件的最小基数是强紧致的但不是超紧致的
    4. 若存在超紧致基数，则 \(\mathbf{SCH}\) 独立于 \(\mathbf{ZFC}\)
      1. \(\text{Solovay}\) 定理：假设 \(\delta\) 是超紧致基数且 \(\gamma > \delta\) 是一个奇异强极限基数，则 \(2^{\gamma} = \gamma^{+}\)
      2. 假设 \(\delta\) 是超紧致基数，则存在一个 \(V\) 的脱殊扩张 \(V[G]\) 使得对某个超紧致基数 \(\delta\) 有 \(2^{\delta} > \delta^{+}\)
  4. 可扩展基数：设 \(\kappa\) 是基数，若对于某些序数 \(\lambda\)，存在非平凡初等嵌入 \(j: V_{\kappa+\eta} \to V_{\lambda}\)，使得 \(\operatorname{crit}(j) = \kappa\)，则称 \(\kappa\) 为 \(\eta-\)可扩展基数；若 \(\kappa\) 对任意 \(\eta > 0\) 都是 \(\eta-\)可扩展基数，则称 \(\kappa\) 为可扩展基数
    1. 基数 \(\kappa > \omega\) 是可扩展基数当且仅当
      1. 语言 \(\mathscr L_{\kappa \omega}^{2}\) 具有紧致性
      2. 对任意 \(1 \leqslant n < \omega\)，语言 \(\mathscr L_{\kappa \kappa}^{n}\) 具有紧致性
    2. 设 \(\kappa\) 是可扩展基数，那么
      1. \(V_{\kappa} \prec_{\Sigma_{3}} \mathbf{V}\)
      2. 在 \(\kappa\) 上存在一个正规测度 \(D\)，使得 \(\{\alpha<\kappa \mid \alpha\) 是超紧致基数\(\} \in D\)
  5. \(\text{Vop}\check{\mathrm{e}}\text{nka}\) 原理：设 \(\mathbf{C}\) 是语言的真类模型，则存在两个 \(\mathbf{C}\) 类成员 \(A, B\)，使得存在 \(A\) 到 \(B\) 的初等嵌入
    1. 称 \(X\) 在 \(\kappa\) 中是 \(\text{Vop}\check{\mathrm{e}}\text{nka}\) 的当且仅当对任意序列 \(\left\langle M_{\alpha} \mid \alpha<\kappa\right\rangle\)，都存在一个初等嵌入 \(j: M_{\alpha} \to M_{\beta}\)，其中存在 \(\kappa > \beta > \alpha\) 具有低于 \(X\) 的临界点
    2. 称 \(\kappa\) 是 \(\text{Vop}\check{\mathrm{e}}\text{nka}\) 的当且仅当 \(\kappa\) 在 \(\kappa\) 中是 \(\text{Vop}\check{\mathrm{e}}\text{nka}\) 的，此时与以下命题等价
      1. 对任意 \(A \subseteq V_{\kappa}\) 与 \(\eta<\kappa\)，都存在一个 \(\alpha<\kappa\) 在 \(A\) 中是 \(\eta\) 可扩展的
      2. 对任意 \(A \subseteq V_{\kappa}\) 与 \(\eta<\kappa\)，都存在一个 \(\alpha<\kappa\) 在 \(A\) 中是 \(\eta\) 超紧的

  6. 巨基数：设初等嵌入 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{M}\)，\(\kappa = \operatorname{crit}(j)\) 是可测基数．若 \(\mathbf{M}^{j(\kappa)} \subseteq \mathbf{M}\)，则称 \(\kappa\) 为巨基数

    1. 巨基数的扩展：设 \(n \in \mathbf{N}\)

      1. 若对任意 \(\lambda < j^{n}(\kappa)\) 都有 \(\mathbf{M}^{\lambda} \subseteq \mathbf{M}\)，则称 \(\kappa\) 为殆 \(n-\)巨基数
      2. 若对任意序数 \(\gamma\) 都存在初等嵌入 \(j\) 使得 \(\gamma < \operatorname{crit}(j)\) 且对任意 \(\lambda < j^{n}(\kappa)\) 都有 \(\mathbf{M}^{\lambda} \subseteq \mathbf{M}\)，则称 \(\kappa\) 为殆 \(n-\)超巨基数
      3. 若 \(\mathbf{M}^{j^{n}(\kappa)} \subseteq \mathbf{M}\)，则称 \(\kappa\) 为 \(n-\)巨基数
      4. 若对任意序数 \(\gamma\) 都存在初等嵌入 \(j\) 使得 \(\gamma < \operatorname{crit}(j)\) 且 \(\mathbf{M}^{j^{n}(\kappa)} \subseteq \mathbf{M}\)，则称 \(\kappa\) 为 \(n-\)超巨基数

      则巨基数即 \(1-\)巨基数

    2. 设初等嵌入 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{M}\)

      1. 若 \(j\) 见证了 \(\kappa\) 的 \(n-\)巨基数，则 \(j^{n}(\kappa)\) 在 \(M\) 中是可测的
      2. 若 \(j\) 见证了 \(\kappa\) 的殆巨基数，则 \(j(\kappa)\) 在 \(V\) 中不可达

  7. \(\text{Rank into Rank}\) 公理

    1. \(\mathrm{I}3: V_{\lambda}\) 存在一个非平凡的初等嵌入到自身
    2. \(\mathrm{I}2:\) 存在一个初等嵌入 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{M}\)，使得对于某个 \(\delta>\operatorname{crit}(j), V_{\delta} \subseteq M\)，有 \(j(\delta)=\delta\)
    3. \(\mathrm{I}1: V_{\lambda+1}\) 存在一个非平凡的初等嵌入到自身
    4. \(\mathrm{I}0: \mathbf L\left(V_{\lambda+1}\right)\) 存在一个非平凡的初等嵌入到自身，其关键点低于 \(\lambda\)

    \(\text{Rank into Rank}\) 与 \(\mathbf{ZFC}\) 的不一致性尚未被证明

    1. 对任意 \(\kappa\) 和 \(\delta\)，以下命题相互等价
      1. 存在初等嵌入 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{M}\)，其中 \(\operatorname{crit}(j)=\kappa<\delta=j(\delta)\) 且 \(V_{\delta} \subseteq M\)
      2. 存在初等嵌入 \(j: V_{\delta} \to V_{\delta}\)，其中 \(\operatorname{crit}(j)=\kappa\) 使得当 \(R\) 是 \(V_{\delta}\) 上良基关系时，\({\displaystyle j^{+}(R) = \bigcup_{\alpha < \delta} j(R \cap V_{\alpha})}\) 也是良基关系
    2. 设 \(\mathrm{I} n(\kappa, \delta)\) 为存在一个满足公理 \(\mathrm{I} n\) 的初等嵌入 \(j\) 且 \(\operatorname{crit}(j)=\kappa\)，其中 \(n \in \{1, 2, 3\}\)
      1. 若 \(\mathrm{I} 1(\kappa, \delta)\)，则 \(\mathrm{I} 2(\kappa, \delta)\) 且存在 \(\kappa\) 上的正规超滤 \(U\) 使得 \(\{\alpha<\kappa \mid \mathrm{I} 2(\alpha, \delta)\} \in U\)
      2. 若 \(\mathrm{I} 2(\kappa, \delta)\)，则 \(\mathrm{I} 3(\kappa, \delta)\) 且存在 \(\kappa\) 上的正规超滤 \(U\) 使得 \(\{\alpha<\kappa \mid \mathrm{I} 3(\alpha, \delta)\} \in U\)
    3. 设初等嵌入 \(j: V_{\delta} \to V_{\delta}\) 与 \(k: V_{\delta} \to V_{\delta}\)，则初等嵌入 \(j^{+}(k): V_{\delta} \to V_{\delta}\) 且 \(\operatorname{crit}\left(j^{+}(k)\right)=j(\operatorname{crit}(k))\)
    4. 假设 \(\mathrm{I}2\) 成立，则所有 \(\mathbf{\Pi}_{2}^{1}\) 集合都是被决定的；假设 \(\mathrm{I}0\) 成立，则 \(\mathrm{AD}^{\mathbf{L}(\mathbf{R})}\)

  8. \(\text{Reinhardt}\) 基数和 \(\text{Berkeley}\) 基数与 \(\mathbf{AC}\) 不相容，它们与 \(\mathbf{ZF}\) 的不一致性尚未被证明

    1. \(\text{Reinhardt}\) 基数：非平凡初等嵌入 \(j: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{V}\) 的关键点
    2. \(\text{Berkeley}\) 基数：使得对每个包含 \(\kappa\) 与 \(\alpha<\kappa\) 的传递集 \(M\)，存在非平凡初等嵌入 \(j: M \rightarrow M\) 且 \(\alpha<\operatorname{crit}(j)<\kappa\) 的基数 \(\kappa\)

5.3 内模型计划

  • 若 \(\mathbf{ZF}\) 的传递模型 \(\mathbf{M}\) 包含所有序数，则称 \(\mathbf{M}\) 是内模型

5.3.1 扩展内模型

  1. 对给定集合 \(A\) 定义可构成闭包 \(\mathbf{L}(A)\)，即使得 \(A \in \mathbf{M}\) 的最小内模型 \(\mathbf{M}\)

    1. \(\mathbf{L}_{0}(A)=\operatorname{trcl}(\{A\})\)
    2. \(\mathbf{L}_{\alpha+1}(A)=\operatorname{Def}\left(\mathbf{L}_{\alpha}(A)\right)\)
    3. 对任意极限序数 \(\alpha\)，\(\mathbf{L}_{\alpha}(A)={\displaystyle \bigcup_{\gamma<\alpha} \mathbf{L}_{\gamma}(A)}\)

    定义 \(\mathbf{L}(A)={\displaystyle \bigcup_{\alpha} \mathbf{L}_{\alpha}(A)}\)

    1. 称包含所有实数的最小内模型 \(\mathbf{L}(\mathbf{R})\) 为可构成层谱
    2. 除非 \(\operatorname{trcl}(\{A\})\) 在 \(\mathbf{L}(A)\) 上是良序的，否则 \(\mathbf{L}(A)\) 不满足 \(\mathbf{AC}\)

  2. 对给定集合 \(A\) 定义 \(\mathbf{L}[A]\)，即使得对于任意 \(x \in \mathbf{M}\)，都有 \(A \cap x \in \mathbf{M}\) 的最小内模型 \(\mathbf{M}\)

    1. \(\mathbf{L}_{0}[A]=\varnothing\)
    2. \(\mathbf{L}_{\alpha+1}[A]=\operatorname{Def}_{A}\left(\mathbf{L}_{\alpha}[A]\right)\)
    3. 对任意极限序数 \(\alpha\)，\(\mathbf{L}_{\alpha}[A]={\displaystyle \bigcup_{\beta<\alpha} \mathbf{L}_{\beta}[A]}\)

    定义 \(\mathbf{L}[A]={\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathbf{On}} \mathbf{L}_{\alpha}[A]}\) 为关于 \(A\) 的可构成宇宙

    1. \(\mathbf{L}(A)\) 与 \(\mathbf{L}[A]\) 的关系
      1. 若 \(\mathbf{M}\) 是具有 \(A \in \mathbf{M}\) 的内模型，则 \(\mathbf{L}(A)^{\mathbf{M}}=\mathbf{L}(A)\)
      2. 若 \(\mathbf{M}\) 是具有 \(A \cap \mathbf{M} \in \mathbf{M}\) 的内模型，则 \(\mathbf{L}[A \cap \mathbf{M}]^{\mathbf{M}}=\mathbf{L}[A]\)
      3. 若 \(A \cap \mathbf{L}[A]=B \cap \mathbf{L}[A]\)，则 \(\mathbf{L}[A]=\mathbf{L}[B]\)
      4. \(\mathbf{L}[A]=\mathbf{L}[A \cap \mathbf{L}[A]]=\mathbf{L}(A \cap \mathbf{L}[A])\)
      5. 若 \(A \subseteq \mathbf{L}\)，则 \(\mathbf{L}[A]=\mathbf{L}(A)\)
    2. 可构成宇宙 \(\mathbf{L}[A]\) 的性质：设 \(A\) 是任意集合
      1. \(\mathbf{L}[A]\) 是 \(\mathbf{ZFC}\) 的模型
      2. \(\mathbf{L}[A]\) 满足公理 \(\exists X \ (\mathbf{V}=\mathbf{L}[X])\)
      3. 如果 \(\mathbf{M}\) 是 \(\mathbf{ZF}\) 的内模型，且 \(A \cap \mathbf{M} \in \mathbf{M}\)，则 \(\mathbf{L}[A] \subseteq \mathbf{M}\)
      4. 存在序数 \(\alpha_{0}\)，使得对于任意 \(\alpha \geqslant \alpha_{0}\) 有 \(\mathbf{L}[A] \vDash 2^{\aleph_{\alpha}}=\aleph_{\alpha+1}\)
      5. 所有 \(\mathbf{\Pi}_{1}^{1}\)（或 \(\mathbf{\Sigma}_{2}^{1}\)）集都有完备集性质当且仅当对任意实数 \(x\)，\(\aleph_{1}^{\mathbf V}\) 在 \(\mathbf{L}[x]\) 上是强不可达基数
    3. 定义 \(x^{\sharp}\) 是使得 \(\Sigma = \Sigma((\mathfrak{A}, x), I)\) 的良基显著集合，其中 \(\mathfrak{A}\) 与 \(\mathbf{L}_{\lambda}[x]\) 初等等价，\(\lambda\) 是某个极限基数
      1. 在 \(\mathscr{L}(S)\) 中加入一元谓词 \(P\)，使得 \(x\) 可通过 \(P(v)\) 定义．通常将 \((\mathfrak{A}, x)\) 记作 \((\mathbf{L}_{\lambda}[x], \in, x)\)
        1. \(x^{\sharp}=\left\{\varphi \mid \mathbf{L}_{\aleph_{\omega}}[x] \vDash \varphi\left[\aleph_{1}, \ldots, \aleph_{n}\right]\right\}\)
        2. \(x^{\sharp}\) 存在当且仅当存在 \(j: \mathbf{L}[x] \rightarrow \mathbf{L}[x]\) 的非平凡初等嵌入
      2. 若存在基数 \(\kappa\) 满足划分性质 \(\kappa \to \left(\omega_{1}\right)^{<\omega}\)，则对于任意的 \(x \subseteq \omega\)，\(x^{\sharp}\) 都存在
      3. 所有分析集都是被决定的当且仅当对于任意 \(a \in \omega^{\omega}\) 都有 \(a^{\sharp}\) 存在

  3. 设 \(\kappa\) 是可测基数，\(U\) 是 \(\kappa\) 上的 \(\kappa-\)完全非主超滤，\(D\) 是 \(\kappa\) 上的正规测度，则 \(\mathbf{L}(U) = \mathbf{L}(D)\)

    1. 设 \(\overline U = U \cap \mathbf{L}(U)\)，那么
      1. \(\overline U\) 是 \(\kappa\) 上的 \(\kappa-\)完全非主超滤
      2. \(\mathbf{L}(U) = \mathbf{L}(\overline U)\)
    2. 假设 \(\mathbf{V} = \mathbf{L}[D]\) 成立
      1. \(\mathbf{L}[D] \vDash \mathbf{GCH}\) 且有一个 \(\mathbf{\Sigma}_{3}^{1}-\)可定义的良序
      2. \(\kappa\) 是唯一可测基数，\(D\) 是 \(\kappa\) 上的唯一正规测度
      3. 存在一个不满足完全集性质的 \(\mathbf{\Pi}_{2}^{1}\) 集与不可测且没有 \(\text{Baire}\) 性质的 \(\mathbf{\Sigma}_{3}^{1}\) 集

    3. 定义 \(0^{\dagger}\) 是良基的显著 \(\text{E.M.}^{2}\) 集

      1. 使得 \(\Sigma = \Sigma((\mathfrak{A}, U), I, J)\) 的良基显著集合，其中 \(\mathfrak{A}\) 与 \(\mathbf{L}_{\zeta}[U]\) 初等等价，\(\zeta\) 是某个极限基数

      2. \(\Sigma\) 是 \(\text{E.M.}^{2}\) 集当且仅当存在

        1. 极限序数 \(\zeta\)，使得模型 \(\mathfrak{A}\) 与 \(\mathbf{L}_{\zeta}[U]\) 初等等价
        2. 无穷不可辨元序列组成的序数集 \(I, J\)

        使得任意 \(\varphi \in \Sigma\) 当且仅当 \(\mathfrak{A} \vDash \varphi(x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_n)\) 对任意 \(x_1, \cdots, x_n \in I\)，\(x_1 < \cdots < x_n < \kappa\) 且 \(y_1, \cdots, y_n \in J\)，\(\kappa < y_1 < \cdots < y_n\) 成立，记作 \(\Sigma = \Sigma((\mathfrak{A}, U), I, J)\)，并通常将 \((\mathfrak{A}, U)\) 记作 \((\mathbf{L}_{\zeta}[U], \in, U)\)

      3. \(0^{\dagger}\) 存在当且仅当

        1. 存在一个非平凡的初等嵌入 \(j: \mathbf{L}[U] \rightarrow \mathbf{L}[U]\)，其中 \(U\) 是一个见证某个基数 \(\kappa\) 可测的超滤
        2. 对某个 \(\kappa\)，存在一个 \(\kappa\) 模型 \(\mathbf{M}\) 及初等嵌入 \(j: \mathbf{M} \to \mathbf{M}\) 有 \(\operatorname{crit}(j) > \kappa\)

    4. 若存在强紧致基数，则不存在集合 \(A\) 使得 \(\mathbf{V}=\mathbf{L}[A]\) 或 \(\mathbf{V}=\mathbf{L}(A)\)

  4. 设 \(\kappa\) 为可测基数且 \(O(\kappa) = 2\)，定义 \(\kappa\) 的典范内模型 \(\mathbf{L}[\mathbf{U}] = \mathbf{L}\left<U_{\alpha}, U^{0}, U^{1}\right>_{\alpha \in A}\)，其中

    1. \(U^0, U^1\) 分别是 \(\kappa\) 上的 \(0, 1\) 阶正规测度
    2. \(A \in U^1\)，\(U_{\alpha}\) 是 \(\alpha\) 上的 \(0\) 阶正规测度且 \(\left<U_\alpha \mid \alpha \in A\right>\) 表示 \(U^1\) 超幂上的 \(U^0\)

    若 \(O(\kappa) > 2\) 时，令 \(A \subseteq \kappa\) 是所有小于 \(\kappa\) 的可测基数集

    1. 设 \(\kappa\) 为可测基数，若 \(U_1, U_2\) 是 \(\kappa\) 上的正规测度，则定义 \(\text{Mitchell}\) 序为 \(U_1 < U_2\) 当且仅当 \(U_1 \in \operatorname{Ult}_{U_2}(\mathbf{V})\)
      1. \(\text{Mitchell}\) 序具有良基性
      2. 称与由正规测度 \(U\) 给定的真前段同构的序数为 \(U\) 的 \(\text{Mitchell}\) 秩，记作 \(O(U)\)
      3. 称 \(\kappa\) 上所有正规测度秩的上确界为 \(\kappa\) 的 \(\text{Mitchell}\) 秩，记作 \(O(\kappa)\)
    2. 在 \(\mathbf{L}[\mathbf{U}]\) 中，仅有 \(\kappa\) 与 \(\alpha \in A\) 是可测基数，仅有 \(U_{\alpha}, U^0, U^1\) 是正规测度
    3. 设 \(\mathbf{L}[\mathbf{U}] = \mathbf{L}\left<U_{\alpha}, U^{0}, U^{1}\right>_{\alpha \in A}\) 且 \(\mathbf{L}[\mathbf{W}] = \mathbf{L}\left<W_{\alpha}, W^{0}, W^{1}\right>_{\alpha \in A}\)
      1. \(\mathbf{L}[\mathbf{U}] = \mathbf{L}[\mathbf{W}]\)
      2. 对任意 \(\alpha \in A\) 有 \(U_{\alpha} \cap \mathbf{L}[\mathbf{U}] = W_{\alpha} \cap \mathbf{L}[\mathbf{W}]\)
      3. 对任意 \(\varepsilon \in \{0, 1\}\) 有 \(U^{\varepsilon} \cap \mathbf{L}[\mathbf{U}] = W^{\varepsilon} \cap \mathbf{L}[\mathbf{W}]\)

5.3.2 终极 L

  1. 设 \(\mathbf{N}\) 是一个内模型，\(\delta\) 是 \(\mathbf{V}\) 的不可数正则基数

    1. 称 \(\mathbf{N}\) 具有 \(\delta-\)近似性质当且仅当对于任意 \(\sigma \subseteq \mathbf{N}\)，若 \(|\sigma| < \delta\)，则存在 \(\tau \subseteq \mathbf{N}\) 使得 ① \(\sigma \subseteq \tau\)；② \(\tau \in \mathbf{N}\)；③ \(|\tau| \in \delta\)
    2. 称 \(\mathbf{N}\) 具有 \(\delta-\)覆盖性质当且仅当对任意 \(X \subseteq \mathbf{N}\)，\(X \in \mathbf{N}\) 当且仅当对任意 \(\sigma \in \mathbf{N}\)，若 \(|\sigma| < \delta\)，则 \(\sigma \cap X \in \mathbf{N}\)
    3. 称 \(\mathbf{N}\) 具有 \(\delta-\)脱殊性质当且仅当对任意 \(\sigma \subseteq \delta\)，若 \(|\sigma| < \delta\)，则 \(\sigma\) 对某个使得 \(|\mathbf{P}| < \delta\) 的偏序 \(\mathbf{P} \in \mathbf{N}\) 是 \(\mathbf{N}-\)脱殊滤

    \(\text{Hamkins}\) 定理

    假设 \(\mathbf{N}, \mathbf{N}_1, \mathbf{N}_2\) 都有 \(\delta-\)近似性质与 \(\delta-\)覆盖性质

    1. 唯一性定理：若 \(\mathbf{N}_1 \cap H_{\delta^{+}} = \mathbf{N}_2 \cap H_{\delta^{+}}\)，则 \(\mathbf{N}_1 = \mathbf{N}_2\)
    2. 对任意强极限基数 \(\gamma > \delta^{+}\)，\(\mathbf{N} \cap H_{\gamma}\) 在 \(H_{\gamma}\) 中是 \(\mathbf{N} \cap H_{\delta^{+}}-\)可定义的
    3. 若 \(\mathbf{N}\) 是内模型且 \(\gamma > \delta\) 是一个奇异基数，则 \(\gamma\) 在 \(\mathbf{N}\) 也是奇异基数且 \(\gamma^{+} = (\gamma^{+})^{\mathbf{N}}\)

  2. 弱扩展模型：设 \(\mathbf{N} \vDash \mathbf{ZFC}\) 是一个传递类，\(\delta\) 是超紧致基数．若对每个 \(\gamma>\delta\)，在 \(\mathcal{P}_{\delta}(\gamma)\) 上都存在 \(\delta-\)完全正规精细测度 \(U\) 使得 \(\mathbf{N} \cap \mathcal{P}_{\delta}(\gamma) \in U\) 且 \(U \cap \mathbf{N} \in \mathbf{N}\)，则称 \(\mathbf{N}\) 是 \(\delta\) 的弱扩展模型

    1. 普遍性定理：设 \(\mathbf{N}\) 是超紧致基数 \(\delta\) 的弱扩展模型，\(U\) 是某个 \(\lambda > \delta\) 上的 \(\delta-\)完全超滤，则 \(U \cap \mathbf{N} \in \mathbf{N}\)
    2. 设 \(\mathbf{N}\) 是超紧致基数 \(\delta\) 的弱扩展模型，那么
      1. \(\mathbf{N}\) 有 \(\delta-\)近似性质与 \(\delta-\)覆盖性质
      2. \(\mathbf{N}\) 由 \(\mathbf{N} \cap H_{\delta^{+}}\) 唯一确定
      3. \(\mathbf{N}\) 是 \(\mathbf{N} \cap H_{\delta^{+}}-\)可定义的且是 \(\Sigma_2-\)可定义的
    3. 假设存在可扩展基数，\(\mathbf{N}\) 是一个内模型，则 \(\mathbf{N}\) 有 \(\delta-\)近似性质与 \(\delta-\)覆盖性质当且仅当 \(\mathbf{N}\) 是某个超紧致基数 \(\delta\) 的弱扩展模型

  3. 遗传序数可定义类：设序数 \(\alpha\) 与 \(M \subseteq V_{\alpha}\) 有

    1. \(X \in M\) 且 \(M\) 是传递集
    2. 任意 \(M\) 的元素在 \(V_{\alpha}\) 中是 \(\mathbf{On}-\)可定义的

    记所有满足上述条件的集合 \(X\) 组成的类为 \(\mathbf{HOD}\)

    1. \(\mathbf{HOD}\) 的基础性质
      1. \(\mathbf{L} \subseteq \mathbf{HOD}\)
      2. 在 \(\mathbf{ZF}\) 中可证 \(\mathbf{HOD} \vDash \mathbf{AC}\)
      3. 任意 \(M\) 的元素在 \(\mathbf{V}\) 中是 \(\mathbf{On}-\)可定义的
      4. 对任意强不可达基数 \(\delta\)，\(\mathbf{HOD}\) 有 \(\delta-\)脱殊性质

    2. 设 \(\lambda\) 是不可数正则基数，\(S = \{\alpha < \lambda \mid \operatorname{cf} (\alpha) = \omega\}\)，若存在 \(\kappa < \lambda\) 使得

      1. \((2^{\kappa})^{\mathbf{HOD}} < \lambda\)
      2. 不存在 \(S\) 的一个划分 \(\{S_{\alpha} \mid \alpha < \kappa\}\) 是稳定集且 \(S_{\alpha} \in \mathbf{HOD}\) 对任意 \(\alpha < \lambda\) 成立

      则称 \(\lambda\) 在 \(\mathbf{HOD}\) 中是 \(\omega-\)强可测的

      1. 若 \(\lambda\) 在 \(\mathbf{HOD}\) 中是 \(\omega-\)强可测的，则 \(\mathbf{HOD} \vDash \lambda\) 是可测基数
      2. 设 \(\delta\) 是超紧致基数，正则基数 \(\kappa > \delta\) 且在 \(\mathbf{HOD}\) 中是 \(\omega-\)强可测的，则任意正则基数 \(\lambda > 2^{\kappa}\) 在 \(\mathbf{HOD}\) 中是 \(\omega-\)强可测的

    3. \(\mathbf{HOD}\) 二歧性定理：假设 \(\delta\) 是可扩展基数，则下列定理之一成立

      1. 每个正则基数 \(\kappa \geqslant \delta\) 在 \(\mathbf{HOD}\) 中都是 \(\omega-\)强可测的，进一步地
        1. 对于某些超紧致基数 \(\lambda\)，不存在弱扩展模型 \(\mathbf{N}\)，使得 \(\mathbf{N} \subseteq \mathbf{HOD}\)
        2. \(\mathbf{HOD}\) 不是任何超紧致基数 \(\lambda\) 的弱扩展模型
      2. 不存在正则基数 \(\kappa \geqslant \delta\) 在 \(\mathbf{HOD}\) 中是 \(\omega-\)强可测的，进一步地
        1. 每个奇异基数 \(\gamma>\delta\) 在 \(\mathbf{HOD}\) 中都是奇异的，且 \(\gamma^{+}=\left(\gamma^{+}\right)^{\mathbf{HOD}}\)
        2. \(\mathbf{HOD}\) 是超紧致基数 \(\delta\) 的弱扩展模型

  4. \(\mathbf{HOD}\) 假设：存在正则基数 \(\lambda\) 构成的真类，在 \(\mathbf{HOD}\) 中不是 \(\omega-\)强可测的

    1. 若 \(\mathbf{HOD}\) 假设成立，那么
      1. 设 \(\delta\) 是可扩展基数，则 \(\mathbf{HOD}\) 是超紧致基数 \(\delta\) 的弱扩展模型
      2. 假设存在一个可扩展基数，则存在序数 \(\lambda\) 使得对于所有 \(\gamma>\lambda\)，若 \(j: \mathbf{HOD} \cap V_{\gamma+1} \rightarrow \mathbf{HOD} \cap V_{j(\gamma)+1}\) 是初等嵌入且 \(j(\lambda)=\lambda\)，则 \(j \in \mathbf{HOD}\)
      3. 不存在 \(\text{Berkeley}\) 基数
    2. 在 \(\mathrm{L}[U]\) 中可证若 \(\delta\) 是可测基数，则存在 \(\delta\) 的弱扩展模型 \(\mathbf{N}\) 使得 \(\mathbf{N} \subseteq \mathbf{HOD}\)
      1. 强 \(\mathbf{HOD}\) 猜想：「\(\mathbf{ZFC}\; +\) 存在超紧致基数」可证 \(\mathbf{HOD}\) 假设
      2. 弱 \(\mathbf{HOD}\) 猜想：「\(\mathbf{ZFC}\; +\) 存在可扩展基数」可证 \(\mathbf{HOD}\) 假设
    3. 假设存在可扩展基数的真类，则 \(\mathbf{HOD}\) 假设成立当且仅当存在内模型 \(\mathbf{N}\) 有 \(\delta-\)近似性质与 \(\delta-\)覆盖性质且 \(\mathbf{N} \vDash \mathbf{HOD}\) 假设

    4. 终极 \(\mathbf{L}\) 猜想：在 \(\mathbf{ZFC}\) 中，设 \(\delta\) 是一个可扩展基数，则可证明存在内模型 \(\mathbf{N}\) 使得

      1. \(\mathbf{N}\) 是超紧致基数 \(\delta\) 的弱扩展模型
      2. \(\mathbf{N}\) 有 \(\delta-\)脱殊性质
      3. \(\mathbf{N} \vDash \mathbf{V} =\) 终极 \(\mathbf{L}\)，后者即包含超紧致基数的内模型

      终极 \(\mathbf{L}\) 猜想蕴含弱 \(\mathbf{HOD}\) 猜想