1 数学基础
1.1 集合论公理
集合论语言 \(\mathscr L(S)\)，其中 \(S = \{=, \in\}\) 且 \(\Omega(=) = \Omega(\in) = 2\)
- 等词公理
- \(x = x\)
- \(x = y \rightarrow \left(\alpha \rightarrow \alpha^{\prime}\right)\)，其中 \(\alpha\) 为原子公式且 \(\alpha^{\prime}\) 是将 \(\alpha\) 中若干个 \(x\) 的出现用 \(y\) 替换所得
-
定义如下缩写记号：
- \(x \notin A\)：\(\neg x \in A\)
-
有界量词（或称受囿量词）
-
\(\forall x \in A \ \varphi(x)\)：\(\forall x \ (x \in A \to \varphi(x))\)
\(\forall x < A \ \varphi(x)\)：\(\forall x \ (x < A \to \varphi(x))\)
-
\(\exists x \in A \ \varphi(x)\)：\(\exists x \ (x \in A \wedge \varphi(x))\)
\(\exists x < A \ \varphi(x)\)：\(\exists x \ (x < A \wedge \varphi(x))\)
-
-
\(\exists^{1} x \ \varphi(x)\)：\(\exists x \ (\varphi(x) \wedge \forall y \ (\varphi(y) \to y = x))\)
1.1.1 ZFC 公理
-
\(\text{Zermelo}-\text{Fraenkel}\) 集合论：设 \(\mathbf{ZFC}\) 是如下公理的理论
-
存在公理（\(\text{Exi}\)）：存在一个集合
\[ \exists x \ (x = x) \]- 本体论承诺：所谈论的世界不是虚无的，它至少存在一个事物
- 定义空集 \(\varnothing = \left\{x \in X \mid x\neq x \right\}\)，由于至少存在一个集合，因此 \(\varnothing\) 是集合且唯一
-
外延公理（\(\text{Ext}\)）：两个有相同元素的集合相等，这表明集合是由其元素决定的
\[ \forall X \forall Y \forall u \ (u \in X \leftrightarrow u \in Y) \to X = Y \] -
分离公理模式（\(\text{Sep}\)）：令 \(\varphi(u)\) 为公式，对任意集合 \(X\)，存在一个集合 \(Y = \{u \in X \mid \varphi(u)\}\)
\[ \forall x \exists Y \forall u \ (u\in Y \leftrightarrow u \in X \wedge \varphi(u)) \]- 对于每一公式 \(\varphi(u)\)，都存在相应的一个分离公理，也被称为概括公理或子集公理
- 分离公理是对「概括原则」的限制，即集合必须通过已经存在的集合中被分离出来，从而避免 \(\text{Russell}\) 悖论的出现
-
任意两个集合的交与差仍然是集合，定义如下
\[ \begin{aligned} & X \cap Y = \left\{u \in X \mid u \in Y\right\} \\ & X - Y = \left\{u \in X \mid u \notin Y\right\} \end{aligned} \]特别地，对于任意集合 \(X \neq \varnothing\)，其任意交 \(\bigcap X = \left\{u \mid \forall Y \ (Y \in X \to u \in Y)\right\}\) 也是集合
-
补集：设 \(X\) 是一个基础集，对于任意 \(A \subseteq X\)，令 \(X - A\) 为 \(A\)（相对于基础集 \(X\)）而言的补集，记作 \(\overline A\) 或 \(A'\)
-
对集公理（\(\text{Pai}\)）：对任意 \(a, b\)，存在一个集合只以 \(a, b\) 为元素，表示为 \(\{a, b\}\)．因此单点集 \(\{a\} = \{a, a\}\) 是集合
\[ \forall a \forall b \exists c \forall x \ (x \in c \leftrightarrow x = a \vee x = b) \] -
并集公理（\(\text{Uni}\)）：对任意集合 \(X\)，存在集合 \(Y\) 有 \(u \in Y\) 当且仅当存在 \(z \in X\) 使得 \(u \in z\)
\[ \forall X \exists Y \forall u \ (u \in Y \leftrightarrow \exists z \ (z \in X \wedge u \in z)) \]- 子集：如果 \(X\) 的元素都是 \(Y\) 的元素，则称 \(X\) 是 \(Y\) 的子集，表示为 \(X \subseteq Y\)
- 真子集：如果 \(X \subseteq Y\) 且 \(X \neq Y\)，则称 \(X\) 是 \(Y\) 的真子集，记作 \(X \subset Y\)
- 并集：这样的 \(Y\) 是唯一的，称作 \(X\) 的并，记作 \(\bigcup X\)．特别地，定义 \(X \cup Y = \bigcup \{X, Y\}\)
- 对称差：定义 \(X \triangle Y = (X - Y) \cap (Y - X)\)
-
幂集公理（\(\text{Pow}\)）：对任意集合 \(X\)，存在集合 \(Y\) 满足 \(u \in Y\) 当且仅当 \(u \subseteq X\)
\[ \forall X \exists Y \forall u \ (u \in Y \leftrightarrow u \subseteq X) \]这样的集合 \(Y\) 是唯一的，称作 \(X\) 的幂集，记作 \(\mathcal P(X)\)
-
无穷公理（\(\text{Inf}\)）：存在集合 \(X, \varnothing \in X\) 且对任意 \(x \in X\)，\(x\) 的后继 \(S(x) \in X\)
\[ \exists X \ (\varnothing \in X \wedge \forall x \ (x \in X \to S(x) \in X)) \]- 后继：对任意集合 \(x\)，记 \(x\) 的后继 \(S(x) = x \cup \{x\}\)
- 无穷公理保证了 \(\left\{\varnothing, \left\{\varnothing\right\}, \left\{\varnothing, \left\{\varnothing\right\}\right\}, \cdots\right\} \subseteq X\) 是一个集合
- 归纳集：如果集合 \(X\) 有 \(\varnothing \in X \wedge \forall x \ (x \in X \to S(x) \in X)\)，则称 \(X\) 为归纳集
-
基础公理（\(\text{Fnd}\)）：对任一集合 \(x \neq \varnothing\)，存在 \(y \in x\) 使得 \(y \cap x = \varnothing\)
\[ \forall x \ (x \neq \varnothing \to \exists y \ (y \in x \wedge x \cap y = \varnothing)) \]- 对任意非空集合 \(x\)，总有一个元素 \(y\) 是关系 \(\in\) 限制在 \(x\) 上的「最小元」
- 任一集合 \(X\) 都不属于自身
- 无穷下降链：集合 \(\left\{x_0, x_1, \cdots, x_n, x_{n+1}, \cdots\right\}\)，其中对任意 \(n\) 有 \(x_{n+1} \in x_n\)，基础公理确保不存在无穷下降链
-
替换公理模式（\(\text{Rep}\)）：给定公式 \(\psi(x, y)\)，且对任意 \(x\) 都有唯一的 \(y\) 使得 \(\psi(s, y)\) 成立，则对任意给定集合 \(A\)，存在集合 \(\{y \mid \exists x \ (x \in A \wedge \psi(x, y))\}\)
\[ \forall A \forall x \in A \ \exists^{1} y \ \psi(x, y) \to \exists B \forall x \in A \ \exists y \in B \ \psi(x, y) \] -
选择公理（\(\mathbf{AC}\)）：对任意 \(X \neq \varnothing\)，若 \(\varnothing \neq X\) 且 \(x, y \in X, x \neq y\) 蕴含 \(x \cap y = \varnothing\)，则存在 \(S\)，对任意 \(x \in X\)，\(S \cap x\) 是单点集
\[ \forall x \ (\varnothing \notin X \wedge \forall x \in X \ \forall y \in X \ (x \cap y = \varnothing) \to \exists S \forall x \in X \ \exists^{1} y \ (S \cap x = \{y\})) \]选择公理的等价形式包括
- 对任意非空集合的族 \(\left\{X_{i}\right\}_{i \in I}\) 都有 \({\displaystyle \prod_{i \in I} X_{i} \neq \varnothing}\)
- 对任意非空集合的族 \(\left\{X_{i}\right\}_{i \in I}\)，如果 \(i \neq j \to X_{i} \cap X_{j}=\varnothing\)，则存在集合 \(S\)，对每一 \(i \in I\)，都有 \(\left|S \cap X_{i}\right|=1\)
- 对任意非空集合的族 \(\left\{X_{i}\right\}_{i \in I}\)，存在函数 \(f\) 满足对每一 \(i \in I\)，都有 \(f\left(X_{i}\right) \in X_{i}\)，称 \(f\) 为选择函数
- 对任意不含空集的非空集族 \(\mathscr F\) 上都存在选择映射 \(f: \mathscr F \to \bigcup \mathscr F\) 使得对任意 \(F \in \mathscr F\) 有 \(f(F) \in F\)
- 良序原理：每一集合上都存在一个良序
- \(\text{Hausdorff}\) 极大链条件：任何偏序集都存在一个极大链
- \(\text{Zorn}\) 引理：如果偏序集 \(X\) 的每个链都有上界, 则 \(X\) 有极大元
- \(\text{Tychonoff}\) 定理：任何一族紧空间的积空间都是紧空间
\(\mathbf{ZFC}\) 相关理论简写
- \(\mathbf{ZF} = \mathbf{ZFC} - \mathbf{AC}\)
- \(\mathbf{ZF^{-}} = \mathbf{ZF} - \mathrm{Fnd}\)
- \(\mathbf{ZFC^{-}} = \mathbf{ZFC} - \mathrm{Fnd}\)
- \(\mathbf{ZC} = \mathbf{ZFC} - \mathrm{Rep}\)
- \(\mathbf{Z} = \mathbf{ZF} - \mathrm{Rep}\)
-
-
集合的运算性质：对于任意集合 \(X, Y, Z\)
- 子集的性质
- \(\varnothing \subseteq X\)
- \(X \subseteq X\)
- \(X \subseteq Y\) 且 \(Y \subseteq X\)，则 \(X = Y\)
- \(X \subseteq Y\) 且 \(Y \subseteq Z\)，则 \(X \subseteq Z\)
- 交换律
- \(X \cup Y = Y \cup X\)
- \(X \cap Y = Y \cap X\)
- 结合律
- \((X \cup Y) \cup Z = X \cup (Y \cup Z)\)
- \((X \cap Y) \cap Z = X \cap (Y \cap Z)\)
- 分配律
- \(X \cap (Y \cup Z) = (X \cap Y) \cup (X \cap Z)\)
- \(X \cup (Y \cap Z) = (X \cup Y) \cap (X \cup Z)\)
- \(\text{De Morgan}\) 律
- \(X - (Y \cup Z) = (X - Y) \cap (X - Z)\)
- \(X - (Y \cap Z) = (X - Y) \cup (X - Z)\)
- 子集的性质
-
指标系统：设 \(\Gamma\) 是一个集合，\(\mathscr X\) 是一个集族，则每一个满射 \(\varphi: \Gamma \to \mathscr X\) 称为一个以 \(\Gamma\) 为指标集的指标系统．记 \(X_\gamma = \varphi(\gamma)\)，则 \(\varphi = \left\{(\gamma, X_\gamma) \mid \gamma \in \Gamma\right\} \subseteq \Gamma \times \mathscr X\) 常记作 \(\mathscr X = \{X_\gamma \mid \gamma \in \Gamma\}\) 或 \(\left\{X_\gamma\right\}_{\gamma \in \Gamma}\)
-
定义并集与交集：
\[ \begin{aligned} & \bigcup_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma = \{x \in \mathscr X \mid \exists \gamma \in \Gamma \ (x \in X_\gamma)\} \\ & \bigcap_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma = \{x \in \mathscr X \mid \forall \gamma \in \Gamma \ (x \in X_\gamma)\} \end{aligned} \] -
对任意集合的指标系统 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 与 \(\{Y_\delta\}_{\delta \in \Delta}\)
- \({\displaystyle \bigcup_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma = \bigcup X, \bigcap_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma = \bigcap X}\)
- 若 \(\{X_\gamma \mid \gamma \in \Gamma\} = \{Y_\delta \mid \delta \in \Delta\}\)，则有 \({\displaystyle \bigcup_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma=\bigcup_{\delta \in \Delta} Y_\delta, \bigcap_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma = \bigcap_{\delta \in \Delta} Y_\delta}\)
- 对任意集合的指标系统 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 与 \(\{Y_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\)
- \({\displaystyle \bigcap_{\gamma \in \Gamma} (X_\gamma \cap Y_\gamma) = \bigcap_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma \cap \bigcap_{\gamma \in \Gamma} Y_\gamma}, {\displaystyle \bigcup_{\gamma \in \Gamma} (X_\gamma \cup Y_\gamma) = \bigcup_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma \cup \bigcup_{\gamma \in \Gamma} Y_\gamma}\)
- \({\displaystyle \bigcap_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma \cup \bigcap_{\gamma \in \Gamma} Y_\gamma \subseteq \bigcap_{\gamma \in \Gamma} (X_\gamma \cup Y_\gamma)}, {\displaystyle \bigcup_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma \cap \bigcup_{\gamma \in \Gamma} Y_\gamma \supseteq \bigcup_{\gamma \in \Gamma} (X_\gamma \cap Y_\gamma)}\)
- \({\displaystyle \bigcap_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma \cup \bigcap_{\delta \in \Gamma} Y_\delta = \bigcap_{\gamma, \delta \in \Gamma} (X_\gamma \cup Y_\delta)}, {\displaystyle \bigcup_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma \cap \bigcup_{\delta \in \Gamma} Y_\delta = \bigcup_{\gamma, \delta \in \Gamma} (X_\gamma \cap Y_\delta)}\)
- \({\displaystyle \left(\bigcap_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma\right) \times \left(\bigcap_{\delta \in \Gamma} Y_\delta\right) = \bigcap_{\gamma, \delta \in \Gamma} (X_\gamma \times Y_\delta)}, {\displaystyle \left(\bigcup_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma\right) \times \left(\bigcup_{\delta \in \Gamma} Y_\delta\right) = \bigcup_{\gamma, \delta \in \Gamma} (X_\gamma \times Y_\delta)}\)
- 对任意集合的指标系统 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 与集合 \(A\)
- \({\displaystyle \forall \gamma_0 \in \Gamma \ \left(\bigcap_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma \subseteq X_{\gamma_0} \subseteq \bigcup_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma\right)}\)
- 分配律：\({\displaystyle A \cap\left(\bigcup_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma \right) = \bigcup_{\gamma \in \Gamma} (A \cap X_\gamma), A \cup \left(\bigcap_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma \right) = \bigcap_{\gamma \in \Gamma}(A \cup X_\gamma)}\)
- \(\mathrm{De\ Morgan}\) 律：\({\displaystyle A - \left(\bigcup_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma \right) = \bigcap_{\gamma \in \Gamma} (A - X_\gamma), A - \left(\bigcap_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma\right) = \bigcup_{\gamma \in \Gamma} (A - X_\gamma)}\)
-
设 \(R \subseteq X \times Y\)，则对于集合 \(X\) 的任何一个非空子集族 \(\{Z_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 有
\[ \begin{aligned} & R\left[\bigcup_{\gamma \in \Gamma} Z_\gamma\right] = \bigcup_{\gamma \in \Gamma} R(Z_\gamma) \\ & R\left[\bigcap_{\gamma \in \Gamma} Z_\gamma\right]\subseteq \bigcap_{\gamma \in \Gamma} R(Z_\gamma) \end{aligned} \]设映射 \(f: X \to Y\)，则对于集合 \(Y\) 的任何一个非空子集族 \(\{Z_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 有
\[ \begin{aligned} & f^{-1}\left[\bigcup_{\gamma \in \Gamma}Z_\gamma\right]=\bigcup_{\gamma \in \Gamma}f^{-1}(Z_\gamma) \\ & f^{-1}\left[\bigcap_{\gamma \in \Gamma}Z_\gamma\right]=\bigcap_{\gamma \in \Gamma}f^{-1}(Z_\gamma) \end{aligned} \] -
设 \(S\) 为非空集合的非空族，\(\left\{X_\gamma\right\}_{\gamma \in \bigcup S}\) 为以 \(\bigcup S\) 为指标集的指标系统，则有
\[ \begin{aligned} & {\displaystyle \bigcup_{\gamma \in \bigcup S} X_\gamma = \bigcup_{C \in S} \left(\bigcup_{\gamma \in C} X_\gamma\right)} \\ & {\displaystyle \bigcap_{\gamma \in \bigcup S} X_\gamma = \bigcap_{C \in S} \left(\bigcap_{\gamma \in C} X_\gamma\right)} \end{aligned} \]
-
-
多重集：函数 \(f: A \to \mathbf Z_+ \cup \{\infty\}\)，并将 \(a \in A\) 简记为 \(a \in f\)
- 重数：多重集中对象 \(a \in A\) 出现的次数 \(f(a)\)，当表示元素重复任意多次数时，可记为 \(\infty\)
- 元数：集合中不同元素个数；当元数为 \(n\) 时，称集合为 \(n\) 元多重集
- 若有穷多重集 \(S\) 有 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 共 \(n\) 个不同的元素，且 \(a_i\) 的重数为 \(p_i\)，则 \(S\) 可记作 \(\left\{p_1 \cdot a_1, p_2 \cdot a_2, \cdots, p_n \cdot a_n\right\}\)
- 类与真类：令 \(\varphi(u)\) 为一个性质，\(\{u \mid \varphi(u)\}\) 不一定是集合，这样的对象被称为类，不是集合的类被称为真类
- 每个集合都是类，例如 \(\left\{x \mid x \neq x\right\}\)
- 用 \(\mathbf V = \left\{x \mid x = x\right\}\) 表示「所有集合」的类，\(x \in \mathbf V\) 不是集合论语言的公式，而只是公式 \(x = x\) 的一种记法
1.1.2 KP 公理
-
\(\text{Kripke}-\text{Platek}\) 集合论：设 \(\mathbf{KP}\) 是如下公理的理论
-
外延公理（\(\text{Ext}\)）
\[ \forall u \forall v \ (u=v \leftrightarrow \forall x \in u \ (x \in v) \wedge \forall x \in v \ (x \in u)) \] -
基础公理模式（\(\text{Fnd}\)）
\[ \exists x \ F(x) \rightarrow \exists x \ (F(x) \wedge \forall y \in x \ \neg F(y)) \] -
对集公理（\(\text{Pai}\)）
\[ \forall x \forall y \exists z \ (x \in z \wedge y \in z) \] -
并集公理（\(\text{Uni}\)）
\[ \forall u \ \exists w \ \forall y \in u \ \forall z \in y \ (z \in w) \] -
\(\Delta_0-\)分离公理模式（\(\Delta_0-\text{Sep}\)）：设 \(F(x, \overline{v})\) 为 \(\Delta_{0}\) 公式
\[ \forall \overline{v} \forall a \exists z \forall x \ (x \in z \leftrightarrow x \in a \wedge F(x, \overline{v})) \] -
\(\Delta_0-\)收集公理模式（\(\Delta_0-\text{Col}\)）：设 \(F(x, y, \overline{v})\) 为 \(\Delta_{0}\) 公式
\[ \forall \overline{v} \forall u \ (\forall x \in u \ \exists y \ F(x, y, \overline{v}) \rightarrow \exists z \ \forall x \in u \ \exists y \in z \ F(x, y, \overline{v})) \] -
无穷公理（\(\text{Inf}\)）
\[ \exists u \ (\varnothing \in u \wedge \forall x \in u \ (x \cup\{x\} \in u)) \]
\(\mathbf{KP}\) 相关理论简写
定义层级 \(\Phi \in \{\Sigma_{n}, \Pi_{n}, \Delta_{n}\}\)
- \(\mathbf{KP}^{-} = \mathbf{KP} - \mathbf{Fnd}\)
- 定义空集公理（\(\text{Exi}\)）：\(\exists A \forall x \ (x \notin A)\)，则 \(\mathbf{KP}^{-\infty} = \mathbf{KP} - \mathbf{Inf} + \mathbf{Exi}\)
- 定义正则公式（\(\text{Reg}\)）：\(\forall x \ (\exists a \ (a \in x) \to \exists y \ (y \in x \wedge \neg \exists z \ (z \in y \wedge z \in x)))\)，则 \(\mathbf{KP}^{R} = \mathbf{KP} - \mathbf{Fnd} + \mathbf{Reg}\)
- 定义 \(\Phi-\)归纳公理模式（\(\Phi-\text{Ind}\) ）：\(F(0) \rightarrow\left(\forall x \ \left(F(x) \rightarrow F\left(x^{\prime}\right)\right) \rightarrow \forall x \ F(x)\right)\)，其中 \(F\) 为层级 \(\Phi\) 的公式
- 可将基础公理模式、\(\Delta_0-\)分离公理模式、\(\Delta_0-\)收集公理模式中的公式 \(F\) 限制到层级 \(\Phi\)
-
-
容许集：设 \(L_{\alpha} \in \mathbf L\) 是一个传递集，若 \((L_{\alpha}, \in)\) 是 \(\mathbf{KP}\) 的一个模型，则称 \(L_{\alpha}\) 是容许集
- 称使得 \(L_{\alpha}\) 为容许集的序数 \(\alpha\) 为容许序数，记 \(\omega_{\alpha}^{\mathrm{CK}}\) 为第 \(\alpha\) 个容许序数
- 引入公理 \(\text{Lim}: \forall x \exists y \ (x \in y \wedge y\) 为容许集\()\)，定义 \(\mathbf{KPi} = \mathbf{KP} + \mathrm{Lim}, \mathbf{KPl} = \mathbf{KPi} - (\Delta_0-\text{Col})\)
- 引入公理 \(\text{Mahlo}: \forall x \exists y \ \varphi(x, y, \overline{z}) \rightarrow \exists w \ (\operatorname{Ad}(w) \wedge \forall x \in w \ \exists y \in w \ \varphi(x, y, \overline{z}))\)，其中 \(\varphi\) 为 \(\Delta_{0}\) 公式，\(\operatorname{Ad}\) 为一个满足传递性、容许性、相对性无限公理与三歧性的谓词，定义 \(\mathbf{KPM} = \mathbf{KPi} + \mathrm{Mahlo}\)
1.1.3 NBG 公理
-
\(\text{von Neumann}-\text{Bernays}-\text{G}\ddot{\mathrm{o}\text{del}}\) 集合论中的基本对象为类，集合是特殊的类．用 \(X, Y, Z, \cdots\) 表示类，用 \(x, y, z, \cdots\) 表示集合
-
集合公理：如果一个类是另一个类的元素，那么这个类就是集合
\[ \forall X \forall Y \ (X \in Y \rightarrow \mathbf{M}(X)) \]谓词 \(\mathbf{M}(X)\) 表示 \(X\) 是集合
-
类的外延公理：如果两个类的元素相同，则两个类相同
\[ \forall X \forall Y \ (\forall u \ (u \in X \leftrightarrow u \in Y) \leftrightarrow X=Y) \] -
空集公理：存在一个集合没有任何元素
\[ \exists x \forall y \ (y \notin x) \] -
并集公理
\[ \forall x \exists y \forall u \forall v \ (u \in v \wedge v \in x \rightarrow u \in y) \] -
幂集公理
\[ \forall x \exists y \forall u \ (u \subseteq x \rightarrow u \in y) \] -
无穷公理
\[ \exists s \ (\varnothing \in s \wedge \forall x \ (x \in s \rightarrow \exists y \ (y \in s \wedge x \subset y))) \] -
替换公理
\[ \forall x \forall A \ (\mathbf{U}(A) \rightarrow \exists y \forall u \ (u \in y \rightarrow \exists v \ (v \in x \wedge\langle u, v\rangle \in A))) \]其中 \(\mathbf{U}(X)\) 为单值：\(\mathbf{U}(X) \leftrightarrow \forall u \forall v \forall w \ (\langle u, v\rangle \in X \wedge\langle u, w\rangle \in X \rightarrow v=w)\)
-
属类公理：存在一个类可以表示属于关系
\[ \exists A \forall x \forall y \ (x \in y \leftrightarrow\langle x, y\rangle \in A) \] -
交类公理：两个类的交是类
\[ \forall A \forall B \exists C \forall u \ (u \in C \leftrightarrow(u \in A \wedge u \in B)) \] -
补类公理：一个类的补是类
\[ \forall A \exists B \forall u \ (u \in B \leftrightarrow u \notin B) \] -
积类公理：一个类可以成为定义域
\[ \forall A \exists B \forall x \forall y \ (\langle x, y\rangle \in B \leftrightarrow x \in A) \] -
定义域类公理：任何二元关系的定义域是类
\[ \forall A \exists B \forall x \ (x \in B \leftrightarrow \exists y \ (\langle x, y\rangle \in A)) \] -
逆类公理：任何二元关系的逆是类
\[ \forall A \exists B \forall x \forall y \ (\langle x, y\rangle \in B \leftrightarrow\langle y, x\rangle \in A) \] -
轮换公理：任何三元关系的轮换是类
\[ \forall A \exists B \forall x \forall y \forall z \ (\langle x, y, z\rangle \in B \leftrightarrow\langle z, x, y\rangle \in A) \] -
对换公理：任何三元关系的对换是类
\[ \forall A \exists B \forall x \forall y \forall z \ (\langle x, y, z\rangle \in B \leftrightarrow\langle x, z, y\rangle \in A) \] -
类的正则公理
\[ \forall A \ (A \neq \varnothing \rightarrow \exists u \ (u \in A \wedge u \cap A=\varnothing)) \] -
类的选择公理
\[ \exists A \ (\mathcal{U}(A) \wedge \forall x \ (x \neq \varnothing \rightarrow \exists y \ (y \in x \wedge\langle x, y\rangle \in A))) \]定义 \(\mathbf{BG}\) 为 \(\mathbf{NBG}\) 除去类的选择公理
-
-
\(\mathbf{NBG}\) 与 \(\mathbf{ZFC}\) 等价
1.2 关系与映射
1.2.1 关系
- 有序对：设 \(a, b\) 为集合，则 \(a, b\) 组成的有序对定义为 \((a, b) = \left\{\{a\}, \{a, b\}\right\}\)
- 由对集公理可知，对于任意集合 \(a, b\)，\((a, b)\) 是集合
- 任何两个有序对 \((a_1, b_1), (a_2, b_2)\) 有 \((a_1, b_1) = (a_2, b_2)\) 当且仅当 \(a_1 = a_2 \wedge b_1 = b_2\)
- 假设 \((x_1, x_2, \cdots, x_{n-1})\) 已有定义，则 \(n\) 元序组定义为 \((x_1, x_2, \cdots, x_n) = \left((x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}), x_n\right)\)
-
\(\text{Descartes}\) 积：设 \(X, Y\) 为集合，则 \(X\) 与 \(Y\) 的 \(\text{Descartes}\) 积定义为 \(X \times Y = \left\{(x, y) \mid x \in X \wedge y \in Y\right\}\)，也称作直积．特别地，若 \(X = Y\)，则将 \(X \times X\) 记作 \(X^2\)
- 对于任意集合 \(X, Y, Z\)
- \((X \cup Y) \times Z = (X \times Z) \cup (Y \times Z)\)
- \((X \cap Y) \times Z = (X \times Z) \cap (Y \times Z)\)
- \((X - Y) \times Z = (X \times Z) - (Y \times Z)\)
-
\(n\) 个集合 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 的 \(\text{Descartres}\) 积定义为
\[ X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n = \left\{(x_1, x_2, \cdots, x_n) \mid x_1 \in X_1 \wedge x_2 \in X_2 \wedge \cdots \wedge x_n \in X_n\right\} \]特别地，定义 \(X^n = \small \underbrace{\normalsize X \times X \times \cdots \times X}_{\normalsize n} \normalsize\)
- 对于任意集合 \(X, Y, Z\)
-
指标系统的 \(\text{Descartes}\) 积
-
投射与自然投射
-
投射：设 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 是 \(n \ (n\geqslant 1)\) 个集合，从 \(X=X_1\times X_2\times \cdots, X_n\) 到其第 \(i \ (1 \leqslant i \leqslant n)\) 个坐标集 \(X_i\) 的投射 \(p_i: X \to X_i\) 定义为 \(\forall X = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in X \ (p_i(X) = a_i)\)，即
\[ p_i=\{((a_1, a_2, \cdots, a_n), a_i) \mid (a_1, a_2, \cdots, a_n)\in X\} \subseteq X \times X_\gamma \] -
自然投射：设 \(R\) 是集合 \(X\) 中的一个等价关系，从集合 \(X\) 到其商集 \(X/R\) 的自然投射 \(p:X\to X/R\) 定义为 \(p=\{(X, [X]) \mid X\in X\}\subseteq X\times X/R\)
-
-
设集族 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 的 \(\text{Descartes}\) 积为 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma} = \left\{ \left. x: \Gamma\to {\displaystyle \bigcup_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma} \ \right| \ \forall \gamma \in \Gamma \ (x(i)\in X_\gamma)\right\}\)
- 对于每一个 \(\gamma \in \Gamma\)，集合 \(X_\gamma\) 为 \(\text{Descartes}\) 积 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma}\) 的第 \(\gamma\) 个坐标集
- 对于 \(\gamma \in \Gamma\)，定义 \(p_\alpha: {\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma} \to X_\gamma\)，使得对于任意 \(x\in {\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma}\) 有 \(p_\alpha(x)=x(\alpha)\)，称为 \(\text{Descartes}\) 积的第 \(\alpha\) 个投射
- 设给定集族 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\)，则 \(\text{Descartes}\) 积 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma} \neq \varnothing \leftrightarrow \forall \gamma \in \Gamma \ (X_\gamma\neq \varnothing)\)
- 给定集族 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}, \{Y_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\)，且 \(\forall \gamma \in \Gamma \ (Y_\gamma \subseteq X_\gamma)\)．若对于任意 \(\gamma \in \Gamma\)，都有 \(Y_\gamma \neq \varnothing\)，则对于任意 \(\alpha \in \Gamma\) 有 \(p_\alpha\left({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma}\right) = Y_\alpha\)
- 设集族 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 对每一个 \(\gamma \in \Gamma\) 有 \(X_\gamma\neq \varnothing\)，则对于任意 \(\alpha \in \Gamma\)，\(\text{Descartes}\) 积 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma}\) 的第 \(\alpha\) 个投影 \(p_\alpha\) 都是满射
-
设集族 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 对每一个 \(\gamma \in \Gamma\) 有 \(X_\gamma\neq \varnothing\)，又设 \(\varnothing \neq \Gamma_1 \subseteq \Gamma\)，集族 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 满足对于每一个 \(\gamma \in \Gamma_1\) 有 \(\varnothing \neq a_i\subseteq X_\gamma\)，则对于每一个 \(\alpha \in \Gamma\) 有
\[ p_\alpha\left({\displaystyle \bigcap_{\gamma \in \Gamma_1}p^{-1}_i(a_i)}\right) = \left\{\begin{aligned} & x_\alpha, & \alpha\in \Gamma-\Gamma_1 \\ & a_\alpha, & \gamma \in \Gamma_1 \end{aligned}\right. \]其中 \(p_\alpha\) 是 \(\text{Descartes}\) 积 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma}\) 的第 \(\alpha\) 个投射
-
-
关系：对于集合 \(R\)，如果存在 \(X, Y\) 使得 \(R \subseteq X \times Y\)，则称 \(R\) 为二元关系，用 \(R(x, y)\) 或 \(xRy\) 表示 \((x, y) \in R\)．定义
- 定义域（或称作投影）：\(\mathrm{dom}(R) = \left\{x \mid \exists y \ R(x, y)\right\}\)
- 值域： \(\mathrm{ran}(R) = \left\{y \mid \exists x \in X \ R(x, y)\right\}\)
并设 \(\mathrm{fld}(R) = \mathrm{dom}(R) \cup \mathrm{ran}(R)\)
-
像与逆像：集合 \(A \subseteq X\) 在关系 \(R\) 下的像定义为 \(R[A] = \left\{y \in \mathrm{ran}(R) \mid \exists x \in A \ (R(x, y))\right\}\)；集合 \(B \subseteq Y\) 在关系 \(R\) 下的逆像（也称作原像）定义为 \(R^{-1}[B] = \left\{x \in \mathrm{dom}(R) \mid \exists y \in B \ (R(x, y))\right\}\)
- \(R[A \cup B] = R[A] \cup R[B]\)
- \(R[A \cap B] \subseteq R[A] \cap R[B]\)
- \(R[A - B] \supseteq R[A] - R[B]\)
- 对于任意映射 \(f\) 有 \(f[A \cap B] \subseteq f[A] \cap f[B], f^{-1}[A \cap B] = f^{-1}[A] \cap f^{-1}[B]\)
对于集合 \(\mathscr{A} \subseteq \mathcal{P}(X)\)，定义关系 \(R\) 下的像为 \(R[\mathscr{A}] = \left\{R[A] \in \mathcal{P}(Y) \mid A \in \mathscr{A}\right\}\)；对于集合 \(\mathscr{B} \subseteq \mathcal{P}(Y)\)，定义关系 \(R\) 下的逆像（也称作原像）为 \(R^{-1}[\mathscr{B}] = \left\{R^{-1}[B] \in \mathcal{P}(X) \mid B \in \mathscr{B}\right\}\)
-
逆关系与复合关系：关系 \(S, R\) 的逆为 \(R^{-1} = \left\{(x, y) \mid R(y, x)\right\}\)，复合为 \(S \circ R = R \diamond S = \left\{(x, z) \mid \exists y \ (R(x, y) \wedge S(y, z))\right\}\)
- \((R^{-1})^{-1} = R, (S \circ R)^{-1} = R^{-1} \circ S^{-1}\)
- \(X \circ (Y \circ Z) = (X \circ Y) \circ Z\)
- \((X \cup Y) \circ Z = (X \circ Z) \cup (Y \circ Z), Z \circ (X \cup Y) = (Z \circ X) \cup (Z \circ Y)\)
- \((X \cap Y) \circ Z \subseteq (X \circ Z) \cap (Y \circ Z), Z \circ (X \cap Y) \subseteq (Z \circ X) \cap (Z \circ Y)\)
- \(\mathrm{dom}(R^{-1}) = \mathrm{ran}(R), \mathrm{ran}(R^{-1}) = \mathrm{dom}(R)\)
- \(\mathrm{dom}(S \circ R) \subseteq \mathrm{dom}(R), \mathrm{ran}(S \circ R) \subseteq \mathrm{ran}(S)\)
- 幂：设 \(R^0\) 为 \(X\) 上的恒等关系，定义 \(R^{n+1} = R^{n} \circ R\)，设 \(m, n \in \mathbf N\)
- \(R^m \circ R^n = R^{m+n}\)
- \((R^{m})^{n} = R^{mn}\)
- 二元关系的性质：令 \(R \subseteq X^2\)
- 自反性：\(R\) 是自反的当且仅当对于任意 \(x \in X\) 有 \((x, x) \in R\)；\(R\) 是反自反的当且仅当对于任意 \(x \in X\) 有 \(R(x, x) \notin R\)
- 对称性：\(R\) 是对称的当且仅当对于任意 \(x, y \in X\) 有 \((x, y) \in R \to (y, x) \in R\)
- \(R\) 是非对称的当且仅当对于任意 \(x, y \in X\) 有 \((x, y) \in R \to (y, x) \notin R\)
- \(R\) 是反对称的当且仅当对于任意 \(x, y \in X\) 有 \((x, y) \in R \wedge (y, x) \in R \to x = y\)
- 传递性：\(R\) 是传递的当且仅当对于任意 \(x, y, z \in X\) 有 \((x, y) \in R \wedge (y, z) \in R \to (x, z) \in R\)
- \(n\) 元关系：对集合 \(R\)，若存在 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 使得 \(R \subseteq X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n\)，则称 \(R\) 为 \(n\) 元关系，用 \(R(X_1, X_2, \cdots, X_n)\) 表示 \((X_1, X_2, \cdots, X_n) \in R\)．特别地，如果 \(R \subseteq X^n\)，则称 \(R\) 是 \(X\) 上的 \(n\) 元关系
-
等价关系：二元关系 \(R\) 是等价的当且仅当 \(R\) 是自反、对称且是传递的，用 \(\sim\) 表示
- 等价类：设 \(\sim\) 是集合 \(X\) 上的等价关系，对任意 \(x \in X\)，定义 \(x\) 关于 \(\sim\) 的等价类为 \([x]_{\sim} = \left\{t \in X \mid t \sim x\right\}\)
- 商集：设 \(\sim\) 是集合 \(X\) 上的等价关系，则 \(X / \sim = \left\{[x]_{\sim} \mid x \in X\right\}\) 称为 \(X\) 的商集．易知 \(X / \sim\) 是 \(X\) 的一个划分
- 对任意 \(x, y \in X\)，有 \([x]_{\sim} = [y]_{\sim}\) 或 \([x]_{\sim} \cap [y]_{\sim} = \varnothing\) 成立
-
划分：令 \(X\) 为集合，\(S \subseteq \mathcal P(X)\)，如果 \(S\) 有 ① 对所有 \(a, b \in S\)，有 \(a \neq b \to a \cap b = \varnothing\)；② \(\bigcup S = X\)，则称 \(S\) 是 \(X\) 的划分
-
令 \(S\) 为 \(X\) 的划分，定义 \(X\) 上的二元关系 \(\sim_S = \left\{(x, y) \in X^2 \mid \exists c \in S \ (s \in c \wedge y \in c)\right\}\)，易知 \(\sim_S\) 是等价关系
- 设 \(\sim_1, \sim_2\) 是 \(X\) 上的等价关系，则 \(\sim_1 = \sim_2\) 当且仅当 \(X / \sim_1 = X / \sim_2\)
- 设 \(\sim\) 为 \(X\) 上的等价关系，则 \(\sim_{X / \sim} = \sim\) 且 \(X / \sim_S = S\)
从而集合 \(X\) 上的所有等价关系与划分形成一一对应
-
设 \(\sim_1, \sim_2\) 是 \(X\) 上的等价关系，对应的划分为 \(S_1, S_2\)
- 划分的积：定义 \(S_1 \cdot S_2 = X / (\sim_1 \cap \sim_2)\) 为划分的积，其中 \(\sim_1 \cap \sim_2\) 为等价关系
- 划分的和：定义 \(S_1 + S_2 = X / \left(t(\sim_1 \cup \sim_2)\right)\) 为划分的和，其中 \(\sim_1 \cup \sim_2\) 为自反对称关系
-
-
细分：设 \(R_1, R_2 \subseteq X^2\) 为两个二元关系，如果 \(R_1 \subseteq R_2\)，则称 \(R_1\) 细分 \(R_2\)
- 对任意 \(x, y \in X\)，有 \(x R_1 y \to x R_2 y\)
- 如果 \(R_1, R_2\) 都是等价关系，则对任何 \(x \in X\)，\(x\) 对 \(R_1\) 的等价类包含在 \(x\) 对 \(R_2\) 的等价类中
- 设 \(S_1, S_2\) 是 \(X\) 的两个划分，则
- \(S_1 \cdot S_2\) 细分 \(S_1\) 与 \(S_2\)，\(S_1\) 与 \(S_2\) 细分 \(t(S_1 \cup S_2)\)
- 设 \(S\) 为 \(X\) 的划分，若 \(S\) 细分 \(S_1\) 与 \(S_2\)，则 \(S\) 细分 \(S_1 \cdot S_2\)
- 设 \(S\) 为 \(X\) 的划分，若 \(S_1\) 与 \(S_2\) 细分 \(S\)，则 \(S_1 + S_2\) 细分 \(S\)
- 等价类：设 \(\sim\) 是集合 \(X\) 上的等价关系，对任意 \(x \in X\)，定义 \(x\) 关于 \(\sim\) 的等价类为 \([x]_{\sim} = \left\{t \in X \mid t \sim x\right\}\)
-
序：令 \(\prec, \leqslant, <\) 为 \(X\) 上的二元关系
- 拟序：如果 \(\prec\) 具有自反性与传递性，则称 \(\prec\) 是 \(X\) 上的拟序或预序
- 严格偏序：如果 \(<\) 具有反自反性、非对称性与传递性，则称 \(<\) 是 \(X\) 上的严格偏序
-
偏序：如果拟序关系 \(\leqslant\) 具有反对称性，则称 \(\leqslant\) 是 \(X\) 上的偏序或半序，用 \((X, \leqslant)\) 表示
- 用 \(x \geqslant y\) 表示 \(x \leqslant^{-1} y\)；用 \(x < y\) 表示 \(x \leqslant y \wedge x \neq y\)，用 \(x > y\) 表示 \(x \geqslant y \wedge x \neq y\)
- 极大元与极小元
- 如果 \(a \in X\) 且 \(\forall x \in X \ (\neg (a > x))\)，则称 \(a\) 为 \(X\) 的极小元
- 如果 \(a \in X\) 且 \(\forall x \in X \ (\neg (a < x))\)，则称 \(a\) 为 \(X\) 的极大元
- 最小元与最大元
- 如果 \(a \in X\) 且 \(\forall x \in X \ (a \leqslant x)\)，则称 \(a\) 为 \(X\) 的最小元
- 如果 \(a \in X\) 且 \(\forall x \in X \ (a \geqslant x)\)，则称 \(a\) 为 \(X\) 的最大元
- 上界与下界：设 \(X_0 \subseteq X\)
- 若存在 \(a \in X\) 使得对于任意 \(x \in X_0\) 都有 \(a \geqslant x\)，则称 \(a\) 为 \(X_0\) 在 \(X\) 中的上界
- 若存在 \(a \in X\) 使得对于任意 \(x \in X_0\) 都有 \(a \leqslant x\)，则称 \(a\) 为 \(X_0\) 在 \(X\) 中的下界
-
上确界与下确界：设 \(X_0 \subseteq X\)
- 若 \(X_0\) 在 \(X\) 中所有上界的集合有最小元 \(a_0\)，则称 \(a_0\) 是 \(X_0\) 的上确界（或最小上界），记作 \(\sup(X_0)\) 或 \({\displaystyle \sup_{x \in X_0}\left\{x\right\}}\)
- 若 \(X_0\) 在 \(X\) 中所有下界的集合有最大元 \(a_0\)，则称 \(a_0\) 是 \(X_0\) 的下确界（或最大下界），记作 \(\inf(X_0)\) 或 \({\displaystyle \inf_{x \in X_0}\left\{x\right\}}\)
函数（或序列）的上下界或上下确界一般指其值域的上下界或上下确界；设数集有上（下）确界，则此上（下）确界唯一
逆关系的序
如果 \(R\) 是 \(X\) 上的序，则 \(R^{-1}\) 也是 \(X\) 上的序，令 \(X_0 \subseteq X\)
- \(x\) 是 \(X_0\) 在序 \(R\) 下的极小元当且仅当 \(x\) 是 \(X_0\) 在序 \(R^{-1}\) 下的极大元
- \(x\) 是 \(X_0\) 在序 \(R\) 下的最小元当且仅当 \(x\) 是 \(X_0\) 在序 \(R^{-1}\) 下的最大元
- \(x\) 是 \(X_0\) 在序 \(R\) 下的上确界当且仅当 \(x\) 是 \(X_0\) 在序 \(R^{-1}\) 下的下确界
-
全序：如果偏序关系 \(\leqslant\) 还具有连接性，即对所有 \(x, y \in X\) 有 \(x \leqslant y\) 或 \(y \leqslant x\)，则称 \(\leqslant\) 是 \(X\) 上的全序或线序
- 全序集的任意两个元素是可比较的
- 全序集中极小元与最小元、极大元与最大元是同一的
- 称具有最小上界性质的稠密线序集合为完备全序集
- 实数集合 \((\mathbf R, <^{\mathbf R})\) 是完备全序集
- 任何包含可数稠密子集的无端点完备全序集都与 \((\mathbf R, <^{\mathbf R})\) 同构
- 全序集 \((X, \leqslant)\) 如果有「对任意 \(X\) 的非空子集 \(Y\)，如果 \(Y\) 有上界，则 \(Y\) 在 \(X\) 中有上确界」，则称 \(X\) 有最小上界性质
- 有理数集合 \((\mathbf Q, \leqslant^{\mathbf Q})\) 没有最小上界性质
- 实数集合 \((\mathbf R, \leqslant^{\mathbf R})\) 有最小上界性质
-
关系的闭包：设 \(R \subseteq X^2\) 的二元关系，定义 \(R\) 的自反（对称、传递）闭包 \(R'\)，满足以下条件
- \(R'\) 是自反的（对称的、传递的）
- \(R \subseteq R'\)
- 对任一自反（对称、传递）关系 \(R''\)，若 \(R \subseteq R''\)，则 \(R' \subseteq R''\)
分别记三种 \(R'\) 为 \(r(R), s(R)\) 与 \(t(R)\)
- 设 \(R \subseteq X^2\) 为二元关系
- \(R\) 是自反的当且仅当 \(r(R) = R\)
- \(R\) 是对称的当且仅当 \(s(R) = R\)
- \(R\) 是传递的当且仅当 \(t(R) = R\)
- 设 \(R_1, R_2 \subseteq X^2\) 且 \(R_1 \subseteq R_2\)，则
- \(r(R_1) \subseteq r(R_2)\)
- \(s(R_1) \subseteq s(R_2)\)
- \(t(R_1) \subseteq t(R_2)\)
- 设 \(R \subseteq X^2\) 为二元关系
- \(R\) 是自反的，则 \(s(R)\) 与 \(t(R)\) 都是自反的
- \(R\) 是对称的，则 \(r(R)\) 与 \(t(R)\) 都是对称的
- \(R\) 是传递的，则 \(r(R)\) 是传递的
- 设 \(R \subseteq X^2\) 为二元关系
- \(r(s(R)) = s(r(R))\)
- \(r(t(R)) = t(r(R))\)
- \(s(t(R)) \subseteq t(s(R))\)
- 求闭包的一般表达式：设 \(R \subseteq X^2\) 为二元关系
- 设 \(I_X\) 为集合 \(X\) 上的恒等关系，则 \(r(R) = R \cup I_X\)
- \(s(R) = R \cup R^{-1}\)
- \(t(R) = {\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbf Z_+} R^n}\)，进一步当 \(|X| = n \in \mathbf Z_+\) 时，则 \(t(R) = {\displaystyle \bigcup_{i=1}^n R^i}\)
1.2.2 映射
- 二元关系 \(f\) 若有 \((x, y) \in f \wedge (x, z) \in f \to y = x\)，则称 \(f\) 是映射，其中 \(y\) 称作 \(f\) 在 \(x\) 处的值，记作 \(f(x) = y\) 或 \(f: x \mapsto y\)
- 若 \(\mathrm{dom}(f) = X, \mathrm{ran}(f) \subseteq Y\)，则称 \(f\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的映射或算子
- 称 \(Y\) 为 \(f\) 的陪域或上域，记作 \(f: X \to Y\) 或 \(x \mapsto f(x)\)
- 设 \(g\) 也为映射，\(f = g\) 当且仅当 \(\mathrm{dom}(f) = \mathrm{dom}(g)\) 且对于所有 \(x \in \mathrm{dom}(f)\) 都有 \(f(x) = g(x)\)
- 特殊映射：设 \(f: X \to Y\) 是一个映射
- 函数：当 \(X, Y\) 均为数集时，称 \(f\) 为函数
- 泛函：当 \(X \neq \varnothing\) 且 \(Y\) 为数集时，称 \(f\) 为泛函
- 变换：当 \(X = Y \neq \varnothing\) 时，称 \(f\) 为 \(X\) 上的变换
- 映射的种类：设 \(f: X \to Y\) 是一个映射
- 单射：对于所有的 \(x_1, x_2 \in X\)，若 \(x_1 \neq x_2\)，则 \(f(x_1) \neq f(x_2)\)，也称作内射或映射是一一的
- 满射：\(\mathrm{ran}(f) = Y\) 的映射，也称作到上映射
- 双射：既是单射又是满射的映射，也称作一一对应
- 映射例举
- 恒等映射：对任意集合 \(X\)，定义 \(\mathrm{id}_X: X \to X\) 为 \(\mathrm{id}_X(x) = x\)，作为关系被称为 \(X\) 上的恒等关系
- 嵌入映射：对任意集合 \(X\)，定义 \(X_{0} \subseteq X\) 到 \(X\) 的嵌入映射 \(i(x)=x, \forall x \in X_0\)
- 特征映射：对任意集合 \(X\)，定义特征映射（或示性映射）\(I_X(x) = \left\{\begin{aligned} & 1, & x \in X \\ & 0, & x \notin X \end{aligned}\right.\)
- \({\displaystyle I_{\alpha} \bigcup=\bigvee I_{A_{\alpha}}\left(\bigvee I_{A_{\alpha}} \triangleq \sup I_{A_{\alpha}}\right), \ I_{\sum A_{\alpha}}=\sum I_{A_{\alpha}}}\)
- \({\displaystyle I_{\alpha} A_{\alpha}=\bigwedge I_{A_{\alpha}}\left(\bigwedge I_{A_{\alpha}} \triangleq \inf I_{A_{\alpha}}\right)}\)
- \(I_{A'}=1-I_{A}\)
- \(I_{A-B}=I_{A}-I_{B}\)
- \(I_{A \triangle B}=\left|I_{A}-I_{B}\right|=I_{A}+I_{B} \pmod{2}\)
- 若 \(\mathrm{dom}(f) = X, \mathrm{ran}(f) \subseteq Y\)，则称 \(f\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的映射或算子
- 特殊映射
- 部分映射：在定义域的某些点上没有定义的映射，通常记作 \(f: X \rightharpoonup Y\)
- 与部分映射相对的是（全）映射
- 设 \(g_1, g_2\) 是部分映射，则复合映射 \(g_2 \circ g_1\) 也是部分映射
- 设 \(g_1, g_2: X \rightharpoonup Y\)，则将 \(g_1 \subseteq g_2\) 记作 \(g_1 \sqsubseteq g_2\)，将 \(g_1 \supseteq g_2\) 记作 \(g_1 \sqsupseteq g_2\)
- 多值映射：设 \(X, Y\) 为集合，若 \(f: X \to 2^{Y}\)，则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 的多值函数，记作 \(f: X \Rightarrow Y\)
- 设 \(g: Y \Rightarrow Z\)，则对任意 \(x \in X\)，令 \((g \circ f)(x) = {\displaystyle \bigcup_{y \in f(x)} f(y)}\)
- 设 \(g: Y \Rightarrow Z\)，令 \((g \circledast f)(x)\left\{\begin{aligned} & \varnothing, & \exists y \in f(x): g(y) = \varnothing \\ & (g \circ f)(x), & \textsf{否则} \end{aligned}\right.\)
- 部分映射：在定义域的某些点上没有定义的映射，通常记作 \(f: X \rightharpoonup Y\)
- 映射的运算
- 逆映射：一个映射是可逆的当且仅当它是单射
- 如果 \(f\) 是可逆的，则 \(f^{-1}\) 也是可逆的且 \((f^{-1})^{-1} = f\)
- 当 \(f\) 为函数时，称 \(f^{-1}\) 为 \(f\) 的反函数
- 复合映射：令 \(f, g\) 为映射，则复合 \(h = g \circ f\) 也是映射，且 \(h\) 的定义域为 \(\mathrm{dom}(h) = \mathrm{dom}(f) \cap f^{-1}[\mathrm{dom}(g)]\)
- 对于所有 \(x \in \mathrm{dom}(h)\) 均有 \(h(x) = g(f(x))\)
- 简记 \([f^n](x) = \small \underbrace{\normalsize f \circ f \circ \cdots \circ f}_{\normalsize n} \normalsize (x)\)，并将其与 \(f^n(x)\) 区分
- 限制与扩张：对任意映射 \(f\) 与集合 \(A\)，称映射 \(g = f \upharpoonright A = \left\{(x, y) \in f \mid x \in A\right\}\) 为 \(f\) 到 \(A\) 上的限制，\(f\) 是 \(g\) 的扩张或延拓
- 逆映射：一个映射是可逆的当且仅当它是单射
- 相容性：对于映射 \(f, g\)，如果对所有的 \(x \in \mathrm{dom}(f) \cap \mathrm{dom}(g)\) 都有 \(f(x) = g(x)\)，则称映射 \(f, g\) 是相容的
- 如果映射的集合 \(\mathscr F\) 中任意两个映射都是相容的，则称 \(\mathscr F\) 为相容的系统
- 映射 \(f, g\) 相容当且仅当 \(f \cap g\) 是映射，当且仅当 \(f \upharpoonright \left(\mathrm{dom}(f) \cap \mathrm{dom}(g)\right) = g \upharpoonright \left(\mathrm{dom}(f) \cap \mathrm{dom}(g)\right)\)
- 令 \(X, Y\) 是集合，\(X\) 到 \(Y\) 的所有映射组成的集合定义为 \(Y^X = \left\{f \mid f: X \to Y\right\}\)
- 对任意集合 \(X, Y\)，\(X^Y\) 都是集合
- 对任意集合 \(X\)，有 \(\varnothing^{X} = \varnothing\)
- 注意到 \(\varnothing\) 到任意集合 \(Y\) 都有一个空函数 \(\varnothing_Y\)，因此对任意集合 \(Y\)，有 \(Y^{\varnothing} = \left\{\varnothing_{Y}\right\}\)
1.3 数系
1.3.1 自然数集
-
定义自然数：
\[ \begin{aligned} & 0 = \varnothing \\ & 1 = 0 \cup \{0\} = \{\varnothing\} \\ & 2 = 1 \cup \{1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \\ & 3 = 2 \cup \{2\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\} \\ & \cdots \end{aligned} \]则可定义全体自然数的集合 \(\mathbf N = \{n \mid \forall X \ (X\) 是归纳集 \(\to n \in X)\}\)
- 由分离公理与无穷公理可知，\(\mathbf N\) 是一个集合且唯一
- \(\mathbf N\) 是归纳集并且是任何归纳集的子集
- \(\mathbf N\) 上的归纳原理：令 \(\varphi(x)\) 为一性质
- 第一归纳原理：\((\varphi(0) \wedge \forall n \in N \ (\varphi(n) \to \varphi(n + 1))) \to \forall n \in \mathbf N \ \varphi(n)\)
- 第二归纳原理：\(\forall n \in N \ (\forall k < n \ \varphi(k) \to \varphi(n)) \to \forall n \in \mathbf N \ \varphi(n)\)
-
\(\mathbf N\) 上的序：定义 \(x \underline\in y = x \in y \vee x = y\)
- 对所有自然数 \(m, n, k\) 有
- \(0 \underline\in n\) 且 \(n \notin n\)
- \(n \subset n + 1\) 且 \(n \in n + 1\)
- \(k \in n + 1\) 当且仅当 \(k \underline\in n\)
- \(m \in n\) 当且仅当 \(m \subset n\)
- 如果 \(m \in n\)，则 \(m + 1 \underline\in n\)
- 如果 \(k \in m \wedge m \in n\) 则 \(k \in n\)
- 如果 \(x \in n\)，则 \(x \in \mathbf N\)
- 对任意 \(m, n \in \mathbf N\)，定义 \(m \leqslant n = m \underline\in n\) 且 \(m < n = m \in n\)
- \((N, \underline\in)\) 是一个全序集，\((\mathbf N \leqslant)\) 是一个良序集
- 对所有自然数 \(m, n, k\) 有
-
递归定理：对任意集合 \(A\)，任意 \(a \in A\) 以及任意映射 \(h: A \times \mathbf N \to A\)，存在唯一的映射 \(f: \mathbf N \to A\) 满足 ① \(f(0) = a\)；② 对所有 \(n \in N\)，有 \(f(n + 1) = g(f(n), n)\)
- 推广到带参数的递归定理：令 \(a: P \to A, g: P \times A \times \mathbf N \to A\) 为映射，则存在唯一的映射 \(f: P \times \mathbf N \to A\) 有 ① \(\forall p \in P \ (f(p, 0) = a(p))\)；② \(\forall n \in \mathbf N \ \forall p \in P \ (f(p, n + 1) = g(p, f(p, n), n))\)
-
定义加法：存在唯一的函数 \(+: \mathbf N \times \mathbf N \to \mathbf N\) 满足
- 对所有 \(m \in \mathbf N\) 有 \(+(m, 0) = m\)
- 对所有 \(m, n \in \mathbf N\) 有 \(+(m, S(n)) = S(+(m, n))\)
通常将 \(+(m, n)\) 写作 \(m + n\)
-
定义乘法：存在唯一的函数 \(\cdot: \mathbf N \times \mathbf N \to \mathbf N\) 满足
- 对所有 \(m \in \mathbf N\) 有 \(\cdot(m, 0) = 0\)
- 对所有 \(m, n \in \mathbf N\) 有 \(\cdot(m, S(n)) = +(\cdot(m, n), m)\)
通常将 \(\cdot(m, n)\) 写作 \(m \cdot n\) 或 \(mn\)
-
定义乘方：存在唯一的函数 \(p: \mathbf N \times \mathbf N \to \mathbf N\) 满足
- 对所有 \(m \in \mathbf N\) 有 \(p(m, 0) = 1\)
- 对所有 \(m, n \in \mathbf N\) 有 \(p(m, S(n)) = \cdot(p(m, n), n)\)
通常将 \(p(m, n)\) 写作 \(m^n\)，幂运算具有右结合性
常用运算符号
- 定义累加符号为 \({\displaystyle \sum_{i = k}^n f(i) = f(k) + f(k + 1) + \cdots + f(n)}\)，具有如下性质
- \({\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k =\sum_{j=0}^n a_j}\)
- \({\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k =\sum_{j=N}^{n+N} a_{j-N}}\)
- \({\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k+\sum_{k=0}^n b_k=\sum_{k=0}^n\left(a_k+b_k\right)}\)
- \({\displaystyle \left(\sum_{j=1}^m a_j\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)=\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n a_j b_k}\)
- \({\displaystyle \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n a_{j k}=\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^m a_{j k}}\)
- 定义累乘符号为 \({\displaystyle \prod_{i = k}^n f(i) = f(k) f(k + 1) \cdots f(n)}\)
- \({\displaystyle \prod_{k=0}^n a_k=\prod_{j=0}^n a_j}\)
- \({\displaystyle \prod_{k=0}^n a_k=\prod_{j=N}^{n+N} a_{j-N}}\)
- \({\displaystyle \prod_{k=0}^n a_k \prod_{k=0}^n b_k=\prod_{k=0}^n a_k b_k}\)
- \({\displaystyle \prod_{j=1}^m \prod_{k=1}^n a_{j k}=\prod_{k=1}^n \prod_{j=1}^m a_{j k}}\)
对于二元运算符 \(*\)，默认其运算具有左结合性：\(a * b * c = (a * b) * c\)
-
自然数集 \(\mathbf N\) 的性质
- \(\mathbf N\) 上的加法
- 加法交换律：\(\forall m, n \in \mathbf N \ (m + n = n + m)\)
- 加法结合律：\(\forall m, n, k \in \mathbf N \ ((m + n) + k = m + (n + k))\)
- 零元：\(\forall m \in \mathbf N \ (m + 0 = m)\)
- \(\mathbf N\) 上的乘法
- 乘法交换律：\(\forall m, n \in \mathbf N \ (m \cdot n = n \cdot m)\)
- 乘法结合律：\(\forall m, n, k \in \mathbf N \ ((m \cdot n) \cdot k = m \cdot (n \cdot k))\)
- 乘法对加法的分配律：\(\forall m, n, k \in \mathbf N \ (m \cdot (n + k) = m \cdot n+m \cdot k)\)
- 单位元：\(\forall m \in \mathbf N \ (m \cdot 1 = m)\)
- 自然数集上的序
- 反自反性：\(\forall n \in \mathbf N \ (n \nless n)\)
- 传递性：\(\forall m, n \in \mathbf N \ ((m < n \wedge n < k) \to m < k)\)
- 三歧性：\(\forall m, n \in \mathbf N \ (m < n \vee m = n \vee n < m)\)
- 加法保序性：\(\forall m, n, k \in \mathbf N \ (m < n \to m + k < n + k)\)
- 乘法保序性：\(\forall m, n, k \in \mathbf N \ ((m < n \wedge k \neq 0)\to mk < nk)\)
- \(\mathbf N\) 上的加法
1.3.2 整数集
- 整数集合：定义关系 \(\sim\) 是 \(\mathbf N \times \mathbf N\) 上的等价关系 \((m_1, n_1) \sim (m_2, n_2)\) 当且仅当 \(m_1 +^{\mathbf N} n_2 = m_2 +^{\mathbf N} n_1\)，令 \(\mathbf Z = \mathbf N \times \mathbf N / \sim\)．特别地，\(0^{\mathbf Z} = [(0, 0)]\)
- 定义整数集合上的序与运算
- 序：\([(m_1, n_1)] \leqslant^{\mathbf Z} [(m_2, n_2)] \leftrightarrow m_1 +^{\mathbf N} n_2 \leqslant^{\mathbf N} m_2 +^{\mathbf N} n_1\)
- 加法：\([(m_1, n_1)] +^{\mathbf Z} [(m_2, n_2)] = [(m_1 +^{\mathbf N} m_2), n_1 +^{\mathbf N} n_2]\)
- 乘法：\([(m_1, n_1)] \cdot^{\mathbf Z} [(m_2, n_2)] = [(m_1 \cdot^{\mathbf N} m_2 +^{\mathbf N} n_1 \cdot^{\mathbf N} n_2, m_1 \cdot^{\mathbf N} n_2 +^{\mathbf N} n_1 \cdot^{\mathbf N} m_2)]\)
-
零元：对任意整数 \(a\)，存在唯一的整数 \(a'\) 使得 \(a +^{\mathbf N} a' = 0^{\mathbf Z}\)
- 相反数与减法：将整数 \(a'\) 记作 \(-a\)，定义 \(a -^{\mathbf Z} b = a +^{\mathbf Z} (-b)\)
-
绝对值：设 \(a \in \mathbf Z\)，定义绝对值
\[ |a| = \left\{\begin{aligned} & a, & a \geqslant^{\mathbf Z} 0^{\mathbf Z} \\ & -a, & a <^{\mathbf Z} 0^{\mathbf Z} \end{aligned}\right. \]于是对于任意整数，\(|a| \geqslant^{\mathbf Z} 0^{\mathbf Z}\)
-
将 \(\mathbf Z\) 看作 \(\mathbf N\) 的扩张，称 \(\mathbf N\) 嵌入 \(\mathbf Z\) 中：存在函数 \(f: \mathbf N \to \mathbf Z\) 为 \(f(n) = [(n, 0)]\) 使得
- \(f\) 是单射且 \(f(0) = 0^{\mathbf Z}\)
- 对任意 \(m, n \in \mathbf N\) 有 \(m \leqslant^{\mathbf N} n\) 当且仅当 \(f(m) \leqslant^{\mathbf Z} f(n)\)
- 对任意 \(m, n \in \mathbf N\) 有 \(f(m +^{\mathbf N} n) = f(m) +^{\mathbf Z} f(n)\) 且 \(f(m \cdot^{\mathbf N} n) = f(m) \cdot^{\mathbf Z} f(n)\)
1.3.3 有理数集
- 有理数集合：令 \(\mathbf Z_+ = \{a \in \mathbf Z \mid a >^{\mathbf Z} 0^{\mathbf Z}\}\)，如果 \(\sim\) 是集合 \(\mathbf Z \times \mathbf Z_+\) 上的等价关系 \((a_1, b_1) \sim (a_2, b_2)\) 当且仅当 \(a_1 \cdot^{\mathbf Z} b_2 = a_2 \cdot^{\mathbf Z} b_1\)，则定义有理数集合 \(\mathbf Q = \mathbf Z \times \mathbf Z_+ / \sim\)．特别地，\(0^{\mathbf Q} = [(0^{\mathbf Z}, a)], 1^{\mathbf Q} = [(a, a)]\)
- 定义有理数集合上的序与运算
- 序：\([(a_1, b_1)] \leqslant^{\mathbf Q} [(a_2, b_2)] \leftrightarrow a_1 \cdot^{\mathbf Z} b_2 \leqslant^{\mathbf Z} a_2 \cdot^{\mathbf Z} b_1\)
- 加法：\([(a_1, b_1)] +^{\mathbf Q} [(a_2, b_2)] = [(a_1 \cdot^{\mathbf Z} b_2 +^{\mathbf Z} a_2 \cdot^{\mathbf Z} b_1, b_1 \cdot^{\mathbf Z} b_2]\)
- 乘法：\([(a_1, b_1)] \cdot^{\mathbf Q} [(a_2, b_2)] = [(a_1 \cdot^{\mathbf Z} a_2, b_1 \cdot^{\mathbf Z} b_2)]\)
- 本原元
- 零元：对任意有理数 \(p\)，存在唯一的有理数 \(p'\) 使得 \(p +^{\mathbf Q} p' = 0^{\mathbf Q}\)，记唯一的 \(p'\) 为 \(-p\)
- 单位元：对任意有理数 \(p \neq 0^{\mathbf Q}\)，存在唯一的有理数 \(p'\) 使得 \(p \cdot^{\mathbf Q} p' = 1^{\mathbf Q}\)
- 倒数：记唯一的 \(p'\) 为 \(p^{-1}\) 或 \(\dfrac 1p\)，称之为 \(p\) 的倒数
- 除法：定义 \(p \div^{\mathbf Q} q = p \cdot^{\mathbf Q} q^{-1}\)
- 将 \(\mathbf Q\) 看作 \(\mathbf Z\) 的扩张，称 \(\mathbf Z\) 嵌入 \(\mathbf Q\) 中：存在函数 \(f: \mathbf Z \to \mathbf Q\) 为 \(f(a) = [(a, 1)]\) 使得
- \(f\) 是单射且 \(f(0^{\mathbf Z}) = 0^{\mathbf Q}\)
- 对任意 \(a, b \in \mathbf Z\) 有 \(a \leqslant^{\mathbf Z} b\) 当且仅当 \(f(a) \leqslant^{\mathbf Q} f(b)\)
- 对任意 \(a, b \in \mathbf Z\) 有 \(f(a +^{\mathbf Z} b) = f(a) +^{\mathbf Q} f(b)\) 且 \(f(a \cdot^{\mathbf Z} b) = f(a) \cdot^{\mathbf Q} f(b)\)
- 有理数集的性质
- \(\text{Archimedes}\) 性质：\(\forall r \in \mathbf Q \ \exists k \in \mathbf N \ (|r| \leqslant^{\mathbf Q} k^{\mathbf Q})\)
- 稠密性：如果全序集 \((X, <)\) 至少有两个元素，且对任意 \(a, b \in X\)，如果 \(a < b\)，则存在 \(x \in X\) 有 \(a < x < b\)
- 有理数集合 \((\mathbf Q, <)\) 是稠密的
- 令 \((P, <_P)\) 为可数的无端点稠密线序，则 \((P, <_p)\) 与 \((\mathbf Q, <)\) 同构
- 分数：设 \(p = [(a, b)] \in \mathbf Q\)，则定义分数 \(p = \dfrac{a}{b}\)，读作 \(b\) 分之 \(a\)．其中 \(b\) 称作分母，\(a\) 称作分子
- 既约分数：满足 \((a, b) = 1\) 的分数
- 约分：将任一分数化作既约分数的过程
- 通分：把异分母分数化作与原分数相等的同分母分数
- 百分数：分母 \(b = 100^{\mathbf Z}\) 的特殊分数，此时有 \(a\% = \dfrac{a}{100^{\mathbf Z}} \times 100^{\mathbf Z}\%\)
-
比例：形如 \(p = a : b\) 的式子，其中 \(a\) 称作前项，\(b\) 称作后项，\(p\) 称作比值
比例的性质
- 设 \(a : b = c : d\)，则有
- 交叉积：\(a \cdot^{\mathbf Z} d = b \cdot^{\mathbf Z} c\)
- 更比定理：\(a : c = b : d\)
- 反比定理：\(d : c = b : a\)
- 合比定理：\((a+^{\mathbf Z}b) : a = (c+^{\mathbf Z}d) : c\)
- 分比定理：\((a-^{\mathbf Z}b) : a = (c-^{\mathbf Z}d) : c\)
- 合分比定理：\((a+^{\mathbf Z}b) : (a-^{\mathbf Z}b) = (c+^{\mathbf Z}d) : (c-^{\mathbf Z}d)\)
- 比例链：若几个比相等 \(a_1 : b_2 = a_2 : b_2 = \cdots = a_n : b_n\)，则可简写为比例链 \(a_1 : a_2 : \cdots : a_n = b_1 : b_2 : \cdots : b_n\)
-
等比公式：若 \(a_1 : a_2 : \cdots : a_n = b_1 : b_2 : \cdots : b_n\)，则
\[ \dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_1+^{\mathbf Z}a_2+^{\mathbf Z}\cdots+^{\mathbf Z}a_n}{b_1+^{\mathbf Z}b_2+^{\mathbf Z}\cdots+^{\mathbf Z}b_n}=\dfrac{\lambda_1 a_1+^{\mathbf Z}\lambda_2 a_2+^{\mathbf Z}\cdots+^{\mathbf Z}\lambda_n a_n}{\lambda_1 b_1+^{\mathbf Z}\lambda_2 b_2+^{\mathbf Z}\cdots+^{\mathbf Z}\lambda_n b_n}=\dfrac{\sqrt{a_1^2+^{\mathbf Z}a_2^2+^{\mathbf Z}\cdots+^{\mathbf Z}a_n^2}}{\sqrt{b_1^2+^{\mathbf Z}b_2^2+^{\mathbf Z}\cdots+^{\mathbf Z}b_n^2}} \]其中 \(\lambda_i\) 是一组任意不全为零的常数，\(b_i\) 都不等于零 \((i = 1,2, \cdots, n)\).
- 设 \(a : b = c : d\)，则有
- 既约分数：满足 \((a, b) = 1\) 的分数
1.3.4 实数集
-
实数集合：如果集合 \(A \subseteq\) 有
- \(A \neq \varnothing\) 且 \(A \neq \mathbf Q\)
- \(A\) 是向下封闭的，即如果 \(p \in A\) 且 \(q < p\)，则 \(q \in A\)
- \(A\) 没有最大元，即如果 \(p \in A\)，则存在 \(q \in A, p < q\)
则称 \(A\) 是 \(\text{Dedekind}\) 分割，全体分割集记为 \(\mathbf R\)，其元素称为实数．特别地，对于任意 \(p \in \mathbf Q\)，定义 \(p^{\mathbf R} = \left\{q \in \mathbf Q \mid q <^{\mathbf Q} p\right\}\)
-
实数集合的序与运算
- 实数集合上的序定义为 \(x_1 \leqslant^{\mathbf R} x_2\) 当且仅当 \(x_1 \subseteq x_2\)
- 实数集合上的加法定义为 \(x +^{\mathbf R} y = \left\{p +^{\mathbf Q} q \mid p \in x, q \in y\right\}\)
- 实数集合上的乘法定义
- 如果 \(x = 0^{\mathbf R}\) 或 \(y = 0^{\mathbf R}\)，则 \(x \cdot^{\mathbf R} y = 0^{\mathbf R}\)
- 如果 \(x >^{\mathbf R} 0^{\mathbf R}, y >^{\mathbf R} 0^{\mathbf R}\)，则 \(x \cdot^{\mathbf R} y = \left\{r \mid r \leqslant p \cdot^{\mathbf R} q, p \in x, q \in y, p, q >^{\mathbf Q} 0^{\mathbf Q}\right\}\)
- 其他情况由 \(x >^{\mathbf R} 0^{\mathbf R}, y >^{\mathbf R} 0^{\mathbf R}\) 定义：\(x \cdot^{\mathbf R} y = \left\{\begin{aligned} & (-x) \cdot^{\mathbf R} (-y), & x <^{\mathbf R} 0^{\mathbf R}, y <^{\mathbf R} 0^{\mathbf R} \\ & -((-x) \cdot^{\mathbf R} y), & x <^{\mathbf R} 0^{\mathbf R}, y >^{\mathbf R} 0^{\mathbf R} \\ & -(x \cdot^{\mathbf R} (-y)), & x >^{\mathbf R} 0^{\mathbf R}, y <^{\mathbf R} 0^{\mathbf R} \end{aligned}\right.\)
- 本原元
- 零元：对任意实数 \(x\)，存在唯一的实数 \(x'\) 使得 \(x +^{\mathbf R} x' = 0^{\mathbf x}\)，记唯一的 \(x'\) 为 \(-x\)
- 单位元：对任意实数 \(x \neq 0^{\mathbf R}\)，存在唯一的实数 \(x'\) 使得 \(x \cdot^{\mathbf R} x' = 1^{\mathbf R}\)，记唯一的 \(x'\) 为 \(\dfrac 1x\)
- 将 \(\mathbf R\) 看作 \(\mathbf Q\) 的扩张，称 \(\mathbf Q\) 嵌入 \(\mathbf R\) 中：存在函数 \(f: \mathbf Q \to \mathbf R\) 为 \(f(p) = p^{\mathbf R}\) 使得
- \(f\) 是单射且 \(f(0^{\mathbf Q}) = 0^{\mathbf R}\)
- 对任意 \(p, q \in \mathbf Q\) 有 \(p \leqslant^{\mathbf Q} q\) 当且仅当 \(f(p) \leqslant^{\mathbf R} f(q)\)
- 对任意 \(p, q \in \mathbf Q\) 有 \(f(p +^{\mathbf Q} q) = f(p) +^{\mathbf R} f(q)\) 且 \(f(p \cdot^{\mathbf Q} q) = f(p) \cdot^{\mathbf R} f(q)\)
-
实数集合子集的区间表示
集合 区间表示 名称 \(\left\{w \mid x \leqslant^{\mathbf R} w \leqslant^{\mathbf R} y\right\}\) \([x, y]\) 闭区间 \(\left\{w \mid x <^{\mathbf R} w <^{\mathbf R} y\right\}\) \((x, y)\) 开区间 \(\left\{w \mid x \leqslant^{\mathbf R} w <^{\mathbf R} y\right\}\) \([x, y)\) 半开半闭区间 \(\left\{w \mid x <^{\mathbf R} w \leqslant^{\mathbf R} y\right\}\) \((x, y]\) 半开半闭区间 \(\left\{w \mid w \geqslant^{\mathbf R} x\right\}\) \([x, +\infty)\) 半开半闭区间 \(\left\{w \mid w >^{\mathbf R} x\right\}\) \((x, +\infty)\) 开区间 \(\left\{w \mid w \leqslant^{\mathbf R} x\right\}\) \((-\infty, x]\) 半开半闭区间 \(\left\{w \mid w <^{\mathbf R} x\right\}\) \((-\infty, x)\) 开区间 \(\mathbf R\) \((-\infty, +\infty)\) 开区间 -
实数的分类
\[ \textsf{实数（无限小数）} \left\{\begin{aligned} & \textsf{有理数（无限循环小数）} \left\{\begin{aligned} & \textsf{正有理数} \\ & \textsf{零} \\ & \textsf{负有理数} \end{aligned}\right. \\ & \textsf{无理数（无限不循环小数）} \left\{\begin{aligned} & \textsf{正无理数} \\ & \textsf{负无理数} \end{aligned}\right. \end{aligned}\right. \] -
\(\text{Archimedes}\) 性质：\(\forall x \in \mathbf R \ \exists r \in \mathbf Q \ (|x| \leqslant^{\mathbf R} r^{\mathbf R})\)
1.3.5 复数集
- 复数集合：定义集合 \(\mathbf C = \mathbf R \times \mathbf R\)，称集合 \(\mathbf C\) 为复数集．特别地，对于任意 \(x \in \mathbf R\)，定义 \(x^{\mathbf C} = (x, 0^{\mathbf R})\)
- 复数集合的相关概念
- 复数集合上没有定义序关系
- 设 \(z = (x, y) \in \mathbf C\)，则称 \(x\) 为 \(z\) 的实部，记作 \(\text{Re}(z)\)；\(y\) 为\(z\) 的虚部，记作 \(\text{Im}(z)\)
- 设虚单位 \(\mathrm i = (0^{\mathbf R}, 1^{\mathbf R}) \in \mathbf C\)，记 \((x, y) = x^{\mathbf C} +^{\mathbf C} y^{\mathbf C} \cdot^{\mathbf C} \mathrm i\)，称之为复数 \((x, y)\) 的代数形式，称 \((0, y)\) 为纯虚数
- 复数集合的运算
- 复数集合上的加法定义为 \((x_1, y_1) +^{\mathbf C} (x_2, y_2) = (x_1 +^{\mathbf R} x_2, y_1 +^{\mathbf R} y_2)\)
- 复数集合上的乘法定义为 \((x_1, y_1) \cdot^{\mathbf C} (x_2, y_2) = (x_1 \cdot^{\mathbf R} x_2 -^{\mathbf R} y_1 \cdot^{\mathbf R} y_2, x_1 \cdot^{\mathbf R} y_2 +^{\mathbf R} y_1 \cdot^{\mathbf R} x_2)\)
- 本原元
- 零元：对任意复数 \(z\)，存在唯一的复数 \(z'\) 使得 \(z +^{\mathbf C} z' = 0^{\mathbf C}\)，记唯一的 \(z'\) 为 \(-z\)
- 单位元：对任意复数 \(z \neq 0^{\mathbf C}\)，存在唯一的复数 \(z'\) 使得 \(z \cdot^{\mathbf C} z' = 1^{\mathbf C}\)，记唯一的 \(z'\) 为 \(\dfrac 1z\)
-
将 \(\mathbf C\) 看作 \(\mathbf R\) 的扩张，称 \(\mathbf R\) 嵌入 \(\mathbf C\) 中：存在函数 \(f: \mathbf R \to \mathbf C\) 为 \(f(x) = x^{\mathbf C}\) 使得
- \(f\) 是单射且 \(f(0^{\mathbf R}) = 0^{\mathbf C}\)
- 对任意 \(x, y \in \mathbf R\) 有 \(x \leqslant^{\mathbf R} y\) 当且仅当 \(f(x) \leqslant^{\mathbf C} f(y)\)
- 对任意 \(x, y \in \mathbf R\) 有 \(f(x +^{\mathbf R} y) = f(x) +^{\mathbf C} f(y)\) 且 \(f(x \cdot^{\mathbf R} y) = f(x) \cdot^{\mathbf C} f(y)\)
记 \(f[\mathbf R] = \overline{\mathbf R}\)，并将其与 \(\mathbf R\) 等同，于是 \(\mathbf R = \overline{\mathbf R} \subseteq \mathbf C\)
-
共轭复数：若 \(x, y \in \mathbf R, w \in \mathbf C, z = x^{\mathbf C} +^{\mathbf C} y^{\mathbf C} \cdot^{\mathbf C} \mathrm i \in \mathbf C\)，则定义 \(\overline z = x^{\mathbf C} -^{\mathbf C} y^{\mathbf C} \cdot^{\mathbf C} \mathrm i\) 为 \(z\) 的共轭复数
- \(\overline{\overline{z}} = z\)
- \(\overline{z +^{\mathbf C} w} = \overline z +^{\mathbf C} \overline w, \overline{z \cdot^{\mathbf C} w} = \overline z \cdot^{\mathbf C} \overline w\)
- 设 \(z +^{\mathbf C} \overline z = (2^{\mathbf R} \cdot^{\mathbf R} \text{Re}(z))^{\mathbf C}, z -^{\mathbf C} \overline z = 2^{\mathbf C} \cdot^{\mathbf C} \mathrm i \cdot^{\mathbf C} \text{Im}(z)^{\mathbf C}\)
- 对于任意 \(z \in \mathbf C\)，存在 \(x \in \mathbf R\) 使得 \(z \cdot^{\mathbf C} \overline z = x^{\mathbf C}\) 且 \(x \geqslant^{\mathbf R} 0^{\mathbf R}\)
- 模：设 \(z, w \in \mathbf C, x^{\mathbf C} = z \cdot^{\mathbf C} \overline z\)，定义模 \(|z| = \sqrt{x}\)
- \(|\overline z| = |z|, |\text{Re}(z)| \leqslant^{\mathbf R} |z|, |\text{Im}(z)| \leqslant^{\mathbf R} |z|, |z| \leqslant^{\mathbf R} |\text{Re}(z)| + |\text{Im}(z)|\)
- \(|z| \geqslant^{\mathbf R} 0^{\mathbf R}\)，等号成立当且仅当 \(z^{\mathbf C} = 0^{\mathbf C}\)
- \(|z +^{\mathbf C} w| \leqslant^{\mathbf R} |z| +^{\mathbf R} |w|, |z \cdot^{\mathbf C} w| = |z| \cdot^{\mathbf R} |w|\)