2 集合代数

2.1 滤与理想

2.1.1 拓扑与滤

拓扑：设 \(X\) 为非空集合，\(X\) 的子集族 \(T \subseteq \mathcal{P}(X)\) 如果满足
1. \(X, \varnothing\in T\)
2. 若 \(A, B \in T\)，则 \(A \cap B \in T\)
3. 若 \(S \subseteq T\)，则 \({\displaystyle \bigcup_{A \in S} A} \in T\)
则称 \(T\) 是 \(X\) 的一个拓扑，\(T\) 中的元素为开集
1. 称开集的补集为闭集，既是开集也是闭集的集合为开闭集
2. 设 \(A \subseteq B \subseteq X\)，若存在开集 \(C\) 使得 \(A \subseteq C \subseteq B\)，则称 \(B\) 是 \(A\) 的邻域
设 \(X\) 为非空集合，\(X\) 的子集族 \(F \subseteq \mathcal{P}(X)\) 如果满足
1. \(X \in F\)
2. 若 \(A, B \in F\)，则 \(A \cap B \in F\)
3. 若 \(A \in F\) 且 \(A \subseteq B\)，则 \(B \in F\)
则称 \(F\) 为 \(X\) 上的预滤或滤基
1. 记 \(\mathbf{F}\) 为 \(X\) 上的全体预滤，则 \((\mathbf{F}, \subseteq)\) 构成偏序集，对 \(F, G \in \mathbf{F}\)，定义 \(F \leqslant G\) 当且仅当 \(G \subseteq F\)，称 \(F\) 是 \(G\) 的细分
2. 设 \(f: X \to Y\)，且 \(F \subseteq \mathcal P (X)\) 是 \(X\) 上的预滤，定义 \(f_{F} = \{f[A] \mid A \in F\} = \{A \mid f^{-1}[A] \in F\}\)
  1. \(G\) 是 \(g[Y]\) 上的预滤
  2. 若 \(g\) 是满射，则 \(G\) 是 \(Y\) 上的预滤
3. 设 \(f: X \to Y\)，\(F \subseteq \mathcal P (X), G \subseteq \mathcal P (Y)\) 分别是 \(X, Y\) 上的预滤
  1. 定义 \(F \sqcap G = \{f \cap G \mid f \in F, g \in G\}\)，则 \(F \sqcap G\) 是一个滤
  2. 若 \(f_{F} \leqslant G\)，则称 \(f\) 沿 \(F\) 趋近于（或收敛于）\(G\)，记作 \(f(F) \to G\) 或 \({\displaystyle \lim_{F} f = G}\)
  3. 若 \(Y\) 是一个拓扑空间，对于 \(y \in Y\)，定义邻域系 \(N(y) = \{S \subseteq X \mid\) 存在开集 \(U \subseteq S, x \in U \}\)，则 \(N(y)\) 是一个滤
    1. 若 \(f(F) \to N(y)\)，则称 \(f\) 沿 \(F\) 趋近于（或收敛于）\(y\)，记作 \(f(F) \to y\) 或 \({\displaystyle \lim_{F} f = y}\)
    2. 若 \(X\) 也是一个拓扑空间，则根据 \(F\) 的选择可以定义不同种类的函数（或序列）极限
滤：设 \(X\) 为非空集合，\(F\) 为 \(X\) 上的预滤且 \(\varnothing \notin F\)（即 \(F \subset \mathcal P(X)\)），则称 \(F\) 为 \(X\) 上的滤
1. 平凡滤：\(F=\{X\}\) 是 \(X\) 上的滤，也是 \(X\) 上最小的滤且是 \(X\) 上任何滤的子集，称之为平凡滤
2. 主滤：令 \(A \subseteq X\) 非空，定义 \(F=\{S \subseteq X \mid A \subseteq S\}\)，则 \(F\) 是 \(X\) 上的滤，称之为由 \(A\) 生成的 \(X\) 上的主滤，记作 \(P(A)\)
3. 极大滤：对任意滤 \(F\)，如果不存在滤 \(F^{\prime}\) 使得 \(F \subset F^{\prime}\)，则称 \(F\) 为极大滤
4. \(\text{Fr}\acute{\mathrm e}\text{chet}\) 滤：取无穷集 \(X\)，定义 \(F=\{S \subseteq X \mid X-S \textsf{ 有穷}\}\)，则 \(F\) 是 \(S\) 上的滤且不是主滤，称为 \(\text{Fr}\acute{\mathrm e}\text{chet}\) 滤
5. 超滤：\(X\) 上的滤 \(U\) 如果满足对任意 \(S \subseteq X\) 都有 \(S \in U\) 或 \(X-S \in U\)，则称 \(U\) 为超滤
  1. 集合 \(S\) 上的滤 \(F\) 是超滤当且仅当 \(F\) 是 \(S\) 上的极大滤
  2. 超滤存在定理：集合 \(X\) 上的任何滤 \(F_{0}\)，都存在超滤 \(G\) 使得 \(F_{0} \subseteq G\)．该命题无法在 \(\mathbf{ZF}\) 内得证
  3. 主超滤：设 \(A \subseteq X\) 为非空子集，\(F=\{S \subseteq X \mid A \subseteq S\}\) 是主滤，则 \(A\) 是单点集当且仅当 \(F\) 是（主）超滤
6. \(\kappa-\)完全滤：如果集合 \(X\) 上的滤 \(F\) 满足「若 \(F^{\prime} \subseteq F\) 且 \(\left|F^{\prime}\right|<\kappa\)，则 \(\bigcap F^{\prime} \in F\)」，则称 \(F\) 是 \(\kappa-\)完全的
有穷交性质

对任意集合族 \(G\)，如果 \(G\) 的任意有穷个子集 \(H_1, H_2, \cdots, H_n\) 都满足 \({\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} H_i \neq \varnothing}\)，则称 \(G\) 具有有穷交性质
1. 任何滤都有有穷交性质
2. 任取集合 \(X\)，令 \(G \subseteq \mathcal{P}(X)\) 为具有有穷交性质的非空集合族，则存在 \(X\) 上的滤 \(F\) 使得 \(G \subseteq F\)，称滤 \(F\) 为 \(G\) 生成的滤
  1. \(G_0 = G\)
  2. 若 \(n = 2i+ 1\)，则 \(G_n = {\displaystyle \left\{\left.\bigcap_{1 \leqslant k \leqslant m} A_k \ \right| \ A_1, A_2, \cdots, A_m \in G_{2i}, m \in \mathbf N\right\}}\)
  3. 若 \(n = 2i + 2\)，则 \(G_n = \{B \subseteq I \mid\) 存在 \(A \in G_{2i+1}\) 使得 \(A \subseteq B \}\)
  令 \(\overline G = {\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbf N} G_i}\)，则 \(\overline G\) 是包含 \(G\) 的一个滤

2.1.2 理想与对偶性

理想：设 \(X\) 为非空集合，\(X\) 的子集族 \(I \subseteq \mathcal{P}(X)\) 如果满足
1. \(\varnothing \in I\) 且 \(X \notin I\)
2. 若 \(A, B \in I\)，则 \(A \cup B \in I\)
3. 若 \(A \in I\) 且 \(B \subseteq A\)，则 \(B \in I\)
则称 \(I\) 为 \(X\) 上的理想
1. 平凡理想：\(I = \{\varnothing\}\) 是 \(X\) 上的平凡理想
2. 主理想：对任意 \(A \subseteq X\)，定义 \(I=\{S \mid S \subseteq A\}\)，称为由 \(A\) 生成的 \(X\) 上的主理想
3. 极大理想：对任意理想 \(I\)，如果不存在理想 \(I^{\prime}\) 使得 \(I \subset I^{\prime}\)，则称 \(I\) 为极大理想
4. \(\text{Fr}\acute{\mathrm e}\text{chet}\) 理想：对任意无穷集合 \(X\)，\(X\) 的所有有穷集组成的集合族 \(I\) 是 \(X\) 上的理想且不是主理想，称为 \(\text{Fr}\acute{\mathrm e}\text{chet}\) 理想
5. 素理想：\(X\) 上的理想 \(I\) 如果满足对任意 \(S \subseteq X\) 都有 \(S \in I\) 或 \(X-S \in I\)，则称 \(I\) 为素理想
6. \(\kappa-\)完全理想：如果集合 \(X\) 上的理想 \(I\) 满足「若 \(I^{\prime} \subseteq I\) 且 \(\left|I^{\prime}\right|<\kappa\)，则 \(\bigcup I^{\prime} \in I\)」，则称 \(I\) 是 \(\kappa-\)完全的
滤与理想的对偶性
1. 若 \(F\) 是 \(X\) 上的滤，\(I\) 是 \(X\) 上的理想，则 \(\{X-S \mid S \in F\}\) 是 \(X\) 上的理想，\(\{X-S \mid S \in I\}\) 是 \(S\) 上的滤
2. 令 \(\kappa\) 为无穷基数，则 \(\{S \subseteq \kappa\mid |\kappa-S|<\kappa\}\) 是 \(\kappa\) 上的滤，\(\{X \subseteq \kappa\mid |X| <\kappa\}\) 是 \(\kappa\) 上的理想
3. 对任意无穷基数 \(\kappa\)，\(\kappa-\)完全滤与 \(\kappa-\)完全理想为对偶概念
  1. 任何滤与理想都是 \(\aleph_{0}-\)完全的，\(\aleph_{1}-\)完全的滤和理想在历史上称为 \(\sigma-\)完全的
  2. 可数完全的滤是对有穷交封闭的，\(\aleph_{1}-\)完全的滤对可数交封闭

2.2 代数与类

2.2.1 环与格

环：设 \(R \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) 是一个非空集族，若有
1. 若 \(A, B \in R\)，则 \(A \cup B \in R\) 且 \(A - B \in R\)
2. 若 \(A, B \in R\)，则 \(A \cap B \in R\) 且 \(A \triangle B \in R\)
其中之一成立，则称 \(R\) 为 \(\Omega\) 上的环
\(\sigma\) 环：设 \(C \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) 是一个非空集族，若有
1. 若 \(A, B \in C\)，则 \(A - B \in C\)
2. 若对 \(n \geqslant 1, A_{n} \in C\)，则 \({\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \in C}\)
则称 \(C\) 为 \(\Omega\) 上的 \(\sigma\) 环
1. \(F\) 为 \(\sigma\) 域的充要条件是 \(F\) 为一个包含 \(\Omega\) 的 \(\sigma\) 环
2. 在 \(\sigma\) 环中，对可数集合序列的交集、上限、下限运算也是封闭的
格：设 \(L \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) 是一个非空集族，若有
1. \(\varnothing \in L\)
2. 若 \(A, B \in R\)，则 \(A \cup B \in R\) 且 \(A \cap B \in R\)
则称 \(L\) 为 \(\Omega\) 上的格

2.2.2 域与 σ 域

半域：设 \(S \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) 是一个非空集族，若有
1. \(\varnothing, \Omega \in S\)
2. 当 \(A, B \in S\)，必有 \(A \cap B \in S\)
3. 若 \(A \in S\)，则 \(A'\) 可表为 \(S\) 中两两互不相交集合的有穷并
则称 \(S\) 为 \(\Omega\) 上的半域或半代数
1. 域必为半域
2. 若 \(S\) 为半域，则 \({\displaystyle A=\left\{A=\sum_{i \in I} S_{i}:\left\{S_{i}, i \in I\right\} \textsf{ 为 } S \textsf{ 中两两互不相交的有穷族}\right\}}\) 是包含 \(S\) 的最小域
域：设 \(A \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) 是一个非空集族，若 \(A, B \in A\) 蕴含 \(A' \in A\) 与 \(A \cup B \in A\)，则称 \(A\) 为 \(\Omega\) 上的域或代数
1. 设 \(A\) 是域，则有
  1. \(\Omega \in A, \varnothing \in A\)
  2. 若 \(A, B \in A\)，则 \(A \cap B \in A, A - B \in A, A \triangle B \in A\)
  3. 若 \(A_{j} \in A, 1 \leqslant j \leqslant n\)，则 \({\displaystyle \bigcup_{j=1}^{n} A_{j} \in A, \bigcap_{j=1}^{n} A_{j} \in A}\)
2. 若 \(C \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\)，则必存在包含 \(C\) 的最小域 \(A\)．即 \(A\) 为域，\(A \supseteq C\) 且对任一域 \(A^{\prime} \supseteq C\)，必有 \(A \subseteq A^{\prime}\)
  1. 对任一集族 \(C\)，包含 \(C\) 的最小域称为由 \(C\) 张成的域，记为 \(A(C)\)
  2. \(\Omega\) 中由单点集全体张成的域就是由 \(\Omega\) 中有穷集及其余集全体构成的集族
\(\sigma\) 域：设 \(F \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) 是一个非空集族，若有
1. 若 \(A \in F\)，则 \(A' \in F\)
2. 若对每个 \(n \geqslant 1\) 都有 \(A_{n} \in F\)，则 \({\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{n} \in F}\)
则称 \(F\) 为 \(\Omega\) 上的 \(\sigma\) 域或 \(\sigma\) 代数
1. \(F\) 为 \(\sigma\) 域，则 \(F\) 为一个域，且当 \(n \geqslant 1, A_{n} \in F\) 时，必有 \({\displaystyle \bigcap_{n \geqslant 1} A_{n} \in F, \varliminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} \in F, \varlimsup_{{n \rightarrow \infty}} A_{n} \in F}\)
2. 若 \(C \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\)，则必存在包含 \(C\) 的最小 \(\sigma\) 域
  1. 包含集族 \(C\) 的最小 \(\sigma\) 域称为由 \(C\) 生成的 \(\sigma\) 域，记为 \(\sigma(C)\)
  2. 对 \(\Omega\) 的子集族 \(C\)，若以 \(C \cap A\) 表示集族 \(\{B A: B \in C\}\)，则 \(\sigma_{\Omega}(C) \cap A=\sigma_{A}(C \cap A)\)

2.2.3 单调类

单调类：设 \(M\) 是 \(\mathcal{P}(\Omega)\) 的非空子集族，若对任一集合序列 \(\{A_{n}, n \geqslant 1\} \subseteq M\)，且
1. 当 \(\left\{A_{n}\right\}\) 递增时，即 \(A_{n} \subseteq A_{n+1}\)，必有 \({\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \in M}\)
2. 当 \(\left\{A_{n}\right\}\) 递减时，即 \(A_{n} \supseteq A_{n+1}\)，必有 \({\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in M}\)
则称 \(M\) 为 \(\Omega\) 上的单调类
1. 若非空 \(C \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\)，则必存在包含 \(C\) 的最小单调类 \(M(C)\)，也称为由 \(C\) 生成的单调类
2. \(F\) 为 \(\sigma\) 域的充要条件是 \(F\) 既是域又是单调类
3. 单调类定理：若 \(A\) 为域，则 \(\sigma(A)=M(A)\)
\(\pi\) 类：设 \(C\) 是 \(\mathcal{P}(\Omega)\) 的非空子集族，若当 \(A, B \in C\) 时必有 \(A \cap B \in C\)，则称 \(C\) 为 \(\Omega\) 上的 \(\pi\) 类

\(\lambda\) 类：设 \(D\) 是 \(\mathcal{P}(\Omega)\) 的非空子集族，若它满足
1. 当 \(A \in D\) 时必有 \(A' \in D\)
2. 当 \(A, B \in D\) 且 \(A \cap B=\varnothing\) 时，必有 \(A+B \in D\)
3. 对递增序列 \(\left\{A_{n}\right\}_{n \geqslant 1} \subseteq D\)，必有 \({\displaystyle \lim _{n \to \infty} A_{n} \in D}\)
则称 \(D\) 为 \(\Omega\) 上的 \(\lambda\) 类
1. \(F\) 为 \(\sigma\) 域的充要条件是它同时为 \(\lambda\) 类和 \(\pi\) 类
2. 对 \(\mathcal{P}(\Omega)\) 的任一子类 \(C\)，必存在包含 \(C\) 的最小 \(\lambda\) 类 \(\lambda(C)\)
3. 若 \(C\) 为 \(\pi\) 类，则 \(\lambda(C)=\sigma(C)\)
4. 若 \(D\) 是 \(\lambda\) 类，又 \(C\) 为 \(\pi\) 类，\(D \supseteq C\)，则 \(D \supseteq \sigma(C)\)
\(\mathscr{L}\) 类：设 \(L\) 为 \(\Omega\) 上的函数族，当 \(X \in L\) 时，\(X^{+}, X^{-} \in L\)．若 \(\Omega\) 上的函数族 \(H\) 有
1. \(1 \in H\)
2. \(H\) 是线性空间
3. 设 \(X_{n} \geqslant 0, X_{n} \in H, X_{n} \uparrow X\) 且 \(X\) 有界或 \(X \in L\)，则 \(X \in H\)
则称其为 \(H\) 上的 \(\mathscr{L}\) 类

2.3 描述集合论

2.3.1 投影集层谱

\(\text{Borel}\) 域：若 \(E\) 为拓扑空间，则称 \(E\) 中全体开集生成的 \(\sigma\) 域为 \(E\) 上的 \(\text{Borel}\) 域，记作 \(B_{E}\)，称其中的集合为 \(E\) 中的 \(\text{Borel}\) 集
1. 称 \(n\) 维 \(\text{Euclid}\) 空间 \(\mathbf{R}^{n}\) 中的 \(\text{Borel}\) 点集为 \(n\) 维 \(\text{Borel}\) 点集
  1. 通常记实数集 \(\mathbf{R} = \omega^{\omega} = \{f \mid f: \omega \to \omega\}\)
  2. \(\omega^{\omega}\) 上存在一个自然的拓扑：对任意 \(\sigma \in \omega^{< \omega}\)，取其所有尾节扩张 \([\sigma]^{\prec} = \{f \in \omega^{< \omega} \mid \sigma \prec f\}\)，则通常将以 \(\{[\sigma]^{\prec} \mid \sigma \in \omega^{< \omega}\}\) 为拓扑基生成的拓扑空间作为 \(\text{Baire}\) 空间
2. 正则性：设 \(X \in B_{E}\) 是 \(\text{Borel}\) 集
  1. \(\text{Lebesgue}\) 可测性：对于任意实数集 \(A\) 都有 \(\mu^{*}(A)=\mu^{*}(A \cap X)+\mu^{*}(A-X)\)，其中 \(\mu^{*}\) 是外测度
  2. \(\text{Baire}\) 性质：存在一个开集 \(U\) 使得 \(X \triangle U\) 是第一纲集
  3. 完全集性质：集合 \(X\) 或者是可数的，或者包含一个非空完全集；若 \(X\) 是闭集也不含有孤立点，则称 \(X\) 是完全集
3. 分析集：集合 \(A\) 是分析集当且仅当 \(A\) 是一个 \(\text{Borel}\) 集的投影，即存在 \(B \subseteq \mathbf R^{n+1}\) 使得 \(A = \{\overline x \in \mathbf R^{n} \mid \exists y \ (\overline x, y) \in B\}\)
  1. 称集合为余分析集当且仅当其补集为分析集，集合为 \(\text{Borel}\) 集当且仅当它既是分析集也是余分析集
  2. 任意分析集都具有正则性质
\(\text{Borel}\) 集层谱：对 \(\alpha < \omega_1\)，递归定义 \(\mathbf{\Pi}_{\alpha}^{0}, \mathbf{\Sigma}_{\alpha}^{0}, \mathbf{\Delta}_{\alpha}^{0}\)
1. 所有开集都是 \(\mathbf{\Sigma}_{1}^{0}\) 的，所有闭集都是 \(\mathbf{\Pi}_{1}^{0}\) 的
2. 集合 \(X\) 为 \(\mathbf{\Pi}_{\alpha}^{0}\) 的当且仅当其补集为 \(\mathbf{R} - X\) 为 \(\mathbf{\Sigma}_{\alpha}^{0}\) 的
3. 集合 \(X\) 为 \(\mathbf{\Delta}_{\alpha}^{0}\) 的当且仅当 \(X\) 既是 \(\mathbf{\Pi}_{\alpha}^{0}\) 的也是 \(\mathbf{\Sigma}_{\alpha}^{0}\) 的
4. 对 \(\alpha > 1\)，集合 \(X\) 是 \(\mathbf{\Sigma}_{\alpha}^{0}\) 的当且仅当存在集合序列 \(\left<X_{i}\right>_{i < \omega}\) 使得 \(X = {\displaystyle \bigcup_{i < \omega} X_{i}}\)，其中每个 \(X_i\) 都是某个 \(\mathbf{\Pi}_{\beta_i}^{0}\) 集合且 \(\beta_i < \alpha\)
细体字版 \(\text{Borel}\) 集层谱扩展了算术层谱，增加了额外 \(\text{Borel}\) 集
1. \(\alpha < \beta\) 蕴含 \(\mathbf{\Sigma}_{\alpha}^{0} \subsetneq \mathbf{\Delta}_{\beta}^{0}\) 与 \(\mathbf{\Pi}_{\alpha}^{0} \subsetneq \mathbf{\Delta}_{\beta}^{0}\)
2. 闭集即 \(\mathbf{\Pi}_{1}^{0}\) 的集合
3. \(\text{Borel}\) 集即 \({\displaystyle \bigcup_{\alpha < \omega_1} \mathbf{\Sigma}_{\alpha}^{0} = \bigcup_{\alpha < \omega_1} \mathbf{\Pi}_{\alpha}^{0}}\) 的集合
投影集层谱：对 \(n < \omega\)，递归定义 \(\mathbf{\Pi}_{n}^{1}, \mathbf{\Sigma}_{n}^{1}, \mathbf{\Delta}_{n}^{1}\)
1. 所有分析集为 \(\mathbf{\Sigma}_{1}^{1}\) 的
2. 集合 \(X \subseteq \mathbf{R}^{n}\) 为 \(\mathbf{\Pi}_{n}^{1}\) 的当且仅当存在 \(\mathbf{\Sigma}_{n}^{1}\) 集合 \(Y\) 使得 \(X = \mathbf{R}^{n} - Y\)
3. 集合 \(X\) 为 \(\mathbf{\Delta}_{n}^{1}\) 的当且仅当 \(X\) 既是 \(\mathbf{\Pi}_{n}^{1}\) 的也是 \(\mathbf{\Sigma}_{n}^{1}\) 的
4. 集合 \(X \subseteq \mathbf{R}^{n}\) 是 \(\mathbf{\Sigma}_{n + 1}^{1}\) 的当且仅当它是某个 \(\mathbf{\Pi}_{n}^{1}\) 集的投影，即存在 \(\mathbf{\Pi}_{n}^{1}\) 的集合 \(Y \subseteq \mathbf R^{n+1}\) 使得 \(X = \{\overline x \in \mathbf R^{n} \mid \exists y \ (\overline x, y) \in Y\}\)
细体字版投影集层谱等价于分析层谱；粗体字投影集层谱等价于以实数为参数的分析层谱
1. \(n < m\) 蕴含 \(\mathbf{\Sigma}_{n}^{1} \subsetneq \mathbf{\Delta}_{m}^{1}\) 与 \(\mathbf{\Pi}_{n}^{1} \subsetneq \mathbf{\Delta}_{m}^{1}\)
2. 余分析集即 \(\mathbf{\Pi}_{1}^{1}\) 的集合
3. \(\text{Borel}\) 集即 \(\mathbf{\Delta}_{1}^{1}\) 的集合
假设 \(\operatorname{Con}(\mathbf{ZFC} +\)存在不可达基数\()\)，则存在 \(\mathbf{V}\) 的脱殊扩张 \(\mathbf{V}[G]\) 使得所有以可数序数序列为参数可定义的实数集具有正则性质
1. 若 \(\mathbf{V} = \mathbf{L}\)，则存在一个不满足完全集性质的 \(\mathbf{\Pi}_{1}^{1}\) 集与不可测且没有 \(\text{Baire}\) 性质的 \(\mathbf{\Sigma}_{2}^{1}\) 集
2. 在 \(\mathbf{L}(R)^{\mathbf{V}[G]}\) 中，所有实数集都具有正则性质
3. \(\mathbf{ZFC}\) 中无法证明投影集不具有正则性质；\(\mathbf{ZF}\) 中无法证明任何集合不具有正则性质

2.3.2 无穷博弈

\(\text{Gale}-\text{Stewart}\) 博弈：对任意非空集合 \(X\)，记由函数 \(S_1, S_2: X^{<\omega} \to X\) 通过

\[ x_{i} = \left\{\begin{aligned} & S_1(x_0, x_1, ..., x_{2k-1}), & i = 2k \\ & S_2(x_0, x_1, ..., x_{2k}), & i = 2k+1 \end{aligned}\right. \]

定义的无穷序列 \(x = \left<x_i\right>_{i < \omega}\) 为 \(S_1 \# S_2\)
1. 设集合 \(A \subseteq X^{\omega}\)，若 \(\exists S_1 \forall S_2 \ (S_1 \# S_2 \in A) \vee \exists S_1 \forall S_2 \ (S_1 \# S_2 \notin A)\)，则称博弈 \(G_{X}(A)\) 是被决定的
  1. 开集都是被决定的，一般地，所有 \(\text{Borel}\) 集都是被决定的
  2. 若所有 \(\mathbf{\Delta}_{n}^{1}\) 集合都是被决定的，则所有 \(\mathbf{\Sigma}_{n}^{1}\) 集合都具有正则性质
2. 设公式层级 \(\Phi \in \{\Sigma_{n}^{m}, \Pi_{n}^{m}, \Delta_{n}^{m}\}\)，\(\varphi(X), \psi(X)\) 是任意 \(\Phi\) 公式
  1. 若 \(\exists S_1 \forall S_2 \ \varphi \left(S_1 \# S_2\right) \vee \exists S_1 \forall S_2 \ \neg \varphi\left(S_1 \# S_2\right)\)，则称 \(\Phi-\)博弈是被决定的
  2. 若 \(\theta(X) = \phi(X) \wedge \neg \psi(X)\) 且 \(\exists S_1 \forall S_2 \ \theta \left(S_1 \# S_2\right) \vee \exists S_1 \forall S_2 \ \neg \theta\left(S_1 \# S_2\right)\)，则称 \(\Phi_{\rho}-\)博弈是被决定的
决定公理（\(\mathrm{AD}\)）：对任意实数集 \(A \subseteq \omega^{\omega}\)，\(G_{\omega}(A)\) 是被决定的
1. 假设 \(\mathrm{AD}\) 成立，那么
  1. 所有实数集都具有正则性质
  2. \(\omega_1\) 在 \(\mathbf{L}\) 是不可达基数，因此 \(\operatorname{Con} (\mathbf{ZF} + \mathrm{AD}) \to \operatorname{Con} (\mathbf{ZFC}\;+\) 存在不可达基数\()\)
2. 决定性公理与选择公理不一致：假设 \(\mathbf{AC}\) 成立，则存在 \(A \subseteq \omega^{\omega}\)，\(G_{\omega}(A)\) 不是被决定的
投影集决定公理（\(\mathrm{PD}\)）：所有投影集都是被决定的
1. 假设 \(\mathrm{PD}\) 成立，则所有投影集都具有正则性质
2. 假设 \(\mathrm{PD}^{\mathbf{L}(\mathbf{R})}\) 成立，则所有 \(\mathbf{L}(\mathbf{R})\) 中的集合都具有正则性质