3 稳定理论

3.1 可数模型

3.1.1 省略型定理

设 \(T\) 是有无穷模型的完备 \(S-\)理论，并且 \(T\) 可数，则以下命题等价
1. 对任意的 \(n \in \mathbf{N}^{+}\)，\(S_{n}(T)\) 可数
2. 对任意的 \(A \vDash T\)，若 \(M \subseteq A\) 是有限集合，则 \(S_{1}(M, A)\) 可数
3. 对任意的 \(n \in \mathbf{N}^{+}\) 与 \(A \vDash T\)，若 \(M \subseteq A\) 是有限集合，则 \(S_{n}(M, A)\) 可数
主型：设 \(T\) 是一个 \(S-\)理论，\(\Sigma\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right)\) 是 \(T\) 的一个 \(n-\)型．如果存在一个 \(S-\)公式 \(\alpha\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right)\)，使得
1. \(T \cup \alpha\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right)\) 是一致的
2. 对任意 \(\beta\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right) \in \Sigma\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right)\)，均有 \(T \vDash \forall x_{0}, \cdots, x_{n-1} \ \left(\alpha\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right) \rightarrow \beta\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right)\right)\)
则称 \(\Sigma\) 是 \(T\) 的一个主 \(n-\)型，简称主型，并称 \(\alpha\) 孤立了 \(\Sigma\)；否则称 \(\Sigma\) 是 \(T\) 的一个非主 \(n-\)型，简称非主型
1. 省略型定理：若 \(S-\)理论 \(T\) 是可数理论，\(\Sigma(\overline{x})\) 是 \(T\) 的非主 \(n-\)型，则存在 \(T\) 的一个模型 \(A\) 使得 \(A\) 省略 \(\Sigma(\overline{x})\)
2. 若 \(S-\)理论 \(T\) 是可数理论，\(X\) 是 \(T\) 的可数多个非主型，则存在可数的 \(A \vDash T\) 使得 \(A\) 可以省略任意的 \(p \in X\)

3.1.2 素模型

原子结构与原子公式：设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构
1. 若对任意的 \(n \in \mathbf{N}^{+}\) 与 \(\overline{a} \in A^{n}\)，都有 \(\operatorname{tp}_{A}(\overline{a})\) 是主型，则称 \(A\) 是原子结构
2. 设 \(M \subseteq A\)，若对任意的 \(n \in \mathbf{N}^{+}\) 与 \(\overline{a} \in A^{n}\)，\(\operatorname{tp}_{A}(\overline{a} / M)\) 都是主型，则称 \(A\) 是 \(M\) 上的原子结构
3. 设 \(T\) 是一个完全 \(S-\)理论，若存在 \(p \in S_{n}(T)\) 使得 \(p=[\alpha]\)，即 \(\alpha\) 孤立了 \(S_{n}(T)\) 中的一个型，则称公式 \(\alpha\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right)\) 是 \(T\) 的原子公式（或完全公式）
设 \(T\) 是有无穷模型的可数完备 \(S-\)理论，则下列命题等价
1. \(T\) 有一个原子模型
2. \(T\) 有一个可数的原子模型
3. 对任意的 \(n \in \mathbf{N}, S_{n}(T)\) 中的孤立/主型是稠密的
素模型：设 \(T\) 是一个完备的 \(S-\)理论，\(A\) 是 \(T\) 的一个模型，若对任意的 \(B \vDash T\)，均存在 \(A\) 到 \(B\) 的初等嵌入，则称 \(A\) 是素模型
1. 设 \(T\) 是有无穷模型的可数完备 \(S-\)理论，\(A\) 是一个 \(T\) 的模型
  1. \(A\) 是 \(T\) 的素模型当且仅当 \(A\) 是 \(T\) 的可数原子模型
  2. \(T\) 的原子模型都是 \(\omega-\)齐次的
  3. \(T\) 的素模型之间相互同构
2. 设 \(T\) 是有无穷模型的可数完备 \(S-\)理论
  1. 设 \(n \in \mathbf{N}\)，若 \(S_{n}(T)\) 是可数的，则 \(S_{n}(T)\) 中的孤立型稠密
  2. 若 \(S_{1}(T)\) 不可数，则 \(S_{1}(T)\) 的基数是 \(2^{\omega}\)
  3. 若 \(S_{1}(T)\) 不可数，则 \(T\) 有 \(2^{\omega}\) 个互不同构的可数模型
设 \(T\) 是一个 \(S-\)理论，\(\lambda\) 是一个基数，定义 \(I(T, \lambda)\) 为 \(T\) 的基数为 \(\lambda\) 的互不同构模型个数的基数
1. \(\text{Vaught}\) 猜想：设 \(T\) 是可数且完备的理论，则 \(T\) 或者有至多可数个模型，或者有 \(2^{\omega}\) 个模型，即不可能有
  
  \[ \aleph_{0}<I\left(T, \aleph_{0}\right)<2^{\aleph_{0}} \]
  
  在 \(\mathbf{CH}\) 下，\(\text{Vaught}\) 猜想平凡
2. 设 \(T\) 是有无穷模型的可数完备 \(S-\)理论，则以下命题等价
  1. 对任意的 \(n \in \mathbf{N}^{+}\)，\(S_{n}(T)\) 可数
  2. \(T\) 有一个可数的 \(\omega-\)饱和模型
3. 设 \(T\) 是有无穷模型的可数完备 \(S-\)理论，且对任意的 \(n \in \mathbf{N}\)，都有 \(S_{n}(T)\) 可数，则 \(T\) 有素模型 \(A_{0}\) 和可数的饱和模型 \(A_{1}\)，即对任意可数的 \(A \vDash T\)，均有 \(A_{0} \prec A \prec A_{1}\)
设 \(T\) 是有无穷模型的可数完备 \(S-\)理论，则 \(T\) 是 \(\omega-\)范畴的当且仅当以下任一命题成立
1. （定义）对任意 \(n \in \mathbf{N}\)，\(S_{n}(T)\) 是离散拓扑空间
2. 对任意的 \(n \in \mathbf{N}^{+}\)，\(S_{n}(T)\) 都是有穷集
3. 对任意的 \(n \in \mathbf{N}^{+}\)，存在 \(m \in \mathbf{N}\) 与 \(\alpha_{0}\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right), \cdots, \alpha_{m-1}\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right)\)，使得对任意的 \(S-\)公式 \(\beta\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right)\)，都存在 \(i<m\) 使得 \(T \vDash \forall x_{0} \cdots x_{n-1} \ \left(\beta\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right) \leftrightarrow \alpha_{i}\left(x_{0}, \cdots, x_{n-1}\right)\right)\)

3.2 稳定理论

3.2.1 ω-稳定性

设 \(T\) 是一个 \(S-\)理论，\(\lambda\) 是一个基数．若存在一个无穷基数 \(\lambda\) 使得 \(T\) 是 \(\lambda-\)稳定的，则称 \(T\) 是稳定的
1. 称一个理论 \(T\) 是 \(\omega-\)稳定的当且仅当对任意的 \(A \vDash T\)，若 \(M \subseteq A\) 是可数的，则 \(S_{1}(M, A)\) 是可数的
2. 称一个理论 \(T\) 是 \(\lambda-\)稳定的当且仅当对任意的 \(A \vDash T\)，若 \(M \subseteq A\) 的基数小于等于 \(\lambda\)，则 \(S_{1}(M, A)\) 的基数小于等于 \(\lambda\)
序性质：设 \(T\) 是一个 \(S-\)理论，\(\alpha(\overline{x}, \overline{y})\) 是一个 \(S-\)公式．若存在 \(A \vDash T\) 及 \(A\) 中的两个序列 \(\left(\overline{a}_{i}\right)_{i \in \omega}\) 和 \((\overline{b}_{i})_{i \in \omega}\) 使得 \(A \vDash \alpha(\overline{a}_{i}, \overline{b}_{j})\) 当且仅当 \(i<j\)，则称公式 \(\alpha(\overline{x}, \overline{y})\) 关于 \(T\) 具有序性质．若存在 \(S-\)公式具有序性质，则称 \(T\) 有序性质，否则称 \(T\) 没有序性质
1. 如果理论 \(T\) 有序性质，则对任意的线序 \(\left(I,<_{I}\right)\)，存在一个 \(S-\)公式 \(\alpha(\overline{x}, \overline{y}), B \vDash T\) 及 \(B\) 中的不可辨元序列 \((\overline{c}_{i}, \overline{d}_{i})_{i \in I}\)，使得 \(B \vDash \alpha(\overline{c}_{i}, \overline{d}_{j})\) 当且仅当 \(i<_{I} j\)
2. 如果理论 \(T\) 是 \(\omega-\)稳定的，则 \(T\) 没有序性质
3. 对任意的无穷基数 \(\lambda\)，都存在一个稠密线序 \((I,<)\) 及 \(I\) 的稠密子集 \(M\)，使得 \(|M| \leqslant \lambda<|I|\)
4. 如果 \(\lambda\) 是一个无穷基数，则 \(\lambda-\)稳定的理论都没有序性质
完全不可辨元序列：设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构，\(M \subseteq A,(I,<)\) 是一个线序，\(\left(a_{i}\right)_{i \in I}\) 是 \(A\) 中的一个 \(M-\)不可辩元序列．如果对任意的 \(n \in \mathbf{N}^{+}\)，\(\left\{\beta_{1}, \cdots, \beta_{n}\right\} \subseteq I\) 及任意的一个双射 \(\sigma:\{1, \cdots, n\} \longrightarrow\{1, \cdots, n\}\)（即 \(\{1, \cdots, n\}\) 上的置换），都有

\[ \operatorname{tp}_{A}\left(a_{\beta_{1}}, \cdots, a_{\beta_{n}} / M\right)=\operatorname{tp}_{A}\left(a_{\beta_{\sigma(1)}}, \cdots, a_{\beta_{\sigma(n)}} M\right) \]

则称 \(\left(a_{i}\right)_{i \in I}\) 是 \(M\) 上的完全不可辨元序列．易知若 \(\lambda\) 是一个无穷基数，理论 \(T\) 是 \(\lambda-\)稳定的且 \(A \vDash T\)，则 \(A\) 中的任意不可辩元序列都是完全不可辨元序列

3.2.2 强极小理论

设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构，称一个 \(A-\)可定义集合 \(X \subseteq A\) 是强极小当且仅当对任意 \(A-\)可定义子集 \(Y \subseteq X\)，都有 \(Y\) 有限或余有限
1. 一个理论 \(T\) 是强极小理论当且仅当对每个 \(A \vDash T\)，\(A\) 作为（\(x=x\) 定义的）可定义集是强极小的
2. \(T\) 是 \(\omega-\)稳定的理论当且仅当与以下命题等价
  1. 对任意的模型 \(A \vDash T\) 以及任意的 \(S_{A}-\)公式 \(\alpha(\overline{x})\)，都有 \(\mathrm{RA}(\alpha(\overline{x}))<\infty\)（等价地，\(\operatorname{RA}(\overline{x}=\overline{x})<\infty\)）
  2. 对任意的 \(\lambda \geqslant \omega\)，\(T\) 是 \(\lambda-\)稳定的
设 \(\left(I,<_{I}\right)\) 是一个线序集，\(A\) 是一个结构，\(M \subseteq X \subseteq A,\left(a_{i}\right)_{i \in I}\) 是 \(X\) 中的序列
1. 如果序列 \(\left(a_{i}\right)_{i \in I}\) 满足 \(a_{j} \notin \operatorname{acl}_{A}\left(M \cup\left\{a_{i} \mid i<_{I} j\right\}\right)\)，则称 \(\left(a_{i}\right)_{i \in I}\) 是 \(M\) 上一个代数独立序列
2. 如果 \(\left(a_{i}\right)_{i \in I}\) 是 \(M\) 上的一个代数独立序列且 \(X \subseteq \operatorname{acl}_{A}\left(M \cup\left\{a_{i} \mid i \in I\right\}\right)\)，则称 \(\left(a_{i}\right)_{i \in I}\) 是 \(X\) 在 \(M\) 上的一个基
设 \(A\) 是一个结构，\(M, N \subseteq X \subseteq A\)
1. 如果对任意的 \(b \in N\) 都有 \(b \notin \operatorname{acl}_{A}(M \cup(N -\{b\}))\)，则称 \(N\) 在 \(M\) 上代数独立
2. 如果 \(N\) 在 \(M\) 上代数独立且 \(X \subseteq \operatorname{acl}_{A}(M \cup N)\)，则称 \(N\) 是 \(X\) 在 \(M\) 上的一个基
设 \(T\) 是强极小理论，\(A \vDash T, X \subseteq M\)，\(N\) 是 \(X\) 的基，则称 \(|N|\) 为 \(X\) 的维数，记作 \(\operatorname{dim}(X)\)
1. 设 \(T\) 是强极小理论，\(M \vDash T\)，对任意的 \(b, c \in M\) 及 \(M \subseteq M\)．如果 \(b \in \operatorname{acl}(M \cup\{c\}) - \operatorname{acl}(M)\)，则 \(c \in \operatorname{acl}(M \cup\{b\})\)
2. 设 \(T\) 是强极小理论，\(X \subseteq M\)．如果 \(\left\{a_{i} \mid i \in I\right\}\) 和 \(\left\{b_{j} \mid j \in J\right\}\) 均是 \(X\) 的基，则 \(|I|=|J|\)
3. 如果 \(T\) 是强极小理论，则对任意的不可数基数 \(\lambda\)，\(T\) 都是 \(\lambda-\)范畴的

3.2.3 Morley 秩

设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构，\(\overline{a} \in A^{|\overline{a}|}, \overline{x}=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right), \alpha(\overline{x}, \overline{y})\) 是一个公式，\(\alpha\) 是一个序数递归定义 \(\operatorname{RA}_{n}^{A}(\alpha(\overline{x}, \overline{a})) \geqslant \alpha\) 如下
1. \(\operatorname{RA}_{n}^{A}(\alpha(\overline{x}, \overline{a})) \geqslant 0\) 当且仅当 \(A \vDash \exists \overline{x} \ (\alpha(\overline{x}, \overline{a}))\)
2. 若 \(\alpha\) 是一个极限序数，则 \(\operatorname{RA}_{n}^{A}(\alpha(\overline{x}, \overline{a})) \geqslant \alpha\) 当且仅当对任意的 \(\delta< \alpha\)，都有 \(\operatorname{RA}_{n}^{A}(\alpha(\overline{x}, \overline{a})) \geqslant \delta\)
3. \(\operatorname{RA}_{n}^{A}(\alpha(\overline{x}, \overline{a})) \geqslant \alpha+1\) 当且仅当存在 \(A\) 的一个初等膨胀 \(B\) 及一族 \(S_{B}-\)公式 \(\left\{\beta_{j}\left(\overline{x}, \overline{b}_{j}\right) \mid j \in \omega, \overline{b}_{j} \in B^{\left|\overline{b}_{j}\right|}\right\}\) 使得
  1. 对任意的 \(j \in \omega\) 均有 \(B \vDash \forall \overline{x} \ (\beta_{j}(\overline{x}, \overline{b}_{j}) \rightarrow \alpha(\overline{x}, \overline{a}))\)
  2. 对任意的 \(j \in \omega\) 均有 \(\operatorname{RA}_{n}^{A}(\beta_{j}(\overline{x}, \overline{b}_{j})) \geqslant \alpha\)
  3. 对任意的 \(i<j \in \omega\) 均有 \(B \vDash \neg \exists \overline{x} \ (\beta_{i}(\overline{x}, \overline{b}_{i}) \wedge \beta_{j}(\overline{x}, \overline{b}_{j}))\)
若存在序数 \(\alpha\) 使得 \(\operatorname{RA}_{n}^{A}(\alpha(\overline{x}, \overline{a})) \geqslant \alpha\) 且 \(\operatorname{RA}_{n}^{A}(\alpha(\overline{x}, \overline{a})) \geqslant \alpha+1\)，则称 \(\alpha(\overline{x}, \overline{a})\) 的 \(\text{Morley}\) 秩存在，并称 \(\alpha\) 是 \(\alpha(\overline{x}, \overline{a})\) 的 \(\text{Morley}\) 秩，记作 \(\operatorname{RA}_{n}^{A}(\alpha(\overline{x}, \overline{a})) =\alpha\)
1. 若对任意的序数 \(\alpha\) 有 \(\operatorname{RA}_{n}^{A}(\alpha(\overline{x}, \overline{a})) \geqslant \alpha\)，则称 \(\alpha(\overline{x}, \overline{a})\) 的 \(\text{Morley}\) 秩不存在，记作 \(\mathrm{RA}_{n}^{A}(\alpha(\overline{x}, \overline{a}))=\infty\)
2. 如果 \(A \vDash \neg \exists \overline{x} \ \alpha(\overline{x}, \overline{a})\)，则令 \(\operatorname{RA}_{n}^{A}(\alpha(\overline{x}, \overline{a}))=-1\)，不引起歧义时可省去记号 \(\mathrm{RA}_{n}^{A}\) 中的下标 \(n\)；对任意的 \(B \succ A\) 及任意的 \(S_{A}-\)公式 \(\alpha(\overline{x})\)，在 \(A\) 中定义的 \(\mathrm{RA}^{A}(\alpha)\) 和 \(B\) 中定义的 \(\mathrm{RA}^{B}(\alpha)\) 相同．因此不引起歧义时可省略 \(\mathrm{RA}^{A}\) 的上标 \(A\)
设 \(A\) 是一个 \(\omega-\)饱和模型，\(X \subseteq A^{n}\) 是一个可定义集合，\(\alpha\) 是一个序数．递归定义 \(\mathrm{RA}(X) \geqslant \alpha\) 如下
1. \(\operatorname{RA}(X) \geqslant 0\) 当且仅当 \(X \neq \varnothing\)
2. 若 \(\alpha\) 是一个极限序数，则 \(\mathrm{RA}(X) \geqslant \alpha\) 当且仅当对任意的 \(\delta<\alpha\)，都有 \(\mathrm{RA}(X) \geqslant \delta\)
3. \(\operatorname{RA}(X) \geqslant \alpha+1\) 当且仅当存在一族 \(A-\)可定义集 \(\left\{Y_{j} \subseteq A^{n} \mid j \in \omega\right\}\)，使得
  1. 对任意的 \(j \in \omega\) 均有 \(Y_{j} \subseteq X\)
  2. 对任意的 \(j \in \omega\) 均有 \(\operatorname{RA}\left(Y_{j}\right) \geqslant \alpha\)
  3. 对任意的 \(i<j \in \omega\) 均有 \(Y_{i} \cap Y_{j}=\varnothing\)
若存在序数 \(\alpha\) 使得 \(\mathrm{RA}(X) \geqslant \alpha\) 且 \(\mathrm{RA}(X) \not\geqslant \alpha+1\)，则称 \(X\) 的 \(\text{Morley}\) 秩存在，且 \(\alpha\) 是 \(X\) 的 \(\text{Morley}\) 秩，记作 \(\mathrm{RA}(X)=\alpha\)．如果对任意的序数 \(\alpha\) 都有 \(\mathrm{RA}(X) \geqslant \alpha\)，则称 \(X\) \(\text{的Morley}\) 秩不存在，记作 \(\mathrm{RA}(X)=\infty\)．空集的 \(\text{Morley}\) 秩是 \(-1\)
设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构，\(\alpha(\overline{x}), \beta(\overline{x})\) 是两个 \(S_{A}-\)公式
1. \(\operatorname{RA}(\alpha(\overline{x}) \vee \beta(\overline{x}))=\max \{\operatorname{RA}(\alpha(\overline{x})), \operatorname{RA}(\beta(\overline{x}))\}\)
2. 如果 \(A \vDash \forall \overline{x} \ (\alpha(\overline{x}) \rightarrow \beta(\overline{x}))\)，则 \(\mathrm{RA}(\alpha(\overline{x})) \leqslant \mathrm{RA}(\beta(\overline{x}))\)
3. \(\operatorname{RA}(\alpha(\overline{x}))=0\) 当且仅当存在自然数 \(k>0\) 使得 \(A \vDash \exists^{k \small\text{ 个}\normalsize} \overline{x} \ \alpha(\overline{x})\)
设 \(A\) 是 \(\omega-\)饱和的 \(S-\)结构，\(\varphi(\overline x)\) 是 \(S_{A}-\)公式，\(\alpha\) 是一个序数且 \(\mathrm{RA}(\varphi(\overline{x}))=\alpha\)，若存在 \(d\) 个 \(S_{A}-\)公式 \(\psi_{1}(\overline{x}), \cdots, \psi_{d}(\overline{x})\) 使得
1. 对每个 \(1 \leqslant i \leqslant d\)，\(\mathrm{RA}\left(\psi_{i}\right)=\alpha\)
2. 对每个 \(1 \leqslant i \leqslant d\)，\(A \vDash \forall \overline{x} \ \left(\psi_{i}(\overline{x}) \rightarrow \varphi(\overline{x})\right)\)
3. 对每个 \(1 \leqslant i<j \leqslant d\)，\(A \vDash \neg \exists \overline{x} \ \left(\psi_{i}(\overline{x}) \wedge \psi_{j}(\overline{x})\right)\)
则存在一个最大满足以上条件的正整数 \(d\)
1. 称 \(d\) 为 \(\varphi\) 的 \(\text{Morley}\) 度，记作 \(\mathrm{d}A(\varphi)=d\)
2. 若 \(X \subseteq A^{n}\) 是被一个 \(S_{A}-\)公式 \(\alpha\) 定义的集合，则 \(X\) 的 \(\text{Morley}\) 度定义为 \(\mathrm{d}A(\alpha)\)，记作 \(\mathrm{d}A(X)\)
设 \(T\) 是 \(\omega-\)稳定理论，\(A \vDash T, M \subseteq A\)．对任意的 \(p \in S_{n}(M)\)
1. 定义 \(p\) 的 \(\text{Morley}\) 秩为 \(\operatorname{RM} (p) = \min\{\operatorname{RM}(\alpha) \mid \alpha\) 是一个 \(S_A-\)公式且 \(\alpha \in p\}\)
2. 定义 \(p\) 的 \(\text{Morley}\) 度为 \(\mathrm{d}A(p)=\min \left\{\mathrm{d}A(\alpha) \mid \alpha \right.\) 是一个 \(S_{A}-\)公式且 \(\alpha \in p\) 且 \(\left.\mathrm{RA}(\alpha)=\operatorname{RA}(p)\right\}\)
对任意 \(\overline{b} \in A^{n}\)，定义 \(\mathrm{RA}(\overline{b} / M)=\mathrm{RA}\left(\operatorname{tp}_{A}(\overline{b} / M)\right), \operatorname{d}A(\overline{b} / M)= \mathrm{d}A\left(\operatorname{tp}_{A}(\overline{b} / M)\right)\)
设 \(T\) 是一个可数理论，若对任意的基数 \(\lambda \geqslant 2^{\omega}\)，都有 \(T\) 是 \(\lambda-\)稳定的，称 \(T\) 是超稳定的
1. 整数集上加法群的理论是超稳定的，但不是 \(\omega-\)稳定的
2. 设 \(T\) 是 \(\omega-\)稳定理论，\(A \vDash T, M \subseteq A, p(\overline{x}) \in S_{n}(M, A)\)．如果 \(\alpha(\overline{x}) \in p\) 使得 \((\operatorname{RA}(\alpha), \mathrm{d}A(\alpha))=(\operatorname{RA}(p), \mathrm{d}A(p))\)，则 \(p\) 被 \(\alpha\) 确定：对任意的 \(S_{M}-\)公式 \(\beta\)，有 \(\beta \in p\) 当且仅当 \((\operatorname{RA}(\alpha), \mathrm{d}A(\alpha))=(\operatorname{RA}(\alpha \wedge \beta), \mathrm{d}A(\alpha \wedge \beta))\)
3. 如果理论 \(T\) 是 \(\omega-\)稳定的，\(A \vDash T\)，则 \(A\) 中的不可辨元序列均是完全不可辨的
设 \(A \vDash T\)，如果一个 \(S_{A}-\)公式集 \(\Gamma=\left\{\alpha_{\eta}(\overline{x}) \mid \eta \in 2^{<\omega}\right\}\) 满足
1. 对任意的 \(\eta \in 2^{<\omega}, T \cup \alpha_{\eta}\) 一致
2. 对任意的 \(\eta \in 2^{<\omega}, A \vDash \forall \overline{x} \ \left(\alpha_{\eta \frown i} \rightarrow \alpha_{\eta}\right)\)，其中 \(i=0,1\)
3. 对任意的 \(\eta \in 2^{<\omega}, A \vDash \neg \exists \overline{x} \ \left(\alpha_{\eta \frown 0} \wedge \alpha_{\eta \frown 1}\right)\)
则称 \(\Gamma\) 是一个 \(S_{A}-\)公式关于 \(T\) 的二分树．如果对于 \(T\) 的任意模型 \(A\)，都不存在 \(S_{A}-\)公式的二分树，则称 \(T\) 是完全超越的
1. 一个可数理论 \(T\) 是完全超越的当且仅当 \(T\) 是 \(\omega-\)稳定的，即完全超越的理论就是对任意的无穷基数 \(\lambda\) 都是 \(\lambda-\)稳定的理论
2. 设 \(T\) 是 \(\omega-\)稳定理论，则对任意无穷基数 \(\kappa\) 以及任意正则基数 \(\lambda \leqslant \kappa\)，\(T\) 都有一个基数为 \(\kappa\) 的 \(\lambda-\)饱和模型

3.2.4 Morley 定理

\(\text{Skolem}\) 函数：设 \(S\) 是任意语言，\(T\) 是一个 \(S-\)理论（可以是不完备的）．称 \(T\) 具有 \(\text{Skolem}\) 函数当且仅当对任意的 \(S-\)公式 \(\alpha(x, \overline{y})\)，存在一个 \(S\) 中的函数符号 \(f\)，使得 \(T \vDash \forall y \ (\exists x \ \alpha(x, \overline{y}) \leftrightarrow \alpha(f(\overline{y}), \overline{y}))\)
1. 若理论 \(T\) 具有 \(\text{Skolem}\) 函数
  1. \(T\) 是模型完全的
  2. 给定集合 \(S\) 与 \(T\) 的一个模型 \(M\)，则称包含 \(S\) 的最小 \(M\) 子结构为 \(A\) 的 \(\text{Skolem}\) 壳，记作 \(H(S)\)，易知 \(H(S) \prec M\)
2. 设 \(S\) 是 \(S-\)语言，\(T\) 是一个 \(S-\)理论，则存在基数 \(\leqslant|S|+\omega\) 的语言 \(S^{\prime} \supseteq S\) 及 \(S^{\prime}-\)理论 \(T^{\prime} \supseteq T\)，使得 \(T^{\prime}\) 具有 \(\text{Skolem}\) 函数
3. 设 \(\kappa\) 是一个不可数基数
  1. 若理论 \(T\) 是 \(\kappa-\)范畴的，则 \(T\) 是 \(\omega-\)稳定的
  2. 若理论 \(T\) 可数，则存在基数为 \(\kappa\) 的模型 \(A \vDash T\) 使得对任意可数的 \(M \subseteq A\)，\(A\) 至多可以实现 \(S_{1}(M, A)\) 中的可数多个型
构造序列：设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构，\(M \subseteq A\)．如果存在一个序数 \(\gamma\) 及 \(A\) 中的一个序列 \(\left(b_{\alpha} \mid \alpha<\gamma\right)\) 使得
1. \(A=M \cup\left\{b_{\alpha} \mid \alpha<\gamma\right\}\)
2. 对任意的 \(\beta \in \gamma, \operatorname{tp}_{A}\left(b_{\beta} / M \cup\left\{b_{\alpha} \mid \alpha<\beta\right\}\right)\) 是孤立型
则称 \(A\) 是在 \(M\) 上可构造的，且称 \(\left(b_{\alpha} \mid \alpha<\gamma\right)\) 是 \(A\) 在 \(M\) 上的构造序列
1. 设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构，\(M \subseteq A\)，结构 \(A\) 是 \(M\) 上可构造的
  1. 对任意的 \(\overline{c} \in A^{n}, \operatorname{tp}_{A}(\overline{c} / M)\) 是孤立型，即 \(A\) 是 \(M\) 上的原子结构
  2. 对任意 \(S_A-\)公式 \(\alpha(\overline x)\)，都存在一个 \(S_M-\)公式 \(\beta(\overline x)\) 使得 \(\alpha(M^{|\overline x|})=\beta\left(M^{|\overline{x}|}\right)\)
2. 设 \(T\) 是 \(\omega-\)稳定的理论，\(A \vDash T, M \subseteq A\)，\(\kappa\) 是不可数基数
  1. 存在 \(A\) 的初等子结构 \(B\)，使得 \(B\) 是 \(M\) 上可构造的且 \(|B|=\max \left\{|M|, \aleph_{0}\right\}\)
  2. \(\alpha(\overline{x})\) 是一个 \(S_{M}-\)公式，且 \((\operatorname{RA}(\alpha), \mathrm{d}A(\alpha))=(\alpha, d)\)．如果 \(A\) 中的一个序列 \((\overline{b}_{i})_{i<\omega}\) 满足
    1. 对任意的 \(i \in \omega, A \vDash \alpha(\overline{b}_{i})\)
    2. 对任意的 \(i \in \omega\) 有 \((\operatorname{RA}(\operatorname{tp}_{A}(\overline{b}_{i} / M \cup\{\overline{b}_{j} \mid j<i\})), \operatorname{d}A(\operatorname{tp}_{A}(\overline{b}_{i} / M \cup\{\overline{b}_{j} \mid j<i\})))=(\alpha, d)\)，那么 \((\overline{b}_{i})_{i \in \omega}\) 是 \(M\) 上的（完全）不可辨元序列
  3. 如果 \(T\) 的基数为 \(\kappa\) 的模型都是饱和的，则对任意的不可数基数 \(\lambda\)，\(T\) 都有一个基数为 \(\lambda\) 的饱和模型
\(\text{Morley}\) 定理：设 \(\lambda\) 是一个不可数基数，且理论 \(T\) 是一个可数的理论．若 \(T\) 是 \(\lambda-\)范畴，则任意的不可数基数 \(\kappa\) 都有 \(T\) 是 \(\kappa-\)范畴的，此时也称 \(T\) 是不可数范畴的理论