2 量词消去
2.1 饱和性与齐次性
2.1.1 可数模型
- 实现与省略：设 \(\Sigma\left(x_{i}\right)_{i \in I}\) 是一个公式集，其中 \(I\) 是一个指标集，\(A\) 是一个结构．如果存在 \(\left(a_{i}\right)_{i \in I}\in A^{I}\) 使得 \(A \vDash \Sigma\left(a_{i}\right)_{i \in I}\)，则称 \(\Sigma\) 被 \(A\) 实现（或被 \(A\) 满足），并且称 \(\left(a_{i}\right)_{i \in I}\)（在 \(A\) 中）实现了（或满足了）\(\Sigma\)，否则称 \(\Sigma\) 被 \(A\) 省略
- 设 \(A, B\) 是两个 \(S-\)结构，\(A \prec B\) 且 \(\Sigma(\overline{x})\) 是一个 \(S_{B}-\)公式集．如果对任意有限的 \(\Sigma_{0} \subseteq \Sigma\)，都可被 \(A\) 实现（或满足），则称 \(\Sigma\) 在 \(A\) 中有限可满足
- 设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构，\(\Sigma(\overline{x})\) 是一个 \(S_{A}-\)公式集，则 \(\Sigma\) 有限可满足当且仅当存在 \(A\) 的初等膨胀 \(B\) 使得 \(\Sigma\) 被 \(B\) 满足
- \(I-\)型：设 \(A\) 是一个结构，\(I\) 是一个指标集，\(\left\{x_{i} \mid i \in I\right\}\) 是一族变元，\(\left(a_{i} \mid i \in\right. I) \in A^{I}\) 且 \(M \subseteq A\)，则 \(\operatorname{tp}_{A}\left(\left(a_{i}\right)_{i \in I} / M\right)\) 表示公式集 \(\left\{\alpha\left(x_{i_{1}}, \cdots, x_{i_{n}}\right) \mid \alpha\right.\) 是 \(S_{M^{-}}\) 公式，\(\left.A \vDash \alpha\left(a_{i_{1}}, \cdots, a_{i_{n}}\right), i_{1}, \cdots, i_{n} \in I\right\}\)，称 \(\operatorname{tp}_{A}\left(\left(a_{i}\right)_{i \in I} / M\right)\) 为 \(\left(a_{i}\right)_{i \in I}\) 在 \(M\) 上的 \(I-\)型．当 \(I=\{0, 1, \cdots, n-1\}\) 时，称 \(M\) 上的 \(I-\)型为 \(M\) 上的 \(n-\)型；当 \(M=\varnothing\) 时，将 \(\operatorname{tp}_{A}\left(\left(a_{i}\right)_{i \in I} / M\right)\) 简记作 \(\operatorname{tp}_{A}\left(\left(a_{i}\right)_{i \in I}\right)\)
- 对任意指标集 \(I\)，任意一致的理论 \(T\)，\(T\) 的任意 \(I-\)型都被 \(T\) 的某个模型 \(A\) 实现
- 公式集 \(\Sigma(\overline{x})\) 是理论 \(T\) 的完全 \(I-\)型当且仅当存在 \(T\) 的模型 \(A\) 及 \(\overline{a} \in m^{I}\) 使得 \(\Sigma=\operatorname{tp}_{A}(\overline{a})\)
- 设 \(A\) 是一个结构，\(M \subseteq A\)，\(\left(I,<_{I}\right)\) 是一个线序集，则 \(\left(a_{i}\right)_{i \in I} \subseteq A\) 是 \(M\) 上的不可辨元序列当且仅当对任意的 \(n \in \mathbf{N}\) 及任意的 \(i_{0}<_{I} \cdots<_{I} i_{n-1} \in I\) 和 \(j_{0}<_{I} \cdots<_{I} j_{n-1} \in I\)，总有 \(\operatorname{tp}_{A}\left(a_{i_{0}}, \cdots, a_{i_{n-1}}\right)= \operatorname{tp}_{A}\left(a_{j_{0}}, \cdots, a_{j_{n-1}}\right)\)
-
代数型：设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构，\(M \subseteq A\)
- 设 \(I\) 是一个指标集，则 \(S_{I}(M, A)\) 表示 \(S_{M}-\)理论 \(\operatorname{Th}(A, a)_{a \in M}\) 的全体完全 \(I-\)型的集合
- 当 \(I=\{0,1, \cdots, n-1\}\) 时，将 \(S_{I}(M, A)\) 记作 \(S_{n}(M, A)\)，于是 \(S_{0}(M, A) =\operatorname{Th}(A, a)_{a \in M}\)
若存在 \(\overline{b} \in \operatorname{acl}_{A}(M)^{I}\) 使得 \(A \vDash p(\overline{b})\)，则称 \(p(\overline{x}) \in S_{I}(M, A)\) 是 \(M\) 上的代数型，否则称 \(p\) 是 \(M\) 上的非代数型
- 若 \(B \succ A, M \subseteq A\)，则 \(S_{n}(M, A)=S_{n}(M, B)\)，即 \(S_{n}(M, A)\) 关于 \(A\) 的任意初等膨胀不变，因此可简记为 \(S_{n}(M)\)
- 设 \(M \subseteq A\)，若 \(S_{M}-\)公式集 \(\Sigma(\overline{x})\) 是 \(\operatorname{Th}(A, a)_{a \in M}\) 的 \(n-\)型，则称 \(\Sigma(\overline{x})\) 是 \((A, M)\) 上的 \(n-\)型或 \(M\) 上的 \(n-\)型
- 设 \(M \subseteq A \prec B\)，则 \(\Sigma(\overline{x})\) 是 \((A, M)\) 上的 \(n-\)型当且仅当 \(\Sigma(\overline{x})\) 是 \((B, M)\) 上的 \(n-\)型，即以上定义关于初等膨胀是不变的，只与参数集合 \(M\) 有关．因此当不引起歧义时，也可称 \(\Sigma\) 为 \(M\) 上的 \(n-\)型
-
\(\omega-\)饱和结构：设 \(A\) 是一个结构，若对任意的 \(n<\omega\)，变元组 \(\overline{x}=\left(x_{0}, \cdots, x_{n}\right)\) 与有限集 \(M \subseteq A\)，当 \(S_{M}-\)公式集 \(\Sigma(\overline{x})\) 在 \(A\) 中有限可满足时，\(\Sigma(\overline{x})\) 被 \(A\) 实现（满足），则称 \(A\) 是 \(\omega-\)饱和结构
- 设 \(A\) 是一个结构，则 \(A\) 是 \(\omega-\)饱和结构与以下命题等价
- 对任意有限的 \(M \subseteq A\)，\(M\) 上的任意一个 \(n-\)型都被 \(A\) 实现
- 对任意有限的 \(M \subseteq A\)，任意的 \(p \in S_{n}(M)\) 都被 \(A\) 实现
- 任意的 \(S-\)结构 \(A\) 都有一个 \(\omega-\)饱和的初等膨胀 \(B\)．当 \(S\) 和 \(A\) 都可数时，\(B\) 的基数可不超过 \(2^{\omega}\)
- 设 \(A\) 是一个结构，则 \(A\) 是 \(\omega-\)饱和结构与以下命题等价
- \(\omega-\)齐次结构：设 \(A\) 是一个结构，若对任意的有限集 \(M \subseteq A\) 与 \(n \in \mathbf{N}\)，如果 \(\overline{a}, \overline{b} \in A^{n}\) 使得 \(\operatorname{tp}_{A}(\overline{a} / M)=\operatorname{tp}_{A}(\overline{b} / M)\)，则对任意的 \(c \in A\) 都存在 \(d \in A\) 使得 \(\operatorname{tp}_{A}(\overline{a}, c / M)=\operatorname{tp}_{A}(\overline{b}, d / M)\)，则称 \(A\) 是 \(\omega-\)齐次结构
- 设 \(A\) 是一个结构，\(\overline{a}, \overline{b} \in A^{k}\) 是 \(A\) 中两个 \(k-\)元组且 \(\operatorname{tp}_{A}(\overline{a})= \operatorname{tp}_{A}(\overline{b})\)．\(\Sigma(\overline{x}, \overline{y})\) 是一个 \(S-\)公式集，其中 \(\overline{y}=y_{1}, \cdots, y_{k}\)
- 如果 \(\mathcal{L}_{\overline{a}}-\)公式集 \(\Sigma(\overline x, \overline a)\) 是 \(\overline{a}\) 上的一个 \(n-\)型，则 \(\mathcal{L}_{\overline{b}}-\)公式集 \(\Sigma(\overline x, \overline b)\) 是 \(\overline b\) 上的一个 \(n-\)型
- 如果 \(\Sigma(\overline{x}, \overline{a})\) 是 \(\overline{a}\) 上的一个完全 \(n-\)型，则 \(\Sigma(\overline{x}, \overline{b})\) 是 \(\overline{b}\) 上的一个完全 \(n\) 型
- 每个 \(\omega-\)饱和的结构一定是 \(\omega-\)齐次的
- 任意的 \(S-\)结构 \(A\) 都有一个 \(\omega-\)齐次的初等膨胀 \(B\)
- 如果 \(S\) 可数，且 \(A\) 是可数的 \(S-\)结构，则 \(A\) 有一个可数的初等膨胀 \(B\) 是 \(\omega-\)齐次的
- 设 \(A\) 是一个结构，\(\overline{a}, \overline{b} \in A^{k}\) 是 \(A\) 中两个 \(k-\)元组且 \(\operatorname{tp}_{A}(\overline{a})= \operatorname{tp}_{A}(\overline{b})\)．\(\Sigma(\overline{x}, \overline{y})\) 是一个 \(S-\)公式集，其中 \(\overline{y}=y_{1}, \cdots, y_{k}\)
2.1.2 不可数模型
-
任意无穷基数的饱和性与齐次性：设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构，\(\kappa\) 是一个无穷基数
- 若对任意的 \(M \subseteq A\) 与 \(0<n \in \mathbf{N}\)，如果 \(|M|<\kappa\)，有 \(S_{n}(M)\) 中的所有的型都被 \(A\) 实现，则称 \(A\) 为 \(\kappa-\)饱和结构．如果 \(A\) 是 \(|A|-\)饱和的，则称 \(A\) 是饱和结构
- 若对任意满足 \(|I|<\kappa\) 的指标集 \(I\)，如果 \(\overline{a}=\left(a_{i}\right)_{i \in I} \in A^{I}\) 和 \(\overline{b}=\left(b_{i}\right)_{i \in I} \in A^{I}\) 满足 \(\operatorname{tp}_{A}(\overline{a})=\operatorname{tp}_{A}(\overline{b})\)，则对任意的 \(c \in A\)，都存在 \(d \in A\) 使得 \(\operatorname{tp}_{A}(\overline{a}, c)=\operatorname{tp}_{A}(\overline{b}, d)\)，则称 \(A\) 为 \(\kappa-\)齐次结构．如果 \(A\) 是 \(|A|-\)齐次的，则称 \(A\) 是齐次结构
- 若对任意满足 \(|I|<\kappa\) 的指标集 \(I\)，如果 \(\overline{a}=\left(a_{i}\right)_{i \in I} \in A^{I}\) 和 \(\overline{b}=\left(b_{i}\right)_{i \in I} \in A^{I}\) 满足 \(\operatorname{tp}_{A}(\overline{a})=\operatorname{tp}_{A}(\overline{b})\)，则存在自同构 \(f: A \to A\) 使得 \(f\left(a_{i}\right)=b_{i}\)，则称 \(A\) 为强 \(\kappa-\)齐次结构．如果 \(A\) 是强 \(|A|-\)齐次的，则称 \(A\) 是强齐次结构
设 \(A\) 与 \(B\) 是 \(S-\)结构， \(\kappa\) 是一个无穷基数
- \(A\) 是 \(\kappa-\)饱和的当且仅当对任意的 \(M \subseteq A\)，如果 \(|M|<\kappa\)，则 \(S_{1}(M)\) 中的所有型都被 \(A\) 实现．
- \(A\) 是 \(\kappa-\)饱和的当且仅当对任意的 \(M \subseteq A\) 与指标集 \(I\)，如果 \(|M|<\kappa\) 且 \(|I|<\kappa\)，则 \(S_{I}(M)\) 中的所有型都被 \(A\) 实现
- 如果 \(A\) 是 \(\kappa-\)饱和的，则 \(A\) 是 \(\kappa-\)齐次的
- 如果 \(A\) 是齐次的，则 \(A\) 是强齐次的
- 如果 \(A\) 是饱和的，则 \(A\) 是强齐次的
- 若 \(A \equiv B,|A| =|B|=\kappa\)，且 \(A\) 与 \(B\) 均是饱和结构，则 \(A \cong B\)
-
设 \(A\) 和 \(B\) 是初等等价的 \(S-\)结构，\(\kappa\) 是一个无穷基数，\(|A| \leqslant \kappa\) 且 \(B\) 是 \(\kappa-\)饱和的，则存在 \(A\) 到 \(B\) 的初等嵌入
- 设 \(A\) 是 \(S-\)结构，如果基数 \(\kappa\) 满足 \(\kappa \geqslant \max \{|S|, \omega\}\) 且 \(2^{\kappa} \geqslant |A|\)，则存在 \(A\) 的 \(\kappa^{+}-\)饱和的初等膨胀 \(B\)，且 \(B\) 的基数不超过 \(2^{\kappa}\)
- 如果 \(\mathbf{GCH}\) 成立，则 \(B\) 是饱和模型
- 假设 \(\mathbf{GCH}\) 成立，如果 \(T\) 是有无穷模型的 \(S-\)理论且 \(\kappa>\max \{|S|\), \(\alpha\}\) 是一个正则基数，则存在 \(T\) 的基数为 \(\kappa\) 的饱和模型
-
设 \(\kappa\) 是一无穷基数，则任何无穷的 \(S-\)结构 \(A\) 都有一个初等膨胀 \(B\)，使得 \(B\) 既是 \(\kappa-\)饱和的，又是强 \(\kappa-\)齐次的
-
设 \(A\) 与 \(B\) 均是 \(S-\)结构，\(\kappa\) 是一个无穷基数使得
- 对任意 \(0<n \in \mathbf{N}\) 与 \(\overline{a} \in A^{n}\)，都有 \(\operatorname{tp}_{A}(\overline{a})\) 被 \(B\) 实现
- 对任意 \(0<n \in \mathbf{N}\) 与 \(\operatorname{tp}_{B}(\overline{b})\) 被 \(A\) 实现
- \(B\) 是 \(\kappa-\)齐次的
则对任意的基数 \(\lambda<\kappa\) 及 \(\overline{b} \in A^{\lambda}\)，有 \(\operatorname{tp}_{A}(\overline{b})\) 被 \(B\) 实现
-
设 \(T\) 是完备的 \(S-\)理论，\(\kappa\) 是一个无穷基数，\(A\) 和 \(B\) 均是 \(T\) 的基数为 \(\kappa\) 的齐次模型且对任意的 \(p \in S_{n}(T)\)，都有 \(A \vDash p\) 蕴含 \(B \vDash p\)，则 \(A \cong B\)
-
2.2 量词消去
- 强极小结构与强极小理论：设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构，若对于任意的 \(A-\)可定义子集 \(X \subseteq A\)，\(X\) 或者是有限集合，或者是余有限集合（即 \(A - X\) 是有限集），则称 \(A\) 为强极小结构．若 \(S-\)理论 \(T\) 的所有模型都是强极小的，则称 \(T\) 是强极小理论
- 量词消去：设 \(T\) 是一个理论，若对每个公式 \(\alpha(\overline{x})\)，都存在无量词的公式 \(\beta(\overline{x})\) 使 \(T \vDash \forall \overline{x} \ (\alpha(\overline{x}) \leftrightarrow \beta(\overline{x}))\)，则称 \(T\) 具有量词消去
- 若 \(S\) 有一个常元符号 \(c\) 且 \(T\) 具有量词消去，则对每个语句 \(\tau\)，都存在一个不含量词的语句 \(\sigma\)，使得 \(T \vDash \tau \leftrightarrow \sigma\)
- 若 \(T\) 有量词消去，\(A\) 是 \(T\) 的模型，则 \(A\) 的每个可定义子集都被一个无量词的 \(S_{A}-\)公式定义
2.2.1 无量词型
-
无量词型：设 \(T\) 是一个 \(S-\)理论，\(I\) 是一个指标集，\(\Sigma_{i \in I}\left(x_{i}\right)\) 是 \(T\) 的一个 \(I\) 型
- 若 \(\Sigma_{i \in I}\left(x_{i}\right)\) 中的公式均是无量词的，则称 \(\Sigma_{i \in I}\left(x_{i}\right)\) 是一个无量词的 \(I-\)型
- 若 \(\Sigma_{i \in I}\left(x_{i}\right)\) 是一个无量词型且对任意 \(i_{0}, \cdots, i_{n-1} \in I\) 及无量词的公式 \(\alpha\left(x_{i_{0}}, \cdots, x_{i_{n-1}}\right)\)，均有 \(\alpha\) 与 \(\neg \alpha\) 其中之一属于 \(\Sigma\)，则称 \(\Sigma\) 是完全的无量词 \(I-\)型
- 用 \(S_{I}^{q f}(T)\) 来表示全体的完全无量词 \(I-\)型所构成的集合，称为 \(T\) 的完全无量词 \(I-\)型空间
- 设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构，\(M \subseteq A\)，则用 \(S_{I}^{q f}(M)\) 来表示 \(\operatorname{Th}(A, M)\) 的完全无量词 \(I-\)型空间
对任意 \(i_{0}, \cdots, i_{n-1} \in I\) 及无量词 \(S-\)公式 \(\alpha\left(x_{i_{0}}, \cdots, x_{i_{n-1}}\right)\)，定义 \([\alpha]_{q f}=\left\{p \in S_{I}^{q f}(T) \mid \alpha \in p\right\}\)，则 \(S_{I}^{q f}(T)\) 的子集族
\[ \left\{\left[\alpha\left(x_{i_{0}}, \cdots, x_{i_{n-1}}\right)\right]_{q f} \mid \alpha \textsf{ 是 } S-\textsf{公式，且 } i_{0}, \cdots, i_{n-1} \in I\right\} \]关于有限交和一般并的闭包 \(\tau\) 使得 \(\left(S_{I}^{q f}(T), \tau\right)\) 是一个拓扑空间，且 \(S_{I}^{q f}(T)\) 的每个开闭集都形如 \([\alpha]_{q f}\)
-
设 \(A\) 是一个 \(S-\)结构，\(M \subseteq A\)，\(I\) 是一个指标集，\(\overline{a} \in A^{I}\)，则定义 \(\operatorname{qftp}_{A}(\overline{a} / M)= \left\{\alpha\left(x_{i_{0}}, \cdots, x_{i_{n-1}}\right) \mid \alpha\right.\) 是一个无量词的 \(S_{M}-\)公式且 \(\left.A \vDash \alpha\left(a_{i_{0}}, \cdots, a_{i_{n-1}}\right)\right\}\)．显然对任意的理论 \(T\) 与模型 \(A \vDash T\) 以及任意的 \(\overline{a} \in A^{I}\)，均有
\[ \operatorname{qftp}_{A}(\overline{a} / M) \in S_{I}^{q f}(M) \textsf{ 且 } \operatorname{qft}_{A}(\overline{a} / M)=f_{q f}\left(\operatorname{tp}_{A}(\overline{a} / M)\right) \]
2.2.2 量词消去
- 理论 \(T\) 有量词消去当且仅当 \(T\) 具有 \(\mathrm{Q}\) 性质：对任意的 \(A, B \vDash T\)，\(n \in \mathbf{N}^{+}\) 与 \(\overline{a} \in A^{n}, \overline{b} \in B^{n}\)，若 \(\operatorname{qftp}_{A}(\overline{a})=\operatorname{qftp}_{B}(\overline{b})\)，则 \(\operatorname{tp}_{A}(\overline{a})=\operatorname{tp}_{B}(\overline{b})\)
- 部分同构：设 \(A\) 与 \(B\) 均为 \(S-\)结构，\(0<n \in \mathbf{N}, \overline{a} \in A^{n}, \overline{b} \in B^{n}\)．若 \(\operatorname{qftp}_{A}(\overline{a})=\mathrm{qftp}_{B}(\overline{b})\)，则称 \((\overline{a}, \overline{b})\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的一个部分同构
- \(A\) 与 \(B\) 之间存在的部分同构 \((\overline{a}, \overline{b})\) 可以唯一地扩张为由 \(\overline{a}\) 生成的子结构 \(M\) 和由 \(\overline{b}\) 生成的子结构 \(N\) 之间的同构映射
- 若 \((\overline{a}, \overline{b})\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的部分同构，则 \(\left\{a_{0}, \cdots, a_{n-1}\right\}\) 生成的 \(A\) 的子结构 \(\langle\overline{a}\rangle^{A}\) 与 \(\left\{b_{0}, \cdots, b_{n-1}\right\}\) 生成的 \(B\) 的子结构 \(\langle\overline{b}\rangle^{B}\) 同构
- 进退性质：设 \(A\) 与 \(B\) 均为 \(S-\)结构，\(I\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的部分同构所构成的集合．若对任意的 \((\overline{a}, \overline{b}) \in I\) 及任意的 \(c \in A\)，都存在 \(d \in B\) 使得 \((\overline{a} c, \overline{b} d) \in I\)；反之对任意的 \(d^{\prime} \in B\)，也存在 \(c^{\prime} \in A\) 使得 \(\left(\overline{a} c^{\prime}, \overline{b} d^{\prime}\right) \in I\)，则称 \(I\) 具有进退性质
- 设 \(T\) 是一个 \(S-\)理论，则 \(T\) 有量词消去当且仅当若 \(A, B\) 均是 \(T\) 的 \(\omega-\)饱和模型，且 \(I\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的所有部分同构所构成的集合，则 \(I\) 有进退性质
- 设 \(T\) 是一个 \(S-\)理论，则 \(T\) 有量词消去当且仅当若\(A_{1}, A_{2}\) 均是 \(T\) 的模型，\(M\) 同时是 \(A_{1}\) 和 \(A_{2}\) 的子结构，则对任意的无量词 \(S_{M}-\)公式 \(\alpha(x)\) 均有 \(A_{1} \vDash \exists x \ \alpha(x) \leftrightarrow A_{2} \vDash \exists x \ \alpha(x)\)
2.2.3 模型完全
- 模 \(T\) 等价：设 \(T\) 是一个 \(S-\)理论，\(\alpha(\overline{x}), \beta(\overline{x})\) 是两个 \(S-\)公式．若 \(T \vDash \forall \overline{x} \ (\alpha(\overline{x}) \leftrightarrow \beta(\overline{x}))\)，则称 \(\alpha(\overline{x})\) 与 \(\beta(\overline{x})\) 模 \(T\) 等价
- 模型完全：设 \(T\) 是一个 \(S-\)理论，若任意 \(S-\)公式都模 \(T\) 等价于一个全称公式，则称 \(T\) 是模型完全的
- 具有量词消去的理论都是模型完全的
- 理论 \(T\) 是模型完全的当且仅当任意的 \(S-\)公式都模 \(T\) 等价于一个存在公式
- 设 \(T\) 是一个 \(S-\)理论，则 \(T\) 模型完全与以下命题等价
- 设 \(A_{1}, A_{2} \vDash T\)，且 \(A_{1}\) 是 \(A_{2}\) 的子结构，则 \(A_{1} \prec A_{2}\)
- 设 \(A_{1}, A_{2} \vDash T\)，且 \(A_{1}\) 是 \(A_{2}\) 的子结构，则对任意 \(S_{A_1}-\)公式 \(\alpha(\overline x)\)，若 \(\alpha\) 是存在公式，则 \(A_{2} \vDash \exists \overline{x} \ \alpha(\overline{x})\) 蕴含 \(A_{1} \vDash \exists \overline{x} \ \alpha(\overline{x})\)
- 任意存在公式都模 \(T\) 等价于一个全称公式