1 拓扑空间

1.1 度量空间

1.1.1 一般度量空间

度量：设 \(X\) 是一个集合，\(\rho: X\times X\to \mathbf{R}\)．若对于 \(\forall x, y, z\in X\) 有以下性质成立，则称 \(\rho\) 是集合 \(X\) 的一个度量
1. 正定性：\(\rho(x, y)\geqslant 0 \wedge \rho(x, y)=0 \leftrightarrow x=y\)
2. 对称性：\(\rho(x, y) = \rho(y, x)\)
3. 三角不等式：\(\rho(x, z) \leqslant \rho(x, y) + \rho(y, z)\)
度量空间：若 \(\rho\) 是集合 \(X\) 的一个度量，则偶对 \((X, \rho)\) 是一个度量空间，即 \(X\) 是一个对于度量 \(\rho\) 而言的度量空间．对于任意两点 \(x, y\in X\)，称 \(\rho(x, y)\) 为点 \(x\) 到点 \(y\) 的一个距离
1. 离散空间：设 \((X, \rho)\) 是一个度量空间，若 \(\forall x\in X\ \exists \delta_x>0: \rho(x, y)>\delta_x\) 对于任何 \(y\in X, y\neq x\) 成立，则称 \((X, \rho)\) 是离散的，或称 \(\rho\) 是 \(X\) 的一个离散度量
2. \(\text{Euclid}\) 空间：对于 \(\mathbf{R}^n\)．定义 \(\rho: \mathbf{R}^n\times \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}\) 有 \(\forall x, y\in \mathbf{R}: \rho(x, y)={\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}}\)，这个度量称为 \(\mathbf{R}^n\) 的通常度量．特别地，当 \(n=1\) 时，称 \(\mathbf{R}\) 为实数空间
3. \(\text{Hilbert}\) 空间：对于 \(H=\left\{x=(x_1, x_2, \cdots)\mid {\displaystyle \sum_{i=1}^\infty x_i^2}<\infty, x_i\in \mathbf{R}, i\in \mathbf Z_+\right\}\)，定义 \(\rho: H\times H\to \mathbf{R}\) 有
  
  \[ \forall x=(x_1, x_2, \cdots), y=(y_1, y_2, \cdots)\in H: \rho(x, y)={\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^\infty (x_i-y_i)^2}} \]
  
  容易验证这是良定义，这个度量称之为 \(H\) 的通常度量
4. 序列空间：令 \(S\) 表示实数（或复数）列全体，对 \(S\) 中任意两点 \(x = (x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots)\) 与 \(y = (y_1, y_2, \cdots, y_n, \cdots)\)，令 \(\rho(x, y) = {\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^{i}} \dfrac{|x_i - y_i|}{1+|x_i - y_i|}}\)，则 \(\rho\) 是 \(S\) 上的一个度量
5. 有界函数空间：设 \(A\) 是一给定的集合，令 \(B(A)\) 表示 \(A\) 上有界实值（或复值）函数全体，对 \(B(A)\) 中任意两点 \(x, y\)，定义 \({\displaystyle \rho(x, y)=\sup _{t \in A}|x(t)-y(t)|}\)，则 \(\rho\) 是 \(B(A)\) 上的一个度量
6. \(L-\)可测函数空间：设 \(X\) 为 \(\mathbf{R}^{n}\) 中 \(L-\)可测子集．\(\mathscr{M}(X)\) 为 \(X\) 上实值（或复值）的 \(L\) 可测函数全体，\(m\) 为 \(L\) 测度．对任意两个可测函数 \(f(t)\) 及 \(g(t)\)，令 \({\displaystyle \rho(f, g)=\int_{X} \dfrac{|f(t)-g(t)|}{1+|f(t)-g(t)|} \mathrm{d} t}\)，则 \(\rho\) 是 \(\mathscr{M}(X)\) 上的一个度量
球形邻域：设 \((X, \rho)\) 是一个度量空间，\(x\in X\)，对于任意给定的实数 \(\varepsilon >0\)，集合 \(B(x, \varepsilon) = B_\varepsilon(x) = \{y\in X\mid \rho(x, y)<\varepsilon\}\) 为一个以 \(x\) 为中心，以 \(\varepsilon\) 为半径的球形领域，或称为 \(x\) 的一个 \(\varepsilon-\)邻域
1. 每一点 \(x\in X\) 至少有一个球形领域，并且点 \(x\) 属于它的每一个球形邻域
2. 对于点 \(x\in X\) 的任意两个球形邻域，存在 \(x\) 的一个球形邻域同时包含于两者
3. 若 \(y\in X\) 属于 \(x\in X\) 的某一个球形邻域，则 \(y\) 有一个球形邻域包含于 \(x\) 的那个球形邻域
连续映射
1. 连续：设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个度量空间，\(f: X\to Y, x_0\in X\)．若对于 \(f(x_0)\) 的任何一个球形邻域 \(B(f(x_0), \varepsilon)\) 存在 \(x_0\) 的某一个球形邻域 \(B(x_0, \delta)\) 使得 \(f[B(x_0, \delta)]\subseteq B(f(x_0), \varepsilon)\)，则称映射在点 \(x_0\) 处是连续的
2. 连续映射：若映射 \(f\) 在 \(X\) 的每一个点 \(x\in X\) 处连续，则称 \(f\) 是一个连续映射．若 \(f\) 是一个函数，则称 \(f\) 是一个连续函数
3. 设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个度量空间，\(f: X\to Y, x_0\in X\)
  1. \(f\) 在点 \(x_0\) 处连续 \(\leftrightarrow f(x_0)\) 的每一个邻域的原像是 \(x_0\) 的一个邻域
  2. \(f\) 是连续的 \(\leftrightarrow Y\) 中的每一个开集的原像是 \(X\) 中的一个开集
导集和闭包
1. 距离：设 \((X, \rho)\) 是一个度量空间，\(X\) 中的点 \(x\) 到 \(X\) 的非空子集 \(A\) 的距离 \(\rho(x, A)=\inf\{\rho(x, y)\mid y\in A\}\)
2. 设 \(A\) 是度量空间 \((X, \rho)\) 中的一个非空子集
  1. \(x\in d(A) \leftrightarrow \rho(x, A-\{x\}) = 0\)
  2. \(x\in \overline A \leftrightarrow \rho(x, A) = 0\)
3. 设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，\(f: X\to Y\)，则以下条件等价
  1. \(f\) 是一个连续映射
  2. \(Y\) 中任何一个闭集 \(B\) 的原像 \(f^{-1}[B]\) 是一个闭集
  3. \(\forall A\subseteq X: f[\overline A]=\overline{f[A]}\)
  4. \(\forall B\subseteq X: f^{-1}[\overline B]\supset \overline{f^{-1}[B]}\)

1.1.2 完备度量空间

\(\text{Cauchy}\) 序列：设 \((X, \rho)\) 是一个度量空间，\(X\) 中的一个序列 \(\{x_i\}_{i\in \mathbf Z_+}\)．若对于任意给定的实数 \(\varepsilon >0\)，存在整数 \(N>0\)，使得当 \(i, j>N\) 时，有 \(\rho(x_i, x_j)<\varepsilon\)，则称序列 \(\{x_i\}_{i\in \mathbf Z_+}\) 是一个 \(\text{Cauchy}\) 序列
完备度量空间：\(X\) 中的每一个 \(\text{Cauchy}\) 序列都收敛的度量空间 \((X, \rho)\)
1. 度量空间的每一个收敛序列都是 \(\text{Cauchy}\) 序列，反之不一定成立
2. 完备度量空间中的每一个闭的度量子空间都是完备度量空间
3. \(n\) 维 \(\text{Euclid}\) 空间（包括实数空间）\(\mathbf{R}\) 和 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(H\) 都是完备度量空间．设 \((X, \rho)\) 是一个度量空间
  1. 设 \(Y\subseteq X\)，若 \(Y\) 中的每一个 \(\text{Cauchy}\) 序列都在 \(X\) 中收敛，则 \(Y\) 的闭包 \(\overline Y\) 中的每一个 \(\text{Cauchy}\) 序列也都在 \(X\) 中收敛
  2. 设 \(Y\) 是 \(X\) 的一个稠密子集，若 \(Y\) 中的每一个 \(\text{Cauchy}\) 序列都在 \(X\) 中收敛，则 \(X\) 是一个完备度量空间
保距映射：设 \((X, \rho)\) 和 \((Y, d)\) 都是度量空间，\(f: X\to Y\)．若对于任意 \(x, y\in X\) 有 \(d(f(x), f(y)) =\rho(x, y)\)，则称映射 \(f\) 是一个保距映射，若存在一个从 \(X\) 到 \(Y\) 的满的保距映射，则称度量空间 \((X, \rho)\) 与 \((Y, d)\) 同距
1. 保距映射是一个单射，两个保距映射的复合也是保距映射；满的保距映射一定是一个同胚，其逆映射也是保距映射
2. 同距作为关系是一个等价关系；同距的度量空间是同胚的
完备化：设 \(X\) 是一个度量空间，\(X^*\) 是一个完备度量空间．若 \(X\) 与 \(X^*\) 的一个稠密的度量子空间同距，则称完备度量空间 \(X^*\) 是 \(X\) 的一个完备化
1. 每一个度量空间都有完备化
2. 每一个度量空间的任意两个完备化同距
完全有界：设 \((X, \rho)\) 是一个度量空间，\(\varepsilon>0\) 是一个实数，\(A\) 为 \(X\) 的有限子集．若对于任何 \(x\in X\) 有 \(\rho(x, A)<\varepsilon\)，则称 \(A\) 为一个 \(\varepsilon-\)网．若对于任何实数 \(\varepsilon>0\)，\(X\) 有一个 \(\varepsilon-\)网，则称度量空间是完全有界的
1. 设 \((X, \rho)\) 是一个度量空间，则 \((X, \rho)\) 是紧的当且仅当 \((X, \rho)\) 是一个完全有界的完备度量空间
2. 设 \((X, \rho)\) 是一个完备度量空间，若由 \(X\) 的子集构成的一个序列 \(\{E_1, E_2, \cdots\}\) 满足 \(E_1\supset E_2\supset \cdots \wedge {\displaystyle \lim_{i\to \infty} \mathrm{diam}(E_i)} = 0\)，其中 \(\mathrm{diam}(E_i)\) 表示 \(E_i\) 的直径，则 \({\displaystyle \bigcap_{i\in \mathbf Z_+}E^-_i}\) 是一个单点集
3. \(\text{Baire}\) 纲定理：完备度量空间都是 \(\text{Baire}\) 空间
  1. \(\text{Baire}\) 空间：若 \(G_1, G_2, \cdots\) 是 \(X\) 中的可数个稠密的开集，且交集 \({\displaystyle \bigcap_{i\in \mathbf Z_+} G_i}\) 是 \(X\) 中的一个稠密子集，则称 \(X\) 为 \(\text{Baire}\) 空间
  2. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，若 \(A^{-o}=\varnothing\)，则称 \(A\) 为 \(X\) 的一个无处稠密子集
    1. 若 \(X\) 的子集 \(F\) 可以表示为 \(X\) 中可数个无处稠密的子集之并，则称 \(F\) 为贫集、第一纲集或第一范畴集
    2. 若 \(X\) 的子集不是第一纲集，则称之为第二纲集或第二范畴集
  3. \(\text{Baire}\) 纲定理的等价表述：完备度量空间中的任何一个非空开集都是第二纲集
压缩映射原理：设 \(X\) 是度量空间，映射 \(f: X \to X\)，若存在 \(\alpha \in (0, 1)\) 使得对所有的 \(x, y \in X\) 都有 \(d(f(x), f(y)) \leqslant \alpha d(x, y)\)，则称 \(f\) 是压缩映射．设 \(X\) 是完备的度量空间，\(f\) 是 \(X\) 上的压缩映射，则 \(f\) 有且只有一个不动点

1.2 拓扑空间

1.2.1 拓扑空间

拓扑空间：若 \(\mathscr T\) 是集合 \(X\) 的一个拓扑，则称偶对 \((X, \mathscr T)\) 是一个拓扑空间，集合 \(X\) 是一个相对于拓扑 \(\mathscr T\) 而言的拓扑空间
1. 设 \((X, \rho)\) 是度量空间，令 \(\mathscr T_\rho\) 为 \(X\) 中所有开集构成的集族，则 \((X, \mathscr T_\rho)\) 是 \(X\) 的一个拓扑，称为 \(X\) 由度量 \(\rho\) 诱导的拓扑
2. 设 \(X\) 为一个集合，容易验证 \(\varnothing\) 与 \(\mathcal P(X)\) 都是 \(X\) 的拓扑，分别称之为平庸拓扑和离散拓扑．称 \((X, \varnothing)\) 为一个平庸空间，\((X, \mathcal P(X))\) 为一个离散空间
补空间：对于基础集 \(X\)，记子集 \(A\subseteq X\) 的补集 \(A'=X-A\)．设 \(X\) 为一个集合
1. 令 \(\mathscr T=\{U\subseteq X\mid U'\) 是 \(X\) 中的一个有限子集 \(\}\cup \{\varnothing\}\)，则称 \(\mathscr T\) 是 \(X\) 的有限补拓扑，称 \((X, \mathscr T)\) 为有限补空间
2. 令 \(\mathscr T=\{U\subseteq X\mid U'\) 是 \(X\) 中的一个可数子集 \(\}\cup \{\varnothing\}\)，则称 \(\mathscr T\) 是 \(X\) 的可数补拓扑，称 \((X, \mathscr T)\) 为可数补空间
邻域：设 \((X, \mathscr T)\) 是一个拓扑空间，\(x\in X\)，\(U\) 是点 \(x\) 的一个邻域，则称 \(U - x\) 为点 \(x\) 的一个去心邻域
1. 邻域定义的性质
  1. 领域与球形邻域：设 \(x\) 是度量空间 \(X\) 的一个点，则 \(X\) 的子集 \(U\) 是 \(x\) 的一个邻域当且仅当 \(x\) 有某个球形邻域包含于 \(U\)
  2. 领域与开集：拓扑空间 \(X\) 的一个子集 \(U\) 是开集当且仅当 \(\forall x\in U: U\) 是 \(x\) 的一个邻域
  3. 邻域与拓扑空间：设 \(X\) 是一个集合，且 \(\forall x\in X\) 指定了 \(X\) 的一个子集族 \(\mathscr U_x\)，且它们满足下述定理的四条性质，则 \(X\) 有唯一一个拓扑 \(\mathscr T\) 使得对于每一点 \(x\in X\)，子集族 \(\mathscr U_x\) 恰是点 \(x\) 在拓扑空间 \((X, \mathscr T)\) 中的邻域系
2. 若 \(U\) 是包含点 \(x\) 的一个开集，那么 \(U\) 必定是 \(x\) 的一个邻域，称 \(U\) 是点 \(x\) 的一个开邻域．称点 \(x\) 所有邻域构成的 \(X\) 的子集族为点 \(x\) 的邻域系．设 \(X\) 是一个拓扑空间，记 \(\mathscr U_x\) 为点 \(x\in X\) 的邻域系
  1. \(\forall x\in X: \mathscr U_x \neq \varnothing\)，且若 \(U\in \mathscr U_x\)，则 \(x\in U\)
  2. 若 \(U, V\in \mathscr U_x\)，则 \(U\cap V\in \mathscr U_x\)
  3. 若 \(U\in \mathscr U_x \wedge U\subseteq V\)，则 \(V\in \mathscr U_x\)
  4. 若 \(U\in \mathscr U_x\)，则 \(\exists V\in \mathscr U_x \ (V\subseteq U \wedge \forall y\in V: V\in \mathscr U_y)\)
拓扑空间与连续映射
1. 设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，\(f: X\to Y\)．若 \(Y\) 中的每一个开集 \(U\) 的原像 \(f^{-1}[U]\) 是 \(X\) 中的一个开集，则称 \(f\) 是从 \(X\) 到 \(Y\) 的一个连续映射，或称映射 \(f\) 连续
2. 设 \(X, Y, Z\) 都是拓扑空间
  1. 恒同映射 \(i_X: X\to X\) 是一个连续映射
  2. 若 \(f: X\to Y\) 和 \(g: Y\to Z\) 都是连续映射，则 \(g\circ f: X\to Z\) 也是连续映射
邻域定义连续性

设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，\(f: X\to Y, x\in X\)．若 \(f(x)\in Y\) 的每一个邻域的原像 \(f^{-1}[U]\) 是 \(x\in X\) 的一个邻域，则称邻域 \(f\) 是一个在点 \(x\) 处连续的映射
1. 设 \(X, Y, Z\) 都是拓扑空间
  1. 恒同映射 \(i_X: X\to X\) 是一个连续映射
  2. 若 \(f: X\to Y\) 和 \(g: Y\to Z\) 都是连续映射，则 \(g\circ f: X\to Z\) 也是连续映射
2. 设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，\(f: X\to Y\)，则映射 \(f\) 连续当且仅当对任意 \(x\in X\) 均有映射 \(f\) 在点 \(x\) 处连续
同胚：设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，若 \(f: X\to Y\) 是一个双射，并且 \(f\) 和 \(f^{-1}: Y\to X\) 都是连续的，则称 \(f\) 是一个同胚映射，同时也称 \(f^{-1}\) 为同胚 \(f\) 的同胚逆
1. 设 \(X, Y, Z\) 都是拓扑空间
  1. 恒同映射 \(i_X: X\to X\) 是一个同胚
  2. 若 \(f: X\to Y\) 是一个同胚，则 \(f^{-1}: Y\to X\) 也是一个同胚
  3. 若 \(f: X\to Y\) 和 \(g: Y\to Z\) 都是同胚，则 \(g\circ f: X\to Z\) 也是同胚
2. 设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，若存在一个同胚 \(f: X\to Y\)，则称拓扑空间 \(X\) 与拓扑空间 \(Y\) 是同胚的，或称 \(X\) 同胚于 \(Y\)．在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系
3. 拓扑不变性质：拓扑空间的某种性质 \(P\)，若为某一个拓扑空间所具有，也必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质是一个拓扑不变性质

1.2.2 开集与闭集

开集：设 \(A\) 是度量空间 \(X\) 的一个子集，若 \(\forall a\in A\ \exists \varepsilon > 0: B(a, \varepsilon)\subseteq A\)，则称 \(A\) 是度量空间 \(X\) 中的一个开集
1. 实数空间中的所有开区间都是开集，但是所有的闭区间与半开半闭区间都不是开集
2. 度量空间 \(X\) 中的开集具有以下性质
  1. 集合 \(X\) 与 \(\varnothing\) 都是开集
  2. 任意两个开集的交是一个开集
  3. 任意一个开集族的并是一个开集
聚点与孤立点：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(A\subseteq X\)
1. 聚点：若点 \(x\in X\) 的每一个邻域 \(U\) 中都有 \(U\cap(A-|x|)\neq \varnothing\)，则称点 \(x\) 是集合 \(A\) 的一个聚点或极限点
2. 孤立点：若 \(x\in A\) 且存在 \(x\) 的一个邻域 \(U\) 使得 \(U\cap(A-|x|)= \varnothing\)，则称 \(x\) 为 \(A\) 的一个孤立点
  1. 自密集：没有孤立点的集合
  2. 完备集：自密闭集，即没有孤立点的闭集
导集：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(A\subseteq X\)
1. 定义：集合 \(A\) 的所有聚点构成的集合，记作 \(d(A)\)
2. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(A\subseteq X\)
  1. \(d(\varnothing) = \varnothing\)
  2. \(A\subseteq B\to d(A)\subseteq d(B)\)
  3. \(d(A\cup B) = d(A) \cup d(B)\)
  4. \(d(d(A)) \subseteq A\cup d(A)\)
闭集：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(A\subseteq X\)，若 \(d(A) \subseteq A\)，则称 \(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个闭集
1. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(A\subseteq X\)，则 \(A\) 为闭集 \(\leftrightarrow A'\) 为开集
2. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，记 \(\mathscr F\) 为所有闭集构成的族
  1. \(X, \varnothing \in \mathscr F\)
  2. 若 \(A, B\in \mathscr F\)，则 \(A\cup B\in \mathscr F\)
  3. 若 \(\varnothing \neq \mathscr F_1\subseteq \mathscr F\)，则 \({\displaystyle \bigcap_{A\in \mathscr F_1}A} \in \mathscr F\)
闭包：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(A\subseteq X\)，称集合 \(A\cup d(A)\) 为集合 \(A\) 的闭包，记作 \(\overline A\) 或 \(A^-\)
1. \(x\in \overline A\) 当且仅当对于 \(x\) 的任何一个邻域 \(U\) 有 \(U\cap A\neq \varnothing\)
2. 拓扑空间 \(X\) 的子集 \(A\) 是闭集当且仅当 \(A=\overline A\)，且任意子集 \(A\) 的闭包 \(\overline A\) 都是闭集
3. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，则对于任意 \(A, B\subseteq X\) 有
  1. \(\overline \varnothing = \varnothing\)
  2. \(A\subseteq \overline A\)
  3. \(\overline{A\cup B} = \overline A \cup \overline B\)
  4. \(\overline{\overline A} = \overline A\)
4. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(\mathscr F\) 是由空间 \(X\) 中所有闭集构成的族，则对于 \(X\) 的每个子集 \(A\)，有 \({\displaystyle \overline A = \bigcap_{B\in \mathscr F, A\subseteq B}B}\)
5. 闭包定义拓扑空间：设 \(X\) 是一个集合 \(c^*(X): \mathcal P(X)\to \mathcal P(X)\) 的一个闭包运算，则存在 \(X\) 的唯一一个拓扑 \(\mathscr T\)，使得在拓扑空间 \((X, \mathscr T)\) 中对于每一个 \(A\subseteq X\) 有 \(c^*(A)=\overline A\)
闭包运算

设 \(X\) 是一个集合，映射 \(c^*: \mathcal P(X)\to \mathcal P(X)\) 若对于任意 \(A, B\in \mathcal P(X)\)，满足以下 \(\text{Kuratowski}\) 公理，则称为集合 \(X\) 上的一个闭包运算
1. \(c^*(\varnothing) = \varnothing\)
2. \(A\subseteq c^*(A)\)
3. \(c^*(A\cup B) = c^*(A) \cup c^*(B)\)
4. \(c^*(c^*(A)) = c^*(A)\)
内部与外部：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(A\subseteq X\)，若 \(A\) 是点 \(x\in X\) 的一个邻域，则称点 \(x\) 是集合 \(A\) 的一个内点，集合 \(A\) 的所有内点构成的集合称为集合 \(A\) 的内部，记作 \(A^o\) 或 \(\operatorname{int}(A)\)；若集合 \(U \subseteq X\) 是点 \(x\) 的一个邻域且 \(U \cup A = \varnothing\)，则称点 \(x\) 是集合 \(A\) 的一个外点，集合 \(A\) 的所有外点构成的集合称为集合 \(A\) 的外部，记作 \(\operatorname{ext}(A)\)
1. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(A\subseteq X\)，则 \(A^o = A{}'^-{}'\)，因此 \(A^-=A{}'^o{}'\)
2. 拓扑空间 \(X\) 的子集 \(A\) 是开集 \(\leftrightarrow A = A^o\)
3. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，则对于任意 \(A, B\subseteq X\) 有
  1. \(X^o=X\)
  2. \(A\supset A^o\)
  3. \((A\cap B)^o = A^o\cap B^o\)
  4. \(A^{oo}=A^o\)
4. 拓扑空间的任何一个子集 \(A\) 的内部 \(A^o\) 都是开集
5. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(\mathscr T\) 是 \(X\) 的拓扑，则对于 \(X\) 的每一个子集 \(A\) 有 \(A^o={\displaystyle \bigcup_{B\in\mathscr T, B\subseteq A} B}\)
边界点：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(A\subseteq X\)，点 \(x\in X\)．若在 \(x\) 的任意一个邻域 \(U\) 中有 \(U\cap A\neq \varnothing \wedge U\cap A'\neq \varnothing\)，则称 \(x\) 是集合 \(A\) 的一个边界点
1. 边界：集合 \(A\) 的全体边界点构成的集合，记作 \(\partial(A)\)
2. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(A\subseteq X\)
  1. \(A^-=A^o\cup \partial(A), A^o=A^--\partial(A)\)
  2. \(\partial(A)=A^-\cap A{}'^-=(A^o\cup A{}'^o)'=\partial(A')\)
点的分类

设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(A\subseteq X\)，点 \(x\in X\)．则 \(x\) 是 \(A\) 的 \(\left\{\begin{aligned} & \textsf{内点} \\ & \textsf{边界点} \\ & \textsf{外点} \end{aligned}\right.\) 或 \(\left\{\begin{aligned} & \textsf{聚点} \\ & \textsf{孤立点} \\ & \textsf{外点} \end{aligned}\right.\)．易知 \(A\) 的内点必定是 \(A\) 的聚点；\(A\) 的边界点必定是 \(A\) 的聚点或孤立点

1.2.3 基与子基

基：设 \((X, \mathscr T)\) 是一个拓扑空间，\(\mathscr B\) 是 \(\mathscr T\) 的一个子族．若 \(\forall U\in \mathscr T\ \exists \mathscr B_1\subseteq \mathscr B: U={\displaystyle \bigcup_{B\in \mathscr B_1}B}\)，则称 \(\mathscr B\) 是拓扑 \(\mathscr T\) 的一个基
1. 一个度量空间的所有球形邻域构成集族是这个度量空间作为拓扑空间时的一个基
2. 设 \(\mathscr B\) 是拓扑空间 \((X, \mathscr T)\) 的一个开集族，则 \(\mathscr B\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个基当且仅当对于每一个 \(x\in X\) 和 \(x\) 的每一个邻域 \(U_x\)，存在 \(V_x\in \mathscr B\) 使得 \(x\in V_x\subseteq U_x\)
3. 设 \(X\) 是一个集合，\(\mathscr B\subseteq \mathcal P(X)\)，若 \({\displaystyle \bigcup_{B\in \mathscr B}B}=X\)，且若 \(B_1, B_2\in \mathscr B\)，则对于任何 \(x\in B_1\cap B_2\)，存在 \(B\in \mathscr B\) 使得 \(x\in B\subseteq B_1\cap B_2\)，则 \(X\) 的子集族 \(\mathscr T=\left\{U\subseteq X \left|\exists \mathscr B_U\subseteq \mathscr B: U={\displaystyle \bigcup_{B\in \mathscr B_U} B}\right.\right\}\) 是集合 \(X\) 的唯一以 \(\mathscr B\) 为基的拓扑，反之也成立
子基：设 \((X, \mathscr T)\) 是一个拓扑空间，\(\mathscr S\) 是 \(\mathscr T\) 的一个子族，若 \(\mathscr S\) 的所有非空有限子族之交构成的集族 \(\mathscr B=\{S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n\mid S_i\in \mathscr S, i=1,2,\cdots,n;n\in \mathbf Z_+\}\) 是拓扑 \(\mathscr T\) 的一个基，则称集族 \(\mathscr S\) 是拓扑 \(\mathscr T\) 的一个子基
1. 设 \(X\) 是一个集合，\(\mathscr S\subseteq \mathscr T(X)\)，若 \(X={\displaystyle \bigcup_{S\in \mathscr S}S}\)，则 \(X\) 有唯一一个拓扑 \(\mathscr T\) 以 \(\mathscr S\) 为子基，且若令 \(\mathscr B=\{S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n\mid S_i\in \mathscr S, i=1,2,\cdots,n;n\in \mathbf Z_+\}\)，则 \(\mathscr T=\left\{\left. {\displaystyle \bigcup_{B\in \mathscr B_1}B}\right| \mathscr B_1\subseteq \mathscr B\right\}\)
2. 设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，\(f: X\to Y\)，则以下条件等价
  1. \(f\) 连续
  2. 拓扑空间 \(Y\) 有一个基 \(\mathscr B\)，使得对于任何一个 \(B\in \mathscr B\)，原像 \(f^{-1}[B]\) 是 \(X\) 中的一个开集
  3. \(Y\) 有一个子基 \(\mathscr S\)，使得对于任何一个 \(S\in \mathscr S\)，原像 \(f^{-1}[S]\) 是 \(X\) 中的一个开集
邻域基：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(x\in X\)．记 \(\mathscr U_x\) 为 \(x\) 的邻域系，若 \(\mathscr U_x\) 的子族 \(\mathscr V_x\) 满足对于任何 \(U\in \mathscr U_x\)，存在 \(V\in \mathscr V_x\) 使得 \(V\subseteq U\)，则称 \(\mathscr V_x\) 是点 \(x\) 的邻域系的一个子集，或简称为点 \(x\) 的一个邻域基
1. 若 \(\mathscr U_x\) 的子族 \(\mathscr W_x\) 有 \(\mathscr W_x\) 的每一个非空有限子族之交的全体构成的集族 \(\{W_1 \cap W_2 \cap \cdots \cap W_n\mid W_i\in \mathscr W_x, i=1, 2, \cdots, n; n\in \mathbf Z_+\}\) 是 \(\mathscr U_x\) 的一个邻域基，则称 \(\mathscr W_x\) 是点 \(x\) 的邻域系的一个子基，或称为点 \(x\) 的一个邻域子基
2. 设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，\(f: X\to Y, x\in X\)，则以下条件等价
  1. \(f\) 在点 \(x\) 处连续
  2. \(f(x)\) 有一个邻域基 \(\mathscr V_{f(x)}\) 使得对于任何 \(V\in \mathscr V_{f(x)}\)，原像 \(f^{-1}[V]\) 是 \(x\) 的一个邻域
  3. \(f(x)\) 有一个邻域子基 \(\mathscr W_{f(x)}\) 使得对于任何 \(W\in \mathscr W_{f(x)}\)，原像 \(f^{-1}[W]\) 是 \(x\) 的一个邻域
3. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(x\in X\)
  1. 若 \(\mathscr B\) 是 \(X\) 的一个基，则 \(\mathscr B_x=\{B\in \mathscr B\mid x\in B\}\) 是点 \(x\) 的一个邻域基
  2. 若 \(\mathscr S\) 是 \(X\) 的一个子基，则 \(\mathscr S_x=\{S\in \mathscr S\mid x\in S\}\) 是点 \(x\) 的一个邻域子基