3 拓扑不变性质

3.1 连通性

3.1.1 连通空间

1. 隔离：设 \(A, B\) 是拓扑空间 \(X\) 的两个自己，若 \((A\cap \overline B)\cup (B\cap \overline A) =\varnothing\)，则称子集 \(A\) 和 \(B\) 是隔离的，此时 \(A\) 与 \(B\) 无交且其中的任何一个不包含另一个的任何聚点
2. 连通空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若 \(X\) 中有两个非空的隔离子集 \(A\) 和 \(B\) 使 \(X=A\cup B\)，则称 \(X\) 是一个不连通空间，否则称 \(X\) 是一个连通空间
   1. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，则以下条件等价
      1. \(X\) 是一个不连通空间
      2. \(X\) 中存在两个非空的闭子集 \(A\) 和 \(B\) 使得 \(A\cap B=\varnothing \wedge A\cup B=X\)
      3. \(X\) 中存在两个非空的开子集 \(A\) 和 \(B\) 使得 \(A\cap B=\varnothing \wedge A\cup B=X\)
      4. \(X\) 中存在一个即开又闭的非空真子集
   2. 实数空间 \(\mathbf{R}\) 是一个连通空间，有理数集 \(\mathbf{Q}\) 作为 \(\mathbf{R}\) 的子空间是一个不连通空间
3. 设 \(Y\) 是拓扑空间 \(X\) 的子集，若 \(Y\) 作为 \(X\) 的子空间是连通空间，则称 \(Y\) 是 \(X\) 的连通子集；否则称 \(Y\) 是 \(X\) 的不连通子集
   1. 设 \(Y\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个子集
      1. 设 \(A, B\subseteq Y\)，则 \(A, B\) 是子空间 \(Y\) 中的隔离子集仅当它们是拓扑空间 \(X\) 中的隔离子集
      2. 若对于任意 \(x, y\in Y\)，存在 \(X\) 中的一个连通子集 \(Y_{xy}\) 使得 \(x, y\in Y_{xy}\)，则 \(Y\) 是 \(X\) 中的一个连通子集
   2. 设 \(Y\) 是拓扑空间 \(X\) 中的一个连通子集
      1. 若 \(X\) 中有隔离子集 \(A, B\) 使得 \(Y\subseteq A\cap B\)，则 \(Y\subseteq A\vee Y\subseteq B\)
      2. 设 \(Z\subseteq X\) 满足条件 \(Y\subseteq Z\subseteq \overline Y\)，则 \(Z\) 也是 \(X\) 的一个连通子集
   3. 设 \(\{Y_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 是拓扑空间 \(X\) 的连通子集构成的一个子集族，若 \({\displaystyle \bigcap_{\gamma\in \Gamma}Y_\gamma} \neq\varnothing\)，则 \({\displaystyle \bigcup_{\gamma\in \Gamma}Y_\gamma} \neq\varnothing\) 是 \(X\) 的一个连通子集
4. 连通性的性质
   1. 拓扑不变性：设 \(f: X\to Y\) 是从连通空间 \(X\) 到拓扑空间 \(Y\) 的一个连续映射，则 \(f[X]\) 是 \(Y\) 的一个连通子集
   2. 连通性是不可遗传的性质
   3. 有限可积性：设 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 是 \(n\) 个连通空间，则积空间 \(X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n\) 也是连通空间
   4. 可积性：任何一族连通空间的积空间都是连通空间
5. \(\mathbf{R}\) 中的连通性
   1. 设 \(E\) 是实数空间 \(\mathbf{R}\) 的一个子集， \(E\) 是一个连通子集当且仅当 \(E\) 是一个区间
   2. 设 \(X\) 是一个连通空间，\(f: X\to \mathbf{R}\) 是一个连续映射，则 \(f[X]\) 是 \(\mathbf{R}\) 中的一个区间
      1. 介值定理：设 \(f: [a, b]\to \mathbf{R}\) 是从连续映射，则对于 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 之间的任何一个实数 \(r\)，存在 \(z\in [a, b]\) 使得 \(f(z)=r\)
      2. 不动点定理：设 \(f: [0, 1]\to [0, 1]\) 是一个连续映射，则存在 \(z\in [0, 1]\) 使得 \(f(z)=z\)
   3. 设 \(x=(x_1, x_2)\in S^1, S^1=\{(x, y\in \mathbf{R})^2 \mid x^2+y^2=1\}\)
      1. 点 \(-x=(-x_1, -x_2)\in S^1\) 称为点 \(x\) 的对径点，映射 \(r: S^1\to S^1\) 使得 \(\forall x\in S^1: r(x)=-x\) 称为对径映射
      2. \(\text{Borsuk}-\text{Ulam}\) 定理：设 \(f: S^1\to \mathbf{R}\) 是一个连续映射，则在 \(S^1\) 中存在一对对径点 \(x\) 和 \(-x\) 使得 \(f(x)=f(-x)\)
6. \(\mathbf{R}^n\) 中的连通性
   1. \(n>1\) 维 \(\text{Euclid}\) 空间 \(\mathbf{R}^n\) 的子集 \(\mathbf{R}^n-\{O\}\) 是一个连通子集，其中 \(O=(0, 0, \cdots, 0)\in \mathbf{R}^n\)
   2. \(\text{Euclid}\) 平面 \(\mathbf{R}^2\) 与实数空间 \(\mathbf{R}\) 不同胚；进一步地，若 \(n\neq l\)，则 \(\mathbf{R}^n\) 与 \(\mathbf{R}^l\) 不同胚
   3. 高维形式的不动点定理与 \(\text{Borsuk}-\text{Ulam}\) 定理
      1. \(\text{Brouwer}\) 不动点定理：设 \(f: E^n\to E^n\) 是一个连续映射，其中 \(E^n\) 是 \(n\) 维闭球体，则 \(\exists z\in E^n: f(z)=z\)
      2. \(\text{Borsuk}-\text{Ulam}\) 定理：设 \(f: S^n\to \mathbf{R}^l\) 是一个连续映射，其中 \(n\geqslant l\)，则 \(\exists x\in S^n: f(x)=f(-x)\)
7. 连通分支
   1. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(x, y\in X\)．若 \(X\) 中有一个连通子集同时包含 \(x\) 和 \(y\)，则称点 \(x\) 和 \(y\) 是连通的．易证明连通作为关系是一个等价关系
   2. 连通分支：设 \(X\) 是一个拓扑空间，对于 \(X\) 中的点的连通关系而言，每一个等价类称为拓扑空间 \(X\) 的一个连通分支；若 \(Y\subseteq X\)，则 \(Y\) 作为 \(X\) 的子空间的每一个连通分支称为 \(X\) 的子集 \(Y\) 的一个连通分支
   3. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(C\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个连通分支
      1. 若 \(Y\) 是 \(X\) 的一个连通子集，且 \(Y\cap C\neq \varnothing\)，则 \(Y\subseteq C\)
      2. \(C\) 是一个连通子集
      3. \(C\) 是一个闭集

3.1.2 连通空间的实例

1. 局部连通空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间且 \(x\in X\)，若 \(x\) 的每一个邻域 \(U\) 都包含着 \(x\) 的某一个连通的邻域 \(V\)，则称拓扑空间 \(X\) 在点 \(x\) 处是局部连通的；若拓扑空间 \(X\) 在它的每一个点处都是局部连通的，则称拓扑空间 \(X\) 是一个局部连通空间
   1. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，则以下条件等价
      1. \(X\) 是一个局部连通空间
      2. \(X\) 的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集
      3. \(X\) 有一个基且它的每一个元素都是连通的
   2. 拓扑不变性：设 \(X, Y\) 都是拓扑空间，其中 \(X\) 是局部连通的，又设 \(f: X\to Y\) 是一个连续开映射，则 \(f[X]\) 是局部连通空间
   3. 有限可积性：设 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 是 \(n\geqslant 1\) 个局部连通空间，则积空间 \(X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n\) 也是局部连通空间
2. 道路：设 \(X\) 是一个拓扑空间，从单位闭区间 \([0, 1]\) 到 \(X\) 的每一个连续映射 \(f: [0, 1] \to X\) 称作 \(X\) 中的一条道路
   1. \(f(0), f(1)\) 分别称作道路 \(f\) 的起点和终点
   2. 当 \(f(0)=f(1)\) 时，此道路被称为回路，其起点（及终点）被称为回路的基点
3. 道路连通空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若对于任何 \(x, y\in X\)，存在 \(X\) 中的从 \(x\) 到 \(y\) 的道路，则称 \(X\) 是一个道路连通空间．若 \(X\) 中的一个子集 \(Y\) 作为 \(X\) 的子空间是一个道路连通空间，则称之为 \(X\) 中的一个道路连通子集
   1. 若拓扑空间 \(X\) 是一个道路连通空间，则 \(X\) 必然是一个连通空间
   2. 设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，其中 \(X\) 也是道路连通的，\(f: X\to Y\) 是一个连续映射，则 \(f[X]\) 是道路连通的
   3. 拓扑不变性：设 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 是 \(n\geqslant 1\) 个道路连通空间，则积空间 \(X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n\) 也是道路连通空间
   4. 黏结引理：设 \(A\) 和 \(B\) 是拓扑空间 \(X\) 中的两个开集（闭集），并且有 \(X=A\cap B\)．又设 \(Y\) 是一个拓扑空间，\(f_1: A\to Y, f_2: B\to Y\) 是两个连续映射，满足条件 \(f_1|_{A\cap B} = f_2|_{A\cap B}\)．定义映射 \(f: X\to Y\) 使得对于任何 \(x\in X\)，\(f(x)=\left\{\begin{aligned}&f_1(x), &x\in A \\& f_2(x), &x\in B\end{aligned}\right.\)，则 \(f\) 是一个连续映射
4. 道路连通分支
   1. 道路连通：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(x, y\in X\)．若 \(X\) 中有一条从 \(x\) 到 \(y\) 的道路，则称点 \(x\) 和 \(y\) 是道路连通的．拓扑空间中的点的道路连通关系是一个等价关系
   2. 道路连通分支：设 \(X\) 是一个拓扑空间，对于 \(X\) 中的点的道路连通关系，每一个等价类称为拓扑空间 \(X\) 的一个道路连通分支
   3. \(n\) 维 \(\text{Euclid}\) 空间 \(\mathbf{R}^n\) 的任一连通开集都是道路连通的，且 \(\mathbf{R}^n\) 中任何开集的每一个道路连通分支同时也是其连通分支

3.2 可数性

3.2.1 可数性公理

1. 可数基：若某拓扑空间的一个基或在某一点处的一个邻域基是一个可数族，则分别称之为一个可数基和一个可数邻域基

2. 可数性公理

   1. 第一可数性公理：一个拓扑空间若在他的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足一个可数性公理的空间，或称为 \(\text A_1\) 空间

   2. 第二可数性公理：一个拓扑空间若有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或称为 \(\text A_2\) 空间

      可数性公理的实例

      1. 每一个度量空间都满足第一可数性公理；包含不可数个点的可数空间不满足第一可数性公理
      2. \(n\) 维 \(\text{Euclid}\) 空间 \(\mathbf{R}^n\) 满足第二可数性公理；包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理

3. 可数性公理的性质

   1. 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理
   2. 拓扑不变性：设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，\(f: X\to Y\) 是一个满的连续开映射．若 \(X\) 满足第二（第一）可数性公理，则 \(Y\) 也满足第二（第一）可数性公理
   3. 可遗传性：满足第二（第一）可数性公理的空间的任何一个子空间是满足第二（第一）可数性公理的空间
   4. 有限可积性：设 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 是 \(n\) 个满足第二（第一）可数性公理的空间，则积空间 \(X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n\) 满足第二（第一）可数性公理
   5. 设 \(\{X_\gamma\}_{\gamma\in\Gamma}\) 是一个拓扑空间族，并且对于任何 \(\gamma \in \Gamma，X_\gamma \neq \varnothing\)，则积空间 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma}\) 满足第二可数性公理的一个充要条件是指标集 \(\Gamma\) 有一个可数子集使得当 \(\alpha \in \Gamma_1\) 时 \(X_\alpha\) 满足第二可数性公理，当 \(\alpha\in \Gamma-\Gamma_1\) 时 \(X_\alpha\) 是平庸空间
4. \(\text A_1\) 空间中的序列性质
   1. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，若在点 \(x\in X\) 处有一个可数邻域基，则在点 \(x\) 处有一个可数邻域基 \(\{U_i\}_{i\in \mathbf Z_+}\) 使得 \(\forall i\in \mathbf Z_+: U_i\supset U_{i+1}\)
   2. 设 \(X\) 是一个 \(\text A_1\) 空间，\(A\subseteq X\)，则 \(x\in X\) 是集合 \(A\) 的一个聚点当且仅当在集合 \(A-\{x\}\) 中有一个序列收敛于 \(x\)
   3. 设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，其中 \(X\) 满足第一可数性公理，\(x\in X\)．则映射 \(f: X\to Y\) 在点 \(x\in X\) 处连续当且仅当若 \(X\) 中的序列 \(\{x_i\}\) 收敛于 \(x\)，则 \(Y\) 中的序列 \(\{f(x_i)\}\) 收敛于 \(f(x)\)
   4. 设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，其中 \(X\) 满足第一可数性公理．则映射 \(f: X\to Y\) 是一个连续映射当且仅当若 \(X\) 中的序列 \(\{x_i\}\) 收敛于 \(x\in X\)，则 \(Y\) 中的序列 \(\{f(x_i)\}\) 收敛于 \(f(x)\)

3.2.2 可分空间

1. 稠密子集：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(D\subseteq X\)．若 \(\overline D=X\)，则称 \(D\) 是 \(X\) 的一个稠密子集
   1. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(D\) 是 \(X\) 的一个稠密子集
   2. 设 \(f, g: X\to \mathbf{R}\) 都是连续映射，若 \(f|_D=g|_D\)，则 \(f=g\)
2. 可分空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若 \(X\) 中有一个可数稠密子集，则称 \(X\) 是一个可分空间
   1. 每一个 \(\text A_2\) 空间都是可分空间；\(\text A_2\) 空间的每一个子空间都是可分空间
   2. 每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理；可分度量空间的每一个子空间都是可分空间

3.2.3 Lindelöf 空间

1. 覆盖：设 \(\mathscr A\) 是一个集族，\(B\) 是一个集合，若 \({\displaystyle \bigcup_{A\in \mathscr A}A} \supset B\)，则称集族 \(\mathscr A\) 是集合 \(B\) 的一个覆盖，且当 \(\mathscr A\) 是可数族或有限族时，分别称集族 \(\mathscr A\) 是集合 \(B\) 的一个可数覆盖或有限覆盖
   1. 子覆盖：设集族 \(\mathscr A\) 是集合 \(B\) 的一个子族，\(\mathscr A_1\) 也是集合 \(B\) 的覆盖，则称集族 \(\mathscr A_1\) 是覆盖 \(\mathscr A\) 关于集合 \(B\) 的一个子覆盖
   2. 开（闭）覆盖：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若由 \(X\) 中开（闭）子集构成的集族 \(\mathscr A\) 是 \(X\) 的子集 \(B\) 的一个覆盖，则称集族 \(\mathscr A\) 是集合 \(B\) 的一个开（闭）覆盖
   3. 局部有限覆盖：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(\mathscr A\) 是 \(X\) 的子集 \(A\) 的一个覆盖．如果对于每一个 \(x\in A\)，点 \(x\) 有一个邻域 \(U\) 仅与 \(\mathscr A\) 中有限个元素有非空的交，则称 \(\mathscr A\) 是集合 \(A\) 的一个局部有限覆盖
2. \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若 \(X\) 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间 \(X\) 是一个 \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 空间
   1. 包含不可数个点的离散空间不是一个 \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 空间
   2. \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 定理：任何一个 \(\text A_2\) 空间及其任何子空间都是 \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 空间，其逆命题不成立
   3. 每一个 \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 的度量空间都满足第二可数性公理
   4. \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 的每一个闭子空间都是 \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 空间
   5. 设拓扑空间 \(X\) 的任何一个子空间都是 \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 空间，若 \(A\subseteq X\) 是一个不可数集，则 \(A\cap d(A)\neq \varnothing\)

3.3 分离性

3.3.1 分离性公理

1. 开（闭）邻域：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(A, U\subseteq X\)．若 \(A\subseteq U^\circ\)，则称集合 \(U\) 是集合 \(A\) 的一个邻域．若 \(U\) 是 \(A\) 的一个邻域，且还是一个开集（闭集），则称 \(U\) 是 \(A\) 的一个开（闭）邻域
2. 正则空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间， 若 \(x\in X\) 和 \(A\subseteq X\) 是一个闭集使得 \(x\notin A\)，则存在 \(x\) 的一个开邻域 \(V\) 使得 \(U\cap V=\varnothing\)，则称拓扑空间 \(X\) 是一个正则空间
   1. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，则 \(X\) 是一个正则空间当且仅当对于任何点 \(x\in X\) 和 \(x\) 的任何一个开邻域 \(U\)，存在 \(x\) 的一个开邻域 \(V\) 使得 \(\overline V\subseteq U\)
   2. 完全正则空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若对于任意 \(x\in X\) 和 \(X\) 中任何一个不包含点 \(x\) 的闭集 \(B\)，存在一个连续映射 \(f: X\to [0, 1]\) 使得 \(f(x)=0\) 以及对于任何 \(y\in B\) 有 \(f(y)=1\)，则称拓扑空间 \(X\) 是一个完全正则空间
      1. 每一个完全正则空间都是正则空间
      2. 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间
      3. \(\text{Tychonoff}\) 定理：每一个正则的 \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 空间都是正规空间
3. 正规空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若 \(A, B\subseteq X\) 都是闭集，\(A\cap B\varnothing\)，则存在 \(A\) 的一个开邻域 \(U\) 和 \(B\) 的一个开邻域使得 \(U\cap V=\varnothing\)，则称拓扑空间 \(X\) 是一个正规空间．拓扑空间的正规性和正则性没有必然关系
   1. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，则 \(X\) 是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集 \(A\subseteq X\) 和 \(A\) 的任何一个开邻域 \(U\)，存在 \(A\) 的一个开邻域 \(V\) 使得 \(\overline V\subseteq U\)
   2. \(\text{Urysohn}\) 引理：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\([a, b]\) 是一个闭区间，则 \(X\) 是一个正规空间当且仅当对于 \(X\) 中的任意两个无交的闭集 \(A\) 和 \(B\)，存在一个连续映射 \(f: X\to [a, b]\) 使得当 \(x\in A\) 时 \(f(x)=a\) 和当 \(x\in B\) 时 \(f(x)=b\)
   3. 设 \(X\) 是一个正规空间， \(A\) 是 \(X\) 中的一个闭子集， \(\lambda\) 是一个正实数，则对于任何一个连续映射 \(g: A\to [-\lambda, \lambda]\)，存在一个连续映射 \(g^*: X\to \left[-\dfrac 13\lambda, \dfrac 13\lambda \right]\) 使得对于任何 \(a\in A\) 有 \(|g(a)-g^*(a)|\leqslant \dfrac 23\lambda\)
   4. \(\text{Tietze}\) 扩张定理：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\([a, b]\) 是一个闭区间，则 \(X\) 是一个正规空间当且仅当对于 \(X\) 中的任何一个闭集 \(A\) 和任何一个连续映射 \(f: A\to [a, b]\) 有一个连续映射 \(g: X\to [a, b]\) 是 \(f\) 的扩张
4. \(\text T_0\) 空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若 \(x, y\in X, x\neq y\)，则或者 \(x\) 存在开邻域 \(U\) 使得 \(y\notin U\)，或者 \(y\) 有一个开邻域 \(V\) 使得 \(x\notin V\)，则称拓扑空间 \(X\) 是一个 \(\text T_0\) 空间．易知拓扑空间 \(X\) 是一个 \(\text T_0\) 空间当且仅当 \(\forall x, y\in X: x\neq y\to \overline{|x|} \neq \overline{|y|}\)
5. \(\text T_1\) 空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若 \(x, y\in X, x\neq y\)，则 \(x\) 有一个开邻域 \(U\) 使得 \(y\notin U\)，则称拓扑空间 \(X\) 是一个 \(\text T_1\) 空间
   1. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，则以下条件等价
      1. \(X\) 是一个 \(\text T_1\) 空间
      2. \(X\) 中每一个单点集都是闭集
      3. \(X\) 中每一个有限子集都是闭集
   2. 设 \(X\) 是一个 \(\text T_1\) 空间，则点 \(x\in X\) 是 \(X\) 的子集 \(A\) 的一个聚点当且仅当 \(x\) 的每一个邻域 \(U\) 中都含有 \(A\) 中的无限多个点
   3. 设 \(X\) 是一个 \(\text T_1\) 空间，则 \(X\) 中的一个由有限个点构成的序列 \(\{x_i\}\) 收敛于点 \(x\in X\) 当且仅当存在 \(N>0\) 使得 \(x_i=x\) 对于任何 \(i\geqslant N\) 成立
6. \(\text T_2\) 空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若 \(x, y\in X, x\neq y\)，则点 \(x\) 有一个开邻域 \(U\)，点 \(y\) 有一个开邻域 \(V\) 使得 \(U\cap V= \varnothing\)，则称拓扑空间 \(X\) 是一个 \(\text T_2\) 空间，或称为 \(\text{Hausdorff}\) 空间
   1. \(\text T_2\) 空间一定是 \(\text T_1\) 空间，反之则不然，包含无穷多个点的有限补空间是 \(\text T_1\) 空间，但不是 \(\text T_2\) 空间
   2. \(\text T_2\) 空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点
7. \(\text T_3\) 空间与 \(\text T_4\) 空间
   1. \(\text T_3\) 空间：正则的 \(\text T_1\) 空间
   2. \(\text T_{3.5}\) 空间：完全正则的 \(\text T_1\) 空间，或称为 \(\text{Tychonoff}\) 空间
   3. \(\text T_4\) 空间：正规的 \(\text T_1\) 空间
      1. 每一个度量空间都是 \(\text T_4\) 空间
      2. \(\text T_4\) 空间中任何一个连通子集若包含多于一个点，则它一定是一个不可数集
8. 分离性公理的性质
   1. 拓扑不变性：\(\text T_0, \text T_1, \text T_2, \text T_3,\text T_{3.5}\) 以及正则、正规和完全正则空间都具有拓扑不变性
   2. 可遗传性：\(\text T_0, \text T_1, \text T_2, \text T_3,\text T_{3.5}\) 以及正则和完全正则空间都具有拓扑不变性
   3. 可积性：\(\text T_0, \text T_1, \text T_2, \text T_3,\text T_{3.5}\) 以及正则和完全正则空间都具有可积性，\(\text T_4\) 和正规空间不是有限可积的拓扑性质
   4. 可商性：\(\text T_0, \text T_1, \text T_2, \text T_3,\text T_{3.5}, \text T_4\) 以及正则、正规和完全正则空间都不具有可商性

3.3.2 可度量化空间

1. 设 \((X, \mathscr T)\) 是拓扑空间，若存在 \(X\) 的一个度量 \(\rho\) 使得拓扑 \(\mathscr T\) 即是由度量 \(\rho\) 诱导的拓扑 \(\mathscr T_\rho\)，则称 \((X, \mathscr T)\) 是一个可度量化空间
2. \(\text{Urysohn}\) 嵌入定理：每一个满足第二可数性公理的 \(\text T_3\) 空间都同胚于 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(H\) 的某一个子空间
   1. \(\text{Hilbert}\) 空间 \(H\) 是一个可分空间，且 \(H\) 满足第二可数性公理，因此 \(H\) 也是一个 \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 空间
   2. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，则以下条件等价
      1. \(X\) 是一个满足第二可数性公理的 \(\text T_3\) 空间
      2. \(X\) 同胚于 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(H\) 的某一个子空间
      3. \(X\) 是一个可分的可度量化空间
   3. 一点紧化：每一个拓扑空间 \((X, \mathscr T)\) 必定是某一个紧空间 \((X^*, \mathscr T^*)\) 的开子空间，则称之为拓扑空间 \((X, \mathscr T)\) 的一点紧化
3. 设 \(\{X_i\}_{i\in \mathbf Z_+}\) 是可度量化空间的一个可数族，则积空间 \({\displaystyle \prod_{i\in \mathbf Z_+}X_i}\) 是一个可度量化空间

3.4 紧致性

3.4.1 紧空间

1. 紧空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若 \(X\) 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 \(X\) 是一个紧空间
   1. 紧子集：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(Y\subseteq X\)．若 \(Y\) 作为 \(X\) 的子空间是一个紧空间，则称 \(Y\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个紧子集
   2. 每一个紧空间都是 \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 空间，反之不然；实数空间 \(\mathbf{R}\) 不是一个紧空间
   3. 设 \(X\) 是一个拓扑空间， \(Y\) 是 \(X\) 中的一个子集．则 \(Y\) 是 \(X\) 的一个紧子集当且仅当每一个由 \(X\) 中的开集构成的 \(Y\) 的覆盖都有有限子覆盖
2. 具有有限交性质的集族：设 \(\mathscr A\) 是一个集族，若 \(\mathscr A_1\) 是 \(\mathscr A\) 的一个有限子族，则 \({\displaystyle \bigcap_{A\in \mathscr A_1} A} \neq\varnothing\)，则称集族 \(\mathscr A\) 具有有限交性质
   1. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，则 \(X\) 是一个紧空间当且仅当 \(X\) 中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交
   2. 设 \(\mathscr B\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个基，并且 \(X\) 的由 \(\mathscr B\) 中的元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖，则 \(X\) 是一个紧空间
3. 紧致性与 \(\text T_2\) 空间
   1. 设 \(X\) 是一个 \(\text T_2\) 空间，若 \(A\) 是 \(X\) 一个不包含点 \(x\in X\) 的紧子集，则 \(x\) 和 \(A\) 分别由开邻域 \(U\) 和 \(V\) 使得 \(U\cap V=\varnothing\)
      1. \(\text T_2\) 空间的每一个紧子集都是闭集
      2. 在一个紧 \(\text T_2\) 空间中，一个集合是闭集当且仅当它是一个紧子集
      3. 每一个紧 \(\text T_2\) 空间都是正则空间及 \(\text T_4\) 空间
   2. 设 \(X\) 是一个 \(\text T_2\) 空间，若 \(A, B\) 是 \(X\) 的两个无交的紧子集，则它们分别由开邻域 \(U\) 和 \(V\) 使得 \(U\cap V=\varnothing\)
   3. 设 \(X\) 是一个正则空间，若 \(A\) 是 \(X\) 中的一个紧子集，\(U\) 是 \(A\) 的一个开邻域，则存在 \(A\) 的一个开邻域 \(V\) 使得 \(\overline V\subseteq U\)
   4. 从紧空间到 \(\text T_2\) 空间的任何一个连续映射都是闭映射
4. 紧致性的拓扑性质
   1. 拓扑不变性：设 \(X, Y\) 是拓扑空间，\(f: X\to Y\) 是一个连续映射．若 \(A\) 是 \(X\) 的一个紧子集，则 \(f[A]\) 也是 \(Y\) 的一个紧子集
   2. 可遗传性：紧空间中的每一个闭子集都是紧子集
   3. 有限可积性：设 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 是 \(n\geqslant 1\) 个紧空间，则积空间 \(X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n\) 也是一个紧空间
   4. 可积性
      1. \(\text{Alexander}\) 子基定理：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(\mathscr S\) 是它的一个子集．若由 \(\mathscr S\) 中的元素构成的 \(X\) 的每一个覆盖有一个有限子覆盖，则拓扑空间 \(X\) 是一个紧空间
      2. \(\text{Tychonoff}\) 乘积定理：任何一族紧空间的积空间都是紧空间
5. 细分：设集族 \(\mathscr {A, B}\) 都是集合 \(X\) 的覆盖，如果 \(\mathscr A\) 中的每一个元素都包含于 \(\mathscr B\) 的某一个元素之中，则称 \(\mathscr A\) 是 \(\mathscr B\) 的一个细分

3.4.2 紧空间的实例

1. 可数紧空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若 \(X\) 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间 \(X\) 是一个可数紧空间
   1. 每一个紧空间都是可数紧空间
   2. 每一个 \(\text{Lindel}\ddot{\mathrm{o}}\text{f}\) 的可数紧空间都是紧空间
2. 列紧空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若 \(X\) 的每一个无限子集都有聚点，则称拓扑空间 \(X\) 是一个列紧空间
   1. 每一个可数紧空间都是列紧空间
   2. 下降序列：设 \(\{A_i\}_{i\in \mathbf Z_+}\) 是一个由集合构成的序列，如果它满足条件 \(A_i\supset A_{i+1}\) 对于每一个 \(i\in \mathbf Z_+\) 成立，则称序列 \(\{A_i\}_{i\in \mathbf Z_+}\) 是一个下降序列；在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也称作一个非空闭集下降序列
   3. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，则拓扑空间 \(X\) 是可数的紧空间当且仅当 \(X\) 中任何非空闭集下降序列 \(\{A_i\}_{i\in \mathbf Z_+}\) 有 \({\displaystyle \bigcap_{i\in \mathbf Z_+}A_+}\neq \varnothing\)
   4. 每一个列紧的 \(\text T_1\) 空间都是可数紧空间

3. 序列紧空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，如果 \(X\) 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间 \(X\) 是一个序列紧空间

   1. 每一个序列紧空间都是可数紧空间
   2. 每一个满足第一可数性公理的可数紧空间都是序列紧空间

   三种紧空间的关系

   设 \(X\) 是一个满足第二可数性公理的 \(\text T_1\) 空间，\(A\subseteq X\)．则以下条件等价

   1. \(A\) 的每一个开覆盖都有有限子覆盖
   2. \(A\) 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖
   3. \(A\) 的每一个序列都有子序列收敛于 \(A\) 中的点
   4. \(A\) 中的每一个无限子集都有聚点在 \(A\) 中

   特别地，对于 \(n\) 维 \(\text{Euclid}\) 空间 \(\mathbf{R}^n\) 的子集，以上结论成立，且结论中的每一个条件都等价于 \(A\) 是一个有界闭集

4. 局部紧空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，如果 \(X\) 中的每一个点都有一个紧的邻域，则称拓扑空间 \(X\) 是一个局部紧空间

   1. 每一个局部紧的 \(\text T_2\) 空间都是正则空间
   2. 设 \(X\) 是一个局部紧的正则空间，\(x\in X\)．则点 \(x\) 的所有紧邻域构成的集族是拓扑空间 \(X\) 在点 \(x\) 除的一个邻域基
   3. 每一个局部紧的正则空间都是完全正则空间
5. 仿紧空间：设 \(X\) 是一个拓扑空间，若 \(X\) 的每个开覆盖都有一个局部有限的开覆盖是其细分，则称拓扑空间 \(X\) 是一个仿紧空间
   1. 每一个仿紧的正则空间都是正规空间
   2. 每一个仿紧的 \(\text T_2\) 空间都是正则空间，因而也是正规空间
   3. 设 \(X\) 是一个满足第二可数性公理的局部紧 \(\text T_2\) 空间，则 \(X\) 有一个开覆盖 \(\{V_1, V_2, \cdots\}\) 满足条件： 对于每一个 \(i\in \mathbf Z_+\)，闭包 \(V_i^-\) 是一个包含于 \(V_{i+1}\) 的紧子集
   4. 每一个满足第二可数性公理的局部紧 \(\text T_2\) 空间都是仿紧空间

3.4.3 紧致性与度量空间

1. 有界度量空间：设 \((X, \rho)\) 是一个度量空间，\(A\subseteq X\)．若存在实数 \(M>0\) 使得 \(\rho(x, y)<M\) 对于所有 \(x, y\in A\) 成立，则称 \(A\) 是 \(X\) 的一个有界子集；若 \(X\) 是一个有界子集，则称度量空间 \((X, \rho)\) 是一个有界度量空间
   1. 紧度量空间是有界的
   2. 单位闭区间 \([0, 1]\) 是一个紧空间
   3. 设 \(A\) 是 \(n\) 维 \(\text{Euclid}\) 空间 \(\mathbf{R}^n\) 的一个子集，则 \(A\) 是一个紧子集当且仅当 \(A\) 是一个有界闭集
   4. 设 \(X\) 是一个非空紧空间，\(f: X\to \mathbf{R}\) 是一个连续映射，则存在 \(x_0, x_1\in X\) 使得对于任何 \(x\in X\) 有 \(f(x_0)\leqslant f(x)\leqslant f(x_1)\)
   5. 设 \(m, n\in \mathbf Z\)，则 \(n\) 维单位球面 \(S^n\) 与 \(m\) 维 \(\text{Euclid}\) 空间 \(\mathbf{R}^m\) 不同胚
2. 直径：设 \(A\) 是度量空间 \((X, \rho)\) 中的一个非空子集，定义集合 \(A\) 的直径 \(\mathrm{diam}(A)=\left\{\begin{aligned} &\sup\{\rho(x, y) \mid x, y\in A\}, &A\textsf{ 是有界的} \\& \infty, &\textsf{否则} \end{aligned}\right.\)
3. \(\text{Lebesgue}\) 数：设 \((X, \rho)\) 是一个度量空间，\(\mathscr A\) 是 \(X\) 的一个开覆盖．若 \(\forall A\subseteq X\ \exists \lambda>0: \mathrm{diam}(A)<\lambda \to A\) 包含于开覆盖 \(\mathscr A\) 的某一个元素之中，则称 \(\lambda\) 为开覆盖 \(\mathscr A\) 的一个 \(\text{Lebesgue}\) 数
   1. \(\text{Lebesgue}\) 数定理：序列紧的度量空间的每一个开覆盖有一个 \(\text{Lebesgue}\) 数
   2. 每一个序列紧的度量空间都是紧空间
4. 设 \(X\) 是一个度量空间，则以下条件等价
   1. \(X\) 是一个紧空间
   2. \(X\) 是一个列紧空间
   3. \(X\) 是一个序列紧空间
   4. \(X\) 是一个可数紧空间