2 构造空间

2.1 子空间

度量子空间：设 \((X, \rho)\) 是一个度量空间，\(Y\subseteq X\)，因此 \(Y\times Y\subseteq X\times X\)．显然 \(\rho|_{Y\times Y}: Y\times Y\to \mathbf{R}\) 是 \(Y\) 的一个度量，称之为由 \(X\) 的度量诱导的，\((Y, \rho)\) 为 \((X, \rho)\) 的一个度量子空间
1. 子空间的例子
  1. 实数空间 \(\mathbf{R}\) 的区间 \((a, b), [a, b]\) 等
  2. \(n+1\) 维 \(\text{Euclid}\) 空间 \(\mathbf{R}^{n+1}\) 中
    1. \(n\) 维单位球面 \(S^n=\left\{x=(x_1, x_2, \cdots, x_{n+1})\in \mathbf{R}^{n+1}\mid {\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1}x_i^2}=1\right\}\)
    2. \(n\) 维单位开球体 \(D^n=\left\{x=(x_1, x_2, \cdots, x_n)\in \mathbf{R}^n\mid {\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2}<1\right\}\)
    3. \(n\) 维单位闭球体 \(E^n=\left\{x=(x_1, x_2, \cdots, x_n)\in \mathbf{R}^n\mid {\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2}\leqslant 1\right\}\)
  3. \(n+1\) 维 \(\text{Euclid}\) 空间 \(\mathbf{R}^{n+1}\) 中的 \(n\) 维开、闭方体 \((0, 1)^n, [0, 1]^n\)
2. 设 \(Y\) 是度量空间 \(X\) 的一个度量子空间，则 \(Y\) 的子集 \(U\) 是 \(Y\) 中的开集当且仅当存在 \(X\) 中的开集 \(V\) 使得 \(U=V\cap Y\)
拓扑子空间：设 \(Y\) 是拓扑空间 \((X, \mathscr T)\) 的一个子集，则 \(\mathscr T|_Y\) 在 \(Y\) 上的限制 \(\mathscr T|_Y=\{T\cap Y\mid T\in \mathscr T\}\) 称为（相对于 \(X\) 的拓扑而言的）相对拓扑；拓扑空间 \((Y, \mathscr T|_Y)\) 称为拓扑空间的拓扑子空间
1. 若 \(Y\) 是拓扑空间 \((X, \mathscr T)\) 的子集，则集族 \(\mathscr T|_Y\) 是 \(Y\) 的一个拓扑
2. 设 \((Y, \eta)\) 是度量空间 \((X, \rho)\) 的度量子空间，则由 \(Y\) 诱导的拓扑空间 \((Y, \mathscr T_\eta)\) 是由 \(X\) 诱导的拓扑空间 \((X, \mathscr T_\rho)\) 的拓扑子空间
3. 设 \(X, Y, Z\) 都是拓扑空间，若 \(Y\) 是 \(X\) 的子空间，\(Z\) 是 \(Y\) 的一个子空间，则 \(Z\) 是 \(X\) 的子空间
拓扑空间与子空间的关系
1. 设 \(Y\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个子空间，\(y\in Y\)
  1. 记 \(\mathscr T\) 与 \(\widetilde{\mathscr T}\) 为 \(X\) 与 \(Y\) 的拓扑，则 \(\widetilde{\mathscr T} =\mathscr T|_Y\)
  2. 记 \(\mathscr F\) 与 \(\widetilde{\mathscr F}\) 为 \(X\) 与 \(Y\) 的全体闭集构成的族，则 \(\widetilde{\mathscr F} =\mathscr F|_Y\)
  3. 记 \(\mathscr U_y\) 与 \(\widetilde{\mathscr U}_y\) 为点 \(y\) 在 \(X\) 与 \(Y\) 中的邻域系，则 \(\widetilde{\mathscr U}_y =\mathscr U_y|_Y\)
2. 设 \(Y\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个子空间，\(A\subseteq Y\)
  1. \(A\) 在 \(Y\) 中的导集是 \(A\) 在 \(X\) 中的导集与 \(Y\) 的交
  2. \(A\) 在 \(Y\) 中的闭包是 \(A\) 在 \(X\) 中的闭包与 \(Y\) 的交
3. 设 \(Y\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个子空间，\(y\in Y\)
  1. 若 \(\mathscr B\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个基，则 \(\mathscr B|_Y\) 是子空间 \(Y\) 的一个基
  2. 若 \(\mathscr V_Y\) 是点 \(y\) 在拓扑空间 \(X\) 中的一个邻域基，则 \(\mathscr V_y|_Y\) 是点 \(y\) 在子空间 \(Y\) 中的一个邻域基
设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，若映射 \(f: X\to Y\) 是一个单射且是一个 \(X\) 到 \(f[X]\) 的同胚，则称此映射为一个嵌入；若存在一个嵌入 \(f: X\to Y\)，则称拓扑空间 \(X\) 可嵌入拓扑空间 \(Y\)
可遗传性质：若一个拓扑空间具有性质 \(P\)，则它的任何一个子空间也都具有性质 \(P\)
1. 对于开子空间可遗传：若一个拓扑空间具有性质 \(P\)，则它的任何一个开子空间也都具有性质 \(P\)
2. 对于闭子空间可遗传：若一个拓扑空间具有性质 \(P\)，则它的任何一个闭子空间也都具有性质 \(P\)

2.2 积空间

2.2.1 有限积空间

度量积空间：设 \((X_1, \rho), (X_2, \rho_2), \cdots, (X_n, \rho_n)\) 是 \(n\geqslant 1\) 个度量空间，令 \(X=X_1 \times X_2 \times \cdots X_n\)．定义 \(\rho: X \times X\to \mathbf{R}\) 使得 \(\forall x=(x_1, x_2, \cdots, x_n), y=(y_1, y_2, \cdots, y_n)\in X: \rho(x, y)={\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n \rho_i(x_i, y_i)^2}}\)
1. 设 \((X_1, \rho_1), (X_2, \rho_2), \cdots, (X_n, \rho_n)\) 是 \(n\geqslant 1\) 个度量空间，\((X, \rho)\) 是它们的积空间，\(\mathscr T_i\) 和 \(\mathscr T\) 分别是由度量 \(\rho_i\) 和 \(\rho\) 诱导出来的 \(X_i\ (i=1, 2, \cdots, n)\) 和 \(X\) 的拓扑，则 \(X\) 的子集族 \(\mathscr B=\{U_1 \times U_2\times \cdots \times U_n\mid U_i\in \mathscr T_i, i=1, 2, \cdots, n\}\) 是 \(X\) 的拓扑 \(\mathscr T\) 的基
2. 设 \((X_1, \mathscr T_1), (X_2, \mathscr T_2), \cdots, (X_n, \mathscr T_n)\) 是 \(n\geqslant 1\) 个拓扑空间，则 \(X= X_1\times X_2\times \cdots \times X_n\) 的以 \(X\) 子集族 \(\mathscr B=\{U_1\times U_2\times \cdots \times U_n\mid U_i\in \mathscr T_i\}\) 为它的基
设 \((X_1, \mathscr T_1), (X_2, \mathscr T_2), \cdots, (X_n, \mathscr T_n)\) 是 \(n\geqslant 1\) 个拓扑空间，则 \(X=X_1\times X_2\times \cdots \times X_n\) 的以子集族 \(\mathscr B=\{U_1\times U_2\times \cdots \times U_n\mid U_i\in \mathscr T_i\}\) 为它的一个基的唯一拓扑 \(\mathscr T\) 称为拓扑 \(\mathscr T_1, \mathscr T_2, \cdots, \mathscr T_n\) 的积拓扑，拓扑空间 \((X, \mathscr T)\) 称为拓扑空间 \((X_1, \mathscr T_1), (X_2, \mathscr T_2), \cdots, (X_n, \mathscr T_n)\) 的拓扑空间
1. 设 \(X=X_1\times X_2\times \cdots\times X_n\) 是 \(n\geqslant 1\) 个度量空间 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 的度量积空间，它们诱导的拓扑空间分别是 \((X, \mathscr T)\) 和 \((X_1, \mathscr T_1), (X_2, \mathscr T_2), \cdots, (X_n, \mathscr T_n)\)，则 \((X, \mathscr T)\) 是 \((X_1, \mathscr T_1), (X_2, \mathscr T_2), \cdots, (X_n, \mathscr T_n)\) 的拓扑积空间
2. 设 \(X=X_1\times X_2\times \cdots\times X_n\) 是 \(n\geqslant 1\) 个拓扑空间 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 的积空间，对于每一个 \(i=1, 2, \cdots, n\) 拓扑空间 \(X_i\) 有一个基 \(\mathscr B_i\)，则 \(X\) 的子集族 \(\widetilde B=\{B_1\times B_2\times \cdots \times B_n\mid B_i\in \mathscr B_i, i=1, 2, \cdots, n\}\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个基
3. 设 \(X=X_1\times X_2\times \cdots \times X_n\) 是 \(n\geqslant 1\) 个拓扑空间 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 的积空间．令 \(\mathscr T\) 为 \(X\) 的拓扑，\(\mathscr T_i\) 为 \(X_i\) 的拓扑，\(i=1, 2, \cdots, n\)，则 \(X\) 以它的子集族 \(\mathscr S=\{p_i^{-1}[U_i]\mid U_i\in \mathscr T_i, i=1, 2, \cdots, n\}\) 为它的一个子基．其中对于每一个 \(i\)，映射 \(p_i: X\to X_i\) 是 \(\text{Descartes}\) 积 \(X\) 到它的第 \(i\) 个坐标集 \(X_i\) 的投射
开映射与闭映射：设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，映射 \(f: X\to Y\) 称为一个开映射（闭映射），若 \(X\) 中的任何一个开集（闭集）\(U\)，像集 \(f[U]\) 是 \(Y\) 中的一个开集（闭集）
1. 设 \(X=X_1\times X_2\times \cdots \times X_n\) 是 \(n\) 个拓扑空间 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 的积空间，\(Y\) 是一个拓扑空间，则映射 \(f: Y\to X\) 连续当且仅当对于每一个 \(i=1, 2, \cdots, n\)，复合映射 \(p_i\circ f: Y\to X_i\) 连续，其中 \(p_i: X\to X_i\) 是积空间 \(X\) 对第 \(i\) 个坐标空间 \(X_i\) 的投射
2. 积拓扑是使从积空间到每一个坐标空间的投射都连续的最小拓扑，即设 \(X=X_1\times X_2\times \cdots \times X_n\) 是 \(n\geqslant 1\) 个拓扑空间 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 的积空间，\(\mathscr T\) 是 \(X\) 的积拓扑．又设 \(\widetilde{\mathscr T}\) 是 \(X\) 的某一个拓扑满足条件：对于 \(X\) 的拓扑 \(\widetilde{\mathscr T}\) 而言，从 \(X\) 到它的第 \(i\) 个坐标空间 \(X_i\) 的投射 \(p_i: X\to X_i\) 是连续映射，\(i=1, 2, \cdots, n\)，则 \(\widetilde{\mathscr T}\subseteq \mathscr T\)
3. 设 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 是 \(n\geqslant 2\) 个拓扑空间，则积空间 \(X_1\times X_2\times \cdots \times X_n\) 同胚于积空间 \((X_1\times X_2\times \cdots \times X_{n-1})\times X_n\)
有限可积性质：若若任意 \(n\geqslant 1\) 个拓扑空间 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 都具有性质 \(P\)，则积空间 \(X_1\times X_2\times \cdots \times X_n\) 也具有性质 \(P\)，则称性质 \(P\) 为有限可积性质

2.2.2 一般积空间

点式收敛拓扑：若一个集族 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 中所有的 \(X_\gamma\)，则称 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 是一个拓扑空间族或一族拓扑空间
1. 设 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 是一个拓扑空间族，容易验证 \(\text{Descartes}\) 积 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma}\) 的子集族 \(\mathscr S=\{p^{-1}_\gamma[U_\gamma]\mid U_\gamma\) 是 \(X_\gamma\) 的一个开集 \(,\gamma\in \Gamma\}\) 是它的某一个拓扑 \(\mathscr T\) 的一个子基, 其中 \(p_\gamma\) 是 \(\text{Descartes}\) 积 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma}\) 的第 \(\gamma \in \Gamma\) 个投射
2. 拓扑 \(\mathscr T\) 称为 \(\text{Descartes}\) 积 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma}\) 的积拓扑（点式收敛拓扑），拓扑空间 \(\left({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma}, \mathscr T\right)\) 称为拓扑空间族 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 的积空间，拓扑空间 \(X_\gamma\) 称为积空间 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma}\) 的第 \(\gamma\) 个坐标空间
点式收敛拓扑的性质：设 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 是一族拓扑空间
1. 对于每一个 \(\alpha \in \Gamma\)，积空间 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma}\) 的第 \(\alpha\) 个投射 \(p_\alpha: {\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma} \to X_\alpha\) 是一个连续开映射
2. 设 \(Y\) 是一个拓扑空间，则映射 \(f: Y\to {\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma}} X_\gamma\) 是一个连续映射当且仅当对于每一个 \(\alpha \in \Gamma\)，映射 \(p_\alpha\circ f: Y\to X_\alpha\) 是连续的，其中 \(p_\alpha\) 是积空间 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma}\) 的第 \(\alpha\) 个投影
3. 令 \(\mathscr T\) 为 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma}\) 的积拓扑．若 \(\widetilde{\mathscr T}\) 是 \(\text{Descartes}\) 积 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma}\) 的一个拓扑使得对于任何 \(\alpha \in \Gamma\)，\({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma}\) 的第 \(\alpha\) 个投射 \(p_\alpha: {\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma} \to X_\alpha\) 都是连续的，则 \(\mathscr T\subseteq \widetilde{\mathscr T}\)
4. 积空间 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma}} X_\gamma\) 中的序列 \(\{x^{(i)}\}_{i\in \mathbf Z_+}\) 收敛于点 \(x\in {\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma}\) 当且仅当对于每一个 \(\alpha \in \Gamma\)，拓扑空间 \(X_\alpha\) 中的序列 \(\{p_\alpha(x^{(i)})\}_{i\in \mathbf Z_+}\) 收敛于 \(p_\alpha(x)\in X_\alpha\)
拓扑空间在方体的嵌入
1. 方体：设 \(\Gamma\) 是一个集合，则从 \([0, 1]^\Gamma\) 连通它的点式收敛拓扑称为一个方体
2. 映射族：设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(F\) 是一族映射，其中的每一个元素是从拓扑空间 \(X\) 到某一个拓扑空间的一个映射．如果对于任何 \(x, y\in X, x\neq y\) 存在 \(f\in F\) 使得 \(f(x)\neq f(y)\)，则称映射族 \(F\) 是一个区别点的映射族．如果对于任何 \(x\in X\) 和 \(X\) 中的任何一个不包含点 \(x\) 的闭集 \(B\)，存在 \(f\in F\) 使得 \(f(x)\notin \overline{f[B]}\)，则称映射族 \(F\) 是一个区别点和闭集的映射族
3. 嵌入引理：设 \(\{X_\gamma\}_{\gamma \in \Gamma}\) 是一个拓扑空间族，\(Y\) 是一个拓扑空间，\(f: Y\to {\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma}X_\gamma}\) 是一个映射，令 \(F=\{p\circ_\alpha f: Y\to X_\alpha\mid \alpha \in \Gamma\}\)，其中 \(p_\alpha\) 是 \({\displaystyle \prod_{\gamma \in \Gamma} X_\gamma}\) 的第 \(\alpha\) 个投射
  1. \(f\) 是一个连续映射当且仅当 \(F\) 是一个由连续映射构成的族
  2. \(f\) 是一个单射当且仅当映射组 \(F\) 能区别点
  3. 若 \(F\) 是一个能区别点和闭集的映射族 \(F\) 能区别点
4. 嵌入定理：设 \(X\) 是一个拓扑空间，则 \(X\) 是一个 \(\text{Tychonoff}\) 空间当且仅当 \(X\) 能嵌入某一个方体
5. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，则 \(X\) 是一个 \(\text{Tychonoff}\) 空间当且仅当 \(X\) 能嵌入某一个紧的 \(\text T_2\) 空间
可积性质：每一个坐标空间具有性质 \(P \to\) 积空间具有性质 \(P\)
1. 凡不是有限可积的性质一定不是可积的性质
2. 并非每一个有限可积的性质都是可积的性质

2.2.3 映射空间

赋值映射：对于任意 \(x\in X\)，令 \(e_x: Y^X\to Y\) 为 \(Y\) 的第 \(x\) 个投射，则对于任何 \(f\in Y^X\)， \(e_x(f)=f(x)\) 恰是映射 \(f\) 在点 \(x\) 处的像．将投射 \(e_x\) 称为 \(Y^X\) 在点 \(x\in X\) 处的赋值映射
映射空间与连续映射空间
1. 将 \(Y^X={\displaystyle \prod_{x\in X}Y}\) 的积拓扑 \(\mathscr T\) 称为 \(Y^X\) 的点式收敛拓扑，将拓扑空间 \((Y^X, \mathscr T)\) 称为从集合 \(X\) 到集合 \(Y\) 的映射空间（点式收敛拓扑）．映射空间是一类特别的积空间，因此关于积空间的一般结论全部适用
2. 连续映射空间：设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个拓扑空间，记 \(\mathscr C(X, Y)\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的所有连续映射构成的集合，因此 \(\mathscr C(X, Y)\subseteq Y^X\)．\(\mathscr C(X, Y)\) 作为映射空间 \(Y^X\) 的子空间称为从拓扑空间 \(X\) 到 \(Y\) 的连续映射空间（点式收敛拓扑），并且此时 \(\mathscr C(X, Y)\) 的拓扑也称作点式收敛拓扑
3. 设 \(X\) 是一个 \(\text{Tychonoff}\) 空间，则从 \(X\) 到实数空间 \(\mathbf{R}\) 的所有连续映射构成的集合 \(\mathscr C(X, \mathbf{R})\) 是映射空间 \(\mathbf{R}^X\) （点式收敛拓扑）中的一个稠密子集
一致收敛度量与一致收敛拓扑
1. 一致收敛度量：设 \(X\) 是一个集合，\((Y, \rho)\) 是一个度量空间．记 \(Y^X\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的所有映射的集合，定义 \(\widetilde{\rho}: Y^X\times Y^X \to \mathbf{R}\) 使得对于任何 \(f, g\in Y^X\) 有
  
  \[ \widetilde{\rho}(f, g) = \left\{\begin{aligned} &1, &\ \exists x\in X: \rho(f(x), g(x))\geqslant 1 \\& \sup\{\rho(f(x), g(x)) \mid x\in X\}, &\ \textsf{否则} \end{aligned}\right. \]
  
  则容易验证 \(\widetilde{\rho}\) 是 \(Y^X\) 的一个度量，称之为 \(Y^X\) 的一致收敛度量；度量空间 \((Y^X, \widetilde{\rho})\) 称为映射空间（一致收敛度量）
2. 一致收敛拓扑：由一致收敛度量 \(\widetilde{\rho}\) 诱导的 \(Y^X\) 的拓扑 \(\mathscr T_{\widetilde{\rho}}\) 称为 \(Y^X\) 的一致收敛度量，拓扑空间 \((Y^X, \mathscr T_{\widetilde{\rho}})\) 称为连续映射空间（一致收敛拓扑），此时其拓扑也称为一致收敛拓扑
一致收敛：设 \(X\) 是一个集合，\((Y, \rho)\) 是一个度量空间，对映射集合 \(Y^X\) 中的一个序列 \(\{f_i\}_{i\in \mathbf Z_+}\)，若对于任意给定的实数 \(\varepsilon>0\)，存在整数 \(N>0\) 使得当 \(i>N\) 时，\(\rho(f_i(x), f(x))<\varepsilon\) 对于任何 \(x\in X\) 成立，则称此序列一致收敛于映射 \(f\in Y^X\)
1. 在度量空间 \(Y^X\)（一致收敛度量）中的一个序列 \(\{f_i\}_{i\in \mathbf Z_+}\) 收敛于 \(f\in Y^X\) 当且仅当序列 \(\{f_i\}_{i\in \mathbf Z_+}\) 一致收敛于 \(f\in Y^X\)
2. 若度量空间 \((Y, \rho)\) 是一个完备的度量空间，则映射空间 \(Y^X\)（一致收敛度量）也是一个完备度量空间
3. 则从 \(X\) 到实数空间 \(\mathbf{R}\) 的所有连续映射构成的集合 \(\mathscr C(X, \mathbf{R})\) 是映射空间 \(Y^X\)（一致收敛拓扑）中的一个闭集．因此当 \((Y, \rho)\) 是一个完备度量空间时，度量空间 \(\mathscr C(X, Y)\)（一致收敛度量）也是一个完备的度量空间
紧\(-\)开拓扑：设 \(X, Y\) 是两个集合，对于任意 \(E\subseteq X\) 和 \(B\subseteq Y\)，记 \(W(E, B)=\{f\in Y^X\mid f[E]\subseteq B\}\)
1. \(\mathscr E-\)开拓扑：设 \(X\) 是一个集合，\(Y\) 是一个拓扑空间，\(\mathscr E\) 是 \(X\) 的一个子集族，则全体从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射构成的族 \(Y^X\) 的子集族 \(\mathscr{S_E}=\{W(E, U)\subseteq Y^X\mid E\in \mathscr E, U\) 是 \(Y\) 的一个开集 \(\}\) 的并是 \(Y^X\)．因此 \(Y^X\) 有唯一的拓扑 \(\mathscr{T_E}\) 以 \(\mathscr{S_E}\) 为它的一个子基．\(Y^X\) 的拓扑 \(\mathscr{T_E}\) 称为 \(Y^X\) 的 \(\mathscr E-\)开拓扑；拓扑空间 \((Y^X, \mathscr{T_E})\) 称为映射空间（\(\mathscr E-\)开拓扑）
  
  点\(-\)开拓扑
  
  若记 \(\mathscr P\) 为 \(X\) 中所有单点子集构成的族，那么 \(Y^X\) 的点式收敛拓扑恰好是 \(\mathscr{T_P}\)．因此点式收敛拓扑也被称作点\(-\)开拓扑
2. 映射空间紧\(-\)开拓扑：设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，\(\mathscr C\) 是 \(X\) 的全体紧子集构成的集族，则从 \(X\) 到 \(Y\) 的全体映射构成的集合 \(Y^X\) 的 \(\mathscr C-\)开拓扑 \(\mathscr{T_C}\) 称为 \(Y^X\) 的紧\(-\)开拓扑，拓扑空间 \((Y^X, \mathscr{T_C})\) 称为映射空间（紧\(-\)开拓扑）
3. 连续映射空间紧\(-\)开拓扑：从 \(X\) 到 \(Y\) 的全体连续映射构成的集合 \(\mathscr C(X, Y)\) 作为映射空间 \(Y^X\)（紧\(-\)开拓扑）的子空间称为连续映射空间（紧\(-\)开拓扑），且 \(Y^X\) 的紧\(-\)开拓扑在 \(\mathscr C(X, Y)\) 在 \(\mathscr C(X, Y)\) 上的限制也称作 \(\mathscr C(X, Y)\) 的紧\(-\)开拓扑
紧\(-\)开拓扑的性质
1. 设 \(X, Y\) 都是两个拓扑空间，记 \(\mathscr{T_P, T_C}\) 分别是从 \(X\) 到 \(Y\) 的全体映射构成的集合 \(Y^X\) 的点式收敛拓扑和紧\(-\)开拓扑，则 \(\mathscr{T_P\subseteq T_C}\)．因此对于每一个 \(x\in X\)，复制映射 \(e_x: Y^X\to Y\) 对于 \(Y^X\) 的紧\(-\)开拓扑而言是一个连续映射
2. 设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(Y\subseteq X\)．若 \(\mathscr S\) 是 \(X\) 的一个子基，且对于任何一个 \(y\in Y\) 和 \(\mathscr S\) 中任何一个包含 \(y\) 中的元素 \(s\)，存在 \(\mathscr S\) 中的一个包含 \(y\) 的元素 \(T\) 使得 \(T\) 在拓扑空间 \(X\) 中的闭包 \(\overline T\subseteq S\)，则 \(Y\) 作为 \(X\) 的子空间是一个正则空间
3. 设 \(X, Y\) 都是拓扑空间，若 \(Y\) 是一个正则空间，则连续映射空间 \(\mathscr C(X, Y)\)（紧\(-\)开拓扑）也是一个正则空间
4. 设 \(X\) 是一个紧空间，\((Y,\rho)\) 是一个度量空间，则连续映射空间 \(\mathscr C(X, Y)\) 的一致收敛拓扑和紧\(-\)开拓扑相同

2.3 商空间

商拓扑：设 \((X, \mathscr T)\) 是一个拓扑空间，\(Y\) 是一个集合，\(f: X\to Y\) 是一个满射．容易验证 \(Y\) 的子集族 \(\mathscr T_1=\{U\subseteq Y\mid f^{-1}[U]\in \mathscr T\}\) 是 \(Y\) 的一个拓扑．称 \(\mathscr T_1\) 为 \(Y\) 的相对于满射 \(f\) 而言的商拓扑
1. \(Y\) 的一个拓扑 \(\widetilde{\mathscr T}\) 是 \(Y\) 的商拓扑当且仅当在拓扑空间 \((Y, \widetilde{\mathscr T})\) 中 \(F\subseteq Y\) 是一个闭集 \(\leftrightarrow f^{-1}[F]\) 是 \(X\) 中的一个闭集
2. 设 \((X, \mathscr T)\) 是一个拓扑空间，\(Y\) 是一个集合，\(f: X\to Y\) 是一个满射，则商拓扑是使映射 \(f\) 连续的最大拓扑
  1. 若 \(\mathscr T_1\) 是 \(Y\) 的商拓扑，则 \(f:X\to Y\) 是一个连续拓扑
  2. 若 \(\widetilde{\mathscr T_1}\) 是 \(Y\) 的一个拓扑，使得对于这个拓扑 \(\widetilde{\mathscr T_1}\) 而言映射 \(f\) 是连续的，则 \(\widetilde{\mathscr T_1}\subseteq \mathscr T_1\)
商映射：设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，若映射 \(f: X\to Y\) 是一个满射且 \(Y\) 的拓扑是对于映射 \(f\) 而言的商拓扑，则称 \(f\) 为一个商映射
1. 设 \(X, Y, Z\) 都是拓扑空间，且 \(f: X\to Y\) 是一个商映射，则映射 \(g: Y\to Z\) 连续当且仅当映射 \(g\circ f: X\to Z\) 连续
2. 设 \(X, Y\) 是两个拓扑空间，若映射 \(f: X\to Y\) 是一个连续的满射，且是一个开映射（闭映射），则 \(Y\) 的拓扑是相对于满射 \(f\) 而言的商拓扑
商空间：设 \((X, \mathscr T)\) 是拓扑空间，\(R\) 是 \(X\) 中的等价关系．商集 \(X/R\) 相对于自然投射 \(p: X\to X/R\) 而言的商拓扑 \(\mathscr T_R\) 称为 \(X/R\) 的（相对于等价关系 \(R\) 而言的）商拓扑，拓扑空间 \((X/R, \mathscr T_R)\) 称为拓扑空间 \((X, \mathscr T)\) 的（相对于等价关系 \(R\) 而言的）商空间
商空间例举
1. 圆周：在单位闭区间 \(I=[0, 1]\) 中黏合两个端点得到的商空间．给定等价条件 \(\sim=\{(x, y)\in I\times I\mid x=y\vee \{x, y\}=\{0, 1\}\}\) 得到的商空间 \([0, 1]/\sim\)，它与单位圆周 \(S^1\) 同胚
2. 圆柱面：在单位正方形 \(I^2=[0, 1]^2\) 中给定一个等价关系 \(\sim=\{(x, y)\in(I\times I)^2\mid x=y\vee \{x_1, y_1\}=\{0, 1\}, x_2=y_2, x=(x_1, x_2), y=(y_1, y_2)\}\) 得到的商空间 \(I^2/\sim\)
3. \(\text{Mobius}\) 带：将单位正方形 \(I^2=[0, 1]^2\) 的一对竖直的对边上的每一对点 \((0, y)\) 和 \((1, 1-y)\) 粘合得到的商空间，它与 \(\text{Mobius}\) 带同胚，且不同胚与圆柱面
4. \(\text{Klein}\) 瓶：在单位正方形 \(I^2=[0, 1]^2\) 中将它的一堆水平的对边上具有相同的第一个坐标的点 \((x, 0)\) 和 \((x, 1)\) 粘合，同时将其一对竖边上的每一对点 \((0, y)\) 和 \((1, 1-y)\) 粘合，得到的商空间与 \(\text{Klein}\) 瓶同胚，这个商空间不可能画在 \(\mathbf{R}^3\) 中
可商性质：拓扑空间的某种性质，若为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质．拓扑不变性质必然是可商性质