2 算子与泛函
2.1 有界线性算子
-
线性算子：设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个同为实（或复）的线性空间，\(\mathscr{D}\) 是 \(X\) 的线性子空间，\(T\) 为 \(\mathscr{D}\) 到 \(Y\) 中的映射，如果对任何 \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathscr{D}\) 及数 \(\alpha\)，都有
\[ \begin{aligned} T(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})&=T \boldsymbol{x}+T \boldsymbol{y} \\ T(\alpha \boldsymbol{x})&=\alpha T \boldsymbol{x} \end{aligned} \]则称 \(T\) 为 \(\mathscr{D}\) 到 \(Y\) 中的线性算子，其中 \(\mathscr{D}\) 称为 \(T\) 的定义域，记为 \(\mathscr{D}(T)\)，\(T \mathscr{D}\) 称为 \(T\) 的值域，记为 \(\mathscr{B}(T)\)．算子 \(T\) 的零空间定义为 \(\mathscr{N}(T)=\{\boldsymbol{x}: T \boldsymbol{x}=0, \boldsymbol{x} \in \mathscr{D}(T)\}\)
- 设 \(X\) 是线性空间，\(\alpha\) 是一给定的数，对任意 \(\boldsymbol{x} \in X\)，令 \(T \boldsymbol{x}=\alpha \boldsymbol{x}\)，显然 \(T\) 是 \(X\) 到 \(X\) 中的线性算子，称为相似算子．特别当 \(\alpha=1\) 时，称为恒等算子，记为 \(I_{X}\) 或 \(I\)，当 \(\alpha=0\) 时，称为零算子，记为 \(O\)
- 对任意 \(\boldsymbol{x} \in C[a, b]\)，令 \((T \boldsymbol{x})(t)=t \boldsymbol{x}(t)\)，易知 \(T\) 是线性算子，称为乘法算子
- 设 \(X=C[0,1]\)，\(K(t, \tau)\) 是矩形域 \([0,1] \times[0,1]\) 上二元连续函数，对每个 \(\boldsymbol{x} \in C[0,1]\)，令 \({\displaystyle (T \boldsymbol{x})(t)=\int_{0}^{1} K(t, \tau) \boldsymbol{x}(\tau) \mathrm{d} \tau}\)．易知 \(T\) 是 \(C[0,1]\) 到 \(C[0,1]\) 中的线性算子，这个算子称为积分算子，其中函数 \(K(t, \tau)\) 称为 \(T\) 的核
-
有界线性算子：设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个赋范线性空间，\(T\) 是 \(X\) 的线性子空间 \(\mathscr{D}(T)\) 到 \(Y\) 中的线性算子，如果存在常数 \(c\)，使对所有 \(\boldsymbol{x} \in \mathscr{D}(T)\)，有 \(\|T \boldsymbol{x}\| \leqslant c\|\boldsymbol{x}\|\)，则称 \(T\) 是 \(\mathscr{D}(T)\) 到 \(Y\) 中的有界线性算子，当 \(\mathscr{D}(T)=X\) 时，称 \(T\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 中的有界线性算子，简称为有界算子，不满足条件的算子称为无界算子
- 设 \(T\) 是赋范线性空间 \(X\) 到赋范线性空间 \(Y\) 中的线性算子，则 \(T\) 为有界算子的充要条件为 \(T\) 是 \(X\) 上的连续算子
- \(T\) 为赋范线性空间 \(X\) 的子空间 \(\mathscr{D}(T)\) 到赋范线性空间 \(Y\) 的线性算子，称 \({\displaystyle \|T\|=\sup_{\boldsymbol{x} \neq 0, \ \boldsymbol{x} \in \mathscr{C}(T)} \dfrac{\|T \boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|}}\) 为 \(T\) 在 \(\mathscr{D}(T)\) 上的范数
-
设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个赋范线性空间，\(\mathscr{B}(X, Y)\) 表示由 \(X\) 到 \(Y\) 中有界线性算子全体，并以 \(\mathscr{B}(X)\) 表示 \(\mathscr{B}(X, X)\)．当 \(A\) 和 \(B\) 属于 \(\mathscr{B}(X, Y), \alpha\) 是所讨论数域中的数时，对任意 \(\boldsymbol{x} \in X\)，令
\[ \begin{aligned} (A+B) \boldsymbol{x}&=A \boldsymbol{x}+B \boldsymbol{x} \\ (\alpha A) \boldsymbol{x}&=\alpha A \boldsymbol{x} \end{aligned} \]则 \(\mathscr{B}(X, Y)\) 按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间
- 当 \(Y\) 是 \(\text{Banach}\) 空间时，\(\mathscr{B}(X, Y)\) 也是 \(\text{Banach}\) 空间
- 设 \(A \in \mathscr{B}(Z, Y), B \in \mathscr{B}(X, Z)\)，令 \((A B) \boldsymbol{x}=A(B \boldsymbol{x}), \boldsymbol{x} \in X\)，显然 \(A B \in \mathscr{B}(X, Y)\) 是线性算子，称为 \(B\) 与 \(A\) 的乘积
- 设 \(X\) 是赋范线性空间，若在 \(X\) 中定义了两个向量的乘积，并且满足 \(\|\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}\| \leqslant\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in X\)，则称 \(X\) 是赋范代数，当 \(X\) 完备时，称 \(X\) 为 \(\text{Banach}\) 代数
-
有限秩算子：设 \(X, Y\) 是 \(\text{Banach}\) 空间，\(T \in \mathscr{B}(X, Y)\)．如果 \(\mathscr{B}(T)\) 是有限维的子空间，则称 \(T\) 是有限秩算子．记 \(\mathscr{F}(X, Y)\) 为 \(\mathscr{B}(X, Y)\) 中有限秩算子全体并记 \(\mathscr{A}(X)=\mathscr{F} (X, X)\)
- 设 \(X\) 是 \(\text{Banach}\) 空间，\(S, T \in \mathscr{F}(X), A \in \mathscr{B}(X)\)．则 \(\mathscr{F}(X)\) 是 \(\mathscr{B}(X)\) 的一个理想
- 设 \(X\) 是赋范线性空间，\(V\) 是 \(X\) 中的闭子空间．则 \((X / V,\|\cdot\|)\) 是赋范线性空间；进一步地，如果 \(X\) 是 \(\text{Banach}\) 空间，则 \(X / V\) 也是 \(\text{Banach}\) 空间
- 设 \(X\) 为 \(\text{Banach}\) 空间，\(T \in \mathscr{F} (X)\)，则 \(\mathscr{R}(I+T)\) 是 \(X\) 中的闭子空间
2.2 连续线性泛函
- 线性泛函：设 \(T\) 为 \(\mathscr{D}\) 到 \(Y\) 中的线性算子，当 \(T\) 取值于实（或复）数域时，称 \(T\) 为实（或复）线性泛函
- 设 \(X\) 是赋范线性空间，\(f\) 是 \(X\) 上线性泛函，那么 \(f\) 是 \(X\) 上连续泛函的充要条件为 \(f\) 的零空间 \(\mathscr{N}(f)\) 是 \(X\) 中的闭子空间
- 设 \(X\) 是赋范线性空间，\(f\) 是 \(X\) 上线性泛函，那么 \(f\) 是 \(X\) 上连续泛函的充要条件为 \(f\) 的零空间 \(\mathscr{N}(f)\) 是 \(X\) 中的闭子空间
- 共轭代数：设 \(X\) 是赋范线性空间，令 \(X^{\prime}\) 表示 \(X\) 上连续线性泛函全体所成的空间，称为 \(X\) 的共轭空间
- 设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个赋范线性空间，\(T\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 中的线性算子且对所有 \(\boldsymbol{x} \in X\) 有 \(\|T \boldsymbol{x}\|=\|\boldsymbol{x}\|\)，则称 \(T\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 中的保距算子，如果 \(T\) 又是映射到 \(Y\) 上的，则称 \(T\) 是同构映射，此时称 \(X\) 与 \(Y\) 同构
- 任何赋范线性空间的共轭空间是 \(\text{Banach}\) 空间
- 设 \(X, Y\) 是两个赋范线性空间，\(X^{\prime}\) 和 \(Y^{\prime}\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 的共轭空间，\(T\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 中的有界线性算子
- 对任意 \(g \in Y^{\prime}\)，定义 \(X\) 上的泛函 \(f(\boldsymbol{x})=g(T \boldsymbol{x})\)，则可以建立 \(g \mapsto f\) 的对应，即由 \(T\) 派生出一个从 \(Y^{\prime}\) 到 \(X^{\prime}\) 的算子 \(T^{\times}: T^{\times} g=f\)．称 \(T^{\times}\) 为 \(T\) 的共轭算子
- 有界线性算子 \(T\) 的共轭算子 \(T^{\times}\) 也是有界线性算子，且 \(\left\|T^{\times}\right\|=\|T\|\)
-
次线性泛函：设 \(X\) 是赋范线性空间，子空间 \(Z\subseteq X\)，\(f\) 是 \(Z\) 上连续线性泛函，令 \({\displaystyle \|f\|_{Z}=\sup_{\boldsymbol{x} \in Z, \ \|\boldsymbol{x}\|=1}|f(\boldsymbol{x})|, p(\boldsymbol{x})=\|f\|_{\boldsymbol{z}}\|\boldsymbol{x}\|}\)，则 \(p(\boldsymbol{x})\) 是在整个 \(X\) 上有定义的泛函，并且满足
- \(p(\alpha \boldsymbol{x})=|\alpha| p(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x} \in X, \alpha\) 为数
- \(p(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}) \leqslant p(\boldsymbol{x})+p(\boldsymbol{y}), \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in X\)
称 \(X\) 上满足上述两个条件的泛函为次线性泛函
2.3 谱论
2.3.1 谱的概念与分类
- 正则算子：设 \(X\) 是赋范线性空间，\(T \in \mathscr{B}(X)\)．若 \(T^{-1}\) 存在且是定义在整个 \(X\) 上的有界线性算子，则称 \(T\) 是 \(X\) 上的正则算子
- \(T\) 是正则算子的充要条件是存在有界算子 \(B \in \mathscr{B}(X)\)，使得 \(B T=T B=I\)，其中 \(I\) 是恒等算子
- 若 \(A, B\) 是正则算子，则 \(T=A B\) 也是正则算子，且 \((A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}\)
- 谱的概念：设 \(T \in \mathscr{B}(X)\)，\(\lambda\) 是一复数．若 \((T-\lambda I)\) 正则，则称 \(\lambda\) 是算子 \(T\) 的正则点，\(T\) 的正则点全体称为 \(T\) 的正则集或豫解集，记为 \(\rho(T)\)．不是正则点的复数称为 \(T\) 的谱点，其全体构成 \(T\) 的谱，记为 \(\sigma(T)\)
- 谱的分类：设 \(\lambda \in \sigma(T)\)，即 \(T-\lambda I\) 不存在有界逆算子，可分三种情况
- 如果 \(T-\lambda I\) 不是一对一，此时存在 \(\boldsymbol{x} \in X, \boldsymbol{x} \neq 0\)，使 \((T-\lambda I) \boldsymbol{x}=0\)，即 \(T \boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}\)，这时称 \(\lambda\) 是算子 \(T\) 的特征值，\(\boldsymbol{x}\) 称为相应于特征值 \(\lambda\) 的特征向量，\(T\) 的特征值全体称为 \(T\) 的点谱，记为 \(\sigma_{p}(T)\)
- \((T-\lambda I)\) 是一对一的，但值域不充满全空间
- \((T-\lambda I)\) 是 \(X\) 到 \(X\) 上的一对一算子，但 \((T-\lambda I)^{-1}\) 不是有界的
2.3.2 有界线性算子的谱
设 \(X\) 为 \(\text{Banach}\) 空间
-
设 \(T \in \mathscr{B}(X),\|T\|<1\)，则 \(1 \in \rho(T)\)．这时 \(I-T\) 有定义在全空间上的有界逆算子
\[ (I-T)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty} T^{k}=I+T+T^{2}+\cdots+T^{k}+\cdots \]这里的级数按 \(\mathscr{B}(X)\) 中范数收敛
-
谱集的闭性：设 \(T \in \mathscr{B}(X)\)，则 \(\rho(T)\) 是开集，\(\sigma(T)\) 是闭集
- 设 \(T \in \mathscr{B}(X)\)，则 \(\sigma(T)\) 是 \(\mathbf{C}\) 中的非空有界闭集，且当 \(\lambda \in \sigma(T)\) 时，有 \(|\lambda| \leqslant\|T\|\)
2.3.3 全连续算子的谱
- 全连续算子：设 \(X\) 和 \(Y\) 是赋范线性空间，\(T\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的线性算子．如果对 \(X\) 的任何有界子集 \(M\)，\(T M\) 都是 \(Y\) 中相对紧集，则称 \(T\) 为全连续算子，亦称紧算子
- 设 \(X\) 是度量空间，\(M\) 是 \(X\) 中子集．若 \(\overline{M}\) 是 \(X\) 中紧集，则称 \(M\) 为 \(X\) 中的相对紧集
- 设 \(\left\{T_{n}\right\}\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 上的全连续算子列，\(Y\) 是 \(\text{Banach}\) 空间，而且 \(\left\|T-T_{n}\right\| \rightarrow 0 \ (n \rightarrow \infty)\)，则 \(T\) 也是全连续算子
- 设 \(\left\{\boldsymbol{e}_{k}\right\}\) 为 \(H\) 的任意一组规范正交基，定义 \(\mathscr{J}(H)\) 上的线性泛函 \(\tau\) 为 \({\displaystyle \tau(T)=\sum_{k=1}^{\infty}\left\langle T \boldsymbol{e}_{k}, \boldsymbol{e}_{k}\right\rangle}\)，任意 \(T \in \mathscr{J}(H)\)．当 \(H=\mathrm{C}^{n}\)，\(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} a_{i j} \\ \end{bmatrix}_{n \times n}\) 为 \(H\) 上的线性算子时，\({\displaystyle \tau(\boldsymbol{A})=\sum_{k=1}^{n} a_{k k}}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的迹．因而当 \(H\) 是可分无限维时，也称 \(\tau\) 为 \(\mathscr{J}(H)\) 上的迹
- 上述的迹 \(\tau\) 具有下列性质
- 设 \(V\) 是 \(H\) 中的 \(n\) 维子空间，\(P\) 是 \(H\) 到 \(V\) 的正交投影算子，则 \(\tau(P)=n\)
- 设 \(T \in \mathscr{Z}(H), B \in \mathscr{B}(H)\)，则 \(\tau(T B)=\tau(B T)\)
- 设 \(A\) 是 \(H\) 上的全连续算子，则对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(A_{\varepsilon} \in \mathscr{J}(H)\) 使得 \(\left\|A-A_{\varepsilon}\right\|<\varepsilon\)
- 设 \(A\) 是全连续算子，\(I\) 为 \(H\) 上的单位算子
- \(\mathscr{R}(I+A)\) 闭且 \(\operatorname{dim} \mathscr{N}(I+A)<\infty, \operatorname{dim} \mathscr{N}\left(I+A^{*}\right)<\infty\)
- \(\mathscr{N}(I+A)=\{0\} \rightarrow \mathscr{N}\left(I+A^{*}\right)=\{0\}\)
- 上述的迹 \(\tau\) 具有下列性质
- \(\text{Riesz}-\text{Schauder}\) 定理：设 \(A\) 是 \(H\) 上的全连续算子
- \(0 \in \sigma(A)\)
- 若 \(\lambda \in \sigma(A) -\{0\}\)，则 \(\lambda \in \sigma_{p}(A)\) 且 \(\operatorname{dim} \mathscr{N}(A-\lambda I)<\infty\)
- 若 \(\left\{\lambda_{n}\right\} \subseteq \sigma_{p}(A)\) 是无限互不相同的点列，则 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \lambda_{n}=0}\)
-
\(\text{Hilbert}\) 定理：设 \(A\) 是 \(H\) 上的自伴全连续算子，\(\left\{\mu_{j}\right\},\left\{\varphi_{j}\right\}\) 及 \(V\) 如下所述．则对任意 \(\boldsymbol{x} \in H\) 有
\[ V^{\perp}=\mathscr{N}(A) \ ; \ A \boldsymbol{x}=\sum_{j} \mu_{j}\left\langle \boldsymbol{x}, \varphi_{j}\right\rangle \varphi_{j} \]- 设 \(A\) 是 \(H\) 上的自伴全连续算子
- 存在 \(\boldsymbol{e} \in H,\|\boldsymbol{e}\|=1\)，使得 \(\|A \boldsymbol{e}\|=\|A\|\)
- \(\|A\|\) 或 \(-\|A\|\) 是 \(A\) 的点谱
- 设 \(A\) 是 \(H\) 上自伴全连续算子
- \(\sigma(A) \subseteq \mathbf{R}\)
- 对 \(\lambda, \mu \in \sigma_{p}(A)\) 且 \(\mu \neq \lambda\)，有 \(\mathscr{N}(A-\lambda I) \perp \mathscr{N}(A-\mu I)\)
- 设 \(A\) 是 \(H\) 上的自伴全连续算子
2.3.4 算子与指标
-
\(\text{Fredholm}\) 算子：设 \(T \in \mathscr{B}(H)\)．如果 \(T\) 满足下列条件
- \(\mathscr{R}(T)\) 在 \(H\) 中闭
- \(\operatorname{dim} \mathscr{N}(T)<\infty, \operatorname{dim} \mathscr{N}\left(T^{*}\right)<\infty\)
则称 \(T\) 为 \(\text{Fredholm}\) 算子，以 \(\operatorname{Fred}(H)\) 表示 \(\mathscr{B}(H)\) 中 \(\text{Fredholm}\) 算子全体．设 \(T \in \mathscr{B}(H)\)
- 若 \(T \in \operatorname{Fred}(H)\)，则存在 \(S \in \mathscr{B}(H)\) 使 \(S T=I-P, T S=I-Q\)，其中 \(P: H \rightarrow \mathscr{N}(T), Q: H \rightarrow \mathscr{N}\left(T^{*}\right)\) 是投影算子
- 若存在 \(B_{1}, B_{2} \in \mathscr{B}(H)\) 及全连续算子 \(K_{1}, K_{2}: H \rightarrow H\) 使得 \(B_{1} T=I+K_{1}, T B_{2}=I+ K_{2}\)，则 \(T \in \operatorname{Fred}(H)\)
-
\(\text{Fredholm}\) 指标：设 \(T \in \operatorname{Fred}(H)\)，\(\operatorname{dim} \mathscr{N}(T)-\operatorname{dim} \mathscr{N}\left(T^{*}\right)\) 称为 \(T\) 的 \(\text{Fredholm}\) 指标，记为 \(\operatorname{ind}(T)\)
- 设 \(T \in \operatorname{Fred}(H), \tau\) 为 \(\mathscr{J}(H)\) 上的迹．若存在 \(B \in \mathscr{B}(H)\) 及 \(F_{1}, F_{2} \in \mathscr{J}(H)\) 使得 \(B T=I+F_{1}, T B=I+F_{2}\)．则 \(\operatorname{ind}(T)=\tau(T B-B T)\)
- 设 \(S, T \in \operatorname{Fred}(H), G, K \in \mathscr{B}(H)\)，其中 \(G\) 是可逆算子，\(K\) 是全连续算子
- \(S T \in \operatorname{Fred}(H)\) 且 \(\operatorname{ind}(S T)=\operatorname{ind}(S)+\operatorname{ind}(T)\)
- \(G+K \in \operatorname{Fred}(H)\) 且 \(\operatorname{ind}(G+K)=0\)
- 存在 \(\delta>0\)，使得对任意 \(C \in U(T, \delta)\) 有 \(C \in \operatorname{Fred}(H)\) 且 \(\operatorname{ind}(T)=\operatorname{ind}(C)\)
- 设 \(T \in \operatorname{Fred}(H)\)，\(K\) 是 \(H\) 上全连续算子．则 \(T+K \in \operatorname{Fred}(H)\) 且 \(\operatorname{ind}(T+K)=\operatorname{ind}(T)\)