1 赋范线性空间
1.1 赋范线性空间
-
赋范线性空间：设 \(X\) 是实（或复）线性空间，如果对每个向量 \(\boldsymbol{x} \in X\) 都有一个确定的实数，记为 \(\|\boldsymbol{x}\|\) 与之对应，并且满足
- \(\|\boldsymbol{x}\| \geqslant 0\)，且 \(\|\boldsymbol{x}\|=0\) 等价于 \(\boldsymbol{x}=0\)
- \(\|\alpha \boldsymbol{x}\|=|\alpha|\|\boldsymbol{x}\|\)，其中 \(\alpha\) 为任意实（复）数
- \(\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\| \leqslant\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|,\ \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in X\)
则称 \(\|\boldsymbol{x}\|\) 为向量 \(\boldsymbol{x}\) 的范数，称 \(X\) 按范数 \(\|\cdot\|\) 为赋范线性空间
- 无限维线性空间：若线性空间 \(X\) 的线性无关子集 \(M\) 的基数不为有限数，且 \(\operatorname{span}(M) = X\)，则称 \(X\) 为无限维线性空间，称 \(n\) 维线性空间为有限维线性空间
- 依范数收敛：设 \(\left\{\boldsymbol{x}_{n}\right\}\) 是 \(X\) 中点列，如果存在 \(\boldsymbol{x} \in X\) 使 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \left\|\boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\| \rightarrow 0}\)，则称 \(\left\{\boldsymbol{x}_{n}\right\}\) 依范数收敛于 \(\boldsymbol{x}\)，记为 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \boldsymbol{x}_{n}=\boldsymbol{x}}\) 或 \(\boldsymbol{x}_{n} \rightarrow \boldsymbol{x}(n \rightarrow \infty)\)
- 导出距离：令 \(d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\| \ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in X)\)，则 \(d\) 是 \(X\) 上的距离且 \(\left\{\boldsymbol{x}_{n}\right\}\) 依范数收敛于 \(\boldsymbol{x}\) 等价于 \(\left\{\boldsymbol{x}_{n}\right\}\) 按距离 \(d\) 收敛于 \(\boldsymbol{x}\)，称 \(d\) 为由范数 \(\|\cdot\|\) 导出的距离
- 赋范线性空间是一种特殊的度量空间
- 对任意数 \(\alpha\) 和向量 \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in X\)，有 \(d(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}, 0)=d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\) 及 \(d(\alpha \boldsymbol{x}, 0)=|\alpha| d(\boldsymbol{x}, 0)\)
- 商空间：设 \(X\) 是赋范线性空间，\(V\) 是 \(X\) 中的闭子空间．定义 \(X\) 上的一个等价关系 \(\sim\) 如下．设 \(\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{2} \in X, \boldsymbol{x}_{1} \sim \boldsymbol{x}_{2}\) 表示 \(\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2} \in V\)．对 \(\boldsymbol{x} \in X\)，以 \([\boldsymbol{x}]=\{\boldsymbol{y} \in X: \boldsymbol{x} \sim \boldsymbol{y}, \boldsymbol{y} \in X\}\) 表示 \(\boldsymbol{x}\) 的等价类并记 \(X / V=\{[\boldsymbol{x}]: \boldsymbol{x} \in X\}\)．\(X / V\) 称为 \(X\) 以 \(V\) 为模的商空间，在 \(X / V\) 中定义加法和数乘为 \([\boldsymbol{x}]+[\boldsymbol{y}]=[\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}], \alpha[\boldsymbol{x}]=[\alpha \boldsymbol{x}]\)，任意 \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in X, \alpha\) 为数．定义 \(X / V\) 上的非负函数 \(\|[\boldsymbol{x}]\|=\inf \{\|\boldsymbol{x}+v\|: v \in V\}\)，任意 \(\boldsymbol{x} \in X\)
-
设 \(\left(R_{1},\|\cdot\|_{1}\right)\) 和 \(\left(R_{2},\|\cdot\|_{2}\right)\) 是两个赋范线性空间．如果存在从 \(R_{1}\) 到 \(R_{2}\) 上的映射 \(\varphi\) 满足条件：对任意 \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in R_{1}\) 及数 \(\alpha, \beta\) 都有 \(\varphi(\alpha \boldsymbol{x}+\beta \boldsymbol{y})=\alpha \varphi(\boldsymbol{x})+\beta \varphi(\boldsymbol{y})\) 以及正数 \(c_{1}, c_{2}\)，使得对一切 \(\boldsymbol{x} \in R_{1}\) 都有 \({\displaystyle c_{1}\|\varphi(\boldsymbol{x})\|_{2} \leqslant\|\boldsymbol{x}\|_{1} \leqslant c_{2}\|\varphi(\boldsymbol{x})\|_{2}}\)，则称 \(\left(R_{1},\|\cdot\|_{1}\right)\) 和 \(\left(R_{2},\|\cdot\|_{2}\right)\) 这两个赋范空间是拓扑同构的
- 设 \(X\) 是 \(n\) 维赋范线性空间，\(\left\{e_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \cdots, \boldsymbol{e}_{n}\right\}\) 是 \(X\) 的一组基，则存在常数 \(M\) 和 \(M^{\prime}\)，使得对一切 \({\displaystyle \boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n} \xi_{k} \boldsymbol{e}_{k}}\) 成立
- 设在有限维线性空间上定义了两个范数 \(\|\cdot\|_{1}\) 和 \(\|\cdot\|_{2}\)，则必存在常数 \(M\) 和 \(M^{\prime}\)，使得对任意 \(\boldsymbol{x} \in X\)，成立不等式 \(M\|\boldsymbol{x}\|_{1} \leqslant\|\boldsymbol{x}\|_{2} \leqslant M^{\prime}\|\boldsymbol{x}\|_{1}\)
- 任何有限维赋范空间都和同维数 \(\text{Euclid}\) 空间（或某个 \(\mathbf{C}^{n}\)）拓扑同构，同数域上的相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构
1.2 Banach 空间
- \(\text{Banach}\) 空间：完备的赋范线性空间．\(\text{Banach}\) 空间实例如下
- \(\text{Euclid}\) 空间 \(\mathbf R^n\)：对每个 \(\boldsymbol{x}=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) \in \mathbf{R}^{n}\)，定义 \(\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\left|\xi_{1}\right|^{2}+\left|\xi_{2}\right|^{2}+\cdots+\left|\xi_{n}\right|^{2}}\)
- \(C[a, b]\) 空间：记闭空间 \([a, b]\) 上实值（或复值）连续函数全体为 \(C[a, b]\)．对每个 \(\boldsymbol{x} \in C[a, b]\)，定义 \({\displaystyle \|\boldsymbol{x}\| = \max_{a \leqslant t \leqslant b} |\boldsymbol{x}(t)|}\)
- \(l^{p}\) 空间：记 \({\displaystyle l^{p} = \left\{\boldsymbol{x}=\{\boldsymbol{x}_k\}: \sum_{k=1}^{\infty} \boldsymbol{x}_{k}^{p} < \infty\right\}}\)．对每个 \(\boldsymbol{x}=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots\right) \in l^{\infty}\)，定义 \({\displaystyle \|\boldsymbol{x}\|_{p}=\left(\sum_{i=1}^{\infty}\left|\xi_{i}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}}\)
- \(l^{\infty}\) 空间：记有界实（或复）数列全体为 \(l^{\infty}\)．对每个 \(\boldsymbol{x}=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots\right) \in l^{\infty}\)，定义 \({\displaystyle \|\boldsymbol{x}\|=\sup \left|\xi_{j}\right|}\)
- \(L^{p}[a, b]\) 空间：设 \(f(t)\) 是 \([a, b]\) 上复值可测函数，\(p>0\)．如果 \(|f(\boldsymbol{x})|^{p}\) 是 \([a, b]\) 上 \(L\) 可积函数，则称 \(f(t)\) 是 \([a, b]\) 上 \(p\) 方可积函数，记 \([a, b]\) 上 \(p\) 方可积函数全体为 \(L^{p}[a, b]\)．在空间 \(L^{p}[a, b]\) 中，将两个 \(\text{a.e.}\)相等的函数视为 \(L^{p}[a, b]\) 中同一个元素而不加以区别．对每个 \(f \in L^{p}[a, b]\)，定义 \({\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int_{a}^{b}|f(t)|^{p} \mathrm{d} t\right)^{\frac{1}{p}}}\)，则当 \(p \geqslant 1\) 时，\(L^{p}[a, b]\) 按 \(\|\cdot\|_{p}\) 成为 \(\text{Banach}\) 空间
- \(\text{H}\mathrm{\ddot{o}}\text{lder}\) 不等式：设 \(p>1, \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1, f \in L^{p}[a, b], g \in L^{q}[a, b]\)，那么 \(f(t) g(t)\) 在 \([a, b]\) 上 \(L\) 可积，并且 \({\displaystyle \int_{a}^{b}|f(t) g(t)| \mathrm{d} t \leqslant\|f\|_{p}\|g\|_{q}}\)
- \(\text{Minkowski}\) 不等式：设 \(p \geqslant 1, f, g \in L^{p}[a, b]\)，那么 \(f+g \in L^{p}[a, b]\)，并且不等式 \(\|f+g\|_{p} \leqslant\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\) 成立
- \(\text{Hahn}-\text{Banach}\) 泛函延拓定理：设 \(X\) 是实线性空间，\(p(\boldsymbol{x})\) 是 \(X\) 上次线性泛函．若 \(f\) 是 \(X\) 的子空间 \(Z\) 上的实线性泛函，且被 \(p(\boldsymbol{x})\) 控制，即满足 \(f(\boldsymbol{x}) \leqslant p(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x} \in Z\)，则存在 \(X\) 上的实线性泛函 \(\widetilde{f}\)，使当 \(\boldsymbol{x} \in Z\) 时，有 \(\widetilde{f}(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x})\)，并且在整个空间 \(X\) 上仍被 \(p(\boldsymbol{x})\) 控制 \(\widetilde{f}(\boldsymbol{x}) \leqslant p(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x} \in X\)
- 设 \(X\) 是实或复的线性空间，\(p(\boldsymbol{x})\) 是 \(X\) 上次线性泛函，\(f(\boldsymbol{x})\) 是定义在 \(X\) 的子空间 \(Z\) 上的实或复的线性泛函，且满足 \(|f(\boldsymbol{x})| \leqslant p(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x} \in Z\)，则存在 \(X\) 上线性泛函 \(\widetilde{f}\) 是 \(f\) 的延拓，且满足 \(|\widetilde{f}(\boldsymbol{x})| \leqslant p(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x} \in X\)
- 设 \(f\) 是赋范空间 \(X\) 的子空间 \(Z\) 上的连续线性泛函，则必存在 \(X\) 上连续线性泛函 \(\widetilde{f}\) 是 \(f\) 的保范延拓，即当 \(\boldsymbol{x} \in Z\) 时，有 \(\widetilde{f}(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x})\) 且 \(\|\widetilde{f}\|_{\boldsymbol{x}}=\|f\|_{\boldsymbol{z}}\)
- 设 \(X\) 是赋范线性空间，\(\boldsymbol{x}_{0} \in X, \boldsymbol{x}_{0} \neq 0\)，则必存在 \(X\) 上的有界线性泛函 \(f(\boldsymbol{x})\)，使得 \(\|f\|=1\)，并且 \(f\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=\left\|\boldsymbol{x}_{0}\right\|\)
- \(\text{Riesz}\) 表示定理：\(C[a, b]\) 上每一个连续线性泛函 \(F\) 都可以表示成为 \({\displaystyle F(f)=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} g(t), f \in C[a, b]}\)，其中 \(g(t)\) 是 \([a, b]\) 上有界变差函数，并且 \(\|F\|=\underset{a}{\stackrel{b}{\large \textbf{V} \normalsize}}(g)\)
- 一致有界性定理：设 \(X\) 是 \(\text{Banach}\) 空间，\(Y\) 是赋范空间，\(\mathscr{B}(X, Y)\) 表示 \(X\) 到 \(Y\) 中的有界线性算子全体，\(T_{n} \in \mathscr{B}(X, Y)\)．若对每个 \(\boldsymbol{x} \in X\)，\(\left\{\left\|T_{n} \boldsymbol{x}\right\|\right\}\) 有界，即 \(\left\|T_{n} \boldsymbol{x}\right\| \leqslant C_{\boldsymbol{x}}\)（其中 \(C_{\boldsymbol{x}}\) 是一与 \(\boldsymbol{x}\) 有关的实数），则 \(\left\{T_{n}\right\}\) 一致有界，即存在与 \(\boldsymbol{x}\) 无关的实数 \(C\)，使得对一切正整数 \(n\)，有 \(\left\|T_{n}\right\| \leqslant C\)．该定理也称作共鸣定理
- 设 \(\left\{f_{n}\right\}\) 是 \(\text{Banach}\) 空间 \(X\) 上的一列泛函，如果 \(\left\{f_{n}\right\}\) 在 \(X\) 的每点 \(\boldsymbol{x}\) 处有界，那么 \(\left\{f_{n}\right\}\) 一致有界
- 存在一个实值的连续函数，其 \(\text{Fourier}\) 级数在给定的 \(t_{0}\) 处是发散的
- 设 \(T_{n}\) 是由 \(\text{Banach}\) 空间 \(X\) 到 \(\text{Banach}\) 空间 \(Y\) 中的有界线性算子序列，则 \(\left\{T_{n}\right\}\) 强收敛的充要条件是 ① \(\left\{\left\|T_{n}\right\|\right\}\) 有界；② 对 \(X\) 中一稠密子集 \(D\) 中的每个 \(\boldsymbol{x}\)，\(\left\{T_{n} \boldsymbol{x}\right\}\) 都收敛
- 设 \(X\) 是赋范线性空间，\(\boldsymbol{x}_{n} \in X, n=1,2, \cdots\)，如果存在 \(\boldsymbol{x} \in X\)，使得 \({\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left\|\boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\| \rightarrow 0}\)，则称点列 \(\left\{\boldsymbol{x}_{n}\right\}\) 强收敛于 \(\boldsymbol{x}\)，如果对任意的 \(f \in X^{\prime}\)，都有 \(f\left(\boldsymbol{x}_{n}\right) \rightarrow f(\boldsymbol{x})(n \rightarrow \infty)\)，则称点列 \(\left\{\boldsymbol{x}_{n}\right\}\) 弱收敛于 \(\boldsymbol{x}\)．强收敛必定弱收敛，反之则不一定成立
- 设 \(X\) 是赋范线性空间，\(X^{\prime}\) 是 \(X\) 的共轭空间，泛函列 \(f_{n} \in X^{\prime}(n=1,2, \cdots)\)，如果存在 \(f \in X^{\prime}\)，使得
- \(\left\|f_{n}-f\right\| \rightarrow 0 \ (n \rightarrow \infty)\)，则称 \(\left\{f_{n}\right\}\) 强收敛于 \(f\)
- 对任意 \(\boldsymbol{x} \in X\)，都有 \(| f_{n}(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x})| \to 0 \ (n \rightarrow \infty)\)，则称 \(\left\{f_{n}\right\}\) 弱收敛于 \(f\)
- 若对任意的 \(F \in\left(X^{\prime}\right)^{\prime}\)，都有 \(F\left(f_{n}\right) \rightarrow F(f) \ (n \rightarrow \infty)\)，则称 \(\left\{f_{n}\right\}\) 弱收敛于 \(f\)
- 设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个赋范线性空间，\(\mathscr{B}(X, Y)\) 表示 \(X\) 到 \(Y\) 中的有界线性算子全体所成的空间，\(T_{n} \in \mathscr{B}(X, Y)\)，若存在 \(T \in \mathscr{B}(X, Y)\)，使得
- \(\left\|T_{n}-T\right\| \rightarrow 0 \ (n \rightarrow \infty)\)，则称算子列 \(\left\{T_{n}\right\}\) 一致收敛于 \(T\)
- 对任意的 \(\boldsymbol{x} \in X,\left\|T_{n} \boldsymbol{x}-T \boldsymbol{x}\right\| \rightarrow 0 \ (n \rightarrow \infty)\)，则称 \(\left\{T_{n}\right\}\) 强收敛于 \(T\)
- 对任意 \(\boldsymbol{x} \in X\) 和任意的 \(f \in Y^{\prime}, f\left(T_{n} \boldsymbol{x}\right) \rightarrow f(T \boldsymbol{x}) \ (n \rightarrow \infty)\)，则称 \(\left\{T_{n}\right\}\) 弱收敛于 \(T\)
- 逆算子定理：设 \(X\) 和 \(Y\) 都是 \(\text{Banach}\) 空间，若 \(T\) 是从 \(X\) 到 \(Y\) 上的一对一有界线性算子，则其逆算子 \(T^{-1}\) 也是有界线性算子
- 开映射定理：设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个度量空间，\(f\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的映射，若 \(f\) 将 \(X\) 中的开集映射成 \(Y\) 中的开集，则称 \(f\) 是开映射．若 \(X\) 和 \(Y\) 是两个 \(\text{Banach}\) 空间，\(T\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 上的有界线性映射，则 \(T\) 是开映射
- 设在线性空间 \(X\) 上有两个范数 \(\|\cdot\|_{1}\) 和 \(\|\cdot\|_{2}\)，如果 \(X\) 关于这两个范数都成为 \(\text{Banach}\) 空间，而且范数 \(\|\cdot\|_{2}\) 关于范数 \(\|\cdot\|_{1}\) 连续，那么范数 \(\|\cdot\|_{1}\) 也必关于 \(\|\cdot\|_{2}\) 连续
- 闭图像定理：设 \(X\) 和 \(Y\) 是 \(\text{Banach}\) 空间，\(T\) 是 \(\mathscr{D}(T) \subseteq X\) 到 \(Y\) 中闭线性算子．如果 \(\mathscr{D}(T)\) 是闭的，则 \(T\) 是有界算子
- 设 \(X\) 和 \(Y\) 是赋范空间，\(T\) 是 \(X\) 的子空间 \(\mathscr{D}(T)\) 到 \(Y\) 的线性算子，称 \(X \times Y\) 的集合 \(G(T)=\{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}): \boldsymbol{x} \in \mathscr{D}(T), \boldsymbol{y}=T \boldsymbol{x}\}\) 为算子 \(T\) 的图像
- 在 \(X \times Y\) 中，定义 \(\|(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\|=\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|\)，易知 \(X \times Y\) 按 \(\|(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\|\) 成为赋范线性空间．如果 \(G(T)\) 是 \(X \times Y\) 中的闭集，则称 \(T\) 是闭算子
1.3 Hilbert 空间
1.3.1 规范正交系
- \(\text{Hilbert}\) 空间：设 \(X\) 是 \(\text{Euclid}\) 线性空间，对于任意 \(\boldsymbol{x} \in X\)，令 \(\|\boldsymbol{x}\| = \sqrt{\left<\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\right>}\)，称 \(\|\cdot\|\) 为由内积导出的范数．若 \(X\) 按范数 \(\|\cdot\|\) 完备，则称 \(X\) 为 \(\text{Hilbert}\) 空间
- 正交投影：设 \(Y\) 是 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 的闭子空间，那么有 \(X=Y \ \dot{+} \ Y^{\perp}\)．于是当 \(Y\) 是 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 的闭子空间时，对每个 \(\boldsymbol{x} \in X\)，存在唯一 \(\boldsymbol{y} \in Y\) 及 \(\boldsymbol{z} \in Y^{\perp}\) 使得 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} \oplus \boldsymbol{z}\)，称 \(\boldsymbol{y}\) 为 \(\boldsymbol{x}\) 在空间 \(Y\) 上的正交投影，简称为投影
- 投影算子：定义 \(X\) 到 \(Y\) 上的映射 \(P \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\) 对任意 \(\boldsymbol{x} \in X\) 成立，其中 \(\boldsymbol{y}\) 是 \(\boldsymbol{x}\) 在 \(Y\) 上的投影，称 \(P\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 上的投影算子
- \(P\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 上的有界线性算子，且当 \(Y \neq\{0\}\) 时，\(\|P\|=1\)
- \(P X=Y, P Y=Y, P Y^{\perp}=\{0\}\)
- \(P^{2}=P\)，其中 \(P^{2}=P P\)
- 设 \(Y\) 是 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 的闭子空间，则有 \(Y=Y^{\perp \perp}\)
- 设 \(M\) 是 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 中非空子集，则 \(\operatorname{span} M\) 在 \(X\) 中稠密的充要条件为 \(M^{\perp}=\{0\}\)
- 规范正交系：设 \(M\) 是 \(\text{Euclid}\) 线性空间 \(X\) 的一个不含零的子集，若 \(M\) 中向量两两正交，则称 \(M\) 为 \(X\) 中的正交系，又若 \(M\) 中向量的范数都为 \(1\)，则称 \(M\) 为 \(X\) 中规范正交系
- 部分和：设 \(X\) 是赋范线性空间，\(\boldsymbol{x}_{i}\) 是 \(X\) 中一列向量，\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots\) 是一列数，作形式级数 \({\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \alpha_{i} \boldsymbol{x}_{i}}\)．称 \({\displaystyle S_{n}=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \boldsymbol{x}_{i}}\) 为级数的 \(n\) 项部分和，若存在 \(\boldsymbol{x} \in X\)，使 \(S_{n} \rightarrow \boldsymbol{x}(n \rightarrow \infty)\)，则称级数收敛，并称 \(\boldsymbol{x}\) 为这个级数的和，记为 \({\displaystyle \boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{\infty} \alpha_{i} \boldsymbol{x}_{i}}\)
- \(\text{Fourier}\) 系数：设 \(M\) 为 \(\text{Euclid}\) 线性空间 \(X\) 中的规范正交系，\(\boldsymbol{x} \in X\)，称数集 \(\{\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{e}\rangle: \boldsymbol{e} \in M\}\) 为向量 \(\boldsymbol{x}\) 关于规范正交系 \(M\) 的 \(\text{Fourier}\) 系数集，而称 \(\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{e}\rangle\) 为 \(\boldsymbol{x}\) 关于 \(\boldsymbol{e}\) 的 \(\text{Fourier}\) 系数
- 设 \(X\) 是 \(\text{Euclid}\) 线性空间，\(M\) 是 \(X\) 中规范正交系，任取 \(M\) 中有限个向量 \(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \cdots\), \(\boldsymbol{e}_{n}\)，那么有
- \({\displaystyle \left\|\boldsymbol{x}-\sum_{i=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{e}_{i}\right\rangle \boldsymbol{e}_{i}\right\|^{2}=\|\boldsymbol{x}\|^{2}-\sum_{i=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{e}_{i}\right\rangle\right|^{2} \geqslant 0}\)
- \({\displaystyle \left\|\boldsymbol{x}-\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \boldsymbol{e}_{i}\right\| \geqslant\left\|\boldsymbol{x}-\sum_{i=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{e}_{i}\right\rangle \boldsymbol{e}_{i}\right\|}\)，其中 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\) 为任意 \(n\) 个数
- \(\text{Bessel}\) 不等式：设 \(\left\{\boldsymbol{e}_{k}\right\}\) 是 \(\text{Euclid}\) 线性空间 \(X\) 中至多可数的规范正交系，则对每个 \(\boldsymbol{x} \in X\)，有 \({\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{e}_{i}\right\rangle\right|^{2} \leqslant\|\boldsymbol{x}\|^{2}}\)．若 \(\text{Bessel}\) 不等式中等号成立，则称此等式为 \(\text{Parseval}\) 等式
- 设 \(\left\{\boldsymbol{e}_{k}\right\}\) 为 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 中的有限或可数规范正交系
- 级数 \({\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \alpha_{i} \boldsymbol{e}_{i}}\) 收敛的充要条件为级数 \({\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left|\alpha_{i}\right|^{2}}\) 收敛
- 若 \({\displaystyle \boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{\infty} \alpha_{i} \boldsymbol{e}_{i}}\)，则 \(\alpha_{i}=\left\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{e}_{i}\right\rangle, i=1,2, \cdots\)，故 \({\displaystyle \boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{\infty}\left\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{e}_{i}\right\rangle \boldsymbol{e}_{i}}\)
- 对任何 \(\boldsymbol{x} \in X\)，级数 \({\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{e}_{i}\right\rangle \boldsymbol{e}_{i}}\) 收敛
- 设 \(X\) 是 \(\text{Euclid}\) 线性空间，\(M\) 是 \(X\) 中规范正交系，任取 \(M\) 中有限个向量 \(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \cdots\), \(\boldsymbol{e}_{n}\)，那么有
- 完全规范正交系：设 \(M\) 是 \(\text{Euclid}\) 线性空间 \(X\) 中的规范正交系，如果 \(\overline{\operatorname{span} M}=X\)，则称 \(M\) 是 \(X\) 中的完全规范正交系
- 设 \(M\) 是 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 中规范正交系，那么 \(M\) 完全的充要条件为 \(M^{\perp}= \{0\}\)
- \(M\) 是 \(\text{Hilbert}\) 空间中完全规范正交系的充要条件为对所有 \(\boldsymbol{x} \in X\)，成立 \(\text{Parseval}\) 等式
- \(\text{Gram}-\text{Schmidt}\) 正交化：设 \(\left\{\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{2}, \cdots\right\}\) 是 \(\text{Euclid}\) 线性空间 \(X\) 中有限或可数个线性无关向量，那么必有 \(X\) 中规范正交系 \(\left\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2} \cdots\right\}\)，使对任何正整数 \(n\)，有 \({\displaystyle \operatorname{span}\left\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \cdots, \boldsymbol{e}_{n}\right\}=\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{2}, \cdots, \boldsymbol{x}_{n}\right\}}\)
- 每个非零 \(\text{Hilbert}\) 空间必有完全规范正交系
-
设 \(X\) 和 \(\widetilde{X}\) 是两个 \(\text{Euclid}\) 线性空间，若存在 \(X\) 到 \(\widetilde{X}\) 上的映射 \(T\)，使对任何 \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in X\) 及数 \(\alpha, \beta\)，满足
\[ \begin{aligned} T(\alpha \boldsymbol{x}+\beta \boldsymbol{y})&=\alpha T \boldsymbol{x}+\beta T \boldsymbol{y} \\ \langle T \boldsymbol{x}, T \boldsymbol{y}\rangle&=\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle \end{aligned} \]则称 \(X\) 和 \(\widetilde{X}\) 同构，并称 \(T\) 为 \(X\) 到 \(\widetilde{X}\) 上的同构映射
- 两个 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 与 \(\widetilde{X}\) 同构的充要条件是 \(X\) 与 \(\widetilde{X}\) 具有相同的 \(\text{Hilbert}\) 维数
- 任何可分 \(\text{Hilbert}\) 空间必和某个 \(\mathbf{R}^{n}\left(\mathbf{C}^{n}\right)\) 或 \(l^{2}\) 同构
1.3.2 Hilbert 空间的泛函
- \(\text{Riesz}\) 定理：设 \(X\) 是 \(\text{Hilbert}\) 空间，\(f\) 是 \(X\) 上连续线性泛函，则存在唯一 \(\boldsymbol{z} \in X\)，使对每个 \(\boldsymbol{x} \in X\) 有 \(f(\boldsymbol{x})=\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}\rangle\) 且 \(\|f\|=\|\boldsymbol{z}\|\)
- 对每个 \(\boldsymbol{y} \in X\)，令 \(T \boldsymbol{y}=f_{\boldsymbol{y}}\)，其中 \(f_{\boldsymbol{y}}\) 为 \(X\) 上连续线性泛函 \(f_{\boldsymbol{y}}(\boldsymbol{x})=\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle, \boldsymbol{x} \in X\)，\(T\) 是 \(X\) 到 \(X^{\prime}\) 上的映射，其中 \(X^{\prime}\) 表示 \(X\) 上连续线性泛函全体所成的 \(\text{Banach}\) 空间．称满足 \(T(\alpha \boldsymbol{x}+\beta \boldsymbol{y})=\overline{\alpha} T \boldsymbol{x}+\overline{\beta} T \boldsymbol{y}\) 的映射 \(T\) 是复共轭线性映射
- 映射 \(T \boldsymbol{y}=f_{\boldsymbol{y}}\) 是 \(X\) 到 \(X^{\prime}\) 上保持范数不变的复共轭线性映射，称为复共轭同构映射
- 若存在 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 到 \(\widetilde{X}\) 上的复共轭同构映射，则称 \(X\) 与 \(\widetilde{X}\) 是复共轭同构，并不加以区别视为同一，写成 \(X=\widetilde{X}\)
- 当 \(X\) 是 \(\text{Hilbert}\) 空间时，\(X=X^{\prime}\)，即 \(X\) 是息共轭的
- 设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个 \(\text{Hilbert}\) 空间，\(A \in \mathscr{B}(X, Y)\)，则存在唯一的 \(A^{*} \in \mathscr{B}(Y\), \(X)\)，使得对任何 \(\boldsymbol{x} \in X\) 及 \(\boldsymbol{y} \in Y\) 有 \(\left\|A^{*}\right\|=\|A\|\) 且 \(\langle A \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\left\langle \boldsymbol{x}, A^{*} \boldsymbol{y}\right\rangle\)．称算子 \(A^{*}\) 为 \(A\) 的 \(\text{Hilbert}\) 共轭算子，或简称为共轭算子
- \((A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}\)
- \((\alpha A)^{*}=\alpha A^{*}\)
- \(\left(A^{*}\right)^{*}=A\)
- \(\left\|A^{*} A\right\|=\left\|A A^{*}\right\|=\|A\|^{2}\)，由此可知 \(A^{*} A=0\) 等价于 \(A=0\)
- 当 \(X=Y\) 时，\((A B)^{*}=B^{*} A^{*}\)
1.3.3 Hilbert 空间的算子
- 自伴算子：设 \(T\) 为 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 到 \(X\) 中的有界线性算子，若 \(T=T^{*}\)，则称 \(T\) 为 \(X\) 上的自伴算子
- 设 \(T\) 为复 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 上有界线性算子，则 \(T\) 为自伴算子的充要条件为对一切 \(\boldsymbol{x} \in X\)，\(\langle T \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle\) 是实数
- 设 \(T_{1}\) 和 \(T_{2}\) 是 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 上两个自伴算子，则 \(T_{1} T_{2}\) 自伴的充要条件为 \(T_{1} T_{2}=T_{2} T_{1}\)
- 设 \(\left\{T_{n}\right\}\) 是 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 上一列自伴算子，并且 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} T_{n}=T}\)，那么 \(T\) 仍为 \(X\) 上自伴算子
- 酉算子：设 \(T\) 为 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 到 \(X\) 的有界线性算子，若 \(T: X \to X\) 是一对一映射且 \(T^{*}=T^{-1}\)，则称 \(T\) 为 \(X\) 上的酉算子
- 设 \(U\) 及 \(V\) 是 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 上两个酉算子
- \(U\) 是保范算子，即对任何 \(\boldsymbol{x} \in X\)，成立 \(\|U \boldsymbol{x}\|=\|\boldsymbol{x}\|\)
- 当 \(X \neq\{0\}\) 时，\(\|U\|=1\)
- \(U^{-1}\) 是酉算子
- \(U V\) 是酉算子
- 若 \(U_{n}, n=1,2, \cdots\) 是 \(X\) 上一列酉算子，且 \(\left\{U_{n}\right\}\) 收敛于有界算子 \(A\)，则 \(A\) 也为酉算子
- 设 \(T\) 为复 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 上有界线性算子，那么 \(T\) 是酉算子的充要条件为 \(T\) 是映射到上的保范算子
- 设 \(U\) 及 \(V\) 是 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 上两个酉算子
- 正规算子：设 \(T\) 为 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 到 \(X\) 中的有界线性算子，若 \(T T^{*}=T^{*} T\)，则称 \(T\) 为 \(X\) 上的正规算子
- 设 \(T\) 是复 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 上有界线性算子，\(A+\mathrm{i} B\) 为 \(T\) 的笛卡儿分解，则 \(T\) 为正规算子的充要条件为 \(A B=B A\)
- 设 \(T\) 为复 \(\text{Hilbert}\) 空间 \(X\) 上有界线性算子，则 \(T\) 为正规算子的充要条件为对任何 \(\boldsymbol{x} \in X\)，有 \(\left\|T^{*} \boldsymbol{x}\right\|=\|T \boldsymbol{x}\|\)