1 测度论

1.1 可测性与测度

1.1.1 可测空间

可测空间：设 \(\Omega\) 为集合，\(\mathscr{F}\) 为 \(\Omega\) 的子集构成的 \(\sigma\) 域，则 \((\Omega, \mathscr{F})\) 称为可测空间．\(\mathscr{F}\) 中任一集合都称为 \(\mathscr{F}\) 可测集，简称可测集
乘积空间：若 \(\left(\Omega_{i}, \mathscr{F}_{i}\right), 1 \leqslant i \leqslant n\) 是 \(n\) 个可测空间，称 \(\Omega=\left\{\left(\omega_{1}, \cdots, \omega_{n}\right): \omega_{i} \in \Omega_{i}, 1 \leqslant i \leqslant n\right\}\) 为乘积空间，记为 \({\displaystyle \Omega=\prod_{i} \Omega_{i}}\)
1. 矩形集：对 \(A_{i} \subseteq \Omega_{i}, 1 \leqslant i \leqslant n\)，集合 \(A=\left\{\left(\omega_{1}, \cdots, \omega_{n}\right): \omega_{i} \in A_{i}, 1 \leqslant i \leqslant n\right\}\) 称为矩形集，记为 \({\displaystyle \prod_{i=1}^{n} A_i}\)．特别地，当每个 \(A_i \in \mathscr{F}_i\) 时，\({\displaystyle A = \prod_{i=1}^{n} A_i}\) 又称为可测矩形
2. \(\left(\Omega_{i}, \mathscr{F}_{i}\right), 1 \leqslant i \leqslant n\) 是 \(n\) 个可测空间，\({\displaystyle \Omega=\prod_{i=1}^{n}} \Omega_{i}\)，\(\mathscr{C}\) 表示 \(\Omega\) 中可测矩形全体，则 \(\mathscr{C}\) 是一个半域，而互不相交的可测矩形的有限并全体 \(\mathscr{A}\) 就是一个域
若 \(\left\{\left(\Omega_{\alpha}, \mathscr{F}_{\alpha}\right)\right\}_{\alpha \in J}\) 为一族可测空间，称 \(\Omega=\left\{\left(\omega_{\alpha}, \alpha \in J\right): \omega_{\alpha} \in \Omega_{\alpha}, \alpha \in J\right\}\) 为 \(\left(\omega_{\alpha}, \alpha \in J\right)\) 的乘积空间，记为 \(\Omega={\displaystyle \prod_{\alpha \in J}} \Omega_{\alpha}\)
1. 若 \(I\) 为 \(J\) 的有限子集，对 \(A_{\alpha} \in \mathscr{F}_{\alpha}, \alpha \in I\) 有 \(B=\left\{\left(\omega_{\alpha}, \alpha \in J\right) \in \Omega: \omega_{\alpha} \in A_{\alpha}, \alpha \in I\right\}\)．称 \(B\) 为有限维基底可测矩形柱，简称有限维矩形柱，\({\displaystyle \prod_{\alpha \in I}} A_{\alpha}\) 称为 \(B\) 的底
2. 若 \(\mathscr{C}=\left\{B: B \textsf{ 为以 } {\displaystyle \prod_{\alpha \in I}} A_{\alpha} \textsf{ 为底的矩形柱，} A_{\alpha} \in \mathscr{F}_{\alpha}, \alpha \in \textsf{有限 } I \subseteq J\right\}\)，其中 \(I\) 取遍 \(J\) 的一切有限子集，即 \(\mathscr{C}\) 表示有限维基底可测矩形柱全体，则 \(\mathscr{C}\) 是半域
乘积可测空间：若 \(\left(\Omega_{i}, \mathscr{F}_{i}\right), 1 \leqslant i \leqslant n\) 是 \(n\) 个可测空间，\(\mathscr{C}\) 表示 \(\Omega={\displaystyle \prod_{i=1}^{n}} \Omega_{i}\) 中可测矩形全体．在 \(\Omega\) 上，\(\mathscr{F} = \sigma(\mathscr{C})\) 称为乘积 \(\sigma\) 域，并记 \(\mathscr{F} = {\displaystyle \prod_{i=1}^{n}} \mathscr{F}_i\)．又 \((\Omega, \mathscr{F})\) 称为乘积可测空间，记为 \((\Omega, \mathscr{F})={\displaystyle \prod_{i=1}^{n}}\left(\Omega_{i}, \mathscr{F}_{i}\right)\)
1. 设 \(\left(\Omega_{i}, \mathscr{F}_{i}\right), 1 \leqslant i \leqslant n\) 是 \(n\) 个可测空间，\(1 \leqslant m \leqslant n\)
  1. \({\displaystyle \prod_{i=1}^{n}} \Omega_{i}=\left({\displaystyle \prod_{i=1}^{m}} \Omega_{i}\right) \times\left({\displaystyle \prod_{i=m+1}^{n}} \Omega_{i}\right)\)
  2. \({\displaystyle \prod_{i=1}^{n}} \mathscr{F}_{i}=\left({\displaystyle \prod_{i=1}^{m}} \mathscr{F}_{i}\right) \times\left({\displaystyle \prod_{i=m+1}^{n}} \mathscr{F}_{i}\right)\)
  3. \({\displaystyle \prod_{i=1}^{n}}\left(\Omega_{i}, \mathscr{F}_{i}\right)=\left({\displaystyle \prod_{i=1}^{m}}\left(\Omega_{i}, \mathscr{F}_{i}\right)\right) \times\left({\displaystyle \prod_{i=m+1}^{n}}\left(\Omega_{i}, \mathscr{F}_{i}\right)\right)\)
2. 若 \(\left(\Omega_{i}, \mathscr{F}_{i}\right), 1 \leqslant i \leqslant n\) 是 \(n\) 个可测空间，\((\Omega, \mathscr{F})={\displaystyle \prod_{i=1}^{n}} \left(\Omega_{i}, \mathscr{F}_{i}\right)\)．则对任一 \(A \in \mathscr{F}\) 及任意固定的 \(\left(\omega_{1}, \cdots, \omega_{m}\right)\)，截口集 \(A\left(\omega_{1}, \cdots, \omega_{m}\right)=\left\{\left(\omega_{m+1}, \cdots, \omega_{n}\right):\left(\omega_{1}, \cdots, \omega_{n}\right) \in A\right\} \in {\displaystyle \prod_{i=m+1}^{n}} \mathscr{F}_{i}\)
在 \(\Omega={\displaystyle \prod_{\alpha \in J}} \Omega_{\alpha}\) 上有 \(\mathscr{C}=\left\{B: B \textsf{ 为以 } {\displaystyle \prod_{\alpha \in I}} A_{\alpha} \textsf{ 为底的矩形柱，} A_{\alpha} \in \mathscr{F}_{\alpha}, \alpha \in \textsf{有限 } I \subseteq J\right\}\)，称 \(\mathscr{F}=\sigma(\mathscr{C})\) 为 \(\left\{\mathscr{F}_{\alpha}\right\}_{\alpha \in J}\) 的乘积 \(\sigma\) 域，记为 \(\mathscr{F}={\displaystyle \prod_{\alpha \in J}} \mathscr{F}_{\alpha}\)．而 \((\Omega, \mathscr{F})\) 称为乘积可测空间，记为 \((\Omega, \mathscr{F}) ={\displaystyle \prod_{\alpha \in J}} \left(\Omega_{\alpha}, \mathscr{F}_{\alpha}\right)\)
1. 在 \(\Omega\) 中，若 \(I\) 为 \(J\) 的任意子集，\(A \subseteq \Omega_{I}={\displaystyle \prod_{\alpha \in I}} \Omega_{\alpha}\)，则 \(B=A \times {\displaystyle \prod_{\alpha \in J - I}} \Omega_{\alpha}=\left\{\left(\omega_{\alpha}, \alpha \in J\right) \in \Omega:\left(\omega_{\alpha}, \alpha \in I\right) \in A\right\}\) 称为 \(\Omega\) 中的柱集，\(A\) 称为 \(B\) 的底．当 \(A \in {\displaystyle \prod_{\alpha \in I}} \mathscr{F}_{\alpha}\)，柱集 \(B\) 称为可测的．特别地，当 \(I\) 为有限指标集时，\(B\) 称为有限维基底可测柱集；当 \(I\) 为可数指标集时，\(B\) 称为可数维基底可测柱集，凡分别简称为有限维柱集或可数维柱集
2. 假设 \(\left\{\left(\Omega_{\alpha}, \mathscr{F}_{\alpha}\right)\right\}_{\alpha \in J}\) 为一族可测空间，\(J\) 为无限指标集，\((\Omega, \mathscr{F})= {\displaystyle \prod_{\alpha \in J}} \left(\Omega_{\alpha}, \mathscr{F} \alpha\right)\)，又 \(\mathscr{G}\) 表示 \(\Omega\) 中可数维基底可测柱集全体，则有 \(\mathscr{F}=\mathscr{G}\) 成立
3. 若 \(\left\{\left(E_{i}, \mathscr{T}_{i}\right)\right\}_{i \in I}\) 为至多可数个具有可数基的拓扑空间，\((E, \mathscr{T})={\displaystyle \prod_{i \in I}}\left(E_{i}, \mathscr{T}_{i}\right)\) 为乘积拓扑空间，则有
  1. \(\mathscr{B}_{E} ={\displaystyle \prod_{i \in I}} \mathscr{B}_{E_{i}}\)
  2. \(\left(E, \mathscr{B}_{E}\right) ={\displaystyle \prod_{i \in I}}\left(E_{i}, \mathscr{B}_{E_{i}}\right)\)
  其中 \(\mathscr{B}_{E_{i}}=\sigma\left(\mathscr{T}_{i}\right), i \in I, \mathscr{B}_{E}=\sigma(\mathscr{T})\)．特别地，有 \(\left(\mathbf{R}^{n}, \mathscr{B}^{n}\right)=\small \underbrace{\normalsize (\mathbf{R}, \mathscr{B}) \times (\mathbf{R}, \mathscr{B}) \times \cdots \times(\mathbf{R}, \mathscr{B})}_{\normalsize n} \normalsize\)，其中 \(\mathscr{B}^{n}\) 也可看成为由可测矩形或由有理端点开矩形全体生成的 \(\sigma\) 域
4. 无限维乘积可测空间：设 \(T\) 为任意指标集，\(\left\{\left(\Omega_{t}, \mathscr{F}_{t}\right): t \in T\right\}\) 为一族可测空间 \({\displaystyle \Omega=\underset{t \in T}{\prod} \Omega_{t}, \ \mathscr{F}=\underset{t \in T}{\prod} \mathscr{F}_{t}}\)．又 \(T_{1} \subseteq T\)，\(T_{1}\) 为 \(T\) 的任一子集．记 \({\displaystyle \Omega_{T_{1}}=\underset{t \in T_{1}}{\prod} \Omega_{t}, \ \mathscr{F}_{T_{1}}=\underset{t \in T_{1}}{\prod} \mathscr{F}_{t}}\)，则 \(\Omega=\Omega_{T}, \mathscr{F}=\mathscr{F}_{T}\)．对 \(A \in \mathscr{F}_{T_{1}}\)，\({\displaystyle B_{1}=\left\{\left(\omega_{t}, t \in T\right) \in \Omega_{T}:\left(\Omega_{\alpha}, \alpha \in T_{1}\right) \in A\right\}}\) 并称 \(B_{1}\) 为 \(\Omega\) 中以 \(A\) 为基底的柱集．对 \(T_{1} \subseteq T_{2} \subseteq T\)，\({\displaystyle B_{2}=\left\{\left(\omega_{t}, t \in T_{2}\right) \in \Omega_{T_{2}}:\left(\omega_{\alpha}, \alpha \in T_{1}\right) \in A\right\}}\)，称 \(B_{2}\) 为 \(\Omega_{T_{2}}\) 中以 \(A\) 为基底的柱集，并以 \(\overline{\mathscr{F}}_{T_{1}}\) 和 \(\overline{\mathscr{F}}_{T_{1}}^{T_{2}}\) 分别表示基底在 \(\mathscr{F}_{T_{1}}\) 的 \(\Omega\) 和 \(\Omega_{T_{2}}\) 中的柱集全体
  1. 设 \(\mathscr{C}\) 表示 \(\Omega\) 中基底为有限维可测矩形的柱集全体，\({\displaystyle \mathscr{A}=\bigcup_{T_{1} \subseteq T} \overline{\mathscr{F}}_{T_{1}}}\) 表示 \(\Omega\) 中有限维可测基底的柱集全体，其中 \(T_1\) 有限．则 \(\mathscr{C} \subseteq \mathscr{A}\)，且 \(\mathscr{A}\) 为域，\(\sigma(\mathscr{C})=\sigma(\mathscr{A})=\mathscr{F}\)
  2. 若 \(T_{1} \subseteq T_{2} \subseteq T\)，规定 \(\Omega_{T_{2}}\) 到 \(\Omega_{T_{1}}\) 的映射 \(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\) 为 \(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\left\{\omega_{t}: t \in T_{2}\right\}=\left\{\omega_{t}: t \in T_{1}\right\}\)，则 \(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\) 是 \(\Omega_{T_{2}}\) 到 \(\Omega_{T_{1}}\) 的投影．对 \(A \in \mathscr{F}_{T_{1}}\)，由于 \(\left(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\right)^{-1} A=A \times \Omega_{T_{2} - T_{1}}\)，因此 \(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\) 是 \(\left(\Omega_{T_{2}}, \mathscr{F}_{T_{2}}\right)\) 到 \(\left(\Omega_{T_{1}}, \mathscr{F}_{T_{1}}\right)\) 的可测映射且 \(\left(\pi_{T_{1}}^{T_{2}}\right)^{-1} \mathscr{F}_{T_{1}}=\overline{\mathscr{F}}_{T_{1}}^{T_{2}}\)

1.1.2 可测映射

可测映射：设 \(\left(\Omega_{1}, \mathscr{F}_{1}\right),\left(\Omega_{2}, \mathscr{F}_{2}\right)\) 为可测空间，\(f: \Omega_{1} \to \Omega_{2}\)．若对每个 \(A \in \mathscr{F}_{2}, f^{-1}[A] \in \mathscr{F}_{1}\)，即 \(f^{-1}\left[\mathscr{F}_{2}\right] \subseteq \mathscr{F}_{1}\)，则称 \(f\) 为 \(\left(\Omega_{1}, \mathscr{F}_{1}\right)\) 到 \(\left(\Omega_{2}, \mathscr{F}_{2}\right)\) 的可测映射，记为 \(f \in \mathscr{F}_{1} / \mathscr{F}_{2}\)，或在 \(\mathscr{F}_{2}\) 不引起混淆时简记为 \(f \in \mathscr{F}_{1}\)．记 \(\sigma(f)=\sigma_{\Omega_{1}}(f)=f^{-1}\left[\mathscr{F}_{2}\right]\)，称它为由 \(f\) 生成的 \(\sigma\) 域
1. 设 \(f\) 为 \(\Omega_{1}\) 到 \(\Omega_{2}\) 的映射，\(\mathscr{C}\) 为 \(\mathcal{P}\left(\Omega_{2}\right)\) 的子类，则 \(\sigma_{\Omega_{1}}\left(f^{-1}[\mathscr{C}]\right)=f^{-1}\left[\sigma_{\Omega_{2}}(\mathscr{C})\right]\)
2. 若 \(\left(\Omega_{1}, \mathscr{F}_{1}\right),\left(\Omega_{2}, \mathscr{F}_{2}\right)\) 为可测空间，\(\mathscr{C} \subseteq \mathcal{P}\left(\Omega_{2}\right)\)，又 \(\mathscr{F}_{2}=\sigma(\mathscr{C})\)，则 \(f \in \mathscr{F}_{1} / \mathscr{F}_{2}\) 的充要条件是 \(f^{-1}[\mathscr{C}] \subseteq \mathscr{F}_{1}\)
3. 设 \(\left(\Omega_{i}, \mathscr{F}_{i}\right) \ (i=1,2,3)\) 为可测空间，若 \(g\) 为 \(\left(\Omega_{1}, \mathscr{F}_{1}\right)\) 到 \(\left(\Omega_{2}, \mathscr{F}_{2}\right)\) 的可测映射，又 \(f\) 为 \(\left(\Omega_{2}, \mathscr{F}_{2}\right)\) 到 \(\left(\Omega_{3}, \mathscr{F}_{3}\right)\) 的可测映射，则 \(f \circ g\) 是 \(\left(\Omega_{1}, \mathscr{F}_{1}\right)\) 到 \(\left(\Omega_{3}, \mathscr{F}_{3}\right)\) 的可测映射
可测函数：由 \((\Omega, \mathscr{F})\) 到 \(\left(\mathbf{R}, \mathscr{B}_{R}\right)\) 或 \(\left(\widehat{\mathbf{R}}, \mathscr{B}_{\widehat{\mathbf{R}}}\right)\) 的可测映射称为可测函数
1. 若 \(\pi\) 类 \(\mathscr{C} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\)，又 \(\mathscr{H}\) 为 \(\Omega\) 上的一个 \(\mathscr{L}\) 类，且 \(\mathscr{H} \supseteq \left\{I_{A}, A \in \mathscr{C}\right\}\)，则 \(\mathscr{H}\) 包含 \(\Omega\) 上一切属于 \(\mathscr{L}\) 的 \(\sigma(\mathscr{C})\) 可测函数
2. 若 \(\mathscr{F}_{1}\) 为 \(\mathscr{F}\) 的子 \(\sigma\) 域，且 \(f \in \mathscr{F}_{1} / \mathscr{B}_{\widehat{\mathbf{R}}}\)，则称 \(f\) 为 \(\mathscr{F}_{1}\) 可测，记为 \(f \in \mathscr{F}_{1}\)
3. 若 \(f\) 为 \(\left(\mathbf{R}^{n}, \mathscr{B}^{n}\right)\) 到 \((\mathbf{R}, \mathscr{B})\) 的可测函数，则称 \(f\) 为 \(n\) 元 \(\text{Borel}\) 可测函数或简称 \(\text{Borel}\) 函数．可数维乘积空间 \(\left(\mathbf{R}^{\infty}, \mathscr{B}^{\infty}\right)\) 到 \((\mathbf{R}, \mathscr{B})\) 的可测函数也称为 \(\text{Borel}\) 函数
4. 若 \((\Omega, \mathscr{F})=\left(\Omega_{1}, \mathscr{F}_{1}\right) \times\left(\Omega_{2}, \mathscr{F}_{2}\right)\) 为乘积空间，\(f\) 为 \((\Omega, \mathscr{F})\) 到 \(\left(\mathbf{R}, \mathscr{B}_{R}\right)\) 的可测函数，则对 \(\forall \omega_{1}^{0} \in \Omega_{1}, g\left(\omega_{2}\right)=f\left(\omega_{1}^{0}, \omega_{2}\right)\) 是 \(\left(\Omega_{2}, \mathscr{F}_{2}\right)\) 到 \(\left(\mathbf{R}, \mathscr{B}_{R}\right)\) 的可测函数

1.1.3 测度空间

集函数：设 \(\Omega\) 为一空间，\(\mathscr{C} \subseteq \mathcal{P}(\Omega), \mathscr{C}\) 上广义实值（可取 \(\pm \infty\)）函数 \(\mu\) 称为集函数
1. 若对每个 \(A \in \mathscr{C}\) 有 \(|\mu(A)|<\infty\)，则称 \(\mu\) 为有限的
  
  若对任意 \(A, B \in \mathscr{C}, A B=\varnothing\)，且 \(A+B \in \mathscr{C}\)，都有 \(\mu(A+B)=\mu(A)+\mu(B)\)，则称 \(\mu\) 为有限可加的
2. 若对每个 \(A \in \mathscr{C}\)，存在 \(\left\{A_{n}\right\}_{n \geqslant 1} \in \mathscr{C}\)，使 \(A=\bigcup_{n} A_{n}\)，且对每个 \(n\) 都有 \(\left|\mu\left(A_{n}\right)\right|<\infty\)，则称 \(\mu\)（在 \(\mathscr{C}\) 上）为 \(\sigma\) 有限的
  
  若对任意 \(\left\{A_{n}\right\}_{n \geqslant 1} \subseteq \mathscr{C}\) 都有 \(A_{i} A_{j}=\varnothing, i \neq j\)，且 \({\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} A_{i} \in \mathscr{C}}\)，则 \({\displaystyle \mu\left(\sum_{i=1}^{\infty} A_{i}\right)= \sum_{i=1}^{\infty} \mu\left(A_{i}\right)}\)，则称 \(\mu\)（在 \(\mathscr{C}\) 上）为 \(\sigma\) 可加的
测度空间：若 \((\Omega, \mathscr{F})\) 为可测空间，\(\mu\) 为 \(\mathscr{F}\) 上的测度，则 \((\Omega, \mathscr{F}, \mu)\) 称为测度空间
1. 正测度：设 \(\Omega\) 为一空间，\(\mathscr{C} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) 且 \(\varnothing \in \mathscr{C}\)．设 \(\mu\) 为 \(\mathscr{C}\) 上的集函数，若它满足
  1. \(\mu(\varnothing)=0\)
  2. \(\mu\) 为非负的，即对每个 \(A \in \mathscr{C}\) 都有 \(\mu(A) \geqslant 0\)
  3. \(\mu\) 为可数可加的
  则称 \(\mu\) 为测度或正测度
2. 超滤上的测度：设集合 \(\Omega\) 上的超滤 \(\mathscr F \subseteq \mathcal P(\Omega)\)，则 \(\mathscr F\) 诱导出 \(\Omega\) 上的一个 \(\{0, 1\}-\)测度 \(\mu: \mathcal P(\Omega) \to 2\) 为
  
  \[ \mu(A) = \left\{\begin{aligned} & 1, &A \in \mathscr F \\ & 0, &A \notin \mathscr F \end{aligned}\right. \]
3. 半域或域上的测度
  1. \(\mathscr{S}\) 为 \(\Omega\) 上的半域，\(\mu\) 为 \(\mathscr{S}\) 上的非负可加集函数，则存在 \(\mu\) 在由 \(\mathscr{S}\) 张成的域 \(\mathscr{A}(\mathscr{S})\) 上的唯一延拓 \(\nu\)，\(\nu\) 在 \(\mathscr{A}(\mathscr{S})\) 亦是非负可加的，且当 \(\mu\) 为可数可加时, \(\nu\) 亦可数可加
  2. 若 \(\mu\) 为域 \(\mathscr{A} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) 上的非负有限可加集函数
    1. \(\mu\) 是单调的，即当 \(A \subseteq B\), 必有 \(\mu(A) \leqslant \mu(B)\)
    2. \(\mu\) 是半可加的：若 \({\displaystyle A \subseteq \bigcup_{m=1}^{n} A_{m}}\)，则 \({\displaystyle \mu(A) \leqslant \sum_{m=1}^{n} \mu\left(A_{m}\right)}\)
    3. 为使 \(\mu\) 是 \(\sigma\) 可加的，当且仅当对每个递增序列 \(\left\{A_{n}\right\}\)，只要 \({\displaystyle \bigcup_{n \geqslant 1} A_{n} \in \mathscr{A}}\)，则有 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \uparrow \mu\left(A_{n}\right)=\mu\left(\bigcup_{n} A_{n}\right)}\)
    4. 若 \(\mu\) 为 \(\sigma\) 可加的，则对每个递减序列 \(\left\{A_{n}\right\}\)，只要 \({\displaystyle \bigcap_{n \geqslant 1} A_{n} \in \mathscr{A}}\)，且存在 \(n_{0}\) 使 \(\mu\left(A_{n_{0}}\right)<\infty\)，则有 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \downarrow \mu\left(A_{n}\right)=\mu\left(\bigcap_{n} A_{n}\right)}\)
  3. 若 \(\mu\) 为 \(\sigma\) 域上的测度，\(\left\{A_{n}\right\}\) 为 \(\mathscr{F}\) 中序列，则 \({\displaystyle \mu\left(\varliminf_{n \rightarrow \infty} A_{n}\right) \leqslant \varliminf_{n \rightarrow \infty} \mu\left(A_{n}\right)}\)
    1. 若对某个 \(n_{0}\)\({\displaystyle \mu\left(\bigcup_{n \geqslant n_{\mathrm{c}}} A_{n}\right)<\infty}\)，则 \({\displaystyle \mu\left(\varlimsup_{n \rightarrow \infty} A_{n}\right) \geqslant \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \mu\left(A_{n}\right)}\)
    2. 当 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}}\) 存在，且若对某个 \(n_{0}\) 有 \({\displaystyle \mu\left(\bigcup_{n \geqslant n_{0}} A_{n}\right)<\infty}\) 时，有 \({\displaystyle \mu\left(\lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \mu\left(A_{n}\right)}\) 成立
完备测度：设 \(\mu\) 为 \(\sigma\) 域 \(\mathscr{F}\) 上的测度，\(\mathscr{L}=\{A: A \in \mathscr{F}, \mu(A)=0\}\)．又令 \(\mathscr{N}=\{N \in \mathcal{P}(\Omega): \textsf{ 存在 } A \in \mathscr{L} \textsf{，使 } N \subseteq A\}\)，则 \(\mathscr{N}\) 中元素称为 \(\mu\) 可略集．若 \(\mathscr{N} \subseteq \mathscr{F}\)，则称 \(\mu\) 在 \(\mathscr{F}\) 上为完备的
1. 可略集：若 \((\Omega, \mathscr{F}, P)\) 为完备概率空间，则 \(\mathscr{N}\) 中的元素简称为可略集
2. 完备化扩张：若 \((\Omega, \mathscr{F}, \mu)\) 为测度空间，\(\mathscr{N}\) 为 \(\mu\) 可略集全体
  1. \(\overline{\mathscr{F}}=\{A \cup N: A \in \mathscr{F}, N \in \mathscr{N}\}\) 为 \(\sigma\) 域\(，\)\(\overline{F} \supseteq \mathscr{F}\)
  2. 在 \(\overline{\mathscr{F}}\) 上，令 \(\overline{\mu}(A \cup N)=\mu(A)\)，则 \(\overline{\mu}\) 是 \(\overline{\mathscr{F}}\) 上测度，\(\overline{\mu} \upharpoonright {\mathscr{F}}=\mu\)，且当 \(\mu\) 为概率测度时 \(\overline{\mu}\) 亦然
  3. \((\Omega, \overline{F}, \overline{\mu})\) 是完备测度空间，即 \(\overline{\mu}\) 在 \(\mathscr{F}\) 上是完备的
  称 \((\Omega, \overline{F}, \overline{\mu})\) 为 \((\Omega, \mathscr{F}, \mu)\) 的完备化扩张

1.1.4 广义测度

广义测度：可测空间 \((\Omega, \mathscr{F})\) 上取值于 \([-\infty,+\infty]\) 的集函数 \(\mu\) 若满足
1. \(\mu(\varnothing)=0\)
2. \({\displaystyle \mu\left(\sum_{i=1}^{\infty} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty} \mu\left(A_{i}\right)}\)
则 \(\mu\) 称为广义测度或变号测度（有时也将广义测度称为测度，将测度称为正测度）
1. 若 \((\Omega, \mathscr{F}, \lambda)\) 是测度空间，\(f\) 为其上的（准）可积函数，则 \({\displaystyle \mu(A)=\int_{A} f(\omega) \lambda(\mathrm{d} \omega)}\) 是一个广义测度
2. 若 \(\mu\) 为广义测度，则其必定是有限可加的，即 \(\mu(A+B)=\mu(A)+\mu(B)\)
3. 设 \(\mu\) 为 \((\Omega, \mathscr{F})\) 上的广义测度（按约定它只在 \((-\infty, \infty]\) 取值），则必存在 \(C \in \mathscr{F}\)，使 \({\displaystyle \mu(C)=\inf _{A \in \mathscr{F}} \mu(A)}\)
\(\text{Hahn}-\text{Jordan}\) 分解：若 \(\mu\) 为可测空间 \((\Omega, \mathscr{F})\) 上的广义测度，由 \(\text{Hahn}\) 分解定理规定的分解 \(\Omega=D+D'\) 称为空间 \(\Omega\) 关于 \(\mu\) 的 \(\text{Hahn}\) 分解，由 \(\text{Jordan}\) 分解定理规定的分解 \(\mu=\mu^{+}-\mu^{-}\) 称为 \(\mu\) 的 \(\text{Jordan}\) 分解，\(\mu^{+}, \mu^{-}\) 及 \(|\mu|\) 分别称为 \(\mu\) 的正变差、负变差和全变差．对广义测度，规定 \(\mu_{1} \vee \mu_{2}=\mu_{1}+\left(\mu_{2}-\mu_{1}\right)^{+}, \ \mu_{1} \wedge \mu_{2}=\mu_{1}-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)^{+}\)
1. \(\text{Hahn}\) 分解定理：设 \(\mu\) 为可测空间 \((\Omega, \mathscr{F})\) 上的广义测度
  1. 存在互不相交的 \(D^{+}, D^{-} \in \mathscr{F}\)，使 \(\Omega=D^{+}+D^{-}\)，且对每一可测集 \(A \subseteq D^{+}\left(D^{-}\right)\)，必有 \(\mu(A) \geqslant 0(\leqslant 0)\)
  2. 若 \(\Omega=\widetilde{D}^{+}+\widetilde{D}^{-}\) 且对每一可测集 \(A \subseteq \widetilde{D}^{+}(\widetilde{D}^{-})\) 有 \(\mu(A) \geqslant 0(\leqslant 0)\)，则 \(\widetilde{D}^{+} \Delta D^{+}(\widetilde{D}^{-} \triangle D^{-})\) 的可测子集均为 \(\mu\) 零集
2. \(\text{Jordan}\) 分解定理：若 \(\mu\) 为可测空间 \((\Omega, \mathscr{F})\) 上的广义测度，\(C \in \mathscr{F}\) 由 \({\displaystyle \mu(C)=\inf _{A \in \mathscr{F}} \mu(A)}\) 规定
  1. 对每个 \(A \in \mathscr{F}\)，若取 \(\mu^{+}(A)=\mu\left(A C'\right), \ \mu^{-}(A)=-\mu(A C)\)，则 \(\mu^{+}, \mu^{-}\) 都是 \((\Omega, \mathscr{F})\) 上的正测度，\(\mu=\mu^{+}-\mu^{-}\) 且
    
    \[ \begin{aligned} \mu^{+}(A)&=\sup \{\mu(B): B \subseteq A, B \in \mathscr{F}\} \\ \mu^{-}(A)&=\sup \{-\mu(B): B \subseteq A, B \in \mathscr{F}\} \end{aligned} \]
  2. 若 \(\mu=\mu_{2}-\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{1}\) 都是 \((\Omega, \mathscr{F})\) 上的正测度，则对每个 \(A \in \mathscr{F}\) 有 \(\mu^{+}(A) \leqslant \mu_{2}(A), \ \mu^{-}(A) \leqslant \mu_{1}(A)\)
设 \(f\) 为 \((\Omega, \mathscr{F})\) 的可测函数，若 \(f\) 关于 \(\mu\) 的变差 \(|\mu|\) 是可积的，即 \({\displaystyle \int|f| \mathrm{d}|\mu|<\infty}\)，则称 \(f\) 为关于广义测度 \(\mu\) 是可积的
\(\text{Lebesgue}\) 分解：若 \((\Omega, \mathscr{F})\) 为可测空间，\(\mu, \nu\) 为其上的 \(\sigma\) 有限测度，则可将 \(\nu\) 唯一地表为 \(\nu=\nu_{1}+\nu_{2}\)，其中 \(\nu_{1}, \nu_{2}\) 都是 \(\sigma\) 有限广义测度，且 \(\nu_{1} \ll \mu, \nu_{2} \perp \mu\)，上述分解又称为 \(\nu\) 关于 \(\mu\) 的 \(\text{Lebesgue}\) 分解
1. 设 \(f\) 为测度空间 \((\Omega, \mathscr{F}, \mu)\) 上的可测函数，若存在互不相交的可测集序列 \({\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n \geqslant 1}, \sum_{n \geqslant 1} A_{n}=\Omega}\)，使 \({\displaystyle \int_{A_{n}}|f| \mathrm{d} \mu<\infty}\)，则称 \(f\) 为 \(\sigma\) 可积的．此时若 \({\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \int_{A_{n}} f \mathrm{d} \mu}\) 有意义，则记为 \({\displaystyle \int f \mathrm{d} \mu}\)
  1. 设 \((\Omega, \mathscr{F}, P)\) 为概率空间，\(\nu\) 为其上的有限测度，则存在唯一的 \(f \in L^{1}(\Omega, \mathscr{F}, P)\) 及 \(P\) 可略集 \(N\) 使
    
    \[ \nu(A)=\int_{A} f(\omega) P(\mathrm{d} \omega)+\nu(A N), \ \forall A \in \mathscr{F} \]
  2. 设 \((\Omega, \mathscr{F})\) 为可测空间，\(\mu, \nu\) 为其上的 \(\sigma\) 有限广义测度（不取 \(-\infty\)），则必存在唯一的关于 \(|\mu|\) 为 \(\sigma\) 可积的 \(f\) 及 \(|\mu|\) 可略集 \(N\)，使 \({\displaystyle \nu(A)=\int_{A} f(\omega)|\mu|(\mathrm{d} \omega)+\nu(A N)}\)
2. 可测空间 \((\Omega, \mathscr{F})\) 上的广义测度 \(\mu, \nu\) 若对每个 \(A \in \mathscr{F}\)，由 \(|\mu|(A)=\) 0 可推出 \(\nu(A)=0\)，则称 \(\nu\) 关于 \(\mu\) 是绝对连续的，记为 \(\nu \ll \mu\)．若 \(\nu \ll \mu\)，\(\mu \ll \nu\) 同时成立，则记为 \(\nu \equiv \mu\) 或 \(\nu \sim \mu\)，称 \(\mu, \nu\) 为相互等价的．若存在 \(A \in \mathscr{F}\) 使 \(|\mu|(A)=0\)，\(|\nu|\left(A'\right)=0\)，则称 \(\mu, \nu\) 为相互奇异的，记为 \(\mu \perp \nu\)
\(\text{Randon}-\text{Nikodym}\) 定理：设 \((\Omega, \mathscr{F}, P)\) 为概率空间，\(\nu\) 为其上的广义测度且 \(\nu \ll P\)，则存在唯一随机变量 \(f, f^{-}\) 可积，使 \({\displaystyle \nu(A)=\int_{A} f(\omega) P(\mathrm{d} \omega), \ \forall A \in \mathscr{F}}\)，且此时 \(\nu\) 为正测度的充要条件是 \(f \geqslant 0\) \(\text{a.s.}\)．\(\nu\) 为有限测度的充要条件是 \(f\) 可积，\(\nu\) 为 \(\sigma\) 有限测度的充要条件是 \(f\) 有限．称 \(f\) 为 \(\nu\) 关于 \(P\) 的 \(\text{Randon}-\text{Nikodym}\) 导数，简称 \(R-N\) 导数，也记为 \(f=\dfrac{\mathrm{d} \nu}{\mathrm{dP}}\) 及 \(\nu=f \cdot P\)
1. 设 \((\Omega, \mathscr{F}, P)\) 为概率空间，\(\nu\) 为其上的有限测度，则下列条件等价
  1. \(\nu \ll P\)
  2. 存在 \(f \in L^{1}(\Omega, \mathscr{F}, P)\) 满足 \({\displaystyle \nu(A)=\int_{A} f(\omega) P(\mathrm{d} \omega), \ \forall A \in \mathscr{F}}\)
  3. 对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使当 \(P(A)<\delta\) 时，必有 \(\nu(A)<\varepsilon\)
2. 若 \(\mu, \nu\) 为可测空间 \((\Omega, F)\) 上的 \(\sigma\) 有限广义测度，\(\nu \ll \mu\)，则对每个 \(\nu\) 可积函数 \(f\)，有 \({\displaystyle \int_{A} f \mathrm{d} \nu=\int_{A} f \dfrac{\mathrm{d} \nu}{\mathrm{d} \mu} \mathrm{d} \mu, \ A \in \mathscr{F}}\)
3. 若 \(\mu, \nu\) 为可测空间 \((\Omega, \mathscr{F})\) 上的 \(\sigma\) 有限广义测度，\(\nu \ll \mu, \lambda \ll \nu\)，则 \(\lambda \ll \mu\)，且 \(\dfrac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} \mu}=\dfrac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} \nu} \dfrac{\mathrm{d} \nu}{\mathrm{d} \mu}, \ \text{ a.e. } \mu\)
4. 若 \((\Omega, \mathscr{F})\) 为可测空间，\(M\) 表示 \((\Omega, \mathscr{F})\) 上有限广义测度全体．对 \(\mu \in M\)，取 \(\|\mu\|=|\mu|(\Omega)\)，则 \(M\) 在此范数下为 \(\text{Banach}\) 空间，且为完备格

1.2 Lebesgue 测度

广义实数集：扩充实数集 \(\mathbf R\)，得到 \(\widehat{\mathbf{R}}=\mathbf{R} \cup \{+\infty, -\infty\}\)
1. 允许以 \(+\infty\) 或 \(-\infty\) 成为函数值，\(\pm \infty\) 也称为非真正的实数．通常的实数则称为有限实数，函数值都是有限实数的函数称为有限函数．因此有界函数必是有限函数，但反之不成立
2. \(+\infty\) 是全体有限实数的上确界，\(-\infty\) 是全体有限实数的下确界：\(-\infty<a<+\infty\)（\(a\) 为任何有限实数）．从而对于上（下）方无界的递增（减）数列 \(\left\{a_{n}\right\}\)，总有 \({\displaystyle \lim _{n \to \infty} a_{n}=+\infty \ (-\infty)}\)
3. 对于任何有限实数 \(a\) 有
  1. \(a+( \pm \infty)=( \pm \infty)+a=( \pm \infty)-a=a-(\mp \infty)= \pm \infty\)
  2. \(\dfrac{a}{ \pm \infty}=0\)
  3. \((\pm \infty)+( \pm \infty)= \pm \infty\)
4. 对任何有限实数 \(a>0\ (<0)\)
  1. \(a( \pm \infty)=( \pm \infty) a=\dfrac{ \pm \infty}{a}= \pm \infty \ (\mp \infty)\)
  2. \((+\infty)(+\infty)=(-\infty)(-\infty)=+\infty\)
  3. \((-\infty)(+\infty)=(+\infty)(-\infty)=-\infty\)
  4. \(0 \cdot( \pm \infty)=( \pm \infty) \cdot 0=0\)
  反之，\(( \pm \infty)-( \pm \infty),( \pm \infty)+(\mp \infty), \dfrac{ \pm \infty}{ \pm \infty}, \dfrac{\mp \infty}{ \pm \infty}, \dfrac{a}{0}, \dfrac{ \pm \infty}{0}\) 都认为是无意义的
一个定义在 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 上的实函数 \(f(x)\) 确定了 \(E\) 的一组子集 \(\{x: x \in E, f(x)>a\}\)（简记作 \(E[f>a]\)），其中 \(a\) 取遍一切有限实数．反之，\(f(x)\) 本身也由 \(E\) 的这组子集完全确定

1.2.1 外侧度与内测度

外测度：设 \(E\) 为 \(\widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 中任一点集，对于每一列覆盖 \(E\) 的开区间 \({\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty} I_{i} \supset E}\)，作出其的体积总和 \({\displaystyle \mu=\sum_{i=1}^{\infty}\left|I_{i}\right|}\)（\(\mu\) 可以等于 \(\infty\), 不同的区间列一般有不同的 \(\mu\)），所有这一切的 \(\mu\) 组成一个下方有界的数集，其下确界（完全由 \(E\) 确定）称为 \(E\) 的 \(\text{Lebesgue}\) 外测度，简称 \(L\) 外测度或外测度，记为 \(m^{*} E\)，即 \({\displaystyle m^{*} E=\inf _{E \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} I_{i}} \sum_{i=1}^{\infty}\left|I_{i}\right|}\)
1. 外测度的性质
  1. 非负性：\(m^{*} E \geqslant 0\)，当 \(E\) 为空集时，\(m^{*} E=0\)
  2. 单调性：设 \(A \subseteq B\)，则 \(m^{*} A \leqslant m^{*} B\)
  3. 次可数可加性：\({\displaystyle m^{*}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\right) \leqslant \sum_{i=1}^{\infty} m^{*} A_{i}}\)
2. 设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\)，则 \(m^{*} I=m^{*}(I \cap E)+m^{*}\left(I \cap E'\right)\) 式对 \(\widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 中任何开区间都成立的充要条件是对 \(\widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 中的任何点集 \(T\) 都有 \(m^{*} T=m^{*}(T \cap E)+m^{*}\left(T \cap E'\right)\)
内测度：设 \(E\) 为 \(\widehat{\mathbf{R}}^n\) 中的有界集，\(I\) 为任一包含 \(E\) 的开区间，则称 \(|I|-m^*(I-E)\) 为 \(E\) 的内测度，记为 \(m_{*} E\)
1. \(m_{*} E\) 与 \(I\) 的选择无关
2. \(0 \leqslant m_{*} E \leqslant m^{*} E\) 恒成立

1.2.2 可测性

\(L\) 可测集：设 \(E\) 为 \(\widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 中的点集，如果对任一点集 \(T\) 都有 \(m^{*} T=m^{*}(T \cap E)+m^{*}\left(T \cap E'\right)\)，则称 \(E\) 是 \(\text{Lebesgue}\) 可测的或 \(L\) 可测的．此时 \(E\) 的 \(L\) 外测度 \(m^{*} E\) 称为 \(E\) 的 \(\text{Lebesgue}\) 测度或 \(L\) 测度，记为 \(m E\)，记 \(L\) 可测集全体为 \(\mathscr{M}\)
1. 集合 \(E\) 可测的充要条件是对于任意 \(A \subseteq E, B \subseteq E'\) 总有 \(m^{*}(A \cup B)=m^{*} A+m^{*} B\)
2. \(S\) 可测的充要条件是 \(S'\) 可测
3. 设 \(S_{1}, S_{2}\) 可测，则 \(S_{1} \cup S_{2}\) 可测且当 \(S_{1} \cap S_{2}=\varnothing\) 时，对于任意 \(T\) 总有 \(m^{*}\left[T \cap\left(S_{1} \cup S_{2}\right)\right]=m^{*}\left(T \cap S_{1}\right)+m^{*}\left(T \cap S_{2}\right)\)
  1. 设 \(S_{i}\ (i=1,2, \cdots, n)\) 可测，则 \({\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n} S_{i}}\) 也可测，且当 \(S_{i} \cap S_{j}=\varnothing(i \neq j)\) 时，对于任意集合 \(T\) 总有 \({\displaystyle m^{*}\left(T \cap\left(\bigcup_{i=1}^{n} S_{i}\right)\right)=\sum_{i=1}^{n} m^{*}\left(T \cap S_{i}\right)}\)
  2. 设 \(S_{i}\ (i=1,2, \cdots, n)\) 可测，则 \({\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} S_{i}}\) 也可测
4. 设 \(\left\{S_{i}\right\}\) 是一列互不相交的可测集，则 \({\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty} S_{i}}\) 也是可测集且 \({\displaystyle m\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} S_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty} m S_{i}}\)
  1. 设 \(\left\{S_{i}\right\}\) 是一列可测集合，则 \({\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty} S_{i}}\) 也是可测集合
  2. 设 \(\left\{S_{i}\right\}\) 是一列可测集合，则 \({\displaystyle \bigcap_{i=1}^{\infty} S_{i}}\) 也是可测集合
5. 设 \(\left\{S_{i}\right\}\) 是一列递增的可测集合 \(S_{1} \subseteq S_{2} \subseteq \cdots \subseteq S_{n} \subseteq \cdots\)，令 \({\displaystyle S=\bigcup_{i=1}^{\infty} S_{i}=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}}\)，则 \({\displaystyle m S=\lim _{n \rightarrow \infty} m S_{n}}\)
  
  设 \(\left\{S_{i}\right\}\) 是一列递降的可测集合 \(S_{1} \supset S_{2} \supset \cdots \supset S_{n} \supset \cdots\)，令 \({\displaystyle S=\bigcap_{i=1}^{\infty} S_{i}=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}}\)，则 \(m S_{1}<\infty\) 时，\({\displaystyle m S=\lim _{n \rightarrow \infty} m S_{n}}\)
6. 正规性：若 \(E\) 是一可测集，则有
  1. 外正规性：\(m E=\inf \{m G: G\) 是开集\(, E \subseteq G\}\)
  2. 内正规性：\(m E=\sup \{m K: K\) 是紧集\(, K \subseteq E\}\)
利用外测度与内测度定义可测集

设 \(E\) 为 \(\widehat{\mathbf{R}}^n\) 中有界集，如果 \(m^* E=m_{*} E\)，则称 \(E\) 是 \(L\) 可测的．又设 \(E\) 是 \(\widehat{\mathbf{R}}^n\) 中的无界集，如果对任何开区间 \(I\)，有界集 \(E \cap I\) 都是 \(L\) 可测的，则称 \(E\) 是 \(L\) 可测的．对 \(L\) 可测集 \(E\)，不管它有界或无界，一律称 \(m^* E\) 为它的 \(L\) 测度，简记为 \(m E\)
凡 \(\text{Borel}\) 集都是 \(\text{Lebesgue}\) 可测集
1. 设 \(\Sigma\) 是 \(\widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 的一个子集族，则称所有包含 \(\Sigma\) 的 \(\sigma\) 域的交集（即包含 \(\Sigma\) 的最小 \(\sigma\) 域）为 \(\Sigma\) 产生的 \(\sigma\) 域
2. 由 \(\widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 中全体开集组成的子集族生成的 \(\sigma\) 域记为 \(\mathscr{B}_n\)，称为 \(\text{Borel}\) 域．当不至于混淆时可简记为 \(\mathscr{B}\)
3. 设集合 \(G\) 可表示为一列开集 \(\left\{G_{i}\right\}\) 之交集 \({\displaystyle G=\bigcap_{i=1}^{\infty} G_{i}}\)，则称 \(G\) 为 \(G_{\delta}\) 型集
  
  设集合 \(F\) 可表示为一列闭集 \(\left\{F_{i}\right\}\) 之并集 \({\displaystyle F=\bigcup_{i=1}^{\infty} F_{i}}\)，则称 \(F\) 为 \(F_{\sigma}\) 型集
  1. 设 \(E\) 是任一可测集，则一定存在 \(G_{\delta}\) 型集 \(G\) 使 \(G \supset E\) 且 \(m(G - E)=0\)
  2. 设 \(E\) 是任一可测集，则一定存在 \(F_{\sigma}\) 型集 \(F\) 使 \(F \subseteq E\) 且 \(m(E - F)=0\)

1.2.3 简单函数

设 \(f(x)\) 是定义在可测集 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 上的可测函数
1. 设 \(f(x)\) 是定义在可测集 \(E\) 上的实函数，下列任一条件都是 \(f(x)\) 在 \(E\) 上可测的充要条件
  1. 对任何有限实数 \(a, E[f \geqslant a]\) 都可测
  2. 对任何有限实数 \(a, E[f<a]\) 都可测
  3. 对任何有限实数 \(a, E[f \leqslant a]\) 都可测
  4. 对任何有限实数 \(a, b\ (a<b)\)，\(E[a \leqslant f<b]\) 都可测（但充分性要假定 \(f(x)\) 是有限函数）
2. 设 \(f(x)\) 在 \(E\) 上可测，则 \(E[f=a]\) 总可测，不论 \(a\) 是有限实数或 \(\pm \infty\)
3. 可测集 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 上的连续函数或单调函数是可测函数
简单函数：设 \(f(x)\) 的定义域 \(E\) 可分为有限个互不相交的可测集 \(E_{1}, E_{2}, \cdots, E_{s}, E={\displaystyle \bigcup_{i=1}^{j} E_{i}}\)，使得 \(f(x)\) 在每个 \(E_{i}\) 上都等于某常数 \(c_{i}\)，则称 \(f(x)\) 为简单函数
1. 设 \(f(x)\) 是可测集 \(E\) 上的可测函数，\(E_{1} \subseteq E\) 为 \(E\) 的可测子集，则 \(f(x)\) 看作定义在 \(E_{1}\) 上的函数时是 \(E_{1}\) 上的可测函数
  
  设 \(f(x)\) 定义在有限个可测集 \(E_{i} \ (1 \leqslant i \leqslant s)\) 的并集 \({\displaystyle E=\bigcup_{i=1}^{s} E_{i}}\) 上，且 \(f(x)\) 在每个 \(E_{i}\) 上都可测，则 \(f(x)\) 在 \(E\) 上也可测
2. 设 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 为 \(E\) 上的可测函数，则 \(E[f>g]\) 与 \(E[f \geqslant g]\) 都是可测集
3. 设 \(f(x), g(x)\) 在 \(E\) 上可测，则下列函数（假定它们在 \(E\) 上有意义）皆在 \(E\) 上可测
  1. \(f(x)+g(x)\)
  2. \(|f(x)|\)
  3. \(\dfrac{1}{f(x)}\)
  4. \(f(x) \cdot g(x)\)
4. 设 \(\left\{f_{n}(x)\right\}\) 是 \(E\) 上一列（或有限个）可测函数，则 \({\displaystyle \mu(x)=\inf _{n} f_{n}(x)}\) 与 \({\displaystyle \lambda(x)=\sup _{n} f_{n}(x)}\) 都在 \(E\) 上可测
5. 设 \(\left\{f_{n}(x)\right\}\) 是 \(E\) 上一列可测函数，则 \({\displaystyle F(x)=\varliminf_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x), G(x)=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)}\) 也在 \(E\) 上可测．特别地，当 \({\displaystyle F(x)=\lim _{n \to \infty} f_{n}(x)}\) 存在时，它也在 \(E\) 上可测
可测函数与简单函数的关系
1. 若 \(f(x)\) 在 \(E\) 上非负可测，则存在可测简单函数列 \(\left\{\varphi_{k}(x)\right\}\) 使得对任意 \(x \in E\) 都有 \(\varphi_{k}(x) \leqslant \varphi_{k+1}(x) \ (k=1,2, \cdots)\) 且 \({\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_{k}(x)=f(x)}\)
2. 若 \(f(x)\) 在 \(E\) 上可测，则存在可测简单函数列 \(\left\{\varphi_{k}(x)\right\}\) 使得对任意 \(x \in E\) 都有 \({\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_{k}(x)=f(x)}\)．若 \(f(x)\) 在 \(E\) 上有界，则上述收敛可以是一致的
设 \(\pi\) 是一个与集合 \(E\) 的点 \(x\) 有关的命题．若存在 \(E\) 的子集 \(M\)，满足 \(m M=0\) 使得 \(\pi\) 在 \(E - M\) 上恒成立，即 \(E - E[\pi\) 成立\(]\) 是零测度集，则称 \(\pi\) 在 \(E\) 上几乎处处成立，或说 \(\pi\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)
1. \(\text{Egorov}\) 定理：设 \(m E<\infty\)，\(\left\{f_{n}\right\}\) 是 \(E\) 上一列 \(\text{a.e.}\)收敛于一个 \(\text{a.e.}\)有限的函数 \(f\) 的可测函数．则对任意 \(\delta>0\)，存在子集 \(E_{\delta} \subseteq E\) 使 \(\left\{f_{n}\right\}\) 在 \(E_{\delta}\) 上一致收敛且 \(m\left(E - E_{\delta}\right)<\delta\)
2. \(\text{Lusin}\) 定理：设 \(f(x)\) 是 \(E\) 上 \(\text{a.e.}\)有限的可测函数，则对任意 \(\delta>0\)，存在闭子集 \(F_{\delta} \subseteq E\) 使 \(f(x)\) 在 \(F_{\delta}\) 上是连续函数且 \(m\left(E - F_{\delta}\right)<\delta\)
  1. \(\text{Lusin}\) 定理的逆命题也成立
  2. 设 \(f(x)\) 是 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}\) 上 \(\text{a.e.}\)有限的可测函数，则对任意 \(\delta>0\)，存在闭集 \(F \subseteq E\) 及整个 \(\widehat{\mathbf{R}}\) 上的连续函数 \(g(x)\)（\(F\) 及 \(g(x)\) 依赖于 \(\delta\)）使得在 \(F\) 上 \(g(x)=f(x)\) 且 \(m(E - F)<\delta\)．此外还可要求 \({\displaystyle \sup _{\widehat{\mathbf{R}}} g(x)=\sup _{F} f(x)}\) 及 \({\displaystyle \inf _{\widehat{\mathbf{R}}} g(x)=\inf _{F} f(x)}\)
3. 依测度收敛：设 \(\left\{f_{n}\right\}\) 是 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{q}\) 上的一列 \(\text{a.e.}\)有限的可测函数，若有 \(E\) 上 \(\text{a.e.}\)有限的可测函数 \(f(x)\) 有「对任意 \(\sigma>0\) 有 \({\displaystyle \lim _{n \to \infty} m E\left[\left|f_{n}-f\right| \geqslant \sigma\right]=0}\)」，则称函数列 \(\left\{f_{n}\right\}\) 依测度收敛于 \(f\)，或度量收敛于 \(f\)，记为 \(f_{n}(x) \Rightarrow f(x)\)
  1. \(\text{a.e.}\)收敛的函数列可能不依测度收敛，依测度收敛的函数列可能不 \(\text{a.e.}\)收敛
  2. \(\text{Riesz}\) 定理：设在 \(E\) 上 \(\left\{f_{n}\right\}\) 依测度收敛于 \(f\)，则存在子列 \(\left\{f_{n_{i}}\right\}\) 在 \(E\) 上 \(\text{a.e.}\)收敛于 \(f\)
  3. \(\text{Lebesgue}\) 定理：设 \(m E<\infty\)，\(\left\{f_{n}\right\}\) 是 \(E\) 上 \(\text{a.e.}\)有限的可测函数列且在 \(E\) 上 \(\text{a.e.}\)收敛于 \(\text{a.e.}\)有限的函数 \(f\)，则 \(f_{n}(x) \Rightarrow f(x)\)
  4. 设 \(f_{n}(x) \Rightarrow f(x), f_{n}(x) \Rightarrow g(x)\)，则 \(f(x)=g(x)\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)