2 微分与积分

2.1 微分

\(\text{Vitali}\) 覆盖定理：设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}\) 且 \(m^{*} E<\infty\)，\(\mathscr{V}\) 是 \(E\) 的 \(V-\)覆盖，则可选出区间列 \(\left\{I_{n}\right\} \subseteq \mathscr{T}\)，使得各 \(I_{n}\) 互不相交且 \({\displaystyle m\left(E - \bigcup I_{k}\right)=0}\) 成立
1. \(V-\)覆盖：设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}\)，\(\mathscr{V}=\{I\}\) 是长度为正的区间族．如果对于任意 \(x \in E\) 及任意 \(\varepsilon>0\)，存在区间 \(I_{x} \in \mathscr{V}\) 使 \(x \in I_{x}\) 且 \(m I_{x}<\varepsilon\)，则称 \(\mathscr{V}\) 依 \(\text{Vitali}\) 意义覆盖 \(E\)，简称 \(E\) 的 \(V-\)覆盖
2. 设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}\) 且 \(m^{*} E<\infty, \mathscr{V}\) 是 \(E\) 的 \(V-\)覆盖，则对任何 \(\varepsilon>0\)，可从 \(\mathscr{V}\) 中选出互不相交的有限个区间 \(I_{1}, I_{2}, \cdots, I_{n}\) 使得 \({\displaystyle m^{*}\left(E - \bigcup_{i=1}^{n} I_{i}\right)<\varepsilon}\)
单调函数的可微性
1. 列导数：设 \(f(x)\) 为 \([a, b]\) 上的有限函数，\(x_{0} \in[a, b]\)．若存在数列 \(h_{n} \rightarrow 0\left(h_{n} \neq 0\right)\) 使极限 \({\displaystyle \lim _{n \to \infty} \dfrac{f\left(x_{0}+h_{n}\right)-f\left(x_{0}\right)}{h_{n}}=\lambda}\) 存在（\(\lambda\) 可为 \(\pm \infty\)），则称 \(\lambda\) 为 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处的一个列导数，记为 \(D f\left(x_{0}\right)=\lambda\)
  1. 列导数 \(D f\left(x_{0}\right)\) 与数列 \(\left\{h_{n}\right\}\) 的取法有关，\(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 存在导数 \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\) 当且仅当 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处的一切列导数都相等
  2. 设 \(f(x)\) 为 \([a, b]\) 上的严格增函数
    1. 如果对于 \(E \subseteq[a, b]\) 中每一点 \(x\)，至少有一个列导数 \(D f(x) \leqslant p \ (p \geqslant 0)\)，则 \(m^{*} f(E) \leqslant p m^{*} E\)
    2. 如果对于 \(E \subseteq[a, b]\) 中每一点 \(x\)，至少有一个列导数 \(D f(x) \geqslant q \ (q \geqslant 0)\)，则 \(m^{*} f(E) \geqslant q m^{*} E\)
2. 设 \(f(x)\) 为 \([a, b]\) 上的单调函数
  1. \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上几乎处处存在导数 \(f^{\prime}(x)\)
  2. \(f^{\prime}(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积
  3. 如果 \(f(x)\) 为增函数，则有 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \leqslant f(b)-f(a)}\)

2.2 积分论

2.2.1 Lebesgue 积分

非负简单函数的 \(\text{Lebesgue}\) 积分：设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(\varphi(x)\) 为 \(E\) 上的一个非负简单函数，即 \(E\) 表示为有限个互不相交的可测集 \(E_{1}, E_{2}, \cdots, E_{k}\) 之并．在每个 \(E_{i}\) 上 \(\varphi(x)\) 取非负常数值 \(c_{i}\)，即 \({\displaystyle \varphi(x)=\sum_{i=1}^{k} c_{i} \chi_{E_{i}}(x)}\)，这里 \(\chi_{E_{i}}(x)\) 是 \(E_{i}\) 的特征函数．\(\varphi(x)\) 在 \(E\) 上的 \(\text{Lebesgue}\) 积分（简称 \(L\) 积分）定义为 \({\displaystyle \int_{E} \varphi(x) \mathrm{d} x=\sum_{i=1}^{k} c_{i} m E_{i}}\)
1. 设 \(\boldsymbol{E} \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(\varphi(x)\) 为 \(E\) 上的一个非负简单函数
  1. 对于任意的非负实数 \(c\) 都有 \({\displaystyle \int_{E} c \varphi(x) \mathrm{d} x=c \int_{E} \varphi(x) \mathrm{d} x}\)
  2. 设 \(A\) 和 \(B\) 是 \(E\) 的两个不相交的可测子集，则 \({\displaystyle \int_{A \cup B} \varphi(x) \mathrm{d} x=\int_{A} \varphi(x) \mathrm{d} x+\int_{B} \varphi(x) \mathrm{d} x}\)
  3. 设 \(\left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) 是 \(E\) 的一列可测子集，满足 ① \(A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \cdots \subseteq A_{n} \subseteq A_{n+1} \subseteq \cdots\)；② \({\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}=E}\)，则 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A_{n}} \varphi(x) \mathrm{d} x=\int_{E} \varphi(x) \mathrm{d} x}\)
2. 设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(\varphi(x)\) 和 \(\psi(x)\) 都是 \(E\) 上的非负简单函数
  1. \({\displaystyle \int_{E} \varphi(x) \mathrm{d} x+\int_{E} \psi(x) \mathrm{d} x=\int_{E}(\varphi(x)+\psi(x)) \mathrm{d} x}\)
  2. 对于任意的非负实数 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 都有 \({\displaystyle \alpha \int_{E} \varphi(x) \mathrm{d} x+\beta \int_{E} \psi(x) \mathrm{d} x=\int_{E}(\alpha \varphi(x)+\beta \psi(x)) \mathrm{d} x}\)
非负可测函数的 \(\text{Lebesgue}\) 积分：设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(f(x)\) 是 \(E\) 上的非负可测函数，\(f(x)\) 在 \(E\) 上的 \(\text{Lebesgue}\) 积分定义为

\[ \int_{E} f(x) \mathrm{d} x=\sup \left\{\int_{E} \varphi(x) \mathrm{d} x: \varphi(x) \textsf{ 是 } E \textsf{ 上的简单函数且 } x \in E \textsf{ 时，} 0 \leqslant \varphi(x) \leqslant f(x) \right\} \]

于是 \({\displaystyle 0 \leqslant \int_{E} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \infty}\)．若 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x<\infty}\)，则称 \(f(x)\) 在 \(E\) 上 \(\text{Lebesgue}\) 可积．设 \(A \subseteq E\) 为可测集，则 \(f(x)\) 在 \(A\) 上的 \(\text{Lebesgue}\) 积分定义为 \(f\) 在 \(A\) 上的限制 \(f \upharpoonright A\) 在 \(A\) 上的 \(\text{Lebesgue}\) 积分，即 \({\displaystyle \int_{A} f(x) \mathrm{d} x=\int_{E} f(x) \chi_{A}(x) \mathrm{d} x}\)
1. 设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(f(x)\) 为 \(E\) 上的一个非负可测函数
  1. 若 \(m E=0\)，则 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x=0}\)
  2. 若 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x=0}\)，则 \(f(x)=0\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)
  3. 若 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x<\infty}\)，则 \(0 \leqslant f(x)<\infty\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)
  4. 设 \(A\) 和 \(B\) 为 \(E\) 的两个互不相交的可测子集，则 \({\displaystyle \int_{A \cup B} f(x) \mathrm{d} x=\int_{A} f(x) \mathrm{d} x+\int_{B} f(x) \mathrm{d} x}\)
2. 设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(f(x)\) 和 \(g(x)\) 都是 \(E\) 上的非负可测函数
  1. 若 \(f(x) \leqslant g(x)\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)，则 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{E} g(x) \mathrm{d} x}\)；此时若 \(g(x)\) 在 \(E\) 上 \(L\) 可积，则 \(f(x)\) 也在 \(E\) 上 \(L\) 可积
  2. 若 \(f(x)=g(x)\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)，则 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x=\int_{E} g(x) \mathrm{d} x}\)；特别地，若 \(f(x)=0\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)，则 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x=0}\)
3. \(\text{Levi}\) 定理：设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(\left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) 为 \(E\) 上的一列非负可测函数．当 \(x \in E\) 时，对于任一正整数 \(n\) 有 \(f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x)\)，令 \({\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x), x \in E}\)，则 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{E} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{E} f(x) \mathrm{d} x}\)
4. 设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(f(x)\) 和 \(g(x)\) 都是 \(E\) 上的非负可测函数，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 都是非负实数，则 \({\displaystyle \int_{E}(\alpha f(x)+\beta g(x)) \mathrm{d} x=\alpha \int_{E} f(x) \mathrm{d} x+\beta \int_{E} g(x) \mathrm{d} x}\)．特别地，
  
  \[ \begin{aligned} \int_{E} \alpha f(x) \mathrm{d} x&=\alpha \int_{E} f(x) \mathrm{d} x \\ \int_{E}(f(x)+g(x)) \mathrm{d} x&=\int_{E} f(x) \mathrm{d} x+\int_{E} g(x) \mathrm{d} x \end{aligned} \]
5. 逐项积分定理：设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(\left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) 为 \(E\) 上的一列非负可测函数，则 \({\displaystyle \int_{E}\left(\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)\right) \mathrm{d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{E} f_{n}(x) \mathrm{d} x}\)
6. \(\text{Fatou}\) 引理：设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(\left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) 为 \(E\) 上的一列非负可测函数，则 \({\displaystyle \int_{E} \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{E} f_{n}(x) \mathrm{d} x}\)
一般可测函数的 \(\text{Lebesgue}\) 积分：设 \(f(x)\) 为可测集 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 上可测函数，\(f^{+}(x)=\max \{f(x), 0\}, f^{-}(x)=\max \{-f(x), 0\}\)，则 \(f^{+}\) 和 \(f^{-}\) 都是 \(E\) 上的非负可测函数．当 \(x \in E\) 时，\(f^{+}(x)-f^{-}(x)=f(x), f^{+}(x)+f^{-}(x)=|f(x)|\)．若 \({\displaystyle \int_{E} f^{+}(x) \mathrm{d} x}\) 和 \({\displaystyle \int_{E} f^{-}(x) \mathrm{d} x}\) 中至少一个有限，则称 \(f\) 在 \(E\) 上积分确定，称 \({\displaystyle \int_{E} f^{+}(x) \mathrm{d} x-\int_{E} f^{-}(x) \mathrm{d} x}\) 为 \(f\) 在 \(E\) 上的 \(\text{Lebesgue}\) 积分，记作 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x}\)．若 \({\displaystyle \int_{E} f^{+}(x) \mathrm{d} x}\) 和 \({\displaystyle \int_{E} f^{-}(x) \mathrm{d} x}\) 有限，则称 \(f\) 在 \(E\) 上 \(\text{Lebesgue}\) 可积，简称 \(L\) 可积．可测集 \(E\) 上 \(L\) 可积函数的全体集合记作 \(L(E)\)
1. 设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集
  1. 若 \(E \neq \varnothing\) 但 \(m E=0\)，则 \(E\) 上的任何实函数 \(f\) 都在 \(E\) 上 \(L\) 可积且 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x=0}\)
  2. 若 \(f \in L(E)\)，则 \(m E[|f|=\infty]=0\)，即 \(|f(x)|<\infty\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)
  3. 设 \(f\) 在 \(E\) 上积分确定，则 \(f\) 在 \(E\) 的任一可测子集 \(A\) 上也积分确定，又若 \(E=A \cup B\)，这里 \(A\) 和 \(B\) 都是 \(E\) 的可测子集且 \(A \cap B=\varnothing\)，则 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x=\int_{A} f(x) \mathrm{d} x+\int_{B} f(x) \mathrm{d} x}\)
  4. 设 \(f\) 在 \(E\) 上积分确定且 \(f(x)=g(x)\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)，则 \(g\) 也在 \(E\) 上积分确定且 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x=\int_{E} g(x) \mathrm{d} x}\)
  5. 设 \(f\) 和 \(g\) 都在 \(E\) 上积分确定且 \(f(x) \leqslant g(x)\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)，则 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{E} g(x) \mathrm{d} x}\)．特别地，若 \(m E<\infty\)，且 \(b \leqslant f(x) \leqslant B\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)，则 \({\displaystyle b m E \leqslant \int_{E} f(x) \mathrm{d} x \leqslant B m E}\)
  6. 设 \(f\) 在 \(E\) 上 \(L\) 可积，则 \(|f|\) 也在 \(E\) 上 \(L\) 可积且 \({\displaystyle \left|\int_{E} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{E}|f(x)| \mathrm{d} x}\)
  7. 设 \(f\) 是 \(E\) 上的可测函数，\(g\) 是 \(E\) 上的非负 \(L\) 可积函数且 \(|f(x)| \leqslant g(x)\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)，则 \(f\) 也在 \(E\) 上 \(L\) 可积，且有 \({\displaystyle \left|\int_{E} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{E}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{E} g(x) \mathrm{d} x}\) 成立
2. 设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(f\) 和 \(g\) 都是 \(E\) 上的 \(L\) 可积函数
  1. 对于任意的 \(\lambda \in \widehat{\mathbf{R}}\)，\(\lambda f\) 在 \(E\) 上 \(L\) 可积且 \({\displaystyle \int_{E} \lambda f(x) \mathrm{d} x=\lambda \int_{E} f(x) \mathrm{d} x}\)
  2. \(f+g\) 在 \(E\) 上 \(L\) 可积且 \({\displaystyle \int_{E}(f(x)+g(x)) \mathrm{d} x=\int_{E} f(x) \mathrm{d} x+\int_{E} g(x) \mathrm{d} x}\)
  3. 对于任意的 \(\alpha, \beta \in \widehat{\mathbf{R}}\)，\(\alpha f+\beta g\) 在 \(E\) 上 \(L\) 可积且 \({\displaystyle \int_{E}(\alpha f(x)+\beta g(x)) \mathrm{d} x=\alpha \int_{E} f(x) \mathrm{d} x+\beta \int_{E} g(x) \mathrm{d} x}\)
3. \(\text{Lebesgue}\) 积分的性质
  1. 积分的绝对连续性：设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(f \in L(E)\)．则对于任意的 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得对于任意的可测集 \(A \subseteq E\)，只要 \(m A<\delta\)，就有 \({\displaystyle \left|\int_{A} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{A}|f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon}\)
  2. 积分的可数可加性：设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\({\displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n}}\)，这里每个 \(E_{n}\) 都是可测集且 \(i \neq j\) 时 \(E_{i} \cap E_{j}=\varnothing\)，设 \(f\) 在 \(E\) 上积分确定，则 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{E_{n}} f(x) \mathrm{d} x}\)
4. \(\text{Lebesgue}\) 控制收敛定理：设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(\left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) 为 \(E\) 上的一列可测函数．\(F\) 是 \(E\) 上的非负 \(L\) 可积函数，如果对于任意的正整数 \(n\)，\(\left|f_{n}(x)\right| \leqslant F(x)\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\) 且 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)}\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\)，则有
  1. \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{E}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0}\)
  2. \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{E} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{E} f(x) \mathrm{d} x}\)
5. 设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(f\) 和 \(f_{n} \ (n=1,2,3, \cdots)\) 都是 \(E\) 上的可测函数，\(F\) 是 \(E\) 上的非负 \(L\) 可积函数．如果 \(\left|f_{n}(x)\right| \leqslant F(x)\) \(\text{a.e.}\)于 \(E\) 且 \(n \rightarrow \infty\) 时 \(f_{n} \Rightarrow f\)，则有
  1. \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{E}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0}\)
  2. \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{E} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{E} f(x) \mathrm{d} x}\)
6. 设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(\left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) 为 \(E\) 上的一列 \(L\) 可积函数．如果正项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{E}\left|f_{n}(x)\right| \mathrm{d} x}\) 收敛，则函数项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)}\) 在 \(E\) 上 \(\text{a.e.}\)收敛，其和函数在 \(E\) 上 \(L\) 可积，且 \({\displaystyle \int_{E}\left(\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)\right) \mathrm{d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{E} f_{n}(x) \mathrm{d} x}\)
7. 设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 为可测集，\(f(x, t)\) 是 \(E \times(a, b)\) 上的实函数．如果对于任意的 \(t \in(a, b), f(x, t)\) 作为 \(x\) 的函数在 \(E\) 上 \(L\) 可积，对于 \(\text{a.e.}\)的 \(x \in E, f(x, t)\) 作为 \(t\) 的函数在 \((a, b)\) 上可导且 \(\left|\dfrac{\partial}{\partial t} f(x, t)\right| \leqslant F(x)\)，这里 \(F\) 是 \(E\) 上某个非负 \(L\) 可积函数，则 \({\displaystyle \int_{E} f(x, t) \mathrm{d} x}\) 作为 \(t\) 的函数在 \((a, b)\) 上可导，且 \({\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{E} f(x, t) \mathrm{d} x=\int_{E} \dfrac{\partial}{\partial t} f(x, t) \mathrm{d} x}\)
\(\text{Riemann}\) 积分 \({\displaystyle (R) \int}\) 与 \(\text{Lebesgue}\) 积分 \({\displaystyle (L) \int}\) 的关系
1. 设 \(f(x)\) 是 \([a, b]\) 上有界函数，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上 \(R\) 可积的充要条件为 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上 \(\text{a.e.}\)连续
2. 设 \(f(x)\) 是 \([a, b]\) 上的一个有界函数，若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上 \(R\) 可积，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上 \(L\) 可积且 \({\displaystyle (L)\int_{[a, b]} f(x) \mathrm{d} x=(R) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\)
3. 设 \(f(x)\) 是 \([a, \infty)\) 上的一个非负实函数，若对于任意的 \(A>a\)，\(f(x)\) 在 \([a, A]\) 上 \(R\) 可积且 \(R\) 反常积分 \({\displaystyle (R) \int_{a}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x}\) 收敛，则 \(f(x)\) 在 \([a, \infty)\) 上 \(L\) 可积且 \({\displaystyle (L) \int_{[a, \infty)} f(x) \mathrm{d} x=(R) \int_{a}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x}\)
截面与下方图形
1. 截面：设 \(E\) 是 \(\widehat{\mathbf{R}}^{p+q}\) 中一点集，\(x_{0}\) 是 \(\widehat{\mathbf{R}}^{p}\) 中一固定点，则 \(\widehat{\mathbf{R}}^{q}\) 中的点集 \(\left\{y \in \widehat{\mathbf{R}}^{q}:\left(x_{0}, y\right) \in E\right\}\) 称为 \(E\) 关于 \(x_{0}\) 的截面，记为 \(E_{x_{0}}\)；也可定义 \(E\) 关于 \(y_{0} \in \widehat{\mathbf{R}}^{\prime}\) 的截面 \(\left\{x \in \widehat{\mathbf{R}}^{p}:\left(x, y_{0}\right) \in E\right\}=E_{y_{0}}\)
  1. 截面的性质
    1. 如果 \(A_{1} \subseteq A_{2}\)，则 \(\left(A_{1}\right)_{x} \subseteq \left(A_{2}\right)_{x}\)
    2. 如果 \(A_{1} \cap A_{2}=\varnothing\)，则 \(\left(A_{1}\right)_{x} \cap\left(A_{2}\right)_{x}=\varnothing\)
    3. \({\displaystyle \left(\bigcup_{i} A_{i}\right)_{x}=\bigcup_{i}\left(A_{i}\right)_{x},\left(\bigcap_{i} A_{i}\right)_{x}=\bigcap_{i}\left(A_{i}\right)_{x}}\)
    4. \(\left(A_{1} - A_{2}\right)_{x}=\left(A_{1}\right)_{x} -\left(A_{2}\right)_{x}\)
  2. 截面定理：设 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{p+q}\) 是可测集
    1. 对于 \(\widehat{\mathbf{R}}^{p}\) 中几乎所有的点 \(x\)，\(E_{x}\) 是 \(\widehat{\mathbf{R}}^{q}\) 中可测集
    2. \(m E_{x}\) 作为 \(x\) 的函数，它是 \(\widehat{\mathbf{R}}^{p}\) 上 \(\text{a.e.}\)有定义的可测函数
    3. \({\displaystyle m E=\int_{\widehat{\mathbf{R}}^{p}} m E_{x} \mathrm{~d} x}\)
  3. 设 \(A, B\) 分别是 \(\widehat{\mathbf{R}}^{p}, \widehat{\mathbf{R}}^{q}\) 中的可测集，则 \(A \times B\) 是 \(\widehat{\mathbf{R}}^{p+q}\) 中的可测集且 \(m(A \times B)=m A \cdot m B\)
2. 下方图形：设 \(f(x)\) 是 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 上的非负函数，则 \(\widehat{\mathbf{R}}^{n+1}\) 中的点集 \(\{(x, z): x \in E, 0 \leqslant z<f(x)\}\) 称为 \(f(x)\) 在 \(E\) 上的下方图形，记为 \(G(E, f)\)
非负可测函数积分的几何意义：设 \(f(x)\) 为可测集 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 上的非负函数，则有 ① \(f(x)\) 是 \(E\) 上的可测函数的充要条件是 \(G(E, f)\) 是 \(\widehat{\mathbf{R}}^{n+1}\) 中的可测集；② 当 \(f(x)\) 在 \(E\) 上可测时，\({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x=m G(E, f)}\)
1. 设 \(f(x)\) 为 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 上的可积函数，则 \({\displaystyle \int_{E} f(x) \mathrm{d} x=m G\left(E, f^{+}\right)-m G\left(E, f^{-}\right)}\)
2. 可测函数 \(f(x)\) 在 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{n}\) 上可积分的充要条件是 \(m G\left(E, f^{+}\right)\)与 \(m G\left(E, f^{-}\right)\) 都是有限的
3. \(\text{Fubini}\) 定理
  1. 设 \(f(P)=f(x, y)\) 在 \(A \times B \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{p+q}\)（\(A, B\) 分别为 \(\widehat{\mathbf{R}}^{p}\) 与 \(\widehat{\mathbf{R}}^{q}\) 中之可测集）上非负可测，则对 \(\text{a.e.}\)的 \(x \in A\)，\(f(x, y)\) 作为 \(y\) 的函数在 \(B\) 上可测，且 \({\displaystyle \int_{A \times B} f(P) \mathrm{d} P=\int_{A} \mathrm{d} x \int_{B} f(x, y) \mathrm{d} y}\)
  2. 设 \(f(P)=f(x, y)\) 在 \(A \times B \subseteq \widehat{\mathbf{R}}^{p+q}\) 上可积，则对 \(\text{a.e.}\)的 \(x \in A\)，\(f(x, y)\) 作为 \(y\) 的函数在 \(B\) 上可积．又 \({\displaystyle \int_{B} f(x, y) \mathrm{d} y}\) 作为 \(x\) 的函数在 \(A\) 上可积且 \({\displaystyle \int_{A \times B} f(P) \mathrm{d} P=\int_{A} \mathrm{d} x \int_{B} f(x, y) \mathrm{d} y}\)

2.2.2 不定积分

有界变差函数：设 \(f(x)\) 为 \([a, b]\) 上的有限函数，如果对于 \([a, b]\) 的一切划分 \(T\)，使 \({\displaystyle \left\{\sum_{i=1}^{n}\left|f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|\right\}}\) 成一有界数集，则称 \(f(x)\) 为 \([a, b]\) 上的有界变差函数（或囿变函数），并称该有界数集的上确界为 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的全变差，记为 \(\underset{a}{\stackrel{b}{\large \textbf{V} \normalsize}}(f)\)．用一个划分作成的和数 \({\displaystyle V=\sum_{i=1}^{n}\left|f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|}\) 称为 \(f(x)\) 在此划分下对应的变差
1. 弧长：设 \(C\) 是平面上一条连续弧，\(x=\varphi(t), y=\psi(t)\)，\(\alpha \leqslant t \leqslant \beta\) 是它的参数表示．\(\varphi(t), \psi(t)\) 为 \([\alpha, \beta]\) 上的连续函数，相应于区间 \([\alpha, \beta]\) 的任一划分 \(T: \alpha=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=\beta\) 得到 \(C\) 上一组分点 \(P_{i}=\left(\varphi\left(t_{i}\right), \psi\left(t_{i}\right)\right), i=0,1,2, \cdots, n\)．设依次联结各分点 \(P_{i}\) 所得内接折线的长为 \(L(T)\)，如果对于 \([\alpha, \beta]\) 的一切划分 \(T,\{L(T)\}\) 成一有界数集，则称 \(C\) 为可求长的，并称其上确界 \(L=\sup _{T} L(T)\) 为 \(C\) 之长
2. 连续弧 \(x=\varphi(t), y=\psi(t), \alpha \leqslant t \leqslant \beta\) 可求长的充要条件是 \(\varphi(t)\) 与 \(\psi(t)\) 都是 \([\alpha, \beta]\) 上的有界变差函数
3. 设 \(f(x), g(x)\) 在 \([a, b]\) 上都有界变差，则有
  1. 可加性：在其任一子区间 \(\left[a_{1}, b_{1}\right]\) 上有界变差．若 \(a<c<b\) 且 \(f(x)\) 分别在 \([a, c]\) 及 \([c, b]\) 上有界变差，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上也有界变差且 \(\underset{a}{\stackrel{b}{\large \textbf{V} \normalsize}}(f)=\underset{a}{\stackrel{c}{\large \textbf{V} \normalsize}}(f)+\underset{c}{\stackrel{b}{\large \textbf{V} \normalsize}}(f)\)
  2. \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上有界
  3. \(f(x) \pm g(x), f(x) g(x)\) 在 \([a, b]\) 上有界变差
4. \(\text{Jordan}\) 分解：在 \([a, b]\) 上的任一有界变差函数 \(f(x)\) 都可表示为两个增函数之差
5. 设 \(f(x)\) 为 \([a, b]\) 上的有界变差函数
  1. \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上几乎处处存在导数 \(f^{\prime}(x)\)
  2. \(f^{\prime}(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积
不定积分：设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上 \(L\) 可积，则 \([a, b]\) 上的函数 \({\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+C}\)（\(C\) 为任一常数）称为 \(f(x)\) 的一个不定积分
1. 绝对连续函数：设 \(F(x)\) 为 \([a, b]\) 上的有限函数，如果对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\) 使对 \([a, b]\) 中互不相交的任意有限个开区间 \(\left(a_{i}, b_{i}\right), i=1,2, \cdots, n\)，只要 \({\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(b_{i}-a_{i}\right)<\delta}\)，就有 \({\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left|F\left(b_{i}\right)-F\left(a_{i}\right)\right|<\varepsilon}\)，则称 \(F(x)\) 为 \([a, b]\) 上的绝对连续函数
  1. 设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，则其不定积分为绝对连续函数
  2. 设 \(F(x)\) 为 \([a, b]\) 上的绝对连续函数，且 \(F^{\prime}(x)=0\) \(\text{a.e.}\)于 \([a, b]\)，则 \(F(x)\) 等于一常数
  3. 设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，则存在绝对连续函数 \(F(x)\) 使 \(F^{\prime}(x)=f(x)\) \(\text{a.e.}\)于 \([a, b]\)（只需取 \({\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}\)）
2. 设 \(F(x)\) 是 \([a, b]\) 上的绝对连续函数，则 \(\text{a.e.}\)有定义的 \(F^{\prime}(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积且 \({\displaystyle F(x)=F(a)+\int_{a}^{x} F^{\prime}(t) \mathrm{d} t}\)．即 \(F(x)\) 总是 \([a, b]\) 上可积函数的不定积分

2.2.3 Stieltjes 积分

\(\text{Riemann}-\text{Stieltjes}\) 积分：设 \(f(x), \alpha(x)\) 为 \([a, b]\) 上的有限函数，对 \([a, b]\) 作一划分 \(T: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b\) 及属于此划分的任一组介点 \(x_{i-1} \leqslant \xi_{i} \leqslant x_{i} \ (i=1,2, \cdots, n)\) 作和数（称作 \(\text{Stieltjes}\) 和数，简称 \(S\) 和数）\({\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right)\left[\alpha\left(x_{i}\right)-\alpha\left(x_{i-1}\right)\right]}\)．如果当 \(\delta(T) \rightarrow 0\) 时，此和数总趋于一确定的有限极限（不论 \(T\) 分法如何，也不论介点取法如何），则称 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上关于 \(\alpha(x)\) 为 \(S\) 可积的，此极限叫做 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上关于 \(\alpha(x)\) 的 \(\text{Riemann}-\text{Stieltjes}\) 积分或 \(S\) 积分，记为 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} \alpha(x)}\)
1. \(S\) 积分的性质
  1. \({\displaystyle \int_{a}^{b}\left[f_{1}(x)+f_{2}(x)\right] \mathrm{d} \alpha(x)=\int_{a}^{b} f_{1}(x) \mathrm{d} \alpha(x)+\int_{a}^{b} f_{2}(x) \mathrm{d} \alpha(x)}\)
  2. \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}\left(\alpha_{1}(x)+\alpha_{2}(x)\right)=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} \alpha_{1}(x)+\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} \alpha_{2}(x)}\)
  3. 设 \(k, l\) 为常数，则 \({\displaystyle \int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d}(l \alpha(x))=k \cdot l \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} \alpha(x)}\)
  4. 设 \(a<c<b\)，则 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} \alpha(x)=\int_{a}' f(x) \mathrm{d} \alpha(x)+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} \alpha(x)}\)，设左、右边各积分都存在
2. \(S\) 积分存在的充分条件：设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，\(\alpha(x)\) 在 \([a, b]\) 上是有界变差的，则 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} \alpha(x)}\) 存在
3. 设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，\(\alpha(x)\) 处处可导且 \(\alpha^{\prime}(x)\) 又 \(R\) 可积，则 \({\displaystyle (S)\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} \alpha(x)=(R) \int_{a}^{b} f(x) \alpha^{\prime}(x) \mathrm{d} x}\)
4. 设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，\(g(x)\) 为绝对连续，则 \({\displaystyle (S)\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} g(x)=(L) \int_{a}^{b} f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x }\)
5. 设 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} \alpha(x)}\) 与 \({\displaystyle \int_{a}^{b} \alpha(x) \mathrm{d} f(x)}\) 中有一个存在，则另一个也存在且 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} \alpha(x)+\int_{a}^{b} \alpha(x) \mathrm{d} f(x)=f(x) \alpha(x)\bigg|_{a} ^{b}}\)
6. 设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上是有界变差函数，\(\alpha(x)\) 连续，则积分 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} \alpha(x)}\)
\(\text{Lebesgue}-\text{Stieltjes}\) 外测度：对点集 \(E \subseteq \widehat{\mathbf{R}}\)，非负实数 \({\displaystyle \inf_{E \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} I_i} \sum_{i=1}^{\infty} |I_{i}|}\) 称为 \(E\) 关于分布函数 \(\alpha(x)\) 的 \(L-S\) 外测度，记为 \(m_{\alpha}^{*} E\)
1. 权：设 \(\alpha(x)\) 为定义在 \(\widehat{\mathbf{R}}\) 上的有限增函数，对任意开区间 \(I=\left(x, x^{\prime}\right)\)，称 \(\alpha\left(x^{\prime}\right)-\alpha(x)\) 为区间 \(I\) 的权，记为 \(|I|=\alpha\left(x^{\prime}\right)-\alpha(x)\)
2. \(L-S\) 外测度与 \(L\) 外测度有同样的基本性质
  1. \(m_{\alpha}^{*} E \geqslant 0\)，且 \(m_{\alpha}^{*} \varnothing=0\)
  2. 单调性：设 \(A \subseteq B\)，则 \(m_{\alpha}^{*} A \leqslant m_{\alpha}^{*} B\)
  3. 次可数可加性：\({\displaystyle m_{\alpha}^{*}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}\right) \leqslant \sum_{i=1}^{\infty} m_{\alpha}^{*} E_{i}}\)
3. 在 \(L\) 测度中，区间 \(\langle a, b\rangle\) 不论开、闭或半开半闭都是 \(m_{\alpha}^{*}\langle a, b\rangle=b-a\)，但在一般 \(L-S\) 外测度中有
  1. \(m_{\alpha}^{*}(a, b)=\alpha(b-0)-\alpha(a+0)\)
  2. \(m_{\alpha}^{*}(a, b]=\alpha(b+0)-\alpha(a+0)\)
  3. \(m_{\alpha}^{*}[a, b]=\alpha(b+0)-\alpha(a-0)\)
  4. \(m_{\alpha}^{*}[a, b)=\alpha(b-0)-\alpha(a-0)\)
\(\text{Lebesgue}-\text{Stieltjes}\) 测度：若 \(F(x)\) 为 \(\mathbf{\widehat{R}}\) 上右连续且单调不减的有界函数，则在 \((\mathbf{\widehat{R}}, \mathscr{B})\) 必存在唯一的 \(\sigma\) 有限测度 \(\mu\)，使得 \(\mu((a, b])=F(b)-F(a), -\infty \leqslant a<b<+\infty\)，称为由 \(F\) 生成的 \(\text{Lebesgue}-\text{Stieltjes}\) 测度或 \(L-S\) 测度
1. 若 \((\Omega, \mathscr{F}, \mu)\) 为测度空间，\(Y\) 为 \((\Omega, \mathscr{F})\) 到可测空间 \((E, \mathscr{E})\) 的可测映射，\(\mu Y^{-1}\) 为 \(Y\) 在 \((E, \mathscr{E})\) 上的导出测度．又 \(f\) 是 \((E, \mathscr{E})\) 上的可测函数，则下式两端任一端存在（有限）必可推出另一端也存在（有限），且有
  
  \[ \int_{E} f(x) \mu Y^{-1}(\mathrm{d} x)=\int_{\Omega} f(Y(\omega)) \mu(\mathrm{d} \omega) \]
2. 若 \(f(x)\) 为有界区间 \([a, b]\) 上的连续函数，\(F\) 为 \([a, b]\) 上的有限 \(L-S\) 测度，则
  
  \[ \int_{(a, b]} f(x) \mathrm{d} F(x)=\lim _{\max \left|\Delta x_{i}\right| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right)\left[F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)\right] \]
  
  其中 \(a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b, \xi_{i} \in (x_{i-1}, x_{i}], 1 \leqslant i \leqslant n\)，即此时 \(L-S\) 积分与 \(\text{Riemann}-\text{Stieltjes}\) 积分是一致的