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5 随机过程

  1. 随机过程：即一族随机变量 \(\{X(t), t \in T\}\)，其中属于某个指标集 \(T\) 的 \(t\) 是参数，\(T\) 是参数集

    1. 随机变量 \(X(t): \Omega \to \mathbf{R}\) 随 \(t \in T\) 与 \(\omega \in \Omega\) 变化，因此也可记作 \(X(t, \omega)\)
    2. 当 \(T = \mathbf{N}\) 时，称为随机序列；若 \(T\) 至多可数时，称为离散参数过程；若 \(T\) 是高维向量，称为随机场
    3. 数字特征与有限维分布
      1. 过程的均值函数 \(\mu_{X}(t) = \mathrm{E}[X(t)]\)
      2. 过程的自相关函数：\(r_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right) = \mathrm{E}\left[X\left(t_{1}\right) X\left(t_{2}\right)\right]\)
      3. 过程的协方差函数：\(R_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right) = \operatorname{Cov}\left(X\left(t_{1}\right), X\left(t_{2}\right)\right)=\mathrm{E}\left[\left(X\left(t_{1}\right)-\right. \left.\mu_{X}\left(t_{1}\right)\right)\left(X\left(t_{2}\right)-\mu_{X}\left(t_{2}\right)\right)\right]\)

      4. 随机过程的有限维分布族 \(F_{t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right), t_{1}, \cdots, t_{n} \in T\)，其中

        \[ F_{t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=P\left[X\left(t_{1}\right) \leqslant x_{1}, \cdots, X\left(t_{n}\right) \leqslant x_{n}\right] \]

  2. 平稳过程：设 \(T\) 对加法运算封闭

    1. 若随机过程 \(X(t)\) 对任意 \(t_{1}, \cdots, t_{n} \in T\) 和任何 \(h\) 有 \(\left(X\left(t_{1}+h\right), \cdots, X\left(t_{n}+h\right)\right) \stackrel{d}{=}\left(X\left(t_{1}\right), \cdots, X\left(t_{n}\right)\right)\) 则称为严格平稳的
      1. 若随机过程的所有二阶矩存在且 \(\mathrm{E} X(t)=m\) 及 \(R_{X}(t, s)\) 只与时间差 \(t-s\) 有关，则称为宽平稳的或二阶矩平稳的
      2. 设 \(X=\{X(t), t \in T\}\) 为平稳过程，如果存在正常数 \(\kappa\) 使得 \(X(t+\kappa)=X(t)\)，则称 \(X\) 为周期平稳过程，\(\kappa\) 为周期

    2. 设 \(X=\{X(t),-\infty<t<\infty\}\) 为平稳过程（或序列），则若

      \[ \overline{X}=\lim _{T \rightarrow \infty} \dfrac{1}{2 T} \int_{-T}^{T} X(t) \mathrm d t \stackrel{L_{2}}{\longrightarrow} m \textsf{ 或 } \overline{X}=\lim _{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{2 N+1} \sum_{k=-N}^{N} X(k) \stackrel{L_{2}}{\longrightarrow} m \]

      则称 \(X\) 的均值有遍历性；若

      \[ \begin{aligned} & \widehat{R}(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty} \dfrac{1}{2 T} \int_{-T}^{T}(X(t)-m)(X(t+\tau)-m) \mathrm d t \stackrel{L_{2}}{\longrightarrow} R(\tau) \\ \textsf{或 } & \widehat{R}(\tau)=\lim _{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{2 N+1} \sum_{k=1}^{n}\left(X(k+\tau)-\widehat{m}_{n}\right)\left(X(k)-\widehat{m}_{n}\right) \stackrel{L_{2}}{\longrightarrow} R(\tau) \end{aligned} \]

      则称 \(X\) 的协方差函数有遍历性；若随机过程（或序列）的均值和协方差函数都有遍历性，则称此随机过程有遍历性

      1. 均值遍历性定理
        1. 设 \(X=\left\{X_{n}, n=0, \pm 1, \cdots\right\}\) 为平稳序列，其协方差函数为 \(R(\tau)\)，则 \(X\) 有遍历性当且仅当 \({\displaystyle \lim _{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{N} \sum_{\tau=0}^{N-1} R(\tau)=0}\)
        2. 若 \(X=\{X(t),-\infty<t<\infty\}\) 为平稳过程，则 \(X\) 有遍历性当且仅当 \({\displaystyle \lim _{T \rightarrow \infty} \dfrac{1}{T} \int_{0}^{2 T}\left(1-\dfrac{\tau}{2 T}\right) R(\tau) d \tau=0}\)

      2. 协方差函数遍历性定理：设 \(X=\{X(t),-\infty<t<\infty\}\) 为平稳过程，\(Y_{\tau}=\left\{Y_{\tau}(t),-\infty<t<\infty\right\}\)，其中 \(Y_{\tau}(t)=(X(t+\tau)-m)(X(t)-m)\)，则对给定的 \(\tau\)，\(X\) 的协方差函数 \(R(\tau)\) 有遍历性当且仅当

        \[ \lim _{T \rightarrow \infty} \dfrac{1}{T} \int_{0}^{2 T}\left(1-\dfrac{\tau_{1}}{2 T}\right)\left(B\left(\tau_{1}\right)-R^{2}(\tau)\right) \mathrm d \tau_{1}=0 \]

        其中 \(B\left(\tau_{1}\right)=E X\left(t+\tau+\tau_{1}\right) X\left(t+\tau_{1}\right) X(t+\tau) X(t)\)

  3. 独立增量过程：若对任意 \(t_{1}<t_{2} \cdots<t_{n}\)，\(t_{1}, \cdots, t_{n} \in T\)，\(X\left(t_{2}\right)- X\left(t_{1}\right), X\left(t_{3}\right)-X\left(t_{2}\right), \cdots, X\left(t_{n}\right)-X\left(t_{n-1}\right)\) 相互独立，则称 \(X(t)\) 为独立增量过程．若进一步有对任意 \(t_{1}, t_{2}\)，\(X\left(t_{1}+h\right)-X\left(t_{1}\right) \stackrel{d}{=} X\left(t_{2}+h\right)-X\left(t_{2}\right)\)，则过程称为有平稳独立增量的过程

5.1 Poisson 过程

  1. \(\text{Poisson}\) 过程：若整数值随机过程 \(\{N(t), t \geqslant 0\}\) 有

    1. \(N(0)=0\)
    2. \(N(t)\) 是独立增量过程
    3. 对任何 \(t>0\)，\(s \geqslant 0\)，\(N(s+t)-N(t)\) 服从参数为 \(\lambda t\) 的 \(\text{Poisson}\) 分布，即 \(P[N(s+t)-N(t)=k]=\dfrac{(\lambda t)^{k} \mathrm{e}^{-\lambda t}}{k!}\)

    则称 \(N(t)\) 是强度为 \(\lambda>0\) 的 \(\text{Poisson}\) 过程

  2. 记 \([0, \infty)\) 为观察过程的时间轴，\(0\) 为起始时刻，\(N(b)-N(a)\) 代表时间区间 \((a, b]\) 上发生的事件数，若有如下假定

    1. 在不相交区间中事件发生的数目相互独立
    2. 对任何时刻 \(t\) 和正数 \(h\)，增量 \(N(t+h)-N(t)\) 的分布只依赖于区间长度 \(h\) 而不依赖时刻 \(t\)
    3. 存在正常数 \(\lambda\)，当 \(h \to 0\) 时，使在长度为 \(h\) 的小区间中事件至少发生一次的概率 \(P[N(t+h)-N(t) \geqslant 1]=\lambda h+o(h)\)
    4. 在小区间 \((t, t+h]\) 发生两个及以上事件的概率为 \(o(h)\)，即可以忽略不计

    则过程 \(N(t)\) 为 \(\text{Poisson}\) 过程

  3. 在 \(\text{Poisson}\) 过程中，记第 \(n-1\) 次与第 \(n\) 次事件间的间隔时间记作 \(X_{n}\)，\(W_{n}={\displaystyle \sum_{i=1}^{n} X_{i}}\) 为第 \(n\) 次事件的到达或等待时间

    1. \(X_{n}\) 是均值为 \(\dfrac{1}{\lambda}\) 的独立同分布的指数随机变量
    2. \(W_{n}\) 服从参数为 \(n\) 和 \(\lambda\) 的 \(\Gamma\) 分布
    3. \(W_{1}, \cdots, W_{n}\) 的联合密度为 \({\displaystyle f_{W_{1}, \cdots, W_{n} \mid N(t)=n}\left(w_{1}, \cdots, w_{n} \mid n\right)=\dfrac{n!}{t^{n}}, \ 0<w_{1}<\cdots<w_{n} \leqslant t}\)

5.2 Markov 过程

5.2.1 离散 Markov 链

  1. 若对任何一列状态 \(i_{0}, i_{1}, \cdots, i_{n-1}, i, j\) 及对任何 \(n \geqslant 0\)，随机过程 \(\left\{X_{n}, n \geqslant 0\right\}\) 满足 \(\text{Markov}\) 性质

    \[ P\left[X_{n+1}=j \mid X_{0}=i_{0}, \cdots, X_{n-1}=i_{n-1}, X_{n}=i\right]=P\left[X_{n+1}=j \mid X_{n}=i\right] \]

    则称 \(X_{n}\) 为离散时间 \(\text{Markov}\) 链．称 \(P[X_{n+1}=j \mid X_{n}=i]\) 为 \(\text{Markov}\) 链的一步转移概率，记作 \(P_{i j}^{n, n+1}\)

    1. 当 \(P_{i j}^{n, n+1}\) 与 \(n\) 无关时称该 \(\text{Markov}\) 链有平稳转移概率，记为 \(P_{i j}\)，称作时间齐性 \(\text{Markov}\) 链或时齐 \(\text{Markov}\) 链

      1. 对任意 \(i, j \geqslant 0\) 有 \(P_{i j} \geqslant 0\) 且 \({\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty} P_{i j}=1}\)
      2. 称 \(\boldsymbol{P}^{(n)}=[P_{i j}^{(n)}]\) 为 \(\text{Markov}\) 链的 \(n\) 步转移概率矩阵
        1. 设 \(\boldsymbol{P}^{(1)} = \boldsymbol{P}\)，则 \(\boldsymbol{P}^{(n)} = \boldsymbol{P}^{n}\)
        2. 约定 \(P_{i i}^{(0)}=1\)，当 \(j \neq i\) 时 \(P_{i j}^{(0)}=0\)，则 \({\displaystyle P_{i j}^{(n)}=\sum_{k=0}^{\infty} P_{i k} P_{k j}^{(n-1)}}\)

    2. 若 \(n \geqslant 0\) 蕴含 \(P_{i j}^{(n)}>0\)，则称状态 \(j\) 是从状态 \(i\) 可达的，记作 \(i \rightarrow j\)；互相可达的状态 \(i\) 和 \(j\) 称为互达的，记作 \(i \leftrightarrow j\)

      1. 互达性是等价关系
      2. 若在互达性下 \(\text{Markov}\) 链的所有状态都居于同一等价类，则就称这个 \(\text{Markov}\) 链是不可约的
    3. 设 \(i\) 为 \(\text{Markov}\) 链的一个状态，使 \(P_{i i}^{(n)}>0\) 的所有正整数 \(n \ (n \geqslant 1)\) 的最大公约数称作是状态 \(i\) 的周期，记作 \(d(i)\)
      1. 若对所有 \(n \geqslant 1\)，都有 \(P_{i i}^{(n)}=0\)，则约定周期为 \(\infty\)；\(d(i)=1\) 的状态 \(i\) 则称为是非周期的
      2. 若 \(i \leftrightarrow j\)，则 \(d(i)=d(j)\)
      3. 若状态 \(i\) 有周期 \(d(i)\)，则存在整数 \(N\)，使得对所有的 \(n>N\) 恒有 \(P_{i i}^{(n d(i))}>0\)
    4. 设 \(\boldsymbol{P}\) 为不可约、非周期的有限状态 \(\text{Markov}\) 链的转移概率阵，则存在 \(N\)，使得当 \(n \geqslant N\) 时，\(\boldsymbol{P}^{(n)}\) 的所有元素都非零

  2. 定义 \(f_{i j}^{(n)}\)，记从 \(i\) 出发在 \(n\) 步转移时首次到达 \(j\) 的概率

    \[ \begin{aligned} f_{i j}^{(0)}&=0 \\ f_{i j}^{(n)}&=P[X_{n}=j, X_{k} \neq j, k=1, \cdots, n-1 \mid X_{0}=i] \end{aligned} \]

    若 \(f_{i i}=1\)，称状态 \(i\) 是常返的，称非常返状态为瞬过的

    1. 状态 \(i\) 常返当且仅当 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} P_{i i}^{(n)}=\infty}\)，状态 \(i\) 瞬过当且仅当 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} P_{i i}^{(n)}<\infty}\)
      1. 如果 \(i\) 是常返的，且 \(i \leftrightarrow j\)，则 \(j\) 也是常返的
      2. 常返状态 \(i\) 当且仅当 \(\mu_{i}=\infty\) 时称为零常返的，而当且仅当 \(\mu_{i}<\infty\) 时称为正常返的
    2. 设常返状态 \(i\) 的常返时间 \(T_{i} = \min \left\{n \geqslant 1: X_{n}=i\right\}\)，设 \({\displaystyle \mu_{i}=\sum_{n=1}^{\infty} n f_{i i}^{(n)}}\)，其中 \(f_{i i}\) 是 \(T_{i}\) 的条件概率分布
      1. \(\text{Markov}\) 链的基本极限定理
        1. 若状态 \(i\) 是瞬过的或者是零常返的，则 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P_{i i}^{(n)}=0}\)
        2. 若状态 \(i\) 是周期为 \(d\) 的常返状态，则 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P_{i i}^{(n d)}=\dfrac{d}{\mu_{i}}}\)
        3. 当状态 \(i\) 是非周期的正常返状态，则 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P_{i i}^{(n)}=\dfrac{1}{\mu_{i}}}\)
      2. 如果状态 \(i\) 是遍历的，则对所有 \(i \rightarrow j\) 有 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P_{j i}^{(n)}=\lim _{n \rightarrow \infty} P_{i i}^{(n)}=\dfrac{1}{\mu_{i}}}\)

  3. \(\text{Markov}\) 链有转移概率阵 \(\boldsymbol{P}=\left[P_{i j}\right]\)，概率分布 \(\left\{\pi_{i}, i \geqslant 0\right\}\) 如果满足 \({\displaystyle \pi_{j}=\sum_{i=0}^{\infty} \pi_{i} P_{i j}}\)，则称为这一 \(\text{Markov}\) 链的平稳分布

    1. 如果过程的初始状态 \(X_{0}\) 有平稳概率分布 \(\pi=\left\{\pi_{j}, j \geqslant 0\right\}\)，则 \(P[X_{n}=j]=\pi_{j}\)
    2. 若不可约 \(\text{Markov}\) 链中的所有状态都是遍历的，则对所有 \(i, j\)，极限 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P_{i j}^{(n)}=\pi_{j}}\) 存在且 \(\pi=\left\{\pi_{j}, j \geqslant 0\right\}\) 为平稳分布，即 \({\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty} \pi_{j}=1, \pi_{j}>0}\) 且 \({\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} \pi_{i} P_{i j}=\pi_{j}}\)．反之，若不可约 \(\text{Markov}\) 链只存在一个平稳分布，且该 \(\text{Markov}\) 链的所有状态都是遍历的，则该平稳分布就是此 \(\text{Markov}\) 链的极限分布，即对任何 \(i\) 有 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P_{i j}^{(n)}=\pi_{j}}\)

5.2.2 连续 Markov 链

  1. 若对所有 \(s, t \geqslant 0\) 和任何非负整数 \(i, j, x(u), 0 \leqslant u \leqslant s\)，随机过程 \(X(t), t \geqslant 0\) 满足

    \[ P[X(t+s) =j \mid X(s)=i, X(x)=x(u), 0 \leqslant u<s]=P[X(t+s)=j \mid X(s)=i] \]

    则称为连续时间 \(\text{Markov}\) 链．其转移概率 \(P_{i j}(i)\) 和 \(p_{i}\) 完全确定了过程的所有联合分布

  2. 函数 \(P_{i j}(t)\) 能够作为无瞬即转移的 \(\text{Markov}\) 过程的转移概率函数当且仅当

    1. \(P_{i j}(t) \geqslant 0\) 且 \({\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty} P_{i j}(t)=1}\)
    2. \(\text{Chapman}-\text{Kolmogrov}\) 方程：\({\displaystyle P_{i j}(t+\tau) = \sum_{k=0}^{\infty} P_{i k}(\tau) P_{k j}(t)}\)
    3. 对任何状态 \(i\) 都有 \({\displaystyle \lim _{\tau \to 0} P[X(t+\tau)=i \mid X(t)=i]=\lim _{\tau \to 0} P_{i i}(\tau)=1}\)

5.3 Brown 过程

  1. 设 \(\{X(t), t \geqslant 0\}\) 是随机过程，如果 \(X(t)\) 满足以下条件

    1. \(X(0)=0\)
    2. 随机过程 \(X\) 有平稳独立增量
    3. 对每个 \(t>0\)（或 \(t \in \mathbf{R}\)），\(X(t) \sim N\left(0, c^{2} t\right)\)

    称为 \(\text{Brown}\) 运动，若 \(c=1\)，则称为标准 \(\text{Brown}\) 运动．如果 \(c \neq 1\)，则 \(\{X(t) / c, t \geqslant 0\}\) 是标准 \(\text{Brown}\) 运动

    1. \(f_{t_{1}, \cdots, t_{n}}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=f_{t_{1}}\left(x_{1}\right) f_{t_{2}-t_{1}}\left(x_{2}-x_{1}\right) \cdots f_{t_{n}-t_{n-1}}\left(x_{n}-x_{n-1}\right)\)
    2. 若 \(W(t)\) 为 \(\text{Brown}\) 运动，\(a\) 和 \(c\) 为两个正常数，则 \(\{W(t)-W(a): t \geqslant a\}\) 和 \(\{W(c t) / \sqrt{c}, t \geqslant 0\}\) 也是 \(\text{Brown}\) 运动
    3. \(\text{Brown}\) 运动是 \(\text{Gauss}\) 过程，即对任意 \(k \in \mathbf Z_+\) 以及 \(t_{1} \leqslant t_{2} \leqslant \cdots \leqslant t_{k}\)，联合分布 \(\left(X\left(t_{1}\right), X\left(t_{2}\right), \cdots, X\left(t_{k}\right)\right)\) 为 \(k\) 维正态分布

  2. 设 \(\{W(t), t \geqslant 0\}\) 为 \(\text{Brown}\) 运动，令 \(B(t)=W(t)-t W(1), \ 0 \leqslant t \leqslant 1\)，则随机过程 \(B=\{B(t): 0 \leqslant t \leqslant 1\}\) 称为 \(\text{Brown}\) 桥过程

    1. 对任意 \(0 \leqslant s \leqslant t \leqslant 1\) 有 \(\mathrm{E} B(t)=0\) 且 \(\mathrm{E}B(s) B(t) = s(1-t)\)
    2. \(\text{Brown}\) 桥过程也是 \(\text{Gauss}\) 过程
  3. \(\text{Brown}\) 运动相关的随机变量
    1. \(\text{Brown}\) 运动首次到达 \(a\) 的时刻 \(T_{a}\)：密度函数 \(p_{T a}(t)=\dfrac{a}{\sqrt{2 \pi t^{3}}} \mathrm{e}^{-\frac{a^{2}}{2 t}}\)
    2. \(\text{Brown}\) 运动在 \([0, t]\) 上的最大值 \({\displaystyle M(t) = \max _{0 \leqslant s \leqslant t} W(s)}\)：密度函数 \(p_{M(t)}(a)=\left\{\begin{aligned} & \dfrac{2}{\sqrt{2 \pi t}} \mathrm{e}^{-\frac{a^{2}}{2 t}}, & a \geqslant 0 \\ & 0, & a < 0 \end{aligned}\right.\)

5.4 鞅过程

5.4.1 鞅与鞅差

  1. 若随机过程 \(\left\{M_{n}, n=0,1, \cdots\right\}\) 满足以下条件

    1. \(E\left|M_{n}\right|<\infty\)
    2. \(E\left(M_{n+1} \mid M_{0}, M_{1}, \cdots, M_{n}\right)=M_{n}\)

    则称 \(M_{n}\) 为鞅序列，简称为鞅（列）

    1. 设 \(\left\{M_{n}, n=0,1, \cdots\right\}\) 和 \(X_{n}, n=0,1, \cdots\) 为两个随机过程，若对 \(n=0,1, \cdots\) 有

      1. \(E\left|M_{n}\right|<\infty\)
      2. \(E\left(M_{n+1} \mid X_{0}, X_{1}, \cdots, X_{n}\right)=M_{n}\)

      则称 \(M_{n}\) 关于 \(X_{n}\) 为鞅

    2. \(\mathrm{E}\left(M_{n+1} \mid \mathcal{F}_{n}\right)=M_{n}, \mathrm{D}\left(M_{n}\right) \geqslant \mathrm{D}\left(M_{n-1}\right)\)

  2. 设 \(M_{n}\) 为鞅，则称 \(\left\{Z_{n}=M_{n}-M_{n-1}, n=1, \cdots\right\}\) 为鞅差（序列）

    1. \(\mathrm{E}\left(Z_{n} \mid \mathcal{F}_{n-1}\right)=\mathrm{E}\left(\left(M_{n}-M_{n-1}\right) \mid \mathcal{F}_{n-1}\right)=0\)
    2. \(\operatorname{Cov}\left(Z_{i}, Z_{j}\right)=0\)，其中 \(i \neq j\)
    3. 若 \(\{Z_{n}, n \geqslant 0\}\) 为零均值独立随机变量序列，则 \(\left\{Z_{n}, n \geqslant 0\right\}\) 关于 \(\left\{Z_{n}\right\}\) 为鞅差序列

5.4.2 下鞅与上鞅

  1. 设 \(\left\{M_{n}, n \geqslant 0\right\}\) 为随机过程，\(\mathcal{F}_{n}, n \geqslant 0\) 为单调上升的信息集

    1. 若 \(\mathrm{E}\left(M_{n+1} \mid \mathcal{F}_{n}\right) \geqslant M_{n}\)，则称 \(\left\{M_{n}, n \geqslant 0\right\}\) 关于 \(\mathcal{F}_{n}, n \geqslant 0\) 为下鞅序列，简称 \(\left\{M_{n}\right\}\) 为下鞅
    2. 若 \(\mathrm{E}\left(M_{n+1} \mid \mathcal{F}_{n}\right) \leqslant M_{n}\)，则称 \(\left\{M_{n}, n \geqslant 0\right\}\) 关于 \(\mathcal{F}_{n}, n \geqslant 0\) 为上鞅序列，简称 \(\left\{M_{n}\right\}\) 为上鞅

    等号成立时就是鞅序列

    1. 设 \(\left\{X_{n}, \mathcal{F}_{n}, n \geqslant 0\right\}\) 为鞅，\(g\) 是一个凸函数，且 \(\mathrm{E}\left|g\left(X_{n}\right)\right|<\infty\)．则 \(\left\{g\left(X_{n}\right), \mathcal{F}_{n}\right.\), \(n \geqslant 0\}\) 为下鞅
    2. 设 \(\left\{X_{n}, \mathcal{F}_{n}, n \geqslant 0\right\}\) 为下鞅，\(g\) 是一个非降的凸函数，且 \(\mathrm{E}\left|g\left(X_{n}\right)\right|<\infty\)，则 \(\left\{g\left(X_{n}\right), \mathcal{F}_{n}, n \geqslant 0\right\}\) 仍为下鞅

  2. 鞅收敛定理：设 \(\left\{X_{n}, n \geqslant 0\right\}\) 为下鞅且 \(\sup \mathrm{E}\left|X_{n}\right| \leqslant K<\infty\)，则 \(X_{n}\) 以概率 \(1\) 收敛于某个随机变量 \(X\) 且 \(\mathrm{E}|X| \leqslant K<\infty\)