1 序列与极限

1.1 序列

序列：以自然数 \(n\) 或全体自然数的集合 \(\mathbf N\) 为定义域的映射，如果其定义域是 \(n \in \mathbf N\)，则称为长度为 \(n\) 的有穷序列．特别地，定义域为 \(0\) 的序列称为空序列，定义域为 \(\mathbf N\) 的序列称为无穷序列
1. 有穷序列：\(\left<a_i \mid i < n\right>\) 或 \(\left<a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}\right>\)，其值域表示为 \(\left\{a_i \mid i < n\right\}\) 或 \(\left\{a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}\right\}\)．特别地，空序列的表示为 \(\left<\ \right>\)
2. 无穷序列：\(\left<a_i \mid i \in \mathbf N\right>\) 或 \(\left<a_i\right>_{i = 0}^{\infty}\)，其值域表示为 \(\left\{a_i\right\}_{i = 0}^{\infty}, \left\{a_i\right\}_{i \geqslant 0}\) 或 \(\left\{a_i \mid i \in \mathbf N\right\}\)
3. 由 \(A\) 的元素组成的所有有穷序列的集合：\(A^* = A^{<\mathbf N} = A^{<\omega} = {\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbf N} A^n}\)
超穷序列：定义域为序数 \(\alpha\) 的映射称为长度为 \(\alpha\) 的序列．不严格地定义映射 \(\mathbf{F}: \mathbf{On} \rightarrow \mathbf{V}\)
1. 如果存在一个公式 \(\varphi(x, y)\) 有 \(\forall x \exists^{1} y \ \varphi(x, y)\)，并定义类 \(\mathbf{F}=\{(x, y) \mid \varphi(x, y)\}\)，则 \(\mathbf{F}(x)\) 就是使得 \(\varphi(x, y)\) 成立的唯一的 \(y\)
2. 假设 \(X\) 为集合，\(\alpha\) 为序数，令 \(X^{<\alpha}=\bigcup\left\{X^{\beta} \mid \beta<\alpha\right\}\)

1.2 数列

数列：以数集作为值域的序列称为数列，通常以正整数集 \(\mathbf Z_+\) 作为定义域．一般记为 \(a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots\)，简记作 \(\{a_n\}\)
1. 通项公式：如果数列 \(\{a_n\}\) 的第 \(n\) 项（即通项）与 \(n\) 之间具有函数关系 \(f(n)\)，则称这个公式为该数列的通项公式
2. 子列：在数列 \(\{a_n\}\) 中，保持原来次序自左往右任选无穷项的数列 \(a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \cdots, a_{n_{k}}, \cdots\) 称为 \(\left\{a_{n}\right\}\) 的一个子列，简记作 \(\{a_{n_{k}}\}\)
3. 前 \(n\) 项和：对于数列 \(\{a_n\}\)，称 \({\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i}\) 为该数列的前 \(n\) 项和，记作 \(S_n\)
  1. \(\{S_n\}\) 也是一个数列，且有 \(a_n = \left\{\begin{aligned} & S_1, & n = 1 \\ & S_n - S_{n-1}, & n > 1 \end{aligned}\right.\)
  2. 级数：记 \({\displaystyle \sum_{i=1}^\infty a_i = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n a_i = \lim_{n \to \infty} S_n}\) ，称之为无穷级数
  \(\text{Bernoulli}\) 数
  
  设 \(S_n^p=1^p+2^p+\cdots+n^p\)，则有
  
  \[ S_n^p=\dfrac{1}{p+1} n^{p+1}+\dfrac{1}{2} n^p+\dfrac{B_2}{2}\dbinom{p}{1} n^{p-1}+\dfrac{B_3}{3}\dbinom{p}{2}n^{p-2}+\cdots+\dfrac{B_p}{p}\dbinom{p}{p-1}n \]
  
  且
  
  \[ \dfrac{1}{p+1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{B_2}{2}\dbinom{p}{1}+\dfrac{B_3}{3}\dbinom{p}{2}+\cdots+\dfrac{B_p}{p}\dbinom{p}{p-1}=1 \]
  
  其中 \({\displaystyle \sum_{k=0}^n\dbinom{p+1}{k} B_k=0}\)．从而以下结论成立
  1. \((1+B)^{p+1}-B_{p+1}=0\)
  2. \(\dfrac{S_n^p}{p !}=\dfrac{B_0(n+1)^{p+1}}{0 !(p+1) !}+\dfrac{B_1(n+1)^p}{1 ! p !}+\dfrac{B_2(n+1)^{p-1}}{2 !(p-1) !}+\cdots+\dfrac{B_p(n+1)}{p ! 1 !}\)
  3. \({\displaystyle \dfrac{x}{\mathrm{e}^x-1}=\dfrac{B_0}{0 !}+\dfrac{B_1}{1 !} x+\dfrac{B_2}{2 !} x^2+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{B_k}{k !} x^k}\)
  据此导出常用的前 \(n\) 项和
  1. \(1+2+3+\cdots+n=\dfrac{1}{2} n(n+1)\)
  2. \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)\)
  3. \(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\dfrac{1}{4} n^2(n+1)^2\)
  4. \(1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4=\dfrac{1}{30} n(n+1)(2 n+1)\left(3 n^2+3 n-1\right)\)
  5. \(1^5+2^5+3^5+\cdots+n^5=\dfrac{1}{12} n^2(n+1)^2\left(2 n^2+2 n-1\right)\)
数列的分类
1. 按定义域分类
  1. 有穷数列：以自然数 \(n\) 为定义域的数列
  2. 无穷数列：以自然数集 \(\mathbf N\) 为定义域的数列
2. 按值域分类
  1. 有界数列：存在 \(M > 0\)，对任意定义域中的 \(n\) 都有 \(|a_n| < M\)
  2. 无界数列：对于任意 \(M > 0\)，总存在定义域中的 \(n\) 使得 \(|a_n| > M\)
3. 按各项的的增减趋势分类
  1. 常数列：各项都相等的数列
  2. 单调数列：从第二项起每项都大于等于（小于等于）前一项的数列，则称数列为单调递增（递减）数列．特别地，若数列从第二项起每项都大于（小于）前一项，则称数列是严格单调递增（递减）的
  3. 摆动数列：有的项大于其前一项，有的项小于其前一项的数列
差分：对于数列 \(\{a_k\}\)，称 \(\Delta a_k = a_{k+1} - a_k \ (k \in \mathbf Z_+)\) 为 \(\{a_k\}\) 的一阶差分，数列 \(\{\Delta a_k\}\) 称为 \(\{a_k\}\) 的一阶差分数列
1. 高阶差分：设 \(r \in \mathbf Z_+\)，称 \(\Delta^r a_k = \Delta(\Delta^{r-1}a_k) \ (k \in \mathbf Z_+)\) 为 \(\{a_k\}\) 的 \(r\) 阶差分，数列 \(\{\Delta^r a_k\}\) 称为 \(\{a_k\}\) 的 \(r\) 阶差分数列
2. 差分的性质：对于数列 \(\{a_k\}, \{b_k\}\)
  1. \(\Delta(\lambda a_k + \mu b_k) = \lambda \Delta a_k + \mu \Delta b_k\)，其中 \(\lambda, \mu\) 为常数
  2. 若 \(\Delta a_k = \Delta b_k\)，则 \(a_k = b_k + c \ (k \in \mathbf Z_+)\)，其中 \(c\) 为常数
  3. \({\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \Delta b_k + \sum_{k=1}^n} b_{k+1} \Delta a_k = a_{n+1} b_{n+1} - a_1 b_1\)

1.2.1 等差数列

等差数列：如果数列满足 \(a_n = a_{n-1} + d \ (n \geqslant 2)\)，则称数列 \(\{a_n\}\) 为等差数列，常数 \(d\) 为等差数列的公差
1. 通项公式：\(a_n = a_m + (n - m)d\)
2. 前 \(n\) 项和：\(S_n = na_1 + \dfrac 12n(n - 1)d\)
3. 等差中项：如果三个数 \(x, A, y\) 成等差数列，则称 \(A = \dfrac{x+y}{2}\) 为 \(x, y\) 的等差中项
等差公式的性质：设 \(\{a_n\}\) 为公差为 \(d\) 的等差数列
1. 当 \(d > 0\) 时，\(\{a_n\}\) 为递增数列；当 \(d < 0\) 时，\(\{a_n\}\) 为递减数列；当 \(d = 0\) 时，\(\{a_n\}\) 为常数列
2. 设 \(k \in \mathbf R\)，则 \(\{a_n + k\}\) 与 \(\{ka_n\}\) 仍为等差数列，公差分别为 \(d\) 与 \(kd\)
3. 设 \(r, s, t \in \mathbf Z_+\)，则 \(r, s, t\) 成等差数列当且仅当 \(a_r, a_s, a_t\) 成等差数列
4. 设 \(k, l, m, p \in \mathbf Z_+\)，则 \(k + l = m + p \leftrightarrow a_k + a_l = a_m + a_p\)
5. 设 \(k \in \mathbf Z_+\)，则 \(S_k, (S_{2k} - S_k), (S_{3k} - S_{2k}), \cdots\) 成等差数列，且其公差为 \(k^2d\)
高阶等差数列：对于数列 \(\{a_n\}\)，若有正整数 \(m\) 使得 \(\{\Delta^m a_n\}\) 为非零常数列，则称 \(\{a_m\}\) 为 \(m\) 阶等差数列
1. 当 \(m \geqslant 2\) 时，将 \(m\) 阶等差数列称为高阶等差数列
2. 高阶等差数列的通项公式
  1. 设 \(\{a_n\}\) 为高阶等差公式，则 \(a_n = {\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k \Delta^k a_1} \ (n \geqslant 2)\)
  2. 若 \(\{a_n\}\) 为 \(r\) 阶等差数列，则当 \(2 \leqslant r \leqslant n - 1\) 时，\(a_n = {\displaystyle \sum_{k=0}^{r} C_{n-1}^k \Delta^k a_1}\)
  3. \(\{a_n\}\) 是 \(m\) 阶等差数列当且仅当 \(a_n\) 是 \(n\) 的 \(m\) 次多项式
3. 前 \(n\) 项和：设 \(\{a_n\}\) 是 \(m\) 阶等差数列，则 \(S_n = {\displaystyle \sum_{k=0}^m C_n^{k+1} \Delta^k a_1}\) 是关于 \(n\) 的 \(m + 1\) 次多项式

1.2.2 等比数列

等比数列：如果数列满足 \(\dfrac{a_n}{a_{n-1}} = q \ (n \geqslant 2, q \neq 0)\)，则称数列 \(\{a_n\}\) 为等比数列，常数 \(q\) 为等比数列的公比
1. 通项公式：\(a_n = a_1 q^{n-1}, n \in \mathbf Z_+\)
2. 前 \(n\) 项和：\(S_n = \left\{\begin{aligned} & \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}, & q \neq 1 \\ & na_1, & q = 1 \end{aligned}\right.\)
公比 \(q\) 的取值决定了等比数列 \(\{a_n\}\) 的趋势
1. \(q = 1\) 时，\(\{a_n\}\) 为常数列
2. \(q > 1\) 时，若 \(a_1 > 0\)，则 \(\{a_n\}\) 为正项递增数列；若 \(a_1 < 0\)，则 \(\{a_n\}\) 为负向递减数列
3. \(0 < q < 1\) 时，若 \(a_1 > 0\)，则 \(\{a_n\}\) 为正项递减数列；若 \(a_1 < 0\)，则 \(\{a_n\}\) 为负向递增数列
4. \(q < 0\) 时，\(\{a_n\}\) 为摆动数列
无穷递缩等比数列：公比 \(|q| < 1\) 的等比数列，其无穷级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = \dfrac{a_1}{1 - q}}\)

1.2.3 线性递推数列

递推数列：如果数列 \(\{a_n\}\) 满足递推关系 \(a_{n+k} = f(a_{n+k-1}, a_{n+k-2}, \cdots, a_n)\)，则称其为 \(k\) 阶递推数列
1. 如果 \(k\) 阶数列的递推公式是线性的，即 \(a_{n+k} = p_1 a_{n+k-1} + p_2 a_{n+k-2} + \cdots + p_k a_n + f(n)\)，其中 \(n \in \mathbf Z_+, p_1, p_2, \cdots, p_k\) 是常数且 \(p_k \neq 0\)，则称 \(\{a_n\}\) 为 \(k\) 阶线性递推数列
2. \(k\) 阶线性递推数列的递推公式 \(f(n) = 0\)，则称其为 \(k\) 阶线性递归数列
\(k\) 阶线性递归数列：设 \(a_{n+k} = p_1 a_{n+k-1} + p_2 a_{n+k-2} + \cdots + p_k a_n\)
1. 特征方程：\(x^k - c_1 x^{n-1} - \cdots - a_k = 0\)，其 \(k\) 个根 \(q_1, q_2, \cdots, q_n \in \mathbf C\) 称为递推关系的特征根
2. 通解：若特征方程有 \(t\) 个互异的根，\(q_1, q_2, \cdots, q_t\) 的重数分别为 \(m_1, m_2, \cdots, m_t\) 且有 \(k = {\displaystyle \sum_{i=1}^t} m_i\)．则递推关系的同解为 \(a_n = {\displaystyle \sum_{i=1}^t \left(\sum_{j=1}^{m_i} c_{ij} \cdot n^{j-1} q_i^n\right)}\)，其中 \(c_{ij} \ (1 \leqslant j \leqslant m_i, 1 \leqslant i \leqslant t)\) 为常数
\(k\) 阶线性递推数列：设 \(a_{n+k} = p_1 a_{n+k-1} + p_2 a_{n+k-2} + \cdots + p_k a_n + f(n)\)
1. 递推关系的通解为 \(a_n = a_n' + a_n^*\)，其中 \(a_n'\) 是对应的 \(k\) 阶线性递归关系 \(a_{n+k} = p_1 a_{n+k-1} + p_2 a_{n+k-2} + \cdots + p_k a_n\) 的通解，\(a_n^*\) 为 \(k\) 阶线性递推关系的特解
2. 对于一般的 \(f(n)\) 没有普遍解法
  1. 当 \(f(n)\) 是 \(n\) 的 \(t\) 次多项式时，对应的特解形式为 \(a_n^* = {\displaystyle \sum_{i=0}^t p_i n^i}\)，其中 \(p_i \ (0 \leqslant i \leqslant t)\) 为常数
  2. 当 \(f(n) = \alpha^n\) 时，若 \(\alpha\) 是对应递归关系的 \(m\) 重特征根，则特解为 \(a_n^* = p \cdot n^m \alpha^n\)，否则 \(a_n^* = p \cdot \alpha^n\)，其中 \(p\) 为常数
低阶线性递推数列例举
1. 一阶线性递推数列：设数列 \(\{a_n\}\) 有 \(\left\{\begin{aligned} & a_1 = a \\ & a_{n+1} = p a_n + q \end{aligned}\right.\)，其中 \(p, q, a\) 均为常数，\(p \neq 0\) 且 \(p \neq 1\)．则 \(a_n = p^{n-1}\left(a - \dfrac{q}{1 - p}\right) + \dfrac{q}{1 - p}\)，当 \(q = 0\) 时，\(\{a_n\}\) 是一个等比数列
2. 二阶线性递归数列：设数列 \(\{a_n\}\) 有 \(\left\{\begin{aligned} & a_1 = a, a_2 = b \\ & a_{n + 1} = p a_n + q a_{n - 1} \end{aligned}\right.\)，其中 \(p, q \neq 0\) 且 \(n \geqslant 2\)
  1. 若 \(p + q = 1\)，\(a_n = a + (a - b) \cdot \dfrac{q + (-q)^n}{1 + q}\)
  2. 若 \(p + q \neq 1\)，则 \(x^2 - px - q\) 为 \(\{a_n\}\) 的特征方程，设 \(x_1, x_2\) 为特征根
    1. 若 \(x_1 \neq x_2\)，则 \(a_n = \dfrac{ax_2 - b}{x_2 - x_1} x_1^{n-1} - \dfrac{ax_1 - b}{x_2 - x_1} x_2^{n-1}\)
    2. 若 \(x_1 = x_2 = \dfrac p2\)，则 \(a_n = \left(\dfrac p2\right)^{n-2} \left[\left(pa - b\right) - n\left(\dfrac{pa}{2} - b\right)\right]\)

1.3 极限论

1.3.1 数列极限

数列极限：设 \(\left\{x_{n}\right\}\) 是一个数列，\(a\) 是实数．若对任意给定的 \(\varepsilon>0\)，总存在一个正整数 \(N\)，当 \(n>N\) 时都有 \(\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon\)，则称 \(a\) 是数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 的极限，或称数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 收敛于 \(a\) 记为 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a}\) 或 \(x_{n} \rightarrow a \ (n \rightarrow \infty)\)．此时也称数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 极限存在
1. 数列极限的性质
  1. 保序性：若 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b}\) 且 \(a>b\)，则总存在正整数 \(N\)，当 \(n>N\) 时，不等式 \(x_{n}>y_{n}\) 成立
    1. 若 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b}\)，且存在正整数 \(N\) 使得当 \(n>N\) 时，不等式 \(x_{n}>y_{n}\) 都成立，则 \(a \geqslant b\)
    2. 若 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a}\) 且 \(a>b\)（其中 \(b\) 为常数），则存在正整数 \(N\)，当 \(n>N\) 时有 \(x_{n}>b\)
    3. 若 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a}\) 且 \(a<c\)（其中 \(c\) 为常数），则当 \(n\) 充分大时有 \(x_{n}<c\)．特别地，若 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a}\) 且 \(a<0\)，则当 \(n\) 充分大时有 \(x_{n}<0\)
  2. 唯一性：若数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 收敛，则它的极限唯一
  3. 有界性：收敛数列有界
  4. 夹逼准则：若存在正整数 \(N\)，当 \(n>N\) 时有 \(x_{n} \leqslant y_{n} \leqslant z_{n}\) 且 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=a}\)，则有 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a}\)
2. 数列极限的运算
  1. 若数列 \(\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}\) 均收敛，则它们的和与差 \(\left\{x_{n} \pm y_{n}\right\}\) 也收敛，且有 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \pm \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}}\)
  2. 若 \(\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}\) 均收敛，则 \(\left\{x_{n} y_{n}\right\}\) 也收敛，且 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}}\)
  3. 若 \(\left\{x_{n}\right\}\) 为有界数列，\(\left\{y_{n}\right\}\) 为无穷小量，则它们的积 \(\left\{x_{n} y_{n}\right\}\) 是无穷小量
  4. 若 \(\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}\) 均收敛且 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n} \neq 0}\)，则 \(\left\{\dfrac{x_{n}}{y_{n}}\right\}\) 也收敛，且 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{x_{n}}{y_{n}}=\dfrac{{\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}}}{{\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}}}}\)
3. 收敛准则
  1. 若 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a}\)，则 \(\left\{x_{n}\right\}\) 的任何子列 \(\left\{x_{n_{k}}\right\}\) 都收敛于 \(a\)
  2. 若对任何 \(\left\{x_{n}\right\}, x_{n} \rightarrow x_{0} \ (n \rightarrow \infty), x_{n} \neq x_{0}\) 都有 \(\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}\) 收敛，则 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的极限存在
  3. 若 \(\left\{x_{n}\right\}\) 是一个无界数列，则存在子列 \(x_{n_{k}} \rightarrow \infty(k \rightarrow \infty)\)
无穷小量：当 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0}\) 时，称数列 \(x_n\) 为无穷小量．设 \(y, z\) 是两个无穷小量
1. 若 \(\dfrac{y}{z} \rightarrow 0\) 或 \(\dfrac{z}{y} \rightarrow \infty\)，则称 \(y\) 关于 \(z\) 是高阶无穷小量或 \(z\) 关于 \(y\) 是低阶无穷小量，记做 \(y=o(z)\)
2. 若 \(\dfrac{y}{z} \rightarrow a \neq 0\)，则称 \(y\) 和 \(z\) 是同阶无穷小量．一般地，若存在常数 \(A>0, B>0\)，变量 \(y\) 和 \(z\) 自某值以后有 \({\displaystyle A \leqslant\left|\dfrac{y}{z}\right| \leqslant B}\)，则称 \(y\) 和 \(z\) 是同阶无穷小量，记为 \(y=O(z)\) 或 \(z=O(y)\)
3. 当 \(\dfrac{y}{z} \rightarrow 1\) 时，称 \(y, z\) 是等价无穷小量，记为 \(y \sim z\)
4. 若以 \(x\) 作为基本无穷小量，则当 \(y\) 与 \(x^{k}\)（\(k\) 为某一正数）为同阶无穷小量时，称 \(y\) 为 \(k\) 阶无穷小量．特别地，当 \(\dfrac{y}{x^{k}} \rightarrow a \neq 0\) 时，\(y\) 为 \(k\) 阶无穷小量，此时 \(y\) 与 \(a x^{k}\) 等价，称 \(a x^{k}\) 为无穷小量 \(y\) 的主要部分
无穷大量：设 \(\left\{x_{n}\right\}\) 是一个数列，如果对任意给定的 \(G>0\)，总存在正整数 \(N\)，当 \(n>N\) 时有 \(\left|x_{n}\right|>G\)，则称 \(\left\{x_{n}\right\}\) 是一个无穷大量，记为 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty}\) 或 \(x_{n} \rightarrow \infty \ (n \rightarrow \infty)\)．无穷大量也有类似无穷小量的阶
1. 无穷大量和无穷小量的关系：若 \(\left\{x_{n}\right\}\) 为无穷大量，则其倒数所成的数列 \(\left\{\dfrac{1}{x_{n}}\right\}\) 为无穷小量；若 \(\left\{x_{n}\right\}\) 为无穷小量且 \(x_{n} \neq 0 \ (n=1,2, \cdots)\)，则其倒数所成的数列 \(\left\{\dfrac{1}{x_{n}}\right\}\) 为无穷大量
2. 正无穷大与负无穷大：对任意给定的 \(G>0\)，总存在 \(N\)，当 \(n>N\) 时，若有 \(x_{n}>\) \(G\)，则称 \(\left\{x_{n}\right\}\) 是正无穷大量；若有 \(-x_{n}>\) \(G\)，则称 \(\left\{x_{n}\right\}\) 是负无穷大量
3. 无穷大量的运算
  1. 设 \(\left\{x_{n}\right\}\) 与 \(\left\{y_{n}\right\}\) 都是正（负）无穷大量，则其和 \(\left\{x_{n}+y_{n}\right\}\) 也是正（负）无穷大量
  2. 设 \(\left\{x_{n}\right\}\) 是无穷大量，而 \(\left\{y_{n}\right\}\) 是有界数列，则其和 \(\left\{x_{n}+y_{n}\right\}\) 是无穷大量
  3. 设 \(\left\{x_{n}\right\}\) 是无穷大量，数列 \(\left\{y_{n}\right\}\) 具有以下特性：存在某个 \(N\)，当 \(n>N\) 时有 \(\left|y_{n}\right| \geqslant \delta>0\)，其中 \(\delta\) 是一个确定的数，则其乘积 \(\left\{x_{n} y_{n}\right\}\) 是无穷大量
  4. 设 \(\left\{x_{n}\right\}\) 是无穷大量，\(\left\{y_{n}\right\}\) 收敛于 \(a \neq 0\)，则其乘积 \(\left\{x_{n} y_{n}\right\}\) 是无穷大量
上极限与下极限：设 \(\{x_n\}\) 是一个数列，定义

\[ \begin{aligned} H & =\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{k \rightarrow \infty} \sup _{n>k}\left\{x_{n}\right\} \\ h & =\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim}} x_{n}=\lim _{k \rightarrow \infty} \inf _{n>k}\left\{x_{n}\right\} \end{aligned} \]

称 \(H\) 为 \(\{x_n\}\) 的上极限，\(h\) 为 \(\{x_n\}\) 的下极限．若数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 无上界，则称 \({\displaystyle H=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty}\)；若数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 无下界，则称 \({\displaystyle h=\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim}} x_{n}=-\infty}\)
1. 设 \({\displaystyle H=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_{n}}\)，则在 \(\left\{x_{n}\right\}\) 中必存在一个子列，其极限为 \(H\) 且 \(H\) 是 \(\left\{x_{n}\right\}\) 中所有收敛子列的极限中的最大值
  1. 当 \(H\) 有限时，对于 \(H\) 的任何 \(\varepsilon\) 邻域 \((H-\varepsilon, H+\varepsilon)\)，在数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 中有无穷多个项大于 \(N\)
  2. 当 \(H=+\infty\) 时，对任何数 \(N>0\)，在 \(\left\{x_{n}\right\}\) 中必有无穷多个项大于 \(N\)
  3. 当 \(H=-\infty\) 时，数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 以 \(-\infty\) 为极限
2. 设 \({\displaystyle h=\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim}} x_{n}}\)，则在 \(\left\{x_{n}\right\}\) 中必存在一个子列，其极限为 \(h\) 且 \(h\) 是 \(\left\{x_{n}\right\}\) 中所有收敛子列的极限中的最小值
  1. 当 \(h\) 有限时，对 \(h\) 的任何 \(\varepsilon\) 邻域 \((h-\varepsilon, h+\varepsilon)\)，在数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 中有无穷项属于此邻域，而最多只有有限多个小于 \(h-\varepsilon\)
  2. 当 \(h=-\infty\) 时，对任何数 \(N>0\)，在数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 中有无穷多个项小于 \(-N\)
  3. 当 \(h=+\infty\) 时，数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 的极限为 \(+\infty\)
3. \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A}\)（有限或无穷大）的充要条件为 \({\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_{n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim}} x_{n}=A}\)
集合序列的上极限与下极限
1. 对集合序列 \(\left\{A_{n}\right\}_{n \geqslant 1}\)，定义
  
  \[ \begin{aligned} \varlimsup_{n \rightarrow \infty} A_{n} & = \limsup _{n \rightarrow \infty} A_{n} = \bigcap_{k \geqslant 1} \bigcup_{n \geqslant k} A_{n} \\ \varliminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} & = \liminf _{n \rightarrow \infty} A_{n} = \bigcup_{k \geqslant 1} \bigcap_{n \geqslant k} A_{n} \end{aligned} \]
  
  分别为 \(\left\{A_{n}\right\}_{n \geqslant 1}\) 的上（下）极限，也称作上限（下限）点集
2. 当 \({\displaystyle \varliminf_{n \to \infty} A_{n}=\varlimsup_{n \to \infty} A_{n}}\) 时，称 \(\left\{A_{n}\right\}\) 有极限，并记 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} A_{n}}\)，称它为 \(\left\{A_{n}\right\}\) 的极限

1.3.2 一元函数极限

函数极限的定义：设 \(f: X \to \mathbf R\)，\(F\) 是 \(X\) 上的滤，\(y \in \mathbf R\)，定义 \({\displaystyle \lim_{F} f(x) = y}\)，\(P\) 为生成主滤的算子
1. 函数在 \(x_{0}\) 点的极限：设函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点的某个去心邻域有定义，取 \(F = N(x_{0})\)
  1. 函数值趋于有穷的极限：设 \(A\) 是一个定数，若对于任意给定的 \(\varepsilon>0\)，一定存在 \(\delta>0\) 使得当 \(0<\) \(\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时，总有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\)，则称 \(A\) 是函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点的极限，记作 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A}\) 或 \(f(x) \rightarrow A \ \left(x \rightarrow x_{0}\right)\)．此时也称函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点极限存在，其极限值是 \(A\)
  2. 函数值趋于正无穷大的极限：若对于任何 \(G>0\)，存在 \(\delta>0\)，当 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时有 \(f(x)>G\)，则称函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty}\) 或 \(f(x) \rightarrow+\infty\left(x \rightarrow x_{0}\right)\)
  3. 函数值趋于负无穷大的极限：若对于任何 \(G>0\)，存在 \(\delta>0\)，当 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时有 \(f(x)<-G\)，则称函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点趋于负无穷大（或发散到负无穷大），记为 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=-\infty}\) 或 \(f(x) \rightarrow-\infty\left(x \rightarrow x_{0}\right)\)
  4. 函数值趋于无穷大的极限：若对于任何 \(G>0\)，存在 \(\delta>0\)，当 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时，有 \(|f(x)|>G\)，则称函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点趋于无穷大（或发散到无穷大），记为 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty}\) 或 \(f(x) \rightarrow \infty\left(x \rightarrow x_{0}\right)\)
2. 函数在无穷远处的极限（以函数值趋于有穷的极限为例），取 \(F = {\displaystyle \mathop{\LARGE ⨅ \normalsize}_{x \in \mathbf R} P[x, +\infty)}\) 或 \(F = {\displaystyle \mathop{\LARGE ⨅ \normalsize}_{x \in \mathbf R} P(-\infty, x]}\)
  1. 函数在正无穷远处的极限：若对任意给定的 \(\varepsilon>0\)，存在 \(X>0\)，当 \(x>X\) 时，总有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\)，则称 \(A\) 为 \(f(x)\) 在正无穷远处的极限，或称 \(A\) 是当 \(x \rightarrow+\infty\) 时 \(f(x)\) 的极限，记为 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A}\) 或 \(f(+\infty)=A\) 或 \(f(x) \rightarrow A \ (x \rightarrow+\infty)\)
  2. 函数在负无穷远处的极限：若对任意给定的 \(\varepsilon>0\)，存在 \(X>0\)，当 \(x<-X\) 时，总有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\)，则称 \(A\) 为 \(f(x)\) 在负无穷远处的极限，或称 \(A\) 是当 \(x \rightarrow-\infty\) 时 \(f(x)\) 的极限，记为 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=A}\) 或 \(f(-\infty)=A\) 或 \(f(x) \rightarrow A \ (x \rightarrow-\infty)\)
  3. 函数在无穷远处的极限：若对任意给定的 \(\varepsilon>0\)，存在 \(X>0\)，当 \(|x|>X\) 时，有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\)，则称 \(A\) 是 \(f(x)\) 在无穷远处的极限，或称 \(A\) 为当 \(x \rightarrow \infty\) 时 \(f(x)\) 的极限，记为 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A}\) 或 \(f(\infty)=A\) 或 \(f(x) \rightarrow A \ (x \rightarrow \infty)\)
3. 单侧极限（以函数值趋于有穷的极限为例），取 \(F = N(x_0) \sqcap P(x_0, +\infty)\) 或 \(F = N(x_0) \sqcap P(-\infty, x_0)\)
  1. 右极限：设存在 \(\eta > 0\) 使得函数 \(f(x)\) 在 \(\left(x_{0}, x_{0}+\eta\right)\) 有定义，\(A\) 是一个定数．若对任意给定的 \(\varepsilon>0\)，总存在 \(\delta>0\)，当 \(0<x-x_{0}<\delta\) 时有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\)，则称 \(A\) 是函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点的右极限，记为 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}+0} f(x)=A}\) 或 \(f\left(x_{0}+0\right)=A\) 或 \(f(x) \rightarrow A \ \left(x \rightarrow x_{0}+0\right)\)
  2. 左极限：设存在 \(\eta > 0\) 使得函数 \(f(x)\) 在 \(\left(x_{0}-\eta, x_{0}\right)\) 有定义，\(A\) 是一个定数．若对任意给定的 \(\varepsilon>0\)，总存在 \(\delta>0\)，当 \(0<x_{0}-x<\delta\) 时有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\)，则称 \(A\) 是函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点的左极限，记为 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}-0} f(x)=A}\) 或 \(f\left(x_{0}-0\right)=A\) 或 \(f(x) \rightarrow A \ \left(x \rightarrow x_{0}-0\right)\)
  函数极限的定义
  
  对于四种函数值的极限情况和六种自变量的极限过程，分别有相应的表述方式
  1. \(f(x) \rightarrow A: \forall \varepsilon>0, \cdots:|f(x)-A|<\varepsilon\)（其中 \(A\) 为有限数）
  2. \(f(x) \rightarrow \infty: \forall G>0, \cdots:|f(x)|>G\)
  3. \(f(x) \rightarrow+\infty: \forall G>0, \cdots: f(x)>G\)
  4. \(f(x) \rightarrow-\infty: \forall G>0, \cdots: f(x)<-G\)
  以及
  1. \(x \rightarrow x_0: \cdots, \exists \delta>0, \forall x\left(0<\left|x-x_0\right|<\delta\right): \cdots\)
  2. \(x \rightarrow x_0+: \cdots, \exists \delta>0, \forall x\left(0<x-x_0<\delta\right): \cdots\)
  3. \(x \rightarrow x_0-: \cdots, \exists \delta>0, \forall x\left(-\delta<x-x_0<0\right): \cdots\)
  4. \(x \rightarrow \infty: \cdots, \exists X>0, \forall x(|x|>X): \cdots\)
  5. \(x \rightarrow+\infty: \cdots, \exists X>0, \forall x(x>X): \cdots\)
  6. \(x \rightarrow-\infty: \cdots, \exists X>0, \forall x(x<-X): \cdots\)
函数极限的性质
1. 若 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B}\) 且存在 \(\delta>0\)，当 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时有 \(f(x) \leqslant\) \(g(x)\)，则 \(A \leqslant B\)
2. 若 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A}\) 而 \(A>B\)（或 \(A<B\)），则存在 \(\delta>0\)，当 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时有 \(f(x)>B\)（或 \(f(x)<B\)）
3. 唯一性：若 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=B}\)，则 \(A=B\)
4. 夹逼性：若存在 \(\delta>0\)，使当 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时有 \(f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)\) 且 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} h(x)=A}\)，则 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=A}\)
5. 局部保序性：若 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B}\) 且 \(A>B\)，则存在 \(\delta>0\)，当 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时有 \(f(x)>g(x)\)
6. 局部有界性：若 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A}\)，则存在 \(\delta>0\) 使得 \(f(x)\) 在区间 \(\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right) \cup\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)\) 内有界
7. \(\text{Heine}\) 定理：\({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A}\) 当且仅当对任何以 \(x_{0}\) 为极限的数列 \(\left\{x_{n}\right\}\left(x_{n} \neq x_{0}\right)\) 都有 \(f\left(x_{n}\right) \rightarrow A \ (n \rightarrow \infty)\)
8. 两个重要极限：\({\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}=1}\) 与 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}}\)
函数极限的运算：设 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B}\)
1. \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \pm g(x)]=A \pm B, \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)=AB}\)
2. 若 \(B\neq 0\)，则 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{A}{B}}\)
3. 若 \(A=0\) 且 \(g(x)\) 在某区间 \(\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right) \cup\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)\) 有界，则 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)=0}\)
\(\text{L'Hospital}\) 法则：设 \(f(x), g(x)\) 为两个函数，若
1. \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \((a, a+\delta)\) 上有定义（\(\delta > 0\)），且 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow a+0} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow a+0} g(x)=0}\)
2. \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \((a, a+\delta)\) 可导，\(g^{\prime}(x) \neq 0\) 且 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow a+0} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A}\)（包括 \(A = \infty\) 的情形）
则 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow a+0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a+0} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A}\)．若
1. \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \((a, a+\delta)\) 上有定义（\(\delta>0\)），且 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow a+0} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow a+0} g(x)=\infty}\)
2. \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \((a, a+\delta)\) 可导，\(g^{\prime}(x) \neq 0\) 且 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow a+0} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A}\)（包括 \(A = \infty\) 的情形）
则 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow a+0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a+0} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A}\)．以上定理也适用 \(x \rightarrow a-0\)，\(x \rightarrow a\) 与 \(x \rightarrow \infty\) 的情形

1.3.2 多元函数极限

\(n\) 重极限：设 \(D\) 是 \(\mathbf{R}^{n}\) 上的开集，\(\boldsymbol{x}_{0}=\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \cdots, x_{n}^{0}\right) \in D\) 为一定点，\(z=f(\boldsymbol{x})\) 是定义在 \(D -\left\{\boldsymbol{x}_{0}\right\}\) 上的 \(n\) 元函数，\(A\) 是一个实数．如果对于任意给定的 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\) 使得当 \(\boldsymbol{x} \in O\left(\boldsymbol{x}_{0}, \delta\right) -\left\{\boldsymbol{x}_{0}\right\}\) 时，有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\)，则称当 \(\boldsymbol{x}\) 趋于 \(x_{0}\) 时 \(f\) 收敛，并称 \(A\) 为 \(f\) 当 \(\boldsymbol{x}\) 趋于 \(\boldsymbol{x}_{0}\) 时的 \(n\) 重极限，记为 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(\boldsymbol{x})=A}\) 或 \({\displaystyle f(\boldsymbol{x}) \rightarrow A\left(\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{x}_{0}\right)}\) 或

\[ \lim _{\substack{x_{1} \rightarrow x_{0}^{0} \\ x_{2} \rightarrow x_{2}^{0} \\ \cdots \\ x_{n} \rightarrow x_{n}^{0}}} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=A \]
累次极限：若对任一固定的 \(y\)，当 \(x \rightarrow a\) 时，\(f(x, y)\) 的极限存在，即 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x, y)=\varphi(y)}\)，且有 \({\displaystyle \lim _{y \rightarrow b} \varphi(y)=A}\)．则称 \(A\) 为 \(f(x, y)\) 先对 \(x\) 后对 \(y\) 的二次极限，记为 \({\displaystyle \lim _{y \rightarrow b} \lim _{x \rightarrow a} f(x, y)=A}\)．同样可定义先对 \(y\) 后对 \(x\) 的二次极限 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \lim _{y \rightarrow b} f(x, y)}\)

二重极限与二次极限的关系

若 \(f(x, y)\) 在点 \((a, b)\) 的二重极限为 \({\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow a \\ y \rightarrow b}} f(x, y)=A}\)（有限或无限），且对任一靠近 \(b\)（可以不等于 \(b\)）的 \(y\)，当 \(x \rightarrow a\) 时 \(f(x, y)\) 存在有限极限 \({\displaystyle \varphi(y)=\lim _{x \rightarrow a} f(x, y)}\)，则二次极限 \({\displaystyle \lim _{y \rightarrow b} \lim _{x \rightarrow a} f(x, y)=\lim _{y \rightarrow b} \varphi(y)}\) 存在且等于二重极限 \(A\)
向量值函数的极限：设 \(D\) 是 \(\mathbf{R}^{n}\) 上的开集，\(\boldsymbol{x}_{0} \in D\) 为一定点，\(\boldsymbol f: D -\left\{\boldsymbol{x}_{0}\right\} \rightarrow \mathbf{R}^{m}\) 是向量值函数，\(\boldsymbol{A}\) 是一个 \(m\) 维向量．如果对于任意给定的 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(x \in O\left(\boldsymbol{x}_{0}\right.,\delta) -\left\{\boldsymbol{x}_{0}\right\}\) 时有 \(|\boldsymbol f(x)-A|<\varepsilon\) 成立，则称 \(A\) 为当 \(x\) 趋于 \(x_{0}\) 时 \(\boldsymbol f\) 的极限，并称当 \(\boldsymbol{x}\) 趋于 \(x_{0}\) 时 \(\boldsymbol f\) 收敛，记为 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \boldsymbol f(x)=A}\) 或 \(\boldsymbol f(x) \rightarrow A \ \left(x \rightarrow x_{0}\right)\)

1.4 级数

1.4.1 数项级数

无穷级数：设数列 \(\{u_n\}\) 的部分和数列 \({\displaystyle S_n = \sum_{i=1}^{n} u_{i}}\) 收敛于有限值 \(S\)，即 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} u_{k}=S}\)，则称级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 收敛，记作 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}=S}\) 并称 \(S\) 为级数的和数．若 \(S_{n}\) 发散，则称级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 发散．当级数收敛时，又称 \(r_{n}=S-S_{n}\) 为级数的余和
1. 无穷级数的性质
  1. 若级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 收敛，\(a\) 为任一常数，则 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a u_{n}}\) 亦收敛，且有 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a u_{n}=a \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\)
  2. 若两个级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 和 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}}\) 都收敛，则 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n} \pm v_{n}\right)}\) 也收敛，且有 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n} \pm v_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} \pm \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}}\)
  3. 一个收敛级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\)，对其项任意加括号后所成级数 \(\left(u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{i_{1}}\right)+\left(u_{i_{1}+1}+\cdots+u_{i_{2}}\right)+\cdots\) 仍收敛且和不变
  4. 收敛的必要条件：若级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 收敛，则 \(u_{n} \rightarrow 0 \ (n \rightarrow \infty)\)
2. \(\text{Cauchy}\) 收敛原理：级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 收敛的充要条件是对任意给定的正数 \(\varepsilon\)，总存在 \(N\) 使得当 \(n>N\) 时，对于任意的正整数 \(p\) 都有 \(\left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}\right|<\varepsilon\)
正项级数：每一项都是非负的级数称为正项级数
1. 比较判别法：给定两正项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}, {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}}\)，若有 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{u_{n}}{v_{n}}=l \ (0<l<+\infty)}\)，那么这两个级数同时收敛或发散
2. \(\text{Cauchy}\) 判别法：对于正项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\)，设 \({\displaystyle r=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_{n}}}\)
  1. 当 \(r<1\) 时此级数必为收敛
  2. 当 \(r>1\) 时此级数发散
  3. 当 \(r=1\) 时此级数的收敛性需进一步判定
3. \(\text{d'Alembert}\) 判别法：对于正项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\)
  1. 当 \({\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}=\overline{r}<1}\) 时，级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 收敛
  2. 当 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}=r>1}\) 时，级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 发散
  3. 而当 \(\overline{r}=1\) 或者 \(r=1\) 时，级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 的敛散性需进一步判定
4. \(\text{Cauchy}\) 积分判别法：对于正项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\)，设 \(\left\{u_{n}\right\}\) 为单调递减数列，作一个连续的单调递减的正值函数 \(f(x) \ (x>0)\) 使得当 \(x\) 等于正整数 \(n\) 时，其函数值恰为 \(u_{n}\)．则级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 与数列 \(\left\{A_{n}\right\}\)，此时 \({\displaystyle A_{n}=\int_{1}^{n} f(x) \mathrm{d} x}\) 同为收敛或同为发散
特殊级数的判别
1. \(\text{Leibniz}\) 定理：形如 \(u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+\cdots+(-1)^{n+1} u_{n}+\cdots \ (u_{n}>0,n=1,2,\cdots)\) 的级数若有
  1. 单调递减 \(u_{n} \geqslant u_{n+1} \ (n=1,2, \cdots)\)
  2. \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0}\)
  则称其为 \(\text{Leibniz}\) 型级数，此时有
  1. 级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_{n}}\) 收敛
  2. 其余和 \(r_{n}\) 的符号与余和第一项的符号相同，且 \(\left|r_{n}\right| \leqslant \left|u_{n+1}\right|\)
2. \(\text{Abel}\) 判别法：若
  1. 级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}}\) 收敛
  2. 数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 单调有界，\(\left|a_{n}\right| \leqslant K \ (n=1,2, \cdots)\)
  则级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}}\) 收敛
3. \(\text{Dirichlet}\) 判别法：若
  1. 级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}}\) 的部分和 \(B_{n}\) 有界且 \(\left|B_{n}\right| \leqslant M \ (n=1,2, \cdots)\)
  2. 数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 单调趋于零
  则级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}}\) 收敛
绝对收敛与条件收敛：对于级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\)，如果其每一项加上绝对值以后所组成的正项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|}\) 收敛，则称级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 绝对收敛．如果 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|}\) 发散但 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 收敛，则称级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 条件收敛
1. 绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然
2. 对于级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\)，定义
  
  \[ \begin{aligned} & v_{n}=\dfrac{\left|u_{n}\right|+u_{n}}{2}=\left\{\begin{array}{cc} u_{n}, & u_{n}>0 \\ 0, & u_{n} \leqslant 0 \end{array}\right. \\ & w_{n}=\dfrac{\left|u_{n}\right|-u_{n}}{2}=\left\{\begin{array}{cc} -u_{n}, & u_{n}<0 \\ 0, & u_{n} \geqslant 0 \end{array}\right. \end{aligned} \]
  1. 若级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 绝对收敛，则级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}}\) 和 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} w_{n}}\) 都收敛
  2. 若级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 条件收敛，则级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}}\) 和 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} w_{n}}\) 都发散
3. 绝对收敛级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 的更序级数（即将其项重新排列后所得到的级数）\({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{\prime}}\) 仍绝对收敛且其和相同，\({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{\prime}}\)
4. \(\text{Cauchy}\) 定理：若级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}}\) 和 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}}\) 均绝对收敛，其和分别为 \(U\) 和 \(V\)．则其各项之积 \(u_{i} v_{k} \ (i, k=1,2, \cdots)\) 按照任何方法排列所构成的级数也绝对收敛且其和为 \(U V\)

1.4.2 函数项级数

函数项级数：设 \(u_{n}(x) \ (n=1,2, \cdots)\) 是定义在实数集 \(X\) 上的函数，称 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots}\) 是函数项级数，并称 \({\displaystyle S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} u_{k}(x)}\) 是这一级数的 \(n\) 次部分和
1. 如果对 \(X\) 中的一点 \(x_{0}\)，数项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\left(x_{0}\right)=u_{1}\left(x_{0}\right)+u_{2}\left(x_{0}\right)+\cdots+u_{n}\left(x_{0}\right)+\cdots}\) 收敛，则称函数项级数在 \(x_{0}\) 点收敛，否则称其在 \(x_{0}\) 点发散
2. 如果对 \(X\) 中任何一点 \(x\)，级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)}\) 收敛，则称函数项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)}\) 在 \(X\) 上收敛（即在每一点都收敛）．此时对每一点 \(x \in X\)，级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)}\) 有和，记为 \(S(x)\)，从而 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=S(x)}\)
一致收敛：设有函数列 \(\left\{S_{n}(x)\right\}\)（或函数项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)}\) 的部分和序列），若对任给的 \(\varepsilon>0\)，存在只依赖于 \(\varepsilon\) 的正整数 \(N(\varepsilon)\) 使 \(n>N(\varepsilon)\) 时，不等式 \(\left|S_{n}(x)-S(x)\right|<\varepsilon\)（对函数项级数也可写为 \({\displaystyle \left|r_{n}(x)\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty} u_{k}(x)\right|<\varepsilon}\)）对 \(X\) 上一切 \(x\) 都成立, 则称 \(\left\{S_{n}(x)\right\}\) 在 \(X\) 上一致收敛于 \(S(x)\)．当 \(S_{n}(x)\) 在 \((a, b)\) 内任一闭区间上一致收敛时，称 \(S_{n}(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内闭一致收敛
1. 一致收敛的充要条件
  1. 设 \(\left\|S_{n}-S\right\|={\displaystyle \sup _{x \in X}\left|S_{n}(x)-S(x)\right|}\)，则 \(S_{n}(x)\) 在 \(X\) 上一致收敛于 \(S(x)\) 当且仅当 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|S_{n}-S\right\|=0}\)
  2. \(\text{Cauchy}\) 充要条件：函数列 \(\left\{S_{n}(x)\right\}\) 在 \(X\) 上一致收敛的充要条件为对任给的 \(\varepsilon>0\)，可得正整数 \(N=N(\varepsilon)\) 使 \(n>N\) 时，不等式 \(\left|S_{n+p}(x)-S_{n}(x)\right|<\varepsilon\) 对任意的正整数 \(p\) 和 \(X\) 上任意的 \(x\) 都成立
2. 一致收敛的性质
  1. 若在 \([a, b]\) 上，函数列 \(\left\{S_{n}(x)\right\}\) 的每一项 \(S_{n}(x)\) 都连续且 \(S_{n}(x)\) 一致收敛于 \(S(x)\)，则对 \([a, b]\) 上任一点 \(x_{0}\) 有
    
    \[ \lim _{x \rightarrow x_{0}} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=S\left(x_{0}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \lim _{x \rightarrow x_{0}} S_{n}(x) \]
  2. 设 \(\left\{S_{n}(x)\right\}\) 在 \([a, b]\) 上一致收敛于 \(S(x)\)，每一 \(S_{n}(x)\) 都在 \([a, b]\) 上连续，则
    
    \[ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} S_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} S(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x) \mathrm{d} x \]
  3. 若在 \([a, b]\) 上函数列 \(\left\{S_{n}(x)\right\}\) 的每一项都有连续导数，\(\left\{S_{n}(x)\right\}\) 收敛于 \(S(x)\) 且 \(\left\{S_{n}^{\prime}(x)\right\}\) 一致收敛于 \(\sigma(x)\)，则
    
    \[ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} S_{n}(x) \]
  把上述各性质的 \(S_{n}(x)\) 都作为函数项级数的 \(n\) 项部分和看待，则得到函数项级数相类似的定理
  1. 和的连续性：若 \([a, b]\) 上级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)}\) 每项 \(u_{n}(x)\) 都连续且 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)}\) 一致收敛于 \(S(x)\)，则 \(S(x)\) 也在 \([a, b]\) 上连续
  2. 逐项求积：设 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)}\) 在 \([a, b]\) 上一致收敛于 \(S(x)\) 且每一 \(u_{n}(x)\) 都在 \([a, b]\) 上连续，则
    
    \[ \sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{b} u_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} S(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x) \mathrm{d} x \]
  3. 逐项求导：若在 \([a, b]\) 上，\({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)}\) 的每一项都具有连续导数 \(u_{n}^{\prime}(x)\) 且 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{\prime}(x)}\) 一致收敛于 \(\sigma(x)\)，又 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)}\) 收敛于 \(S(x)\)，则 \(S^{\prime}(x)=\sigma(x)\)，即
    
    \[ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} u_{n}(x) \]
3. 一致收敛级数的判别法
  1. \(\text{Weierstrass}\) 判别法：若对充分大的 \(n\)，存在实数 \(a_{n}\) 使得 \(\left|u_{n}(x)\right| \leqslant a_{n}\) 对 \(X\) 上任意的 \(x\) 都成立，且数项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}}\) 收敛，则 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)}\) 在 \(X\) 上一致收敛
  2. \(\text{Abel}\) 判别法：若在 \(X\) 上 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)}\) 一致收敛，又对 \(X\) 中每一固定的 \(x\)，数列 \(a_{n}(x)\) 单调．对任意的 \(n\) 和 \(X\) 中每个 \(x\)，有 \(\left|a_{n}(x)\right| \leqslant L\)（不依赖于 \(x\) 和 \(n\) 的定数），则 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x) b_{n}(x)}\) 在 \(X\) 上一致收敛
  3. \(\text{Dirichlet}\) 判别法：设 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)}\) 的部分和 \({\displaystyle B_{n}(x)=\sum_{i=1}^{n} b_{i}(x)}\) 在 \(X\) 上一致有界，又对 \(X\) 内每一 \(x\)，数列 \(a_{n}(x)\) 单调且函数列 \(\left\{a_{n}(x)\right\}\) 在 \(X\) 上一致收敛于零，则 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x) b_{n}(x)}\) 在 \(X\) 上一致收敛
幂级数：形如 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}}=a_{0}+a_{1}\left(x-x_{0}\right)+a_{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots\) 的函数项级数
1. \(\text{Cauchy} - \text{Hadamard}\) 定理：幂级数 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}}\) 在 \(\left|x-x_{0}\right|<R\) 内绝对收敛，在 \(\left|x-x_{0}\right|>R\) 内发散，其中
  
  \[ R= \left\{\begin{aligned} & \dfrac{1}{{\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}}, & {\displaystyle 0<\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|<\infty}} \\ & \infty, & {\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=0} \\ & 0, & {\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\infty} \end{aligned}\right. \]
  1. \(\text{Abel}\) 第一定理：若 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}}\) 在点 \(x=\xi\) 收敛，则它必在 \(\left|x-x_{0}\right|<\left|\xi-x_{0}\right|\) 内绝对收敛，又若 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}}\) 在 \(x=\xi\) 发散，则它必在 \(\left|x-x_{0}\right|>\) \(\left|\xi-x_{0}\right|\) 也发散
  2. \(\text{Abel}\) 第二定理：若 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}}\) 的收敛半径为 \(R\)，则此级数在 \(\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)\) 内的任一个闭区间 \([a, b]\) 上一致收敛，即在 \(\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)\) 内闭一致收敛；又若级数在 \(x_{0}+R\) 点收敛，则它必在 \(\left[a, x_{0}+R\right]\) 一致收敛．同理，当级数在 \(x_{0}-R\) 收敛时可得类似结论
2. 幂级数的性质
  1. 设幂级数 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}}\) 的收敛半径为 \(R\)，则其和函数 \(S(x)\) 在 \(\left(x_{0}-R\right.\), \(x_{0}+R\) ) 内连续．又若幂级数在 \(x_{0}-R\)（或 \(x_{0}+R\)）收敛，则 \(S(x)\) 在 \(\left[x_{0}-R, x_{0}+R\right)\)（或 \(\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right]\)）连续
  2. 设幂级数 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}}\) 的收敛半径为 \(R\)，其和函数为 \(S(x)\)，则在 \(\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)\) 内幂级数可以逐项积分和逐项微分．即对 \(\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)\) 内任意一点 \(x\) 有
    
    \[ \sum_{n=0}^{\infty} \int_{x_{0}}^{x} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} \mathrm{d} x=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_{n}}{n+1}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}=\int_{x_{0}}^{x} S(x) \mathrm{d} x \]
    
    以及
    
    \[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right]=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-1}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} S(x) \]
3. \(\text{Taylor}\) 级数：设
  
  \[ R_{n}(x)=f(x)-\left[f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right] \]
  
  若在某个区间 \(\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)\) 内 \(R_{n}(x) \rightarrow 0 \ (n \rightarrow \infty)\)，那么
  
  \[ f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\cdots \]
  
  是函数 \(f(x)\) 的幂级数展开，称作 \(f(x)\) 的 \(\text{Taylor}\) 级数．当 \(x = 0\) 时，称级数为 \(\text{Maclaurin}\) 级数
  初等函数的展开式
  1. \(\mathrm{e}^{x}=1+x+\dfrac{1}{2 !} x^{2}+\cdots+\dfrac{1}{n !} x^{n}+\cdots \ (-\infty<x<+\infty)\)
    
    \(\ln (1+x)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n}\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots \ (-1<x \leqslant 1)\)
  2. \(\sin x=x-\dfrac{x^{3}}{3 !}+\dfrac{x^{5}}{5 !}-\dfrac{x^{7}}{7 !}+\cdots+(-1)^{n} \dfrac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+\cdots \ (-\infty<x<+\infty)\)
    
    \(\cos x=x-\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4 !}-\dfrac{x^{6}}{6 !}+\cdots+(-1)^{n} \dfrac{x^{2 n}}{(2 n) !}+\cdots \ (-\infty<x<+\infty)\)
\(\text{Fourier}\) 级数：设 \(f(x)\) 是一个周期为 \(T\) 的函数，称 \(f(x)=A_{0}+{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \omega x+b_{n} \sin n \omega x\right)}\) 的级数是由函数 \(f(x)\) 所确定的 \(\text{Fourier}\) 级数
1. \(\text{Fourier}\) 系数：设函数 \(f(x)\) 已展开为区间 \([-\pi, \pi]\) 上的一致收敛的三角级数 \({\displaystyle f(x)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right)}\)，则有 \(\text{Euler} - \text{Fourier}\) 公式成立
  
  \[ \begin{aligned} & a_{k}=\dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos k x \mathrm{d} x \ (k=0,1,2, \cdots) \\ & b_{k}=\dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin k x \mathrm{d} x \ (k=1,2, \cdots) \end{aligned} \]
  
  称该级数为 \(f(x)\) 关于三角函数系 \(\{1, \cos x, \sin x, \cdots\}\) 的 \(\text{Fourier}\) 级数，\(a_{k}, b_{k}\) 称为 \(f(x)\) 的 \(\text{Fourier}\) 系数，记为
  
  \[ f(x) \sim \dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right) \]
2. \(\text{Fourier}\) 级数的收敛判别法：设函数 \(f(x)\) 在 \([-\pi, \pi]\) 上可积和绝对可积
  
  \[ f(x) \sim \dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) \]
  
  若 \(f(x)\) 在 \(x\) 点的左右极限 \(f(x-0)\) 和 \(f(x+0)\) 都存在，且两个广义单侧导数
  
  \[ \lim _{\Delta x \rightarrow+0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x+0)}{\Delta x}, \ \lim _{\Delta x \rightarrow-0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x-0)}{\Delta x} \]
  
  都存在，则 \(f(x)\) 的 \(\text{Fourier}\) 级数在 \(x\) 点收敛．当 \(x\) 是 \(f(x)\) 的连续点时它收敛于 \(f(x)\)，当 \(x\) 是 \(f(x)\) 的间断点时收敛于 \(\dfrac{1}{2}[f(x+0)+f(x-0)]\)．特别地，若 \(f(x)\) 在 \(x\) 点可导或两个单侧导数 \(f_{-}^{\prime}(x)\) 和 \(f_{+}^{\prime}(x)\) 都存在，则 \(f(x)\) 的 \(\text{Fourier}\) 级数在 \(x\) 点收敛于 \(f(x)\)
3. \(\text{Fourier}\) 级数的复数形式：令 \(a_{0}=c_{0}, a_{n}-\mathrm{i} b_{n}=c_{n}, a_{n}+\mathrm{i} b_{n}=c_{-n} \ (n=1,2, \cdots)\)，则有
  
  \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \omega t+b_{n} \sin n \omega t\right) \\ &= \dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{a_{n}-\mathrm{i} b_{n}}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t}+\dfrac{a_{n}+\mathrm{i} b_{n}}{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n \omega t}\right) \\ &= \dfrac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} \mathrm{e}^{i n \omega t} \end{aligned} \]
  
  其中 \({\displaystyle c_{n}=\dfrac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n \omega t} \mathrm{d} t}, \omega=\dfrac{2 \pi}{T}, n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\)
4. \(\text{Fourier}\) 级数的性质
  1. 一致收敛性
    1. 设周期为 \(2 \pi\) 的可积和绝对可积函数 \(f(x)\) 在比 \([a, b]\) 更宽的区间 \([a-\delta, b+\) \(\delta]\)（其中 \(\delta>0\)）上有有界导数 \(f^{\prime}(x)\)，那么 \(f(x)\) 的 \(\text{Fourier}\) 级数在区间 \([a, b]\) 上一致收敛于 \(f(x)\)
    2. 设周期为 \(2 \pi\) 的可积和绝对可积函数 \(f(x)\) 在比 \([a, b]\) 更宽的区间 \([a-\delta, b+ \delta]\)（其中 \(\delta>0\)）上连续且为分段单调函数，那么 \(f(x)\) 的 \(\text{Fourier}\) 级数在区间 \([a, b]\) 上一致收敛于 \(f(x)\)
  2. 逐项求积与逐项求导：设 \(c\) 和 \(x\) 是 \([-\pi, \pi]\) 上任意两点，\(f(x)\) 是 \([-\pi, \pi]\) 上的分段连续函数，其 \(\text{Fourier}\) 级数是 \({\displaystyle f(x) \sim \dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x}\)，则有 \({\displaystyle \int_{c}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\dfrac{a_{0}}{2}(x-c)+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{c}^{x}\left(a_{n} \cos n t+b_{n} \sin n t\right) \mathrm{d} t}\)
  3. 最佳平方平均逼近：设 \(f(x)\) 是 \([-\pi, \pi]\) 上可积和平方可积函数，又设 \(T_{n}(x)\) 是任意一个 \(n\) 次三角多项式 \({\displaystyle T_{n}(x)=\dfrac{A_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n} A_{k} \cos k x+B_{k} \sin k x}\)，其中 \(A_{0}, A_{k}, B_{k}\ (k=1,2, \cdots)\) 为常数，称
    
    \[ \delta^{2}\left(f, T_{n}\right)=\dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left(f(x)-T_{n}(x)\right)^{2} \mathrm{d} x \]
    
    是用三角多项式 \(T_{n}(x)\) 在平方平均意义下逼近 \(f(x)\) 的偏差．设 \({\displaystyle f(x) \sim \dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x}\)，其 \(n\) 次部分和 \({\displaystyle S_{n}(x)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n} a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x}\) 是 \(f(x)\) 的最佳平方平均逼近，亦即对任何 \(n\) 次三角多项式 \(T_{n}(x)\)，都有 \(\delta^{2}\left(f, S_{n}\right) \leqslant \delta^{2}\left(f, T_{n}\right)\)
5. \(\text{Fourier}\) 变换：称 \({\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega x} \mathrm{d} x}\) 是 \(f(x)\) 的 \(\text{Fourier}\) 变换，记为 \(\widehat{f}(\omega)\) 或 \(F(f)\)，称 \({\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega x} \mathrm{d} \omega}\) 是 \(\widehat{f}(\omega)\) 的 \(\text{Fourier}\) 逆变换，并称 \({\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{e}^{-i \omega x} \mathrm{d} x\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega x} \mathrm{d} x}\) 是 \(f(x)\) 的 \(\text{Fourier}\) 积分公式
  1. \(\text{Riemann}\) 引理：\({\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty} \widehat{f}(\omega)=0}\)
  2. \(\text{Fourier}\) 变换的性质
    1. \(\widehat{f}(\omega)\) 是 \(\omega \in(-\infty,+\infty)\) 内的连续函数
    2. \(F\left(a_{1} f_{1}+a_{2} f_{2}\right)=a_{1} F\left(f_{1}\right)+a_{2} F\left(f_{2}\right)\)，其中 \(a_{1}, a_{2}\) 是两个任意给定的常数
    3. 对任何函数 \(f(x)\)，设 \(\tau_{s} f(x)=f(x-s)\)（即 \(f(x)\) 的平移），则 \(F\left(\tau_{s} f\right)=\mathrm{e}^{-i s \omega} F(f)\)
    4. 设 \(f(x) \rightarrow 0 \ (x \rightarrow \pm \infty)\)，则 \(F\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f\right)=\mathrm{i} \omega F(f)\) 或 \(\widehat{f}^{\prime}=\mathrm{i} \omega \widehat{f}\)
    5. \(F(-\mathrm{i} x f(x))=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \omega} F(f)\)
  卷积
  
  设函数 \(f\) 和 \(g\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上定义，且积分 \({\displaystyle (f * g)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) g(x-t) \mathrm{d} t}\) 存在，则称函数 \(f * g\) 为 \(f\) 和 \(g\) 的卷积
  1. 卷积的运算法则
    1. 交换律：\(f * g=g * f\)
    2. 结合律：\(f *\left(g_{1} * g_{2}\right)=\left(f * g_{1}\right) * g_{2}\)
    3. 分配律：\(f *\left(g_{1}+g_{2}\right)=f * g_{1}+f * g_{2}\)
  2. 卷积的 \(\text{Fourier}\) 变换：设函数 \(f\) 和 \(g\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上绝对可积，则有 \(F(f * g)=F(f) \cdot F(g)\)
  3. \(\text{Parseval}\) 等式：设函数 \(f\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上绝对可积，且 \({\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}[f(x)]^2 \mathrm{d} x}\) 收敛．记 \(f\) 的 \(\text{Fourier}\) 变换为 \(\widehat{f}\)，则
    
    \[ \int_{-\infty}^{+\infty}[f(x)]^2 \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}|\widehat{f}(\omega)|^2 \mathrm{d} \omega \]