3 积分法
3.1 常积分
3.1.1 不定积分
- 不定积分：若在某一区间上 \(F^{\prime}(x)=f(x)\)，则在该区间上函数 \(F(x)\) 称为函数 \(f(x)\) 的原函数．将函数 \(f(x)\) 的原函数的一般表达式称为 \(f(x)\) 的不定积分，记为 \({\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x}\)，即 \({\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C}\)
- 不定积分的运算法则
- \({\displaystyle \int[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int f(x) \mathrm{d} x \pm \int g(x) \mathrm{d} x}\)
- \({\displaystyle \int k f(x) \mathrm{d} x=k \int f(x) \mathrm{d} x}\)
- 换元积分：设 \(f(x)\) 连续，\(x=\varphi(t)\) 与 \(\varphi^{\prime}(t)\) 都连续，反函数 \(t=\varphi^{-1}(x)\) 存在且连续，\({\displaystyle \int f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t=F(t)+C}\)，则 \({\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=F\left(\varphi^{-1}(x)\right)+C}\)
- 分部积分公式：\({\displaystyle \int u \mathrm{d} v=u v - \int v \mathrm{d} u}\)
- 不定积分的运算法则
-
基本积分表
- \({\displaystyle \int x^\alpha \mathrm{d} x= \left\{\begin{aligned}&\dfrac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C, & \alpha \neq-1 \\ &\ln |x|+C, & \alpha=-1 \end{aligned}\right.}\)
- \({\displaystyle \int a^x \mathrm{d} x=\dfrac{a^x}{\ln a}+C}\)．特别地，\({\displaystyle \int \mathrm{e}^x \mathrm{d} x=\mathrm{e}^x+C}\)
-
\({\displaystyle \int \sin x \mathrm{d} x=-\cos x+C, \int \cos x \mathrm{d} x=\sin x+C}\)
\({\displaystyle \int \tan x \mathrm{d} x=-\ln |\cos x|+C, \int \cot x \mathrm{d} x=\ln |\sin x|+C}\)
\({\displaystyle \int \sec x \mathrm{d} x=\ln |\sec x+\tan x|+C, \int \csc x \mathrm{d} x=\ln |\csc x-\cot x|+C}\)
-
\({\displaystyle \int \operatorname{sinh} x \mathrm{d} x=\operatorname{cosh} x+C, \int \operatorname{cosh} x \mathrm{d} x=\operatorname{sinh} x+C}\)
-
\({\displaystyle \int \dfrac{\mathrm{d} x}{x^2-a^2}=\dfrac{1}{2 a} \ln \left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C, \int \dfrac{\mathrm{d} x}{x^2+a^2}=\dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{x}{a}+C}\)
\({\displaystyle \int \dfrac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \dfrac{x}{a}+C, \int \dfrac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}\right|+C}\)
-
\({\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2} x \sqrt{a^2-x^2}+\dfrac{a^2}{2} \arcsin \dfrac{x}{a}+C}\)
\({\displaystyle \int \sqrt{x^2 \pm a^2} \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2}\left(x \sqrt{x^2 \pm a^2} \pm a^2 \ln \left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}\right|\right)+C}\)
3.1.2 定积分
-
定积分：设函数 \(f(x)\) 是定义在 \([a, b]\) 上，在 \((a, b)\) 中任意插入若干分点 \(a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b\) 划分区间 \([a, b]\)，在每一个部分区间 \(\left[x_{i-1}, x_{i}\right]\) 中任取一点 \(\xi_{i}\)，作和式 \({\displaystyle \sigma=\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}}\)，其中 \(\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}\)．设 \({\displaystyle \lambda=\max _{i=1,2, \cdots, n}\left\{\Delta x_{i}\right\}}\)，当 \(\lambda \rightarrow 0\) 时，若 \({\displaystyle I=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}}\)，且此极限值不依赖于 \(\xi_{i}\) 的选择，也不依赖于对 \([a, b]\) 的分法，则称此极限值为 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的定积分，记为 \({\displaystyle I=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\)，数 \(a\) 和 \(b\) 分别称为积分下限和积分上限，和式 \(\sigma\) 称为 \(f(x)\) 的积分和，上述定义被称为 \(\text{Riemann}\) 积分
- 若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 可积，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 必定有界
- 设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，作函数 \(F(x)={\displaystyle \int_{a}^{x} f(t)} \mathrm{d} t \ (a \leqslant x \leqslant b)\)，则 \(F(x)\) 是 \([a, b]\) 上的连续函数
-
可积函数类
- \([a, b]\) 上的连续函数在 \([a, b]\) 上必可积
- 只有有限个第一类不连续点的函数是可积的，即分段连续函数是可积的
- 单调有界函数必定可积
\(\text{Riemann}\) 函数
\[ f(x)= \left\{\begin{aligned} & \dfrac{1}{q}, & x=\dfrac{p}{q} \in \mathbf Q, q, p \textsf{ 为互质的整数且 } q > 0 \\ & 0, & x \in \mathbf R - \mathbf Q \end{aligned}\right. \]上述 \(f(x)\) 具有无穷多个不连续点，但在 \([0,1]\) 上可积
-
\(\text{Darboux}\) 和：设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 有界，在 \([a, b]\) 插入分点 \(a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b\)，将 \([a, b]\) 分成 \(n\) 个小区间 \(\left[x_{i-1}, x_{i}\right](i=1,2, \cdots, n)\)，记
\[ \begin{aligned} &M_{i}=\sup \left\{f(x) \mid x \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]\right\} \\ &m_{i}=\inf \left\{f(x) \mid x \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]\right\} \end{aligned} \quad (i=1,2, \cdots, n) \]\(\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}\)，作和式 \({\displaystyle \overline{S}=\sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i}, \underline{S}=\sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta x_{i}}\) 分别称为对于这一分法的 \(\text{Darboux}\) 上和与 \(\text{Darboux}\) 下和
- 如果在原有的分点中加入新的分点，对应的上和与下和分别记为 \(\overline{S}^{\prime}\) 及 \(\underline{S}^{\prime}\)，则 \(\overline{S}{ }^{\prime} \leqslant \overline{S}, \underline{S}^{\prime} \geqslant \underline{S}\)
- 分别用 \(M\) 及 \(m\) 记 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 的上确界及下确界，则对于一切分法，上和的集合 \(\{\overline{S}\}\) 有下界 \(m(b-a)\)，下和的集合 \(\{\underline{S}\}\) 有上界 \(M(b-a)\)
- 任一个下和 \(\underline{S}\) 总不超过任一个上和 \(\overline{S}\)
- \(\text{Darboux}\) 定理：对任何在 \([a, b]\) 有界的函数 \(f(x)\)，必有 \({\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow 0} \overline{S}=L, \lim _{\lambda \rightarrow 0} \underline{S}=l}\)，其中 \(\lambda\) 规定为对任意的分法 \(a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b, {\displaystyle \lambda=\max _{i=1,2, \cdots, n}\left\{\Delta x_{i}\right\}}\)
-
有界函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上 \(\text{Riemann}\) 可积的充要条件是函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上所有不连续点组成的点集是一个零测度集
- 有界函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 可积的充要条件是 \({\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow 0} \overline{S}=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \underline{S}}\)
- 有界函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积的充要条件是对任意给定的两个正数 \(\varepsilon>0\) 及 \(\sigma>0\)，存在 \(\delta>0\)，当对 \([a, b]\) 的任一分法 \(a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b\) 满足 \({\displaystyle \lambda=\max _{i=1,2, \cdots, n}\left\{\Delta x_{i}\right\}<\delta}\) 时，对应于幅度 \(\omega_{i^{\prime}} \geqslant \varepsilon\) 的那些部分区间 \(\left[x_{i^{\prime}-1}, x_{i^{\prime}}\right]\) 的长度之和 \({\displaystyle \sum_{i^{\prime}} \Delta x_{i^{\prime}}<\sigma}\)
- 定积分的性质
- 若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，\(k\) 为一实数，则 \(k f(x)\) 在 \([a, b]\) 上也可积，且有 \({\displaystyle \int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\)
- 若 \(f(x), g(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，则 \(f(x) \pm g(x)\) 在 \([a, b]\) 上也可积，且有 \({\displaystyle \int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x}\)
- 若 \(f(x), g(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，则 \(f(x) \cdot g(x)\) 与 \(|f(x)|\) 在 \([a, b]\) 上也可积
- 若 \(a<c<b\) 且 \(f(x)\) 在 \([a, c],[c, b]\) 上可积，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上也可积，且有 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\)；反之若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，则 \(f(x)\) 在 \([a, c]\) 与 \([c, b]\) 上也同时可积，且上述等式成立
- 若可积函数 \(f(x) \geqslant 0\)，则 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 0}\)，其中 \(a < b\)
- 若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，则 \({\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x}\)
-
中值定理
-
积分第一中值定理：若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，\(g(x)\) 在 \([a, b]\) 上不变号且在 \([a, b]\) 上可积，则在 \([a, b]\) 中存在一点 \(\xi\)，使
\[ \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \] -
积分第二中值定理：设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，\(g(x)\) 在 \([a, b]\) 上单调，则存在 \(\xi \in[a, b]\)，使得
\[ \int_a^b f(x) g(x) d x=g(a) \int_a^{\xi} f(x) d x+g(b) \int_{\xi}^b f(x) d x \]特别地，如果 \(g(x)\) 单调递增且 \(g(a) \geqslant 0\)，则存在 \(\xi\) 使得 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\)；如果 \(g(x)\) 单调递减且 \(g(b) \geqslant 0\)，则存在 \(\xi\) 使得 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x}\)
-
-
微积分基本定理：设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，\(F^{\prime}(x)=\) \(f(x)\)，则 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)=F(x)\bigg|_{a} ^{b}}\)．该公式也被称为 \(\text{Newton}-\text{Leibniz}\) 公式
- 变限积分：若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，则函数 \({\displaystyle G(x)=\int_{a}^{t} f(t) \mathrm{d} t}\) 在 \([a, b]\) 上可导且 \(G^{\prime}(x)=f(x)\)
- 定积分的还原：设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，作代换 \(x=\varphi(t)\)，其中 \(\varphi(t)\) 在闭区间 \([\alpha, \beta]\) 上有连续导数 \(\varphi^{\prime}(t)\)．当 \(\alpha \leqslant t \leqslant \beta\) 时，\(a \leqslant \varphi(t) \leqslant b\) 且 \(\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b\)，则 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t}\)
- 定积分的分部积分公式：若 \(u^{\prime}(x), v^{\prime}(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，则 \({\displaystyle \int_{a}^{b} u v^{\prime} \mathrm{d} x=(u v)\bigg|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} u^{\prime} v \mathrm{d} x}\)
3.1.3 重积分
-
二重积分：设 \(D\) 为 \(\mathbf{R}^{2}\) 上的零边界闭区域，函数 \(z=f(x, y)\) 在 \(D\) 上有界．将 \(D\) 用曲线网分成 \(n\) 个小区域 \(\Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n}\)（它称为 \(D\) 的一个划分），并记所有的小区域 \(\Delta D_{i}\) 的最大直径为 \(\lambda\)，即
\[ \lambda=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{\operatorname{diam} \Delta D_{i}\right\} \]在每个 \(\Delta D_{i}\) 上任取一点 \(\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)\)，记 \(\Delta \sigma_{i}\) 为 \(\Delta D_{i}\) 的面积，若 \(\lambda\) 趋于零时，和式 \({\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}}\) 的极限存在且与区域的分法和点 \(\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)\) 的取法无关，则称 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积，并称此极限为 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上的二重积分，记为
\[ \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma =\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} \]\(f(x, y)\) 称为被积函数，\(D\) 称为积分区域，\(x\) 和 \(y\) 称为积分变量，\(\mathrm{d} \sigma\) 称为面积元素，\({\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma}\) 也称为积分值
-
面积与划分
- 划分：设 \(D\) 为 \(\mathbf{R}^{2}\) 上的有界子集，\(U=[a, b] \times[c, d]\) 为包含 \(D\) 的一个闭矩形．在 \([a, b]\) 中插入分点 \(a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b\) 在 \([c, d]\) 中插入分点 \(c=y_{0}<y_{1}<\cdots<y_{m}=d\)，过这些分点作平行于坐标轴的直线，将 \(U\) 分成许多小矩形 \(U_{i, j}=\left[x_{i-1}, x_{i}\right] \times\left[y_{j-1}, y_{j}\right] \ (i=1,2, \cdots, n ; j=1,2, \cdots, m)\)，称为 \(U\) 的一个划分
- 若在原有划分的基础上，在 \([a, b]\) 和 \([c, d]\) 中再增加有限个分点（所得的新划分称为原来划分的细分），则 \(m B\) 不增，\(m A\) 不减；且任意一种划分所得到的 \(m A\) 不大于任意一种划分所得到的 \(m B\)，这些 \(m A\) 有一个上确界 \(m D\)，\(m B\) 有一个下确界 \(m D^{*}\)，并且 \(m D \leqslant m D^{*}\)．若 \(m D=m D^{*}\)，则称这个值为 \(D\) 的面积，记为 \(m D\)，此时称 \(D\) 是可求面积的
- 记与 \(\partial(D)\) 的交集非空的那些小矩形的面积之和为 \(m B_{\partial(D)}\)，若所有 \(m B_{\partial p}\) 的下确界 \(m \partial(D^{*})=0\)，则称 \(\partial(D)\) 的面积为零．边界的面积为零的有界区域称为零边界区域
- 有界点集 \(D\) 是可求面积的充分必要条件是其边界 \(\partial(D)\) 的面积为 \(0\)．因此零边界区域是可求面积的\
-
\(\text{Darboux}\) 和：设 \(M_{i}\) 和 \(m_{i}\) 分别为 \(f(x, y)\) 在 \(\Delta D_{i}\) 上的上确界与下确界，定义 \(\text{Darboux}\) 大和为 \({\displaystyle S=\sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta \sigma_{i}}\)，\(\text{Darboux}\) 小和为 \({\displaystyle s=\sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta \sigma_{i}}\)
- 若在已有的划分上添加有限条曲线作进一步划分，则 \(\text{Darboux}\) 大和不增，\(\text{Darboux}\) 小和不减
- 任何一个 \(\text{Darboux}\) 小和都不大于任何一个 \(\text{Darboux}\) 大和．因此若记 \(I^{*}=\) \(\inf \{S\}, I_{*}=\sup \{s\}\)（这里上、下确界是对所有划分来取的），则有 \(s \leqslant I_{*} \leqslant I^{*} \leqslant S\)
- \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积的充分必要条件是 \({\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow 0}(S-s)=0}\)
- 若 \(f(x, y)\) 在零边界闭区琙 \(D\) 上连续，那么它在 \(D\) 上可积
-
-
\(n\) 重积分：设 \(\Omega\) 为 \(\mathbf{R}^{n}\) 上的零边界闭区域，函数 \(u=f(\boldsymbol{x})\) 在 \(\Omega\) 上有界．将 \(\Omega\) 用曲面网分成 \(n\) 个小区域 \(\Delta \Omega_{1}, \Delta \Omega_{2}, \cdots, \Delta \Omega_{n}\)（称为 \(\Omega\) 的一个划分），记 \(\Delta V_{i}\) 为 \(\Delta \Omega_{i}\) 的体积，并记所有的小区域 \(\Delta \Omega_{i}\) 的最大直径为 \(\lambda\)．在每个 \(\Delta \Omega_{i}\) 上任取一点 \(\boldsymbol{x}_{i}\)，若 \(\lambda\) 趋于零时，和式 \({\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right) \Delta V_{i}}\) 的极限存在且与区域的分法和点 \(x_{i}\) 的取法无关，则称 \(f(x)\) 在 \(\Omega\) 上可积，并称此极限为 \(f(x)\) 在有界闭区域 \(\Omega\) 上的 \(n\) 重积分，记为
\[ \int_{\Omega} f \mathrm{d} V=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right) \Delta V_{i} \]\(f(x)\) 称为被积函数，\(\Omega\) 称为积分区域，\(x\) 称为积分变量，\(\mathrm{d} V\) 称为体积元素，\(\int_{\Omega} f \mathrm{d} V\) 也称为积分值
-
在 \(\mathbf{R}^{2}\) 中，\(f(x, y)\) 在 \(D\) 上的二重积分记为 \({\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\)
在 \(\mathbf{R}^{3}\) 中，\(f(x, y, z)\) 在 \(\Omega\) 上的三重积分记为 \({\displaystyle \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z}\) 或 \({\displaystyle \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V}\)
而在 \(\mathbf{R}^{n}\) 中，\(f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)\) 在 \(\Omega\) 上的 \(n\) 重积分记为 \({\displaystyle \iint \mathop{\cdots} \limits_{\Omega} \int f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{n}}\) 或 \({\displaystyle \int_{\Omega} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{n}}\)
-
重积分的性质：假定考虑的区域是 \(\mathbf{R}^{n} \ (n \geqslant 2)\) 中的零边界闭区域
-
线性性：设 \(f\) 和 \(g\) 都在区域 \(\Omega\) 上可积，\(\alpha, \beta\) 为常数，则 \(\alpha f+\beta g\) 在 \(\Omega\) 上也可积，并且
\[ \int_{\Omega}(\alpha f+\beta g) \mathrm{d} V=\alpha \int_{\Omega} f \mathrm{d} V+\beta \int_{\Omega} g \mathrm{d} V \] -
区域可加性：设区域 \(\Omega\) 被分成两个内点不相交的区域 \(\Omega_{1}\) 和 \(\Omega_{2}\)，如果 \(f\) 在 \(\Omega\) 上可积，则 \(f\) 在 \(\Omega_{1}\) 和 \(\Omega_{2}\) 上都可积；反之，如果 \(f\) 在 \(\Omega_{1}\) 和 \(\Omega_{2}\) 上可积，则 \(f\) 也在 \(\Omega\) 上可积．此时有 \({\displaystyle \int_{\Omega} f \mathrm{d} V=\int_{\Omega_{1}} f \mathrm{d} V+\int_{\Omega_{2}} f \mathrm{d} V}\)
- 设被积函数 \(f \equiv 1\)．当 \(n=2\) 时，\(\Omega\) 的面积为 \({\displaystyle \iint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\)；当 \(n \geqslant 3\) 时，\(\Omega\) 的体积为 \({\displaystyle \int_{\Omega} \mathrm{d} V}\)
- 保序型：设 \(f\) 和 \(g\) 都在区域 \(\Omega\) 上可积，且满足 \(f \leqslant g\)，则有 \({\displaystyle \int_{\Omega} f \mathrm{d} V \leqslant \int_{\Omega} g \mathrm{d} V}\)
- 设 \(f\) 在区域 \(\Omega\) 上可积，\(M\) 与 \(m\) 分别为 \(f\) 在 \(\Omega\) 上的上确界和下确界，则有 \({\displaystyle m V \leqslant \int_{\Omega} f \mathrm{d} V \leqslant M V}\)，其中 \(V\) 当 \(n=2\) 时为 \(\Omega\) 的面积，当 \(n>2\) 时为 \(\Omega\) 的体积
- 绝对可积性：设 \(f\) 在区域 \(\Omega\) 上可积，则 \(|f|\) 也在 \(\Omega\) 上可积，且有 \({\displaystyle \left|\int_{\Omega} f \mathrm{d} V\right| \leqslant \int_{\Omega}|f| \mathrm{d} V}\)
- 乘积可积性：设 \(f\) 和 \(g\) 都在区域 \(\Omega\) 上可积，则 \(f \cdot g\) 也在 \(\Omega\) 上可积
- 积分中值定理：设 \(f\) 和 \(g\) 都在区域 \(\Omega\) 上可积，且 \(g\) 在 \(\Omega\) 上不变号．设 \(M\) 与 \(m\) 分别为 \(f\) 在 \(\Omega\) 上的上确界和下确界，则存在常数 \(\mu \in[m, M]\)，使得 \({\displaystyle \int_{\Omega} f \cdot g \mathrm{d} V=\mu \int_{\Omega} g \mathrm{d} V}\)．特别地，如果 \(f\) 在 \(\Omega\) 上连续，则存在 \(\xi \in \Omega\)，使得 \({\displaystyle \int_{\Omega} f \cdot g \mathrm{d} V=f(\xi) \int_{\Omega} g \mathrm{d} V}\)
-
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重积分的计算
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设 \(f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)\) 在 \(n\) 维闭矩形 \(\Omega=\left[a_{1}, b_{1}\right] \times\left[a_{2}, b_{2}\right] \times \cdots \times\left[a_{n}, b_{n}\right]\) 上可积．记 \(\Omega_{*}=\left[a_{2}, b_{2}\right] \times \cdots \times\left[a_{n}, b_{n}\right]\)．若积分 \({\displaystyle h\left(x_{1}\right)=\int_{\Omega_{2}} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{n}}\) 对于每个 \(x_{1} \in\left[a_{1}, b_{1}\right]\) 存在，则 \(h\left(x_{1}\right)\) 在 \(\left[a_{1}, b_{1}\right]\) 上可积，并有
\[ \int_{\Omega} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{n}=\int_{a_{1}}^{h_{1}} h\left(x_{1}\right) \mathrm{d} x_{1}=\int_{a_{1}}^{b_{1}} \mathrm{d} x_{1} \int_{\Omega_{0}} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{n} \] -
累次积分：设 \(f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)\) 在 \(n\) 维闭矩形 \(\Omega=\left[a_{1}, b_{1}\right] \times\left[a_{2}, b_{2}\right] \times \cdots \times\left[a_{n}, b_{n}\right]\) 上连续，则有
\[ \int_{\Omega} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{n}=\int_{a_{1}}^{b_{1}} \mathrm{d} x_{1} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \mathrm{d} x_{2} \cdots \int_{a_{n-1}}^{b_{n-1}} \mathrm{d} x_{n-1} \int_{a_{n}}^{b_{n}} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mathrm{d} x_{n} \]
-
-
重积分的变量代换：设 \(\Omega\) 为 \(U\) 中具有分片光滑边界的有界闭域，\(U\) 为 \(\mathbf{R}^{n} \ (n>2)\) 上的开集，映射
\[ T: y_{1}=y_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), y_{2}=y_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), \cdots, y_{n}=y_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \]将 \(U\) 一一对应地映到 \(V \subseteq \mathbf{R}^{n}\) 上，因此其有逆变换 \(T^{-1}\)．进一步假设 \(y_1, y_2, \cdots, y_n\) 都具有连续偏导数，且这个映射的 \(\text{Jacobi}\) 行列式不等于零．如果 \(f\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)\) 是 \(T(\Omega)\) 上的连续函数，那么变量代换公式
\[ \int_{T(\Omega)} f\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right) \mathrm{d} y_{1} \mathrm{d} y_{2} \cdots \mathrm{d} y_{n}=\int_{\Omega} f\left(y_{1}(\boldsymbol{x}), y_{2}(\boldsymbol{x}), \cdots, y_{n}(\boldsymbol{x})\right)\left|\frac{\partial\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)}\right| \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x \]成立，其中 \(\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)\)
-
对于柱面坐标变换
\[ \left\{\begin{array}{l} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \\ z=z \end{array}\right. \]变换的 \(\text{Jacobi}\) 行列式为 \(\dfrac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}=r\)
-
对于球面坐标变换
\[ \left\{\begin{array}{l} x=r \sin \varphi \cos \theta \\ y=r \sin \varphi \sin \theta \\ z=r \cos \varphi \end{array}\right. \]变换的 \(\text{Jacobi}\) 行列式为 \(\dfrac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \varphi, \theta)}=r^{2} \sin \varphi\)
-
-
3.2 反常积分
3.2.1 无穷限反常积分
-
设函数 \(f(x)\) 在 \([a, \infty), (-\infty, a]\) 或 \((-\infty,+\infty)\) 有定义，称 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{-\infty}^{a} f(x) \mathrm{d} x}\) 或 \({\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x}\) 为无穷限反常积分
- 设函数 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 有定义，且对任意的 \(A \ (A>a)\) 在区间 \([a, A]\) 上可积．当极限 \({\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{a}^{A} f(x) \mathrm{d} x}\) 存在时，称极限值为 \(f(x)\) 在区间 \([a,+\infty)\) 上（或是从 \(a\) 到 \(+\infty\)）的反常积分的积分值，记作 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{a}^{A} f(x) \mathrm{d} x}\)．类似地可定义反常积分 \({\displaystyle \int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\) 的收敛和发散
- 对反常积分 \({\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x}\)，当 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x}\) 和 \({\displaystyle \int_{-\infty}^{a} f(x) \mathrm{d} x}\) 都收敛时（\(a\) 是一个任意固定的数），则称 \({\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x}\) 收敛，且有 \({\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{a} f(x) \mathrm{d} x+\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x}\)
无穷限反常积分具有如下性质：
- 设 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 可积，\(k\) 是常数，则 \(k f(x)\) 也可积且 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x}\)
- 设 \(f(x), g(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 可积，则 \(f(x) \pm g(x)\) 也可积且 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty}(f(x) \pm g(x)) \mathrm{d} x=\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x}\)
-
设 \(u(x), v(x), u^{\prime}(x), v^{\prime}(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 连续，又如果下面的等式中有两项存在，则第三项也存在且有
\[ \int_{a}^{+\infty} u \mathrm{d} v=u v\bigg|_{a} ^{+\infty}-\int_{a}^{+\infty} v \mathrm{d} u \] -
\(\text{Cauchy}\) 收敛原理：\({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x}\) 收敛的充要条件是对任意给定的 \(\varepsilon>0\)，存在 \(A>0\)，当 \(A^{\prime}, A^{\prime \prime}>A\) 时总有
\[ \left|\int_{A^{\prime}}^{A^{\prime \prime}} f(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon \] -
绝对收敛与条件收敛：设对任何 \(A>a\)，\(f(x)\) 在 \([a, A]\) 可积且 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x}\) 收敛，则称 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x}\) 绝对收敛．收敛但不绝对收敛的反常积分称为条件收敛．易知绝对收敛的反常积分必收敛，反之不然
-
收敛性判别：设对于任意 \(A>a\)，都有 \({\displaystyle \int_{a}^{A} f(x) \mathrm{d} x}\) 存在
- 比较判别法
- 如果 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{|f(x)|}{\varphi(x)}=l, 0 \leqslant l<+\infty}\) 且 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x}\) 收敛，则积分 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x}\) 绝对收敛
- 如果 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{|f(x)|}{\varphi(x)}=l, 0<l \leqslant+\infty}\) 且 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x}\) 发散，则积分 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x}\) 发散
- \(\text{Cauchy}\) 判别法
- 如果 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{|f(x)|}{\dfrac{1}{x^{p}}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{p}|f(x)|=l \ (0 \leqslant l<+\infty, p>1)}\)，则积分 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x}\) 绝对收敛
- 如果 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{p}|f(x)|=l}\)，而 \(0<l \leqslant+\infty, p \leqslant 1\)，则 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x}\) 发散
- \(\text{Abel}\) 判别法：如果 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上可积，\(g(x)\) 单调有界，则积分 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x}\) 收敛
- \(\text{Dirichlet}\) 判别法：如果对任何 \(A>a\)，都有 \({\displaystyle \left|\int_{a}^{A} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant K}\)，\(g(x)\) 单调且当 \(x\rightarrow+\infty\) 时趋向于零，则积分 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x}\) 收敛
- 比较判别法
- 主值：设 \(f(x)\) 在 \((-\infty, +\infty)\) 内无界，如果 \({\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{-A}^{A} f(x) \mathrm{d} x}\) 存在，则称此极限是反常积分 \({\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x}\) 的 \(\text{Cauchy}\) 主值，记为 \({\displaystyle \text {P.V. } \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{-A}^{A} f(x) \mathrm{d} x}\)
3.2.2 无界函数反常积分
-
设函数 \(f(x)\) 在 \(x=b\) 点的任一左邻域无界（称 \(b\) 点为 \(f(x)\) 的奇点），但对于任意充分小的正数 \(\eta\)，\(f(x)\) 在 \([a, b-\eta]\) 上可积，则称积分 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\) 是无界函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的反常积分
- 令 \({\displaystyle \phi(\eta)=\int_{a}^{b-\eta} f(x) \mathrm{d} x}\)，如果 \({\displaystyle \lim _{\eta \rightarrow 0} \phi(\eta)}\) 存在，则称此极限是反常积分的积分值，即 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\eta \rightarrow 0} \int_{a}^{b-\eta} f(x) \mathrm{d} x}\)，并称无界函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，又称反常积分 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\) 收敛．如果上述的极限不存在，则称积分 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\) 发散．如果 \(x=a\) 是 \(f(x)\) 的奇点，可以相仿地给出定义
- 如果 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 内部有一个奇点 \(c \in (a, b)\)，分别考察 \({\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x}\) 和 \({\displaystyle \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\)，若后两者都收敛，则称 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\) 收敛, 且 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\)，即 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\eta \rightarrow+0} \int_{a}^{c-\eta} f(x) \mathrm{d} x+\lim _{\eta^{\prime} \rightarrow+0} \int_{c+\eta^{\prime}}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\)
无界函数反常积分具有如下性质：
- \(\text{Cauchy}\) 收敛原理：若 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 有奇点，\({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\) 收敛的充要条件是对任意给定的 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，当 \(0<\eta, \eta^{\prime}<\delta\) 时总有 \({\displaystyle \left|\int_{a+\eta}^{a+\eta^{\prime}} f(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon}\)
- 绝对收敛与条件收敛：设对任何 \(\eta>0\)，\(f(x)\) 在 \([a, b-\eta]\) 上可积且 \({\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x}\) 收敛，则称 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\) 绝对收敛．收敛但不绝对收敛的反常积分称为条件收敛．易知绝对收敛的反常积分必收敛，反之不然
-
设 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\) 中的 \(f(x)\) 有奇点 \(a\)，作变换 \(y=\dfrac{1}{x-a}\)，则有
\[ {\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\frac{1}{b-a}}^{+\infty} \dfrac{f\left(a+\dfrac{1}{y}\right)}{y^{2}} \mathrm{d} y} \]是无穷限反常积分
-
收敛性判别
- \(\text{Cauchy}\) 判别法：设 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}(x-a)^{p}|f(x)|=k}\)
- 如果 \(0 \leqslant k<\infty, p<1\)，则 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\) 绝对收敛
- 如果 \(0<k \leqslant \infty, p \geqslant 1\)，则 \({\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x}\) 发散
- \(\text{Abel}\) 判别法：设 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 有奇点，\({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\) 收敛，\(g(x)\) 单调有界，则积分 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x}\) 收敛
- \(\text{Dirichlet}\) 判别法：设 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 有奇点，\({\displaystyle \int_{a+\eta}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\) 是 \(\eta\) 的有界函数，\(g(x)\) 单调且当 \(x \rightarrow a\) 时趋于零，则积分 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x}\) 收敛
- \(\text{Cauchy}\) 判别法：设 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}(x-a)^{p}|f(x)|=k}\)
- 主值：设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 内无界，\(c\) 是唯一奇点且 \(a<c<b\)．如果 \({\displaystyle \lim _{\eta \rightarrow 0}\left[\int_{a}^{c-\eta} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c+\eta}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right]}\) 存在，则称此极限是反常积分 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}\) 的 \(\text{Cauchy}\) 主值，记为 \({\displaystyle \text {P.V. } \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\eta \rightarrow 0}\left[\int_{a}^{c-\eta} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c+\eta}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right]}\)
3.2.3 反常重积分
-
无界区域上的反常二重积分：设 \(D\) 为平面 \(\mathbf{R}^{2}\) 上的无界区域，其边界是由有限条光滑曲线组成的．假设 \(D\) 上的函数 \(f(x, y)\) 具有下述性质：它在 \(D\) 中有界、在可求面积的子区域上可积，并假设所取的割线 \(\Gamma\) 为一条面积为零的曲线，它将 \(D\) 割出一个有界子区域，记为 \(D_{\Gamma}\)．若当 \(d(\Gamma)\) 趋于无穷大，即 \(D_{\Gamma}\) 趋于 \(D\) 时，\({\displaystyle \iint f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 的极限存在，就称 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积，并记 \({\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\lim _{d(\Gamma) \rightarrow+\infty} \iint_{D_{\Gamma}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 为 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上的反常二重积分，此时也称 \({\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 收敛．如果右端的极限不存在，就称这一积分发散
-
设 \(f(x, y)\) 为无界区域 \(D\) 上的非负函数，如果 \(\left\{\Gamma_{n}\right\}\) 是一列曲线，其割出的 \(D\) 的有界子区域 \(\left\{D_{n}\right\}\) 满足
\[ D_{1} \subseteq D_{2} \subseteq \cdots \subseteq D_{n} \subseteq \cdots, \lim _{n \rightarrow \infty} d\left(\Gamma_{n}\right)=+\infty \]则反常积分 \({\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 在 \(D\) 上收敛的充分必要条件是数列 \({\displaystyle \left\{\iint_{D_{n}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right\}}\) 收敛，且在收敛时有
\[ \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\lim _{n \rightarrow \infty} \iint_{D_{n}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]- 设 \(D\) 为 \(\mathbf{R}^{2}\) 上具有分段光滑边界的无界区域，则 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积的充分必要条件是 \(|f(x, y)|\) 在 \(D\) 上可积
-
设 \(f(x, y)\) 在 \(D=[a,+\infty) \times[c,+\infty)\) 上连续，且 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{c}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y}\) 和 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{c}^{+\infty}|f(x, y)| \mathrm{d} y}\) 都存在，则 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积且
\[ \iint_{(a,+\infty \mid(\mid c,+\infty)} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\int_{a}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{c}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y \] -
设一一对应映射 \(T: D \rightarrow T(D)\)
\[ \left\{\begin{array}{l} x=x(u, v) \\ y=y(u, v) \end{array}\right. \]具有连续导数，且 \(\text{Jacobi}\) 行列式 \(\dfrac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\) 在 \(D\) 上不等于零，则变量代换公式
\[ \iint_{T(D)} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\iint_{D} f(x(u, v), y(u, v))\left|\dfrac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{d} v \]依然成立，并且等式某一边的积分收敛可以推出另一个积分收敛
-
比较判别法：设 \(D\) 为 \(\mathbf{R}^{2}\) 上具有分段光滑边界的无界区域，在 \(D\) 上有 \(0 \leqslant f(x, y) \leqslant g(x, y)\)．则
- 当 \({\displaystyle \iint_{D} g(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 收敛时，\({\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 也收敛
- 当 \({\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 发散时，\({\displaystyle \iint_{D} g(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 也发散
-
\(\text{Cauchy}\) 判别法：设 \(D\) 为用极坐标表示的区域
\[ D=\{(r, \theta) \mid a \leqslant r<+\infty, \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \ (\alpha, \beta \in[0,2 \pi])\} \ (a>0) \]其中 \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot f(x, y)\) 为定义在 \(D\) 上的函数．则
- 如果存在正常数 \(M\)，使得在 \(D\) 上有 \(|f(x, y)| \leqslant \dfrac{M}{r^{p}}\)，则当 \(p>2\) 时，\({\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 收敛
- 如果存在正常数 \(m\)，使得在 \(D\) 上有 \(|f(x, y)| \geqslant \dfrac{m}{r^{p}}\)，则当 \(p \leqslant 2\) 时，\({\displaystyle \iint_{j} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 发散
-
-
无界函数的反常二重积分：设 \(D\) 为 \(\mathbf{R}^{2}\) 上的有界区域，点 \(P_{0} \in D, f(x, y)\) 在 \(D - \left\{P_{0}\right\}\) 上有定义，但在点 \(P_{0}\) 的任何去心邻域内都无界，此时称 \(P_{0}\) 为 \(f\) 的奇点．设 \(\gamma\) 为内部含有 \(P_{0}\) 的、面积为零的闭曲线，记 \(\sigma\) 为其所包围的区域．并设二重积分 \({\displaystyle \iint_{D-\sigma} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 总是存在．设 \(\rho(\gamma)=\sup \left\{\left|P-P_{0}\right| \mid P \in \gamma\right\}\)．若 \(\rho(\gamma)\) 趋于零时，\({\displaystyle \iint_{D - \sigma} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 的极限存在，则称 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积，并记
\[ \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\lim _{\rho(y) \rightarrow 0} \iint_{D -\sigma} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y, \]为无界函数 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上的反常二重积分，此时也称无界函数的反常二重积分 \({\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\) 收敛．如果右端的极限不存在，则称这一反常二重积分发散
3.3 含参变量积分
3.3.1 含参变量的常义积分
-
设函数 \(f(x, y)\) 在矩形 \([a, b] \times [c, d]\) 上连续，称积分 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 为含参变量的积分，参变量是 \(y\)
- 设 \(f(x, y)\) 在矩形 \([a, b] \times [c, d]\) 上连续，则 \({\displaystyle I(y)=\int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 是 \([c, d]\) 上的连续函数
- 设 \(f(x, y)\) 及 \(f_{y}(x, y)\) 都在闭矩形 \([a, b] \times [c, d]\) 上连续，则 \({\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} \int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f_{y}(x, y) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} \dfrac{\partial}{\partial y} f(x, y) \mathrm{d} x}\)
- 若 \(f(x, y)\) 在闭矩形 \([a, b] \times [c, d]\) 上连续，函数 \(a(y)\) 及 \(b(y)\) 都在 \([c, d]\) 上连续并且 \(a \leqslant a(y) \leqslant b, a \leqslant b(y) \leqslant b\)（其中 \(c \leqslant y \leqslant d\)），则 \({\displaystyle F(y)=\int_{a(y)}^{b(y)} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 在 \([c, d]\) 上连续
-
若函数 \(f(x, y)\) 及 \(f_{y}(x, y)\) 都在 \([a, b] \times [c, d]\) 上连续，同时在 \([c, d]\) 上 \(a^{\prime}(y)\) 及 \(b^{\prime}(y)\) 皆存在，并且 \(a \leqslant a(y) \leqslant b, a \leqslant b(y) \leqslant b \ (c \leqslant y \leqslant d)\)，则
\[ F^{\prime}(y) =\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} \int_{a(y)}^{b(y)} f(x, y) \mathrm{d} x =\int_{a(y)}^{b(y)} f_{y}(x, y) \mathrm{d} x+f[b(y), y] b^{\prime}(y)-f[a(y), y] a^{\prime}(y) \] -
若 \(f(x, y)\) 在矩形 \([a, b] \times [c, d]\) 上连续，则 \({\displaystyle \int_{c}^{d} \mathrm{d} y \int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} \mathrm{d} x \int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y}\)
3.3.2 含参变量的反常积分
形如 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 的积分称为含参变量 \(y\) 的反常积分
-
一致收敛积分
- 一致收敛积分的定义
- 无穷限积分的一致收敛：若对任意给定的 \(\varepsilon>0\)，存在 \(A_{0}(\varepsilon)>a\)（此 \(A(\varepsilon)\) 仅与 \(\varepsilon\) 有关），当 \(A^{\prime}, A \geqslant A_{0}\) 时，对一切 \(y \in[c, d]\) 有 \({\displaystyle \left|\int_{A}^{1} f(x, y) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon}\) 或 \({\displaystyle \left|\int_{A}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon}\) 则称 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 关于 \(y \in[c, d]\) 一致收敛
- 无界函数积分的一致收敛：设 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 对于 \([c, d]\) 上的每一个 \(y\) 值有一个奇点 \(x=b\)，又设对每一个 \(y\)，这个有奇点的反常积分存在．如果对于任何 \(\varepsilon>0\)，存在与 \([c, d]\) 上的 \(y\) 无关的 \(\delta_{0}(\varepsilon)\)，使当 \(0<\eta, \eta^{\prime}<\delta_{0}(\varepsilon)\) 时 \({\displaystyle \left|\int_{b-\eta}^{b-\eta^{\prime}} f(x, y) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon}\) 或 \({\displaystyle \left|\int_{b-\eta}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon}\) 成立，就称 \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 关于 \(y\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛
-
一致收敛积分的判别
- \(\text{Weierstrass}\) 判别法：设有函数 \(F(x)\)，使 \(|f(x, y)| \leqslant F(x), a \leqslant x<+\infty, c \leqslant y \leqslant d\)．如果积分 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} F(x) \mathrm{d} x}\) 收敛，那么 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 关于 \(y\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛
- \(\text{Abel}\) 判别法：设 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 关于 \(y \in[c, d]\) 为一致收敛，\(g(x, y)\) 对 \(x\) 单调（即对每个固定的 \(y \in[c, d]\)，\(g(x, y)\) 作为 \(x\) 的函数是单调的），并且关于 \(y\) 为一致有界，即存在正数 \(L\)，对所讨论范围内的一切 \(x, y\) 成立 \(|g(x, y)|<L\)．那么积分 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x, y) g(x, y) \mathrm{d} x}\) 关于 \(y\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛
- \(\text{Dirichlet}\) 判别法：设积分 \({\displaystyle \int_{a}^{A} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 对于 \(A \geqslant a\) 和 \(y \in[c, d]\) 一致有界，\(g(x, y)\) 关于 \(x\) 单调，且当 \(x \rightarrow+\infty\) 时，\(g(x, y)\) 关于 \([c, d]\) 上的 \(y\) 一致趋于零，那么积分 \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x, y) g(x, y) \mathrm{d} x}\) 关于 \(y\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛
符号函数
定义符号函数 \(\operatorname{sgn}(x)={\displaystyle \dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\sin x t}{t} \mathrm{d} t}=\left\{\begin{aligned} & 1, & x > 0 \\ & 0, & x = 0 \\ & -1, & x < 0 \end{aligned}\right.\)
-
一致收敛积分的性质
- 连续性定理：设 \(f(x, y)\) 在 \([a,+\infty) \times [c, d]\) 上连续, \({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 关于 \(y\) 在 \([c, d]\) 上一致收敛, 那么 \({\displaystyle I(y)=\int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 是 \(y\) 在 \([c, d]\) 上的连续函数
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积分顺序交换定理：设函数 \(f(x, y)\) 在 \([a,+\infty) \times [c, d]\) 上连续，\({\displaystyle \int_{u}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 关于 \(y \in[c, d]\) 一致收敛，那么 \({\displaystyle I(y)=\int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 在 \([c, d]\) 上的积分可以在积分号下进行
\[ \int_{c}^{d} \mathrm{d} y \int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x=\int_{a}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y \] -
积分号下求导的定理：设 \(f(x, y), f_{y}(x, y)\) 在 \([a,+\infty) \times [c, d]\) 上连续，\({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 存在，\({\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f_{y}(x, y) \mathrm{d} x}\) 关于 \(y\) 在 \([c, d]\) 上一致收剑．那么 \({\displaystyle I(y)=\int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x}\) 的导数存在，且 \({\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} \int_{a}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x=\int_{a}^{+\infty} \dfrac{\partial}{\partial y} f(x, y) \mathrm{d} x}\)
- 一致收敛积分的定义
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\(\text{Euler}\) 积分
- \(\text{Beta}\) 函数（或称 \(\mathrm{B}\) 函数、第一类 \(\text{Euler}\) 积分）：\({\displaystyle \mathrm{B}(p, q)=\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{d} x}\)
- 连续性：对任何 \(p>0, q>0\)，存在 \(p_{0}, q_{0}\) 使 \(p \geqslant p_{0}>0, q \geqslant q_{0}>0\)．因为 \(x^{p-1}(1-x)^{q-1} \leqslant x^{p_{0}-1}(1-x)^{q_{0}-1}\)，而 \({\displaystyle \int_{0}^{1} x^{p_{0}-1}(1-x)^{q_{0}-1} \mathrm{d} x}\) 收敛，所以 \(\mathrm{B}(p, q)\) 在 \(\left[p_{0}, +\infty) \times [q_{0},+\infty\right)\) 上一致收敛，从而 \(\mathrm{B}(p, q)\) 在 \(p>0, q>0\) 时连续
- 第二表达式：\(\mathrm{B}(p, q)={\displaystyle 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2 p-1} \theta \sin ^{2 q-1} \theta \mathrm{d} \theta}\)
- \(\text{Gamma}\) 函数（或称 \(\Gamma\) 函数、第二类 \(\text{Euler}\) 积分）：\({\displaystyle \Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty} x^{s-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x}\)
- 连续性：\({\displaystyle \Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty} x^{s-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x}\) 在任何 \(\left[s_{0}, S_{0}\right] \ \left(0<s_{0}<S_{0}\right)\) 上一致收敛
- 递推公式：\(\Gamma(s+1)=s \Gamma(s) \ (s>0)\)．设 \(s=n+1\) 为正整数，则 \({\displaystyle \Gamma(n+1)=n ! \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x=n !}\)
两类 \(\text{Euler}\) 积分的关系：\(\mathrm{B}(p, q)=\dfrac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} \ (p>0, q>0)\)
- \(\text{Beta}\) 函数（或称 \(\mathrm{B}\) 函数、第一类 \(\text{Euler}\) 积分）：\({\displaystyle \mathrm{B}(p, q)=\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{d} x}\)