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3 留数理论

3.1 留数理论

3.1.1 留数定理

  1. 设 \(a\) 为函数 \(f(z)\) 的孤立奇点，则\(f(z)\) 在孤立奇点 \(a\) 的留数定义为 \({\displaystyle \operatorname{Res}[f(z), a]=\dfrac{1}{2 \pi \mathrm i} \oint_{|z-a|=r} f(z) \mathrm d z}\)，其中 \(0<r<R\)
    1. 设 \(a \neq \infty\) 是 \(f(z)\) 的 \(m(\geqslant 1)\) 阶极点，则 \({\displaystyle \operatorname{Res}[f(z), a]=c_{-1}=\dfrac{1}{(m-1)!} \lim _{z \rightarrow a} \dfrac{\mathrm d^{m-1}}{\mathrm d z^{m-1}}\left[(z-a)^{m} f(z)\right]}\)
    2. 若 \(a\) 是 \(f(z)\) 的一阶极点，则 \({\displaystyle \operatorname{Res}[f(z), a]=\lim _{z \rightarrow a}(z-a) f(z)}\)
    3. 设 \(f(z)=\dfrac{p(z)}{q(z)}\)，\(p(z)\) 和 \(q(z)\) 都在 \(a\) 点处解析且 \(p(a) \neq 0, q(a)=0, q^{\prime}(a) \neq 0\)，则 \(\operatorname{Res}[f(z), a]=\dfrac{p(a)}{q^{\prime}(a)}\)
  2. 设函数 \(f(z)\) 在闭路 \(\gamma\) 及其内部 \(D\) 中除去 \(n\) 个孤立奇点 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\) 外解析，则 \({\displaystyle \oint_{\gamma} f(z) \mathrm d z=2 \pi \mathrm i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[f(z), z_{k}\right]}\)
  3. 若函数 \(f(z)\) 在 \(C\) 上除去点 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\) 外解析，则 \(f(z)\) 在所有孤立奇点（包括 \(z=\infty\) 在内）的留数之和为零，即 \({\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[f(z), z_{k}\right]+\operatorname{Res}[f(z), \infty]=0}\)

3.1.2 留数与积分

  1. 为求实函数在实轴或实轴上的某一段 \(I\) 上的积分，在 \(I\) 上适当附加某一曲线使其构成一闭路 \(\Gamma\)，其内部为 \(D\)，同时选取适当函数 \(F(z)\)，在 \(\overline{D}\) 上对 \(F(z)\) 应用留数定理，将实轴上 \(f(x)\) 的积分转化为计算 \(F(z)\)

    1. 若函数 \(f(z)\) 在域 \(D: 0<|z-a| \leqslant r, \theta_{1} \leqslant \arg (z-a) \leqslant \theta_{2}\) 上连续，且 \({\displaystyle \lim _{\substack{z \rightarrow a \\ z \in D}}(z-a) f(z)=A}\)，则

      \[ \lim _{\rho \rightarrow 0} \int_{\Gamma_{\rho}} f(z) \mathrm d z=i\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right) A \]

      其中 \(\Gamma_{\rho}: z=a+\rho e^{i \theta}, \theta_{1} \leqslant \theta \leqslant \theta_{2}, 0<\rho<r\)

    2. 若函数 \(f(z)\) 在域 \(D: R \leqslant|z-a| \leqslant+\infty, \theta_{1} \leqslant \arg (z-a) \leqslant \theta_{2}\) 上连续，且 \({\displaystyle \lim _{\substack{z \rightarrow+\infty \\ z \in D}}(z-a) f(z)=A}\)，则

      \[ \lim _{\rho \rightarrow \infty} \int_{\Gamma_{\rho}} f(z) \mathrm d z=A \mathrm i\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right) \]

      其中 \(\Gamma_{\rho}: z=a+\rho e^{i \theta}, \theta_{1} \leqslant \theta \leqslant \theta_{2}, \rho>R\)

    3. \(\text{Jordan}\) 引理：若函数 \(f(z)\) 在 \(R_{0} \leqslant |z|<\infty, \operatorname{Im} (z) \geqslant-a(a>0)\) 上连续，且 \({\displaystyle \lim _{\substack{z \rightarrow \infty \\ \operatorname{Im} (z) \geqslant-a}} f(z)=0}\)，则对任意正的常数 \(\lambda\) 都有

      \[ \lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{\Gamma_{R}} e^{i \lambda z} f(z) \mathrm d z=0 \]

      其中 \(\Gamma_{R}: z=R e^{i \varphi}, \operatorname{Im} (z) \geqslant-a, R>R_{0}\)

  2. 用留数计算实积分

    1. 积分 \({\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm d x}\) 的计算：若函数 \(f(z)\) 在上半平面除去有穷孤立奇点 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\) 外及实轴上解析且 \({\displaystyle \lim _{\substack{z \rightarrow \infty \\ \operatorname{Im} (z) \geqslant 0}} z f(z)=0}\)，则 \({\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm d x=2 \pi \mathrm i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[f(z), z_{k}\right]}\)．特别地，若 \(f(z)\) 是有理函数 \(\dfrac{P(z)}{Q(z)}\) 且 \(Q(z)\) 在实轴上无零点，且 \(Q(z)\) 的次数比 \(P(z)\) 至少大 \(2\)，则前式成立
    2. 积分 \({\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} R(\cos \theta, \sin \theta) d \theta}\) 的计算：\(R(x, y)\) 是关于 \(x\) 与 \(y\) 两个变量的有理函数
      1. 把原积分化为有理函数的积分 \({\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} R(\cos \theta, \sin \theta) \mathrm d \theta=\int_{-\infty}^{\infty} R\left(\dfrac{1-u^{2}}{1+u^{2}}, \dfrac{2 u}{1+u^{2}}\right) \dfrac{2}{1+u^{2}} \mathrm d u}\)
      2. 令 \(z=e^{\mathrm i \theta}\)，则 \({\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} R(\cos \theta, \sin \theta) \mathrm d \theta=\oint_{|z|=1} R\left(\dfrac{1}{2}\left(z+\dfrac{1}{z}\right), \dfrac{1}{2 \mathrm i}\left(z-\dfrac{1}{z}\right)\right) \dfrac{1}{i z} \mathrm d z}\)．若 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\) 是 \(z\) 的有理函数 \(F(z)=\dfrac{1}{\mathrm i z} R\left\{\dfrac{1}{2}\left(z+\dfrac{1}{z}\right), \dfrac{1}{2 \mathrm i}\left(z-\dfrac{1}{z}\right)\right\}\) 在圆 \(|z|<1\) 内的极点，则 \({\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} R(\cos \theta, \sin \theta) d \theta=2 \pi \mathrm i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[F(z), z_{k}\right]}\)

  3. 多值函数的积分

    1. 若函数 \(f(z)\) 在 \(\mathbf{C}_{\infty}\) 上除去点 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\) 外是解析的，\(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\) 不在包括原点的正实轴上，\(z=\infty\) 是 \(f(z)\) 的零点（其级数 \(m \geqslant 1\)），则 \({\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) x^{p-1} \mathrm d x=\dfrac{2 \pi \mathrm i}{1-e^{2 \pi p \mathrm i}} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[z^{p-1} f(z), z_{k}\right]}\)，其中 \(0<\operatorname{Im} (\ln z)=\arg z<2 \pi\) 且 \(z^{p-1}=e^{(p-1) \ln z}\)．特别地，若 \(f(z)\) 是有理函数 \(\dfrac{P(z)}{Q(z)}\) 且 \(Q(z)\) 在包括原点的正实轴上没有零点，其次数比 \(P(z)\) 至少大 \(1\)，则前式成立
    2. 设函数 \(f(z)\) 在 \(\mathbf{C}_{\infty}\) 上除去点 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\) 外是解析的（\(z=\infty\) 是 \(f(z)\) 的可去奇点），且 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\) 不在线段 \([0,1]\) 上，则 \({\displaystyle \int_{0}^{1} x^{a-1}(1-x)^{-a} f(x) \mathrm d x=\dfrac{C_{0} \pi}{\sin \pi a}-\dfrac{\pi}{e^{a \pi \mathrm i} \sin \pi a} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[F(z), z_{k}\right]}\)，其中 \(C_{0}=f(\infty), F(z)=z^{a-1}(1-z)^{-a} f(z)\)．特别地，如果 \(f(z)\) 是有理函数 \(\dfrac{P(z)}{Q(z)}\) 且 \(Q(z)\) 的次数至少不比 \(P(z)\) 的次数低，且当 \(0 \leqslant x \leqslant 1\) 时\(Q(x)\) 不为零，则前式成立

    3. 若函数 \(f(z)\) 在 \(\mathbf{C}_{\infty}\) 上只有有穷个孤立奇点 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\)，且这些孤立奇点不在包括原点的正实轴上，\(f(z)\) 在实轴上取实值，此外 \(z=\infty\) 是 \(f(z)\) 的 \(m\) 阶零点，\(m \geqslant 2\)，则

      \[ \begin{align*} \int_{0}^{+\infty} f(x) d x&=-\dfrac{1}{2 \pi} \operatorname{Im}\left\{\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[f(z) \ln ^{2} z, z_{k}\right]\right\}\\ \int_{0}^{+\infty} f(x) \ln x d x&=-\dfrac{1}{2 \pi} \operatorname{Re}\left\{\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[f(z) \ln ^{2} z, z_{k}\right]\right\} \end{align*} \]

      其中 \(\ln z\) 满足 \(0<\operatorname{Im} (\ln z)<2 \pi\)．特别地，若 \(f(z)\) 是实系数的有理函数 \(\dfrac{P(z)}{Q(z)}\) 且 \(Q(z)\) 的零点不在包括原点的正实轴上，且 \(Q(z)\) 的次数至少比 \(P(z)\) 的次数大 \(2\)，则前式成立

    4. 若 \(f(x)\) 是 \(x\) 的偶函数，\(f(z)\) 在上半平面 \(\operatorname{Im} (z)>0\) 除去点 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\) 外是解析的，在 \(\operatorname{Im} (z) \geqslant 0\) 上除去 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\) 外是连续的，并且当 \(z\) 的模充分大时，\(|f(z)| \leqslant M /|z|^{m}, m \geqslant 2, M\) 是常数，则

      \[ \begin{align*} \int_{0}^{+\infty} f(x) \ln (x) d x&=-\pi \operatorname{Im} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[f(z) \ln z, z_{k}\right] \\ \int_{0}^{+\infty} f(x) d x&=2 \operatorname{Re}\left\{\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[f(z) \ln z, z_{k}\right]\right\} \end{align*} \]

      其中 \(\ln z\) 满足 \(0<\operatorname{Im} (\ln z)<2 \pi\)

  4. 特殊积分

    1. \({\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm d x=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}}\)
    2. \(\text{Fresnel}\) 积分：\({\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos x^{2} \mathrm d x=\int_{0}^{+\infty} \sin x^{2} \mathrm d x=\dfrac{\sqrt{2 \pi}}{4}}\)
    3. \(\text{Poisson}\) 积分：\({\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-a x^{2}} \cos b x \mathrm d x=\dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\pi}{a}} e^{-\frac{b^{2}}{4 a}}}\)

3.1.3 辐角原理

  1. 辐角原理：设 \(f(z)\) 是域 \(D\) 中的亚纯函数，\(\gamma\) 是 \(D\) 内闭路，其内部也属于 \(D\)．\(a_{k}\) 是 \(f(z)\) 在 \(\gamma\) 内部的零点，其阶数为 \(\alpha_{k} \ (k=1,2, \cdots, n)\)；\(b_{j}\) 是 \(f(z)\) 在 \(\gamma\) 内部的极点，其阶数为 \(\beta_{j} \ (j=1,2, \cdots, m)\)．如果 \(f(z)\) 在 \(\gamma\) 上没有零点和极点，则

    \[ \dfrac{1}{2 \pi \mathrm i} \oint_{\gamma} \dfrac{f^{\prime}(z)}{f(z)} \mathrm d z=\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}-\sum_{j=1}^{m} \beta_{j}=N-P \]

    其中 \(N\) 为 \(f(z)\) 在 \(\gamma\) 内部的零点个数 \({\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}}\)，\(P\) 是 \(f(z)\) 在 \(\gamma\) 内部的极点个数 \({\displaystyle \sum_{j=1}^{m} \beta_{j}}\)

    1. 映射 \(w=f(z)\) 把闭路 \(\gamma\) 映为 \(w\) 平面上逐段光滑闭曲线 \(\Gamma: w=\Gamma(t)=f[\gamma(t)], \alpha \leqslant t \leqslant \beta\)．由于 \(f(z) \neq 0, z \in \gamma\)，所以 \(\Gamma\) 不过原点，于是 \({\displaystyle \dfrac{1}{2 \pi \mathrm i} \oint_{\gamma} \dfrac{f^{\prime}(z)}{f(z)} \mathrm d z=\dfrac{1}{2 \pi \mathrm i} \oint_{\Gamma} \dfrac{d w}{w}}\)
    2. 若函数 \(f(z)\) 在 \(D\) 内解析，则 \(f(z)\) 在 \(\gamma\) 内部的零点个数 \({\displaystyle N=\dfrac{1}{2 \pi \mathrm i} \oint_{\gamma} \dfrac{f^{\prime}(z)}{f(z)} \mathrm d z=\dfrac{1}{2 \pi} \Delta_{\gamma} \operatorname{arg} f(z)}\)

  2. \(\text{Rouch}\acute{\mathrm e}\) 定理：设 \(\gamma\) 是域 \(D\) 内的闭路，其内部属于 \(D\)．若函数 \(f(z)\) 及 \(g(z)\) 在域 \(D\) 内解析，在 \(\gamma\) 上有 \(|f(z)-g(z)|<|f(z)|\)，则 \(f(z)\) 和 \(g(z)\) 在 \(\gamma\) 内部有相同的零点个数

    1. 设函数 \(f(z)\) 在域 \(D\) 内解析，\(z_{0} \in D\)．记 \(w_{0}=f\left(z_{0}\right)\)，如果 \(z_{0}\) 是 \(f(z)-w_{0}\) 的 \(m\) 阶零点，则对于充分小的 \(\rho>0\)，必存在 \(\delta>0\)，使得对于圆 \(\left|w-w_{0}\right|<\delta\) 内的每一点 \(A\)，函数 \(f(z)-A\) 在 \(\left|z-z_{0}\right|<\rho\) 内恰有 \(m\) 个零点
    2. 代数基本定理: \(n\) 次代数方程 \(p(z)=a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{1} z+a_{0}=0 \ (a_{n} \neq 0)\) 恰有 \(n\) 个根

3.2 共形映射

3.2.1 共形映射

  1. 设函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析，\(z_{0} \in D\) 且 \(f^{\prime}\left(z_{0}\right) \neq 0\)．又设 \(\gamma: z=\gamma(t)= x(t)+\mathrm i y(t),\left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right)\) 是域 \(D\) 内过点 \(z_{0}\) 的一条光滑曲线，且 \(\gamma\left(t_{0}\right)=z_{0}\), \(\gamma^{\prime}\left(t_{0}\right) \neq 0\)
    1. \(f(z)\) 把曲线 \(\gamma\) 映为过点 \(w_{0}=f\left(z_{0}\right)\) 的光滑曲线 \(\Gamma: w=\sigma(t)=f(\gamma(t)), \ t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\)，\(\Gamma\) 在点 \(w_{0}\) 处的切向量的辐角与曲线 \(\gamma\) 在点 \(z_{0}\) 处切向量的辐角之差恒为 \(\arg f^{\prime}\left(z_{0}\right)\)，而与曲线 \(\gamma\) 无关
    2. 设 \(\gamma_{1}, \gamma_{2}\) 是 \(D\) 内过点 \(z_{0}\) 的任意两条光滑曲线，其方程分别为 \(z=\gamma_{1}(t) \ \left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right)\) 与 \(z=\gamma_{2}(t) \ \left(t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}\right)\)，且有 \(\gamma_{1}\left(t_{0}\right)=\gamma_{2}\left(t_{0}\right)=z_{0}\)
      1. 在解析映射 \(w=f(z)\) 下的像分别是通过点 \(w_{0}=f\left(z_{0}\right)\) 的光滑曲线 \(\Gamma_{1}: w=\sigma_{1}(t), \ \Gamma_{2}: w=\sigma_{2}(t)\)
      2. 如果 \(f^{\prime}\left(z_{0}\right) \neq 0\)，那么在映射 \(w=f(z)\) 的作用下，过点 \(z_{0}\) 的任意两条光滑曲线的夹角（两条曲线在某点的夹角定义为这两条曲线在该点的切线的夹角）在大小与旋转方向上都保持不变，称 \(f(z)\) 在点 \(z_{0}\) 处是保角的
    3. 任取过点 \(z_{0}\) 的曲线 \(\gamma(t)\)，其在映射 \(f(z)\) 下像为 \(\Gamma: w=\sigma(t)=f(\gamma(t))\)，则 \({\displaystyle \lim _{\substack{z \rightarrow z_{0} \\ z \in \gamma}} \dfrac{\left|f(z)-f\left(z_{0}\right)\right|}{\left|z-z_{0}\right|}=\left|f^{\prime}\left(z_{0}\right)\right|}\)，即像点之间的距离与原像之间的距离之比仅与 \(z_{0}\) 有关，而与曲线 \(\gamma\) 无关，称 \(\left|f^{\prime}\left(z_{0}\right)\right|\) 为 \(f\) 在 \(z_{0}\) 处的伸缩率
  2. 将导数不为零的映射称为共形映射
    1. 保域性：若 \(f\) 是域 \(D\) 上非常数的解析函数，则 \(f(D)\) 是一个域
    2. 若 \(f(z)\) 是域 \(D\) 内的单叶函数（即一对一的解析函数），则对每一点 \(z \in D\)，有 \(f^{\prime}(z) \neq 0\)；反之若 \(z_{0} \in D, f^{\prime}\left(z_{0}\right) \neq 0\)，则 \(f(z)\) 在 \(z_{0}\) 的某个邻域内是单叶的
    3. 若函数 \(f\) 在域 \(D\) 上单叶，则其反函数 \(g=f^{-1}\) 在 \(G=f(D)\) 上也单叶，而且 \(\left(f^{-1}\right)^{\prime}(w)=\dfrac{1}{f^{\prime}(z)}, \ w =f(z)\in G\)
    4. 边界对应原理：设 \(G\) 是一个域，\(\gamma\) 是 \(G\) 内的闭路，其内部 \(D\) 属于 \(G\)．若函数 \(f(z)\) 在 \(G\) 内解析，把 \(\gamma\) 一一对应地映射成闭路 \(\Gamma\)，则 \(w=f(z)\) 在 \(D\) 内单叶，把 \(D\) 映为 \(\Gamma\) 的内部 \(\Omega\)
    5. \(\text{Riemann}\) 映射定理：设 \(G\) 是单连通区域且 \(G \neq \mathbf{C}\)，则存在单叶函数 \(w=f(z)\) 将 \(G\) 共形映射为单位圆盘 \(B_{0}:|w|<1\)．对任一确定的点 \(a \in G\)，若进一步要求 \(f(a)=0, \arg f^{\prime}(a)=\alpha\)（\(\alpha\) 是给定的实常数），那么共形映射 \(w=f(z)\) 唯一确定
  3. \(\text{Schwarz}-\text{Christoffel}\) 映射：如果函数 \(w=f(z)\) 作出一个把上半平面 \(\operatorname{Im} z>0\) 映成有界多边形内部的共形映射，此多边形在顶点 \(w_{k}\) 处的内角为 \(\beta_{k} \pi \ \left(0<\beta_{k}<2, k=1,2, \cdots, n, \beta_{1}+\beta_{2}+\cdots+\beta_{n}=n-2\right)\)，并且实轴上对应于这多边形顶点的点 \(a_{k}\left(-\infty<a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}<+\infty\right)\) 均已知，则 \({\displaystyle f(z)=C \int_{z_{0}}^{z}\left(z-a_{1}\right)^{\beta_{1}-1}\left(z-a_{2}\right)^{\beta_{2}-1} \cdots\left(z-a_{n}\right)^{\beta_{n}-1} \mathrm d z+B}\)，其中 \(z_{0}\left(\operatorname{Im} z_{0} \geqslant 0\right)\) 是任意选定的点，\(B\) 及 \(C\) 是复常数，积分号下的各多值函数可取主值

3.2.2 分式线性变换

  1. 形如 \(w=T(z)=\dfrac{a z+b}{c z+d}\) 的函数称为分式线性变换，其中 \(a, b, c, d\) 是复常数且 \(\Delta=\left|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right|=a d-b c \neq 0\)．若 \(c \neq 0\)，规定 \(T(-d / c)=\infty, T(\infty)=a / c\)；若 \(c=0\)，规定 \(T(\infty)=\infty\)，于是分式线性变换 \(w=T(z)\) 把扩充 \(z\) 平面映为扩充 \(w\) 平面
    1. 反函数 \(z=T^{-1}(w)=\dfrac{-d w+b}{c w-a}\) 也是一个分式线性变换
    2. 设 \(T(z)\) 是分式线性变换，若 \(c \neq 0\)，则其导数 \(T^{\prime}(z)=\dfrac{a d-b c}{(c z+d)^{2}}\)，所以在除去点 \(z=-d / c\) 及 \(z=\infty\) 外，分式线性变换保角；若 \(c=0\)，则 \(T(z)= A z+B, T^{\prime}(z)=A\)，所以 \(T(z)\) 在有穷复平面上是保角的
  2. 分式线性的几种简单特例：一般的分式线性变换可分解为下述 \(4\) 种简单变换的复合
    1. 平移变换：\(T: w=z+b \ (b \in \mathbf C)\)
    2. 旋转变换：\(R: w=e^{i \theta} z \ (\theta \in \mathbf R)\)
    3. 相似变换：\(S: w=r z \ (r \in \mathbf R \wedge R > 0)\)
    4. 反演变换：\(I: w=\dfrac{1}{z}\)，这个变换可以分解为 \(z_{1}=\dfrac{1}{\overline{z}}\) 与 \(w=\overline{z_{1}}\)
  3. 设 \(\gamma\) 是以 \(z_{0}\) 为圆心，\(R\) 为半径的圆周．若 \(z_{1}, z_{2}\) 两点满足条件 \(z_{2}-z_{0}=\dfrac{R^{2}}{\overline{z_{1}-z_{0}}}\)，则称 \(z_{1}, z_{2}\) 是关于圆周 \(\gamma\) 的两个对称点．特别地，对于圆周 \(\gamma\) 上的点，与其对称的点就是自身；圆心 \(z=z_{0}\) 和无穷远点 \(z=\infty\) 也看作关于 \(\gamma\) 对称
    1. 任意一个圆周都可以表示为 \(\left|\dfrac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right|=k, \ (k>0)\)，其中 \(z_{1}, z_{2}\) 是关于其两个对称点．当 \(k \neq 1\) 时，圆周的圆心 \(z_{0}\) 及半径 \(R\) 分别为 \(z_{0}=\dfrac{z_{1}-k^{2} z_{2}}{1-k^{2}}, \ R=\dfrac{k\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-k^{2}\right|}\)
    2. 扩充复平面上两点 \(z_{1}\) 和 \(z_{2}\) 关于圆周 \(\gamma\) 对称的充要条件是过点 \(z_{1}\) 和 \(z_{2}\) 的任意圆周都与 \(\gamma\) 正交
    3. 分式线性变换的保圆性：任意分式线性变换 \(w=T(z)=\dfrac{a z+b}{c z+d} \ (a d-b c \neq 0)\) 将圆周 \(K\) 映为圆周 \(H\)，并且将关于 \(K\) 的两个对称点映为关于圆周 \(H\) 的两个对称点
    4. 设 \(z_{2}, z_{3}, z_{4}\) 是 \(\mathbf{C}_{\infty}\) 上不同的点，\(w=T(z)\) 是线性变换，则对于任意 \(z_{1}\) 有 \(\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right)=\left(T\left(z_{1}\right), T\left(z_{2}\right), T\left(z_{3}\right), T\left(z_{4}\right)\right)\)

3.3 Laplace 变换

  1. 设 \(f(t)\) 是实变量 \(t\) 的实值或复值函数，当 \(t<0\) 时 \(f(t)=0\) 且满足

    1. \(f(t)\) 与 \(f^{\prime}(t)\) 在整个 \(t\) 轴上连续，或者在任意具有有限长度的区间上仅有有限个第一类不连续点
    2. \(f(t)\) 是指数增长型的，即存在两个常数 \(K>0, c \geqslant 0\)，使得对所有的 \(t \geqslant 0\)，有 \(|f(t)| \leqslant K e^{c t}\)，称 \(c\) 为 \(f(t)\) 的增长指数

    如果 \(p=\sigma+\mathrm i s\)，其中 \(\sigma>0\)，则表达式 \({\displaystyle F(p)=L[f(t)]=\int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-p t} \mathrm d t}\) 就称为函数 \(f(t)\) 的 \(\text{Laplace}\) 变换或像函数，\(f(t)\) 则称为 \(F(p)\) 的 \(\text{Laplace}\) 反变换或本函数，记为 \(f(t)=L^{-1}[F(p)]\)．\(F(p)\) 是含复参变量的广义积分，是复参变量 \(p\) 的复函数

    1. 若 \(f(t)\) 满足上述两个条件，则像函数 \(F(p)\) 在半平面 \(\operatorname{Re}(p)>c\) 上有意义且解析
    2. 设 \(p\) 趋于无穷，且 \(\operatorname{Re}(p)=\sigma\) 无限增大，则像函数 \(F(p)\) 趋于 \(0\)，即 \({\displaystyle \lim _{\sigma \rightarrow \infty} F(p)=0}\)

  2. \(\text{Laplace}\) 变换的基本性质：

    1. 线性关系：设 \(f(t)\) 及 \(g(t)\) 都可作 \(\text{Laplace}\) 变换，记 \(L[f(t)]=F(p), L[g(t)]=G(p)\)
      1. 对于任何两个常数 \(\alpha, \beta\) 有 \(L[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha L[f(t)]+\beta L[g(t)]\)
      2. 反变换式 \(L^{-1}[\alpha F(p)+\beta G(p)]=\alpha f(t)+\beta g(t)=\alpha L^{-1}[F(p)]+\beta L^{-1}[G(p)]\)，即逆变换 \(L^{-1}\) 也是线性的
    2. 相似定理：设 \(L[f(t)]=F(p)\)，则对于任一常数 \(\alpha>0\) 有 \(L[f(\alpha t)]=\dfrac{1}{\alpha} F\left(\dfrac{p}{\alpha}\right)\)
    3. 本函数的微分法：如果 \(f(t)\) 及 \(f^{\prime}(t)\) 都满足两个条件，且设 \(L[f(t)]=F(p)\)，则 \(L\left[f^{\prime}(t)\right]=p F(p)-f(+0)\)
    4. 本函数的积分法：设 \(L[f(t)]=F(p)\)，则 \({\displaystyle L\left[\int_{0}^{t} f(t) \mathrm d t\right]=\dfrac{F(p)}{p}}\)
    5. 像函数的微分法：若 \(f(t)\) 满足两个条件，则 \(F^{\prime}(p)=L[-t f(t)]\)．更一般地，\(F^{(n)}(p)=L\left[(-t)^{n} f(t)\right]\)
    6. 像函数的积分法：若 \(f(t)\) 满足两个条件，其像函数 \(F(p)\) 的积分 \({\displaystyle \int_{p}^{\infty} F(p) d p}\) 收敛（积分路线取在 \(\operatorname{Re}(p)>c\) 中），且当 \(t \rightarrow 0\) 时，\(\left|\dfrac{f(t)}{t}\right|\) 有界，则 \({\displaystyle L\left[\dfrac{f(t)}{t}\right]=\int_{p}^{\infty} F(p) \mathrm d p}\)
    7. 延迟性：设 \(L[f(t)]=F(p)\)．则 \(L[f(t-\tau)]= e^{-p \tau} F(p) \ (\tau>0)\)
    8. 周期函数的像函数：设 \(L[f(t)]=F(p)\)，则对任何一个复常数 \(\lambda\) 有 \(L\left[e^{\lambda t} f(t)\right]=F(p-\lambda)\)

    9. 卷积定理：设 \(f_{1}(t)\) 及 \(f_{2}(t)\) 都满足 \(\text{Laplace}\) 变换存在的条件，且 \(L\left[f_{1}(t)\right]= F_{1}(p), L\left[f_{2}(t)\right]=F_{2}(p)\)，则

      \[ L\left[f_{1} * f_{2}\right]=L\left[f_{1}\right] \cdot L\left[f_{2}\right] \vee L^{-1}\left[F_{1}(p) \cdot F_{2}(p)\right]=f_{1}(t) * f_{2}(t) \]

  3. 由像函数求本函数

    1. 部分分式法：有理真分式函数一定存在本函数
    2. \(\text{Laplace}\) 变换的反演公式
      1. 设 \(f(t)\) 满足 \(\text{Laplace}\) 变换存在性的条件，\(c\) 为其增长指数．设 \(L[f(t)]=F(p)\)，则对任意取定的 \(\sigma>c\)，在 \(f(t)\) 的连续点处有 \({\displaystyle f(t)=\dfrac{1}{2 \pi \mathrm i} \int_{\sigma-i \infty}^{\sigma+\mathrm i \infty} F(p) e^{p t} \mathrm d p}\)
      2. 设 \(F(p)\) 除在半平面 \(\operatorname{Re}(p) \leqslant \sigma\) 内有奇点 \(p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}\) 外，在 \(p\) 平面内处处解析，当 \(p \rightarrow \infty\) 时，\(F(p) \rightarrow 0\)，且积分 \({\displaystyle \int_{\sigma-i \infty}^{\sigma+\mathrm i \infty} F(p) \mathrm d p \ (\sigma>c)}\) 绝对收敛，则 \(F(p)\) 的本函数是 \({\displaystyle f(t)=\dfrac{1}{2 \pi \mathrm i} \int_{\sigma-i \infty}^{\sigma+\mathrm i \infty} F(p) e^{p t} \mathrm d p=\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[F(p) e^{p t}, p_{k}\right], t>0}\)
    3. 级数方法：若 \(F(p)\) 在 \(\infty\) 点解析，且它在 \(\infty\) 点的邻域内有 \(\text{Laurent}\) 展开式 \({\displaystyle F(p)=\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{c_{k}}{p^{k}}}\)，把此级数逐项求本函数，得到级数 \({\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{c_{k}}{(k-1)!} t^{k-1}}\)，则这个级数的收敛半径为 \(+\infty\)，其所定义的函数 \(f(t)\) 满足不等式 \(|f(t)| \leqslant K e^{c t}\)，其中 \(t \geqslant 0, K, c\) 是正常数，且 \(h(t) f(t)\) 是 \(F(p)\) 的本函数