1 复函数

1.1 多值函数

辐角函数：\(\operatorname{Arg} z=\arg z+2 k \pi, k \in \mathbf Z\)
对数函数：使 \(z=e^{w}\) 的复数 \(w\) 称为 \(z\) 的（自然）对数，记作 \(\operatorname{Ln} z\)
1. 对于每一个 \(z \neq 0\)，都有 \(w=\operatorname{Ln} z=\ln |z|+\mathrm i \operatorname{arg}\)．记 \(\ln z = \ln |z| + \mathrm i \arg z\) 为对数 \(\operatorname{Ln} z\) 的主值
2. 对于 \(z_1, z_2 \neq 0\) 都有 \(\operatorname{Ln}\left(z_{1} z_{2}\right)=\operatorname{Ln} z_{1}+\operatorname{Ln} z_{2}\) 与 \(\operatorname{Ln} \dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\operatorname{Ln} z_{1}-\operatorname{Ln} z_{2}\)
3. 设复数 \(z \neq 0, \alpha \in \mathbf R\)，定义 \(z\) 的 \(\alpha\) 次幂函数 \(z^{\alpha} = e^{\alpha \operatorname{Ln} z}\)
根式函数：满足 \(z=w^{n}\) 的函数 \(w=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|} e^{i \frac{\mathrm{Arg} \ z}{n} z}\)，其中整数 \(n > 1\)．定义主值 \((\sqrt[n]{z})_{0}=\sqrt[n]{|z|} e^{i \frac{\arg z}{n}}\)

1.2 极限论

1.2.1 复数列的极限

设 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n} \cdots\) 是一复数序列（简称为复数列），\(z_{0}\) 是一给定的复数．若对于任给的 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(N\)，当 \(n>N\) 时总有 \(\left|z_{n}-z_{0}\right|<\varepsilon\)，则称复数列 \(\left\{z_{n}\right\}\) 收敛于 \(z_{0}\)，或称 \(z_{0}\) 是复数列 \(\left\{z_{n}\right\}\) 的极限，记为 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=z_{0}}\) 或 \({\displaystyle z_{n} \rightarrow z_{0} \ (n \rightarrow \infty)}\)
1. 设 \(r>0\)，称点集 \(B\left(z_{0}, r\right)=\left\{z \in \mathbf{C}:\left|z-z_{0}\right|<r\right\}\) 为以 \(z_{0}\) 为中心、以 \(r\) 为半径的球形邻域或 \(z_{0}\) 的一个 \(r-\)邻域
2. 复数列收敛的充要条件
  1. \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=z_{0} \leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0} \wedge \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=y_{0}}\)
  2. \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=z_{0} \leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left|z_{n}\right|=\left|z_{0}\right| \wedge \lim _{n \rightarrow \infty} \arg z_{n}=\arg z_{0}}\)
  3. \(\text{Cauchy}\) 收敛准则：\(z_{n} \rightarrow z_{0}\) 的充要条件是对任给的 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(N\)，当 \(m, n>N\) 时有 \(\left|z_{m}-z_{n}\right|<\varepsilon\)
若对任意 \(M>0\)，存在自然数 \(N\) 使得当 \(n>N\) 时 \(\left|z_{n}\right|>M\)，则称数列 \(\left\{z_{n}\right\}\) 的极限是 \(\infty\)
1. 记 \(B(\infty, R)=\{z \in \mathbf{C}:|z|>R\}\)，是以原点为圆心，半径为 \(R\) 的圆外部
2. 广义复数集 \(\mathbf{C}_{\infty}\)，即 \(\mathbf{C}_{\infty}=\mathbf{C} \cup\{\infty\}\)，也称作扩充复平面或闭复平面
  1. \(z \pm \infty=\infty \pm z=\infty, \dfrac{z}{\infty} = 0, \dfrac{\infty}{z} = \infty\)
  2. \(z \neq 0 \to z \cdot \infty = \infty \cdot z = \infty, \dfrac{z}{0} = \infty\)
  3. \(|\infty| = +\infty\)，且 \(\infty\) 的实部、虚部及辐角均无意义，\(\infty \cdot 0, \infty \pm \infty, \dfrac{\infty}{\infty}\) 无意义

1.2.2 复函数的极限

复函数 \(w=f(z)\) 对应两个二元实函数：\(w=f(z)=f(x+y \mathrm i)=u(x, y)+\mathrm i v(x, y)\)
设函数 \(w=f(z)\) 在 \(z_{0}\) 的去心邻域 \(0<\left|z-z_{0}\right|<R \ (R>0)\) 内有定义，\(w_{0}\) 是给定的复数．若对任意的 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\) 使得当 \(0< \left|z-z_{0}\right|<\delta\) 时恒有 \(\left|f(z)-w_{0}\right|<\varepsilon\)，则称当 \(z\) 趋于 \(z_{0}\) 时 \(f(z)\) 以 \(w_{0}\) 为极限，记作 \({\displaystyle \lim _{z \rightarrow z_{0}} f(z)=w_{0}}\)
1. 若极限存在则必唯一
2. 若 \(f(z)\) 与 \(g(z)\) 在点 \(z_{0}\) 处有极限，则二函数的和、差、积、商（分母极限不为零）在点 \(z_{0}\) 仍然都有极限，且极限值分别等于 \(f(z)\) 与 \(g(z)\) 在点 \(z_{0}\) 的极限值的和、差、积、商
3. 设 \(f(z)=u(x, y)+\mathrm i v(x, y), A=a+\mathrm i b, z_{0}=x_{0}+\mathrm i y_{0}\)，则 \({\displaystyle \lim _{z \rightarrow z_{0}} f(z)=A \ \leftrightarrow \ \lim _{\substack{\left(x \rightarrow x_{0}\right) \\ \left(y \rightarrow y_{0}\right)}} u(x, y)=a, \ \lim _{\substack{\left(x \rightarrow x_{0}\right) \\\left(y \rightarrow y_{0}\right)}} v(x, y)=b}\)
设 \(w=f(z)\) 在点 \(z_{0}\) 及其附近有定义，若 \({\displaystyle \lim _{z \rightarrow z_{0}} f(z)=f\left(z_{0}\right)}\)，则称 \(f(z)\) 在点 \(z_{0}\) 连续．若 \(f(z)\) 在集合 \(E\) 中每点都连续，则称 \(f(z)\) 在集合 \(E\) 上连续
1. \(f(z)=u(x, y)+\mathrm i v(x, y)\) 在 \(z_{0}=x_{0}+\mathrm i y_{0}\) 处连续的充要条件是 \(u(x, y)\) 与 \(v(x, y)\) 在 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 处均连续
2. 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）与复合函数仍然是同一点或同一区域内的连续函数
3. 有界闭区域 \(D\) 上的连续函数 \(f(z)\) 在 \(D\) 上必有界，且 \(|f(z)|\) 在 \(D\) 上必有最大值与最小值

1.3 级数展开

复数的无穷级数：设 \(\left\{z_{n}\right\}\) 为复数列，称 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} z_{n}=z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}+\cdots}\) 是一个无穷级数
1. 无穷级数的前 \(n\) 项和 \({\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} z_{k}}\) 称为该级数的第 \(n\) 个部分和．如果这些部分和构成的复数列 \(\left\{S_{n}\right\}\) 收敛，即存在 \(S \in \mathbf{C}\)，使得 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=S}\)，则称级数 (1) 是收敛的，其和为 \(S\)，记作 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} z_{n}=z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}+\cdots=S}\)
  1. 设 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} z_{n}}\) 为复级数，\(z_{n}=a_{n}+\mathrm i b_{n}, a_{n} \in \mathbf{R}, b_{n} \in \mathbf{R}\)，则 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} z_{n}}\) 收敛的充要条件是实级数 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}, \sum_{n=0}^{\infty} b_{n}}\) 都收敛；且当 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} z_{n}}\) 收敛时，有 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} z_{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}+\mathrm i \sum_{n=0}^{\infty} b_{n}}\)
  2. 级数的 \(\text{Cauchy}\) 收敛准则：级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} z_{n}=z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}+\cdots}\) 收敛的充要条件是对于任给 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(n \geqslant N, p \geqslant\) 1 时 \(\left|z_{n+1}+z_{n+2}+\cdots+z_{n+p}\right|<\varepsilon\)．特别地，若级数 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} z_{n}}\) 收敛，则 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=0}\)
  3. 若实级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|z_{n}\right|}\) 收敛，则称级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} z_{n}}\) 绝对收敛．绝对收敛的级数一定收敛，反之不一定成立
2. 设在集合 \(D \subseteq \mathbf{C}\) 上给定函数列 \(\left\{f_{n}(z)\right\}\)．若对于每一点 \(z \in D\)，级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots+f_{n}(z)+\cdots}\) 收敛，则称函数项级数在 \(D\) 上收敛．此时对于 \(D\) 上每一点 \(z\)，级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)}\) 都有一个确定的和，记为 \(f(z)\)，即 \({\displaystyle f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)}\) 是确定在 \(D\) 上的一个函数，称为和函数
3. 函数项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)}\) 在集合 \(D\) 上一致收敛到 \(f(z)\)，指对任意的 \(\varepsilon>0\)，一定存在一个只依赖于 \(\varepsilon\)，而不依赖于 \(z\) 的 \(N\)，使得对所有的 \(n \geqslant N\) 和所有的 \(z \in D\)，都有 \(\left|S_{n}(z)-f(z)\right|<\varepsilon\)，其中 \({\displaystyle S_{n}(z)=\sum_{k=1}^{n} f_{k}(z)}\)，是级数的部分和
\(\text{Weierstrass}\) 判别法：设 \(\left\{f_{n}(z)\right\}\) 是定义在 \(D\) 上的函数列，并且 \(\left|f_{n}(z)\right| \leqslant M_{n} \ (n=1,2, \cdots)\)，而正项级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}}\) 收敛，则级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)}\) 在 \(D\) 上一致收敛
1. 若 \(f_{n}(z) \ (n=1,2, \cdots)\) 在集合 \(D\) 上连续，级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)}\) 在 \(D\) 上一致收敛到 \(f(z)\)，则 \(f(z)\) 在 \(D\) 上连续
2. 若 \(f_{n}(z) \ (n=1,2, \cdots)\) 在曲线 \(\gamma\) 上连续，级数 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)}\) 在 \(\gamma\) 上一致收敛到 \(f(z)\)，则 \({\displaystyle \int_{\gamma} f(z) \mathrm d z=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{\gamma} f_{n}(z) \mathrm d z}\)
3. \(\text{Weierstrass}\) 定理：若 \(f_{n}(z) \ (n=1,2, \cdots)\) 在域 \(D\) 中解析且 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)}\) 在 \(D\) 中一致收敛到函数 \(f(z)\)，则 \(f(z)\) 在 \(D\) 中解析，并且可以逐项求导到任意多阶，即有 \({\displaystyle f^{(k)}(z)=\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}^{(k)}(z) \ (k=1,2, \cdots)}\)；若 \(f_{n}(z) \ (n=1,2, \cdots)\) 在域 \(D\) 中解析且 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)}\) 在 \(D\) 中内闭一致收敛到函数 \(f(z)\)，则 \(f(z)\) 在 \(D\) 中解析，且 \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}^{(k)}(z)}\) 在 \(D\) 中内闭一致收敛到 \(f^{(k)}(z)\)
解析延拓：设函数 \(f(z)\) 在域 \(D\) 内解析，如果存在一个比 \(D\) 更大的域 \(G(D \subseteq G, D \neq G)\) 以及 \(G\) 上的解析函数 \(F(z)\) 使得当 \(z \in D\) 时有 \(F(z)=f(z)\)，则称 \(f(z)\) 可以解析延拓到 \(G-D\)
1. 设 \(F_{1}(z)\) 和 \(F_{2}(z)\) 是 \(f(z)\) 在 \(D\) 上的两个解析延拓，则当 \(z \in G\) 时，\(F_{1}(z)=F_{2}(z)\)
2. 考虑两个函数 \(f_{1}(z), f_{2}(z)\)，分别在域 \(D_{1}\) 及 \(D_{2}\) 内解析，且 \(D_{1}\) 与 \(D_{2}\) 的交是域 \(D\)．在 \(D\) 内 \(f_{1}(z)=f_{2}(z)\)，那么在域 \(D_{1} \cup D_{2}\) 内确定的函数
  
  \[ f(z)= \begin{cases}f_{1}(z), & z \in D_{1}, \\ f_{2}(z) & z \in D_{2}\end{cases} \]
  
  是解析的，称 \(f_{1}(z), f_{2}(z)\) 互为解析延拓

1.3.1 幂级数

设 \(z_{0} \in \mathbf{C}\)，形如 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}=c_{0}+c_{1}\left(z-z_{0}\right)+\cdots+c_{n}\left(z-z_{0}\right)+\cdots}\) 的函数项级数称为中心在 \(z_{0}\) 的幂级数，这里 \(c_{n} \in \mathbf{C}, z \in \mathbf{C}\)．假定 \(z_{0}=0\) 时幂级数为 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} z^{n}=c_{0}+c_{1} z+\cdots+c_{n} z^{n}+\cdots}\)
1. \(\text{Abel}\) 定理：若幂级数 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} z^{n}}\) 在 \(z_{0} \ (\neq 0)\) 处收敛，则 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} z^{n}}\) 在 \(|z|< \left|z_{0}\right|\) 中内闭绝对一致收敛；若 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} z^{n}}\) 在 \(z_{0} \ (\neq 0)\) 处发散，则 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} z^{n}}\) 在 \(|z|>\left|z_{0}\right|\) 发散
2. 若 \({\displaystyle L=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|}\) 或 \({\displaystyle L=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|c_{n}\right|}}\) 存在，则幂级数 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} z^{n}=c_{0}+c_{1} z+\cdots+c_{n} z^{n}+\cdots}\) 的收敛半径为 \(R=\dfrac{1}{L}\)
3. 设幂级数 \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}=c_{0}+c_{1}\left(z-z_{0}\right)+\cdots+c_{n}\left(z-z_{0}\right)+\cdots}\) 的收敛半径为 \(R\)，则其和函数 \(f(z)\) 在它的收敛圆内解析，且 \(f^{(k)}(z)=k!c_{k}+(k+1) k \cdots 2 c_{k+1}\left(z-z_{0}\right)+\cdots\) 在收敛圆内成立，即在收敛圆内可逐次微商
设幂级数 \({\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} z^{n}}\) 的收敛半径是 \(R\)，\(O \zeta_{0}\) 是收敛圆 \(D\) 内的一条半径，\(z_{0} \neq 0\) 是 \(O \zeta_{0}\) 上的一点，\(f(z)\) 在 \(z_{0}\) 的邻域内可展开为 \(\text{Taylor}\) 级数 \({\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}\left(z_{0}\right)}{n!}\left(z-z_{0}\right)^{n}}\)，其收敛半径 \(\rho \geqslant R-\left|z_{0}\right|\)
1. 若 \(\rho>R-\left|z_{0}\right|\)，此时 \(\text{Taylor}\) 级数的收敛圆 \(D_{1}:\left|z-z_{0}\right|<\rho\) 内有一部分在 \(D\) 的外部．设 \(g(z)\) 为级数在 \(D_{1}\) 内的和函数，那么当 \(z \in D_{1} \cap D\) 时，\(g(z)=f(z)\)，所以 \(f(z)\) 解析延拓到 \(D_{1}-D_{1} \cap D\)，称 \(f(z)\) 可以沿半径 \(O \zeta_{0}\) 解析延拓，\(g(z)\) 是 \(f(z)\) 的直接解析延拓
2. 若 \(\rho=R-\left|z_{0}\right|\)，此时 \(\text{Taylor}\) 级数的收敛圆 \(D_{1}\) 在 \(D\) 内，圆周 \(\left|z-z_{0}\right|=\rho\) 与圆周 \(|z|=R\) 相切于 \(\zeta_{0}\)．在 \(\zeta_{0}\) 的任意邻域 \(B\left(\zeta_{0} ; \delta\right)\) 内不存在一个解析函数 \(g(z)\)，使得在 \(B\left(\zeta_{0} ; \delta\right) \cap D\) 内，\(g(z)=f(z)\)．因此 \(f(z)\) 不可能沿 \(O \zeta_{0}\) 解析延拓到 \(D\) 外，称 \(\zeta_{0}\) 是 \(f(z)\) 的一个延拓奇点
幂级数 \({\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} z^{n}}\) 的收敛半径是 \(R\)，\(O \zeta_{0}\) 的收敛圆周 \(|z|=R\) 上至少有 \(f(z)\) 的一个延拓奇点

1.3.2 Taylor 级数

若函数 \(f(z)\) 在圆 \(\Gamma:|z-a|<R\) 内解析，则 \(f(z)\) 在 \(\Gamma\) 内可以展开为幂级数 \({\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^{n}}\)，这个幂级数称为 \(f(z)\) 在点 \(z=a\) 的 \(\text{Taylor}\) 级数
1. 指数函数 \(f(z)=e^{z}\) 在 \(\mathbf{C}\) 上解析且 \(f^{(n)}(z)=e^{z} \ (n=0,1,2, \cdots), f^{(n)}(0)=1\)：\({\displaystyle e^{z}=1+z+\dfrac{z^{2}}{2!}+\cdots+\dfrac{z^{n}}{n!}+\cdots}\)
2. 对数函数 \(f(z)=\ln (1+z)\)：\({\displaystyle \ln (1+z)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} z^{n}, \ |z|<1, -\pi<\arg (1-z)<\pi}\)
3. 幂函数 \(f(z)=z^{\alpha}\)（\(\alpha\) 不是整数）：\({\displaystyle (1+z)^{\alpha}=1+\binom{\alpha}{1} z+\binom{\alpha}{2} z^{2}+\cdots+\binom{\alpha}{n} z^{n}+\cdots(|z|<1)}\)
4. 三角函数 \(\sin z, \cos z\)：
  
  \[ \begin{aligned} \sin z&=\dfrac{1}{2 \mathrm i}\left(e^{i z}-e^{-i z}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!} z^{2 n+1} \\ \cos z&=\dfrac{1}{2}\left(e^{i z}+e^{-i z}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{(2 n)!} z^{2 n} \end{aligned} \]
设函数 \(f(z)\) 在域 \(D\) 内解析，若点 \(z_{0} \in D\) 且 \(f\left(z_{0}\right)=0\)，则称 \(z_{0}\) 为 \(f(z)\) 的零点．因为 \(z_{0} \in D\)，所以存在点 \(z_{0}\) 的一个邻域 \(B\left(z_{0} ; r\right) \subseteq D, f(z)\) 在 \(B\left(z_{0}, r\right)\) 内可展开为 \(\text{Taylor}\) 级数 \({\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n} \ \left(\left|z-z_{0}\right|<r\right)}\)，其中 \(c_{n}=\dfrac{1}{n!} f^{(n)}\left(z_{0}\right)\)
1. 设 \(f\) 在域 \(D\) 上解析，如果 \(f\) 在 \(D\) 中的小圆盘 \(B\left(z_{0}, r\right)\) 上恒为零，那么 \(f\) 在 \(D\) 上恒为零
2. 唯一性定理：设函数 \(f_{1}(z), f_{2}(z)\) 在域 \(D\) 内解析，且点集 \(A \subseteq D\) 有一个属于 \(D\) 的极限点 \(a\)．若 \(f_{1}(z)=f_{2}(z)\) 在 \(A\) 上恒成立，则 \(f_{1}(z)=f_{2}(z)\) 在 \(D\) 内恒成立
  1. 若非零函数 \(f(z)\) 在域 \(D\) 内解析，则 \(f(z)\) 在 \(D\) 内的零点是孤立的，即若 \(f\left(z_{0}\right)=0\)，则存在邻域 \(B\left(z_{0} ; \delta\right)(\delta>0)\)，使得 \(f(z)\) 在 \(B\left(z_{0}, \delta\right)\) 只有 \(z_{0}\) 一个零点
  2. 设在实数轴上有恒等式 \(f(x)=g(x), f(z)\) 和 \(g(z)\) 在全平面内解析，且在实轴上分别与 \(f(x), g(x)\) 相一致，则对一切复数 \(z\) 有 \(f(z)=g(z)\)

1.3.3 Laurent 级数

无穷级数 \({\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}, \ c_{n}, a \in C}\) 称为在 \(z=a\) 的 \(\text{Laurent}\) 级数，由两部分组成
1. 解析部分（正则部分）：\({\displaystyle \varphi(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}}\)
2. 主要部分（奇异部分）：\({\displaystyle \psi(z)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n}(z-a)^{-n}}\)
当且仅当级数 \(\varphi(z)\) 和 \(\psi(z)\) 同时在点 \(z_{0}\) 处收敛时，称级数在点 \(z=z_{0}\) 收敛
1. 若 \(\text{Laurent}\) 级数 \({\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}}\) 的收敛圆环为 \(D: r<|z-a|<R\)，则其在 \(D\) 内绝对收敛，在 \(D\) 中内闭一致收敛，其和函数 \(f(z)\) 在 \(D\) 内解析
2. 若函数 \(f(z)\) 在圆环 \(D: r<|z-a|<R \ (0 \leqslant r<R \leqslant+\infty)\) 内解析，则 \({\displaystyle f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}}\) 展开式唯一，其中 \({\displaystyle c_{n}=\dfrac{1}{2 \pi \mathrm i} \oint_{|\zeta-a|=\rho} \dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}} \mathrm d \zeta \ (r<\rho<R)}\)
若函数 \(f(z)\) 只要在 \(a\) 点的去心邻域内有定义且解析，则称 \(a\) 点是 \(f(z)\) 的一个孤立奇点，\(f(z)\) 在 \(0<|z-a|<R\) 内展开为 \(\text{Laurent}\) 级数 \({\displaystyle f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}=\varphi(z)+\psi(z)}\)
1. 级数 \({\displaystyle \varphi(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n} \ (|z-a|<R)}\) 是 \(f(z)\) 的 \(\text{Laurent}\) 展开式的解析部分，在圆 \(|z-a|<R\) 内解析
2. 级数 \({\displaystyle \psi(z)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n}(z-a)^{-n} \ (0<|z-a|<\infty)}\) 是 \(f(z)\) 的 \(\text{Laurent}\) 展开式的主要部分，在 \(0<|z-a|<\infty\) 内解析
按极限形式可将孤立奇点分为三类
1. \({\displaystyle \lim _{z \rightarrow a} f(z)=A(\neq \infty)}\)，即 \({\displaystyle \lim _{z \rightarrow a} f(z)}\) 存在且有限，称 \(z=a\) 是 \(f(z)\) 的可去奇点，其充要条件是 \(\psi(z)\) 的系数 \(c_{-n}\) 全等于零．此时在 \(0<|z-a|<R\) 上 \(f(z)=\varphi(z)\)，因为 \(\varphi(z)\) 在圆 \(|z-a|<R\) 内解析，所以 \(a\) 是 \(f(z)\) 的可去奇点
2. \({\displaystyle \lim _{z \rightarrow a} f(z)=\infty}\)，称 \(z=a\) 为 \(f(z)\) 的极点．其充要条件是 \(\psi(z)\) 只含有有限项．此时
  
  \[ \begin{aligned} \psi(z)&=\dfrac{c_{1}}{z-a}+\cdots+\dfrac{c_{-m}}{(z-a)^{m}}, \ c_{-m} \neq 0 \\ f(z)&=\varphi(z)+\psi(z) \\ &=\dfrac{c_{-m}}{(z-a)^{m}}+\cdots+\dfrac{c_{-1}}{z-a}+c_{0}+c_{1}(z-a) \\ &=\dfrac{1}{(z-a)^{m}} g(z) \end{aligned} \]
  
  其中 \(g(z)=c_{-m}+c_{-m+1}(z-a)+\cdots, \ c_{-m}=g(a)\)．此时称 \(a\) 是 \(f(z)\) 的 \(m\) 阶极点，当 \(m=1\) 时称 \(a\) 为 \(f(z)\) 的简单极点
3. \({\displaystyle \lim _{z \rightarrow a} f(z)}\) 不存在，即存在两个复数序列 \(\left\{z_{n}\right\}\) 和 \(\left\{w_{n}\right\}\)，当 \(z_{n} \rightarrow a, w_{n} \rightarrow a (n \rightarrow \infty)\) 时，有 \({\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(z_{n}\right) \neq \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(w_{n}\right)}\)，此时称 \(a\) 是 \(f(z)\) 的一个本性奇点．其充要条件是级数 \(\psi(z)\) 的系数 \(c_{-n}\) 有无穷多个不为零
若函数 \(f(z)\) 在 \(\mathbf{C}\) 上解析，则称 \(f(z)\) 是一个整函数，此时，\(f(z)\) 在 \(\mathbf{C}\) 上的 \(\text{Taylor}\) 展开式为 \({\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} z^{n}}\)
1. \(z=\infty\) 是 \(f(z)\) 的孤立奇点，因此 \(f(z)\) 的 \(\text{Taylor}\) 展开式也是 \(f(z)\) 在 \(\infty\) 的邻域内的 \(\text{Laurent}\) 展开式
  1. 若 \(z=\infty\) 为 \(f(z)\) 的可去奇点，则 \(f(z)\) 为常数
  2. 若 \(z=\infty\) 是 \(f(z)\) 的一个 \(m\) 阶极点，则 \(c_{n}=0 \ (n>m)\)，\(f(z)\) 是一个 \(m\) 次多项式
    
    \[ f(z)=c_{0}+c_{1} z+c_{2} z^{2}+\cdots+c_{m} z^{m}, c_{m} \neq 0 \]
  3. 若 \(z=\infty\) 是 \(f(z)\) 的一个本性奇点，则 \(f(z)=c_{0}+c_{1} z+\cdots+c_{n} z^{n}+\cdots\)，其中 \(c_{n}(n \geqslant 1)\) 有无穷多个不为零．此时称 \(f(z)\) 是超越整函数
2. 若函数 \(f(z)\) 在 \(\mathbf{C}\) 上最多除去极点外，没有其他的奇点，则称 \(f(z)\) 是一个亚纯函数
  1. 整函数与有理函数 \(f(z)=\dfrac{P_{n}(z)}{Q_{m}(z)}\) 是亚纯函数是亚纯函数，其中
    
    \[ \begin{aligned} & P_{n}(z)=a_{0}+a_{1} z+\cdots+a_{n} z^{n}, \ a_{n} \neq 0 \\ & Q_{m}(z)=b_{0}+b_{1} z+\cdots+b_{m} z^{m}, \ b_{m} \neq 0 \end{aligned} \]
    
    \(Q_{m}(z)\) 的零点是 \(f(z)\) 的极点，在 \(\mathbf{C}\) 上除去这有穷个极点外，\(f(z)\) 是解析的
  2. 若 \(z=\infty\) 是亚纯函数 \(f(z)\) 的可去奇点或极点，则 \(f(z)\) 必是有理函数

1.3.4 Gamma 函数

考虑复数域上的 \(\Gamma\) 函数 \({\displaystyle \Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{z-1} \mathrm d t} = \alpha(z) + \beta(z)\)
1. \({\displaystyle \alpha(z)=\int_{0}^{1} e^{-t} t^{z-1} \mathrm d t, \ \operatorname{Re}(z)>0}\) 在半平面 \(\operatorname{Re}(z)>0\) 内解析
2. \({\displaystyle \beta(z)=\int_{1}^{+\infty} e^{-t} t^{z-1} d t, \ \operatorname{Re}(z)>0}\) 是整函数
递推关系 \(\Gamma(z)=\dfrac{\Gamma(z+1)}{z}\) 可将 \(\Gamma(z)\) 延拓到全平面，除 \(z= 0,-1,-2, \cdots,-n, \cdots\) 是一阶极点外，\(\Gamma(z)\) 处处解析
1. 余元公式：\(\Gamma(z) \Gamma(1-z)=\dfrac{\pi}{\sin \pi z}\)
2. 加倍公式：\(\Gamma(2 z)=\dfrac{2^{2 z-1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma(z) \Gamma\left(z+\dfrac{1}{2}\right)\)
3. \(\Gamma(z)\) 无零点，\(\dfrac{1}{\Gamma(z)}\) 是整函数