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2 环论

2.1 环的性质

2.1.1 环

  1. 环：令 \(M = \{\cdot, +, o, e\}\)，结构 \(\mathfrak M = (R, \cdot^\mathfrak M, +^\mathfrak M, o^\mathfrak M, e^\mathfrak M)\) 是一个环，则将 \(\mathfrak M\) 看作代数结构时记作 \(\{R; +, \cdot\}\)，分别称 \(+\) 与 \(\cdot\) 为加法运算与乘法运算
    1. 零元：将 \(R\) 对于加法做成的群的单位元记为 \(0\)，称为 \(R\) 的零元
    2. 负元：设 \(a \in R\)，将 \(a\) 在加法运算下的逆记为 \(-a\)，称为 \(a\) 的负元
    3. 将 \(m\) 个 \(a\) 连加记为 \(m a\)，规定 \(0 a=0, (-n) a= -(n a)\)；将 \(m\) 个 \(a\) 连乘记为 \(a^{m}\)；将 \(a+(- b)\) 简写成 \(a-b\)
      1. \((m+n) a=m a+n a, \ m(-a)=-(m a), \ (m n) a=m(n a)\)
      2. \(m(a+b)=m a+m b, \ \forall a, b \in R, m, n \in \mathbf{Z}\)
      3. \(a^{m} a^{n}=a^{m+n},\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}, \ \forall m, n \in \mathbf{N}, a \in R\)
      4. \({\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{m} b_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i} b_{j}}\)
      5. \(\forall a, b \in R\)，有 \(a 0=0 a=0\)，其中 \(0\) 为 \(R\) 的零元；此外，\((-a) b=a(-b)=-a b,(-a)(-b)=a b\)
  2. 特征：设 \(R\) 为无零因子环，若 \(R\) 中所有的非零元都是无穷阶的，则称 \(R\) 的特征为 \(0\)；若 \(R\) 中所有的非零元都是有限 \(p\) 阶的（\(p\) 为质数），则称 \(R\) 的特征为 \(p\)．环 \(R\) 的特征记为 \(\operatorname{Ch} R\)
    1. 零因子：设 \(R\) 为一个环，\(a, b \in R\)，且 \(a \neq 0, b \neq 0\)，若 \(a b =0\)，则称 \(a, b\) 为 \(R\) 中的一个左、右零因子，都简称为零因子
      1. 一个环 \(R\) 没有零因子，当且仅当 \(R\) 满足左右消去律
      2. 设 \(R \neq\{0\}\)，且为无零因子环，则 \(R\) 中所有的非零元对于 \(R\) 的加法具有相同的阶，且当这一共同的阶有限时必为质数
    2. 设无零因子的交换环 \(R\) 的特征为质数 \(p\)，则 \((a+b)^{p}=a^{p}+b^{p},(a-b)^{p}=a^{p}-b^{p}, \ \forall a, b \in R\)

2.1.2 理想

  1. 子环：设 \(R\) 为环，若 \(R\) 的非空子集 \(R_{0}\) 对于 \(R\) 的加法与乘法也构成环，则称 \(R_{0}\) 为 \(R\) 的子环
    1. 设 \(R\) 为一个环，则 \(R\) 的非空子集 \(R_{0}\) 为 \(R\) 的子环的充要条件是 \(\forall a, b \in R_{0}\) 有 \(a-b \in R_{0}, a b \in R_{0}\)
    2. 设 \(S\) 为环 \(R\) 的非空子集，由 \(S\) 中所有可能的有限个元素的和以及有限个元素的乘积构成的集合在环 \(R\) 的加法和乘法下构成环，称为由 \(S\) 生成的子环，记作 \([S]\)．它是包含 \(S\) 的最小子环
  2. 理想：若子环 \(R_{0}\) 满足 \(r a \in R_{0}, \forall r \in R, a \in R_{0} \ \left(a r \in R_{0}, \forall a \in R_{0}, r \in R\right)\)，则称 \(R_{0}\) 为 \(R\) 的左理想（右理想）．若 \(R\) 的子环 \(I\) 既是 \(R\) 的左理想，又是 \(R\) 的右理想，则称 \(I\) 为 \(R\) 的双边理想，简称理想
    1. 设 \(R\) 为一个环，则 \(R\) 的非空子集 \(I\) 为 \(R\) 的理想的充分必要条件是 \(\forall a, b \in I, \forall x, y \in R\)，有 \(a-b \in I, x a, a y \in I\)
    2. 任何环 \(R\) 至少有两个理想：\(R\) 本身和 \(\{0\}\)，称为平凡理想．如果 \(R\) 是交换环，则左理想、右理想和理想三个概念一致
    3. 设 \(R\) 为环，\(R_{i}, i \in X\) 为 \(R\) 的一簇理想，则 \({\displaystyle \bigcap_{i \in X} R_{i}}\) 也是 \(R\) 的理想
      1. 设 \(A\) 为 \(R\) 的非空子集，所有 \(R\) 中包含 \(A\) 的理想之交仍为 \(R\) 的理想，称为由 \(A\) 生成的理想，记为 \(\langle A\rangle\)
      2. 若 \(R\) 为交换幺环，则 \(\langle A\rangle\) 是由所有形如 \({\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i} a_{i}, n \in \mathrm{N}, x_{i} \in R, \ a_{i} \in A, i=1,2, \cdots, n}\) 的元素组成的集合，记为 \(L\)
      3. 当 \(A\) 只包含一个元素 \(a\) 时，记 \(\langle A\rangle\) 为 \(\langle a\rangle\)，称为由 \(a\) 生成的主理想

  3. 商环：设 \(I\) 为环 \(R\) 的理想，在 \(R\) 中定义关系 \(\sim\) 为 \(a \sim b \leftrightarrow a-b \in I\)，则关系 \(\sim\) 是 \(R\) 中的等价关系，记作 \(a \equiv b \pmod R_{0}\)，且对于 \(R\) 的加法和乘法都是同余关系．将代表元 \(a \in R\) 所在的等价类（也可称作模 \(I\) 的同余类）记为 \(a+I\)，在商集 \(R / \sim\) 上定义加法和乘法如下

    \[ \begin{aligned} (a+I)+(b+I)&=(a+b)+I \\ (a+I)(b+I)&=a b+I \end{aligned} \]

    则 \(R / I\) 对于上述运算构成一个环，称为 \(R\) 对于理想 \(I\) 的商环

    1. 若 \(R\) 为交换环，则 \(R / I\) 也是交换环
    2. 若 \(R\) 为幺环，则 \(R / I\) 也是幺环，且 \(1+I\) 为单位元

  4. 素理想：设 \(I\) 为环 \(R\) 的理想，如果由 \(a b \in I\) 可以推出 \(a \in I\) 或 \(b \in I\)，则称 \(I\) 为 \(R\) 的一个素理想

    1. 设 \(R\) 为交换幺环，\(I\) 是 \(R\) 的一个理想，\(I \neq R\)，则 \(I\) 是素理想当且仅当 \(R / I\) 为整环
    2. 设 \(f\) 为交换幺环 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的满同态，\(I\) 是 \(R\) 中包含 \(K=\operatorname{ker} f\) 的一个素理想，则 \(f(I)\) 是 \(R^{\prime}\) 的素理想
    3. 设 \(R\) 是交换幺环，\(I\) 是 \(R\) 的真理想，则 \(I\) 是 \(R\) 的素理想当且仅当对任何理想 \(M, N\)，由 \(M N \subseteq I\) 可推出 \(M \subseteq I\) 或 \(N \subseteq I\)
  5. 极大理想：设 \(R\) 是交换幺环，\(M\) 是 \(R\) 的理想，若 \(M \neq R\) 且不存在 \(R\) 的真理想 \(N\) 有 \(M \subseteq N, M \neq N\)，称 \(M\) 为 \(R\) 的极大理想
    1. 设 \(R\) 为交换幺环，\(M\) 为 \(R\) 的理想，则 \(M\) 是 \(R\) 的极大理想当且仅当 \(R / M\) 为域
    2. 交换幺环的极大理想必为素理想

2.2 环同态

  1. 同态：设 \(R_{1}\) 与 \(R_{2}\) 是两个环，若 \(f\) 是 \(R_{1}\) 到 \(R_{2}\) 的同态，则称 \(f\) 是 \(R_{1}\) 到 \(R_{2}\) 的一个同态映射
    1. 特殊的同态
      1. 单同态：若 \(f\) 是 \(R_{1}\) 到 \(R_{2}\) 的嵌入，则称 \(f\) 是 \(R_{1}\) 到 \(R_{2}\) 的一个单同态映射
      2. 满同态：若同态 \(f\) 是满射，则称 \(f\) 是满同态，并称 \(R_{1}\) 与 \(R_{2}\) 是同态的，记为 \(R_{1} \sim R_{2}\)
      3. 同构：若 \(f\) 是 \(R_{1}\) 到 \(R_{2}\) 的同构，则称 \(f\) 是 \(R_{1}\) 到 \(R_{2}\) 的一个同构映射，并称环 \(R_{1}\) 与 \(R_{2}\) 是同构的，记为 \(R_{1} \cong R_{2}\)
      4. 自然同态：设 \(I\) 是环 \(R\) 的理想，则 \(R\) 到 \(R / I\) 的自然映射 \(\pi: R \rightarrow R / I, \pi(a)=a+I\) 为一个满同态，称为自然同态
    2. 同态与同构的性质
      1. 设 \(f\) 为环 \(R_{1}\) 到 \(R_{2}\) 的同态，\(g\) 是环 \(R_{2}\) 到 \(R_{3}\) 的同态，则 \(g f\) 为 \(R_{1}\) 到 \(R_{3}\) 的同态．若 \(f, g\) 都是单同态，则 \(g f\) 是单同态；若 \(f, g\) 都是满同态，则 \(g f\) 是满同态；若 \(f, g\) 都是同构，则 \(g f\) 也是同构；当 \(f\) 为同构时，\(f^{-1}\) 为 \(R_{2}\) 到 \(R_{1}\) 的同构
      2. 设 \(f\) 为环 \(R_{1}\) 到 \(R_{2}\) 的满同态，则 \(\operatorname{ker} f=f^{-1} (\{0\})=\left\{a \in R_{1} \mid f(a)=0\right\}\) 为 \(R_{1}\) 的理想
  2. 环同态基本定理：设 \(f\) 是环 \(R_{1}\) 到环 \(R_{2}\) 的满同态，则 \(R_{1} / \operatorname{ker} f \cong R_{2}\)
    1. 设 \(f\) 是环 \(R_{1}\) 到 \(R_{2}\) 的满同态，\(K=\operatorname{ker} f\)
      1. \(f\) 建立了 \(R_{1}\) 中包含 \(K\) 的子环与 \(R_{2}\) 的子环之间的一一对应
      2. 上述映射将理想对应到理想
      3. 如果 \(I\) 是 \(R_{1}\) 的理想，且包含 \(K\)，则有 \(R_{1} / I \cong R_{2} / f(I)\)
    2. 设 \(I_{1}, I_{2}\) 均为环 \(R\) 的理想，目 \(I_{1} \subseteq I_{2}\)，则有 \(R / I_{2} \cong\left(R / I_{1}\right) /\left(I_{2} / I_{1}\right)\)

2.3 环实例

2.3.1 唯一析因环

  1. 单位与相伴：设 \(R\) 为整环，用 \(U\) 表示幺半群 \(R^{*}=R-\{0\}\) 中所有可逆元的集合，则 \(U\) 是一个交换群，称为 \(R\) 的单位群，\(U\) 中的元素称为单位．设 \(a, b \in R\)，若存在 \(R\) 中单位 \(u\) 使得 \(a=u b\)，则称 \(a\) 与 \(b\) 相伴，记为 \(a \sim b\)
    1. 整环中的整除：设 \(R\) 为一个整环，\(a, b \in R\)，若存在 \(c \in R\) 使 \(a=b c\)，则称 \(a\) 能被 \(b\) 整除，这时也称 \(b\) 为 \(a\) 的因子，记为 \(b \mid a\)．若 \(a\) 不能被 \(b\) 整除，则记为 \(b \nmid a\)
    2. 整除、单位和相伴的主要性质
      1. \(\forall a \in R, a \mid a\)．若 \(a|b, b| c\)，则 \(a \mid c\)
      2. 若 \(u\) 是单位，则 \(u \mid a, \forall a \in R\)
      3. 若 \(a\) 与 \(b\) 相伴，则存在单位 \(u_{1}\) 使得 \(b=a u_{1}\)；\(u \in R^{\cdot}\) 是单位当且仅当 \(u \sim 1\)
      4. 相伴关系是 \(R\) 中的等价关系，且是幺半群 \(R^{*}\) 的同余关系
  2. 素元素：若 \(p \in R^{*}-U\)，且由 \(p \mid a b\) 可以推出 \(p \mid a\) 或 \(p \mid b\)，则称 \(p\) 为素元素．素元素一定是不可约元素
    1. 平凡因子：设 \(a \in R^{*}\)，则任何单位和 \(a\) 的相伴元都是 \(a\) 的因子，称为 \(a\) 的平凡因子
    2. 真因子：设 \(a \in R^{*}\)，若 \(b \mid a\)，但 \(a \nmid b\)，则称 \(b\) 为 \(a\) 的真因子
    3. 可约元素：设 \(a \in R^{*}-U\)，若 \(a\) 没有非平凡的真因子，则称 \(a\) 为不可约元素．若 \(a\) 有非平凡的真因子，则称 \(a\) 为可约元素

  3. 如果整环 \(R\) 满足下列条件

    1. 有限析因条件：\(\forall a \in R^{*}-U\)，\(a\) 可分解为有限个不可约元素的乘积．即存在不可约元素 \(p_{i} \ (1 \leqslant i \leqslant r)\) 使得 \(a=p_{1} p_{2} \cdots p_{r}\)
    2. 若 \(a \in R^{*}-U\) 有两种不可约元素乘积分解 \(a=p_{1} p_{2} \cdots p_{r}=q_{1} q_{2} \cdots q_{s}\)，则有
      1. \(r=s\)
      2. 适当交换顺序可以使得 \(p_{i} \sim q_{i}, \ 1 \leqslant i \leqslant r\)

    则称 \(R\) 为惟一析因环

    1. 一个惟一析因环 \(R\) 中不可约元素一定是素元素
    2. 公因子：设 \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in R\)，若 \(c\) 同时能整除 \(a_{1}\), \(a_{2}, \cdots, a_{n}\)，则称 \(c\) 为 \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\) 的公因子
      1. 若 \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\) 的公因子 \(d\) 能被 \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\) 的任何一个公因子整除，则称 \(d\) 为 \(a_{1}\), \(a_{2}, \cdots, a_{n}\) 的一个最大公因子
      2. 设 \(R\) 为惟一析因环，\(a, b \in R\)，则 \(a, b\) 的最大公因子存在，且 \(a, b\) 的任何两个最大公因子都相伴
    3. 假定一个整环 \(R\) 满足有限析因条件且每个不可约元素都是素元素，则 \(R\) 是惟一析因环

2.3.2 主理想整环

  1. 主理想环：若交换幺环的每个理想都是主理想，则称此环为主理想环
  2. 主理想整环：若一个主理想环是整环，则称此环为主理想整环
    1. 设 \(R\) 为主理想整环．若 \(R\) 中一个序列 \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots\) 里每一个元素都是前面一个元素的真因子，则这个序列一定是有限序列
    2. 设 \(R\) 为一个主理想整环，\(p \in R^{*}-U\) 为不可约元素，则 \(\langle p\rangle\) 为 \(R\) 的极大理想
    3. 设 \(R\) 为主理想整环，\(a, b \in R\)，\(d\) 为 \(a, b\) 的一个最大公因子，则存在 \(u, v \in R\) 使 \(d=u a+v b\)
  3. 主理想整环是惟一析因环

2.3.3 Euclid 环

  1. 设 \(R\) 为一个整环．若存在从 \(R^{*}\) 到 \(\mathbf{N} \cup\{0\}\) 的映射 \(\delta\)，使得 \(\forall a, b \in R, b \neq 0\)，存在 \(q, r \in R\) 满足 \(a=q b+r\)，其中 \(r=0\) 或 \(\delta(r)<\delta(b)\)．则称 \(R\) 为 \(\text{Euclid}\) 环，此时可以在 \(R\) 上做辗转相除法
  2. \(\text{Euclid}\) 环是主理想整环，因此是惟一析因环