1 群论
1.1 群的性质
1.1.1 群
- 群：令 \(M = \{\cdot, e\}\)，结构 \(\mathfrak M = (G, \cdot^\mathfrak M, e^\mathfrak M)\) 是一个群，则将 \(\mathfrak M\) 看作代数结构时记作 \(\{G; \cdot\}\)
- 幺元：群 \(\{S ; \cdot\}\) 中存在元素 \(e_{1}\left(e_{2}\right)\)，使 \(e_{1} \cdot a=a\left(a \cdot e_{2}=a\right), \ \forall a \in S\)，称 \(e_{1}\left(e_{2}\right)\) 为 \(S\) 的左（右）幺元，也称为单位元
- 逆元：群 \(\{S; \cdot\}\) 的幺元为 \(e\) 是幺元，\(a \in S\)．若 \(a_{1}\left(a_{2}\right) \in S\)，使 \(a_{1} \cdot a=e\left(a \cdot a_{2}=e\right)\)，则称 \(a_{1}\left(a_{2}\right)\) 为 \(a\) 的左（右）逆元．若 \(b\) 既是 \(a\) 的左逆元，又是 \(a\) 的右逆元，即有 \(b a=a b=e\)，则称 \(b\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(b=a^{-1}\)，称 \(a\) 为可逆元
- 设 \(\{G; \cdot\}\) 是一个群，称运算 \(\cdot\) 为乘法，并将 \(a \cdot b\) 简记为 \(ab\)
- 幺半群中的幺元惟一，群中任一元的逆元惟一
- 群 \(G\) 的运算满足左（右）消去律，即 \(\forall a, b, c \in G: a b=a c \ (b a=c a) \rightarrow b=c\)
- 在群 \(G\) 中，\(\forall a, b \in G\)，方程 \(a x=b\) 及 \(x a=b\) 的解均存在且惟一
- 若半群 \(G\) 满足对 \(\forall a, b \in G\)，方程 \(a x=b\) 及 \(x a= b\) 均有解，则 \(G\) 是群
- 有限半群 \(G\) 若满足左、右消去律，则 \(G\) 是群
-
幂：设 \(G\) 为群，\(n\) 为正整数，对 \(\forall a \in G\)，规定
\[ \begin{aligned} a^{n}&=\small \underbrace{\normalsize a \cdot a \cdots a}_{\normalsize n} \normalsize \\ a^{-n}&=\left(a^{-1}\right)^{n} \\ a^{0}&=e \end{aligned} \]- 对任意整数 \(m, n\)，有 \(a^{m} a^{n}=a^{m+n}, \ \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}\)．若 \(G\) 是交换群，则 \((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)
- 当 \(G\) 为交换群时，可将 \(\cdot\) 记为 \(+\)，并将幺元记为 \(0\)，将 \(a \in G\) 的逆元记为 \(-a\)，并定义幂次
\[ \begin{aligned} na&=\small \underbrace{\normalsize a + a + \cdots + a}_{\normalsize n} \normalsize \\ (-n)a&=n\left(-a\right) \\ 0a&=0 \end{aligned} \] -
阶及其性质
- 群的阶：群 \(G\) 中所含元素的个数 \(|G|\)，称为群 \(G\) 的阶．若 \(|G|\) 有限，则称 \(G\) 为有限群；若 \(|G|\) 无限，则称 \(G\) 为无限群
- 群中元素的阶：设 \(G\) 是群，运算记为乘法（加法），\(a\) 是 \(G\) 中一个元素．如果对 \(\forall k \in \mathrm{N}\) 都有 \(a^{k} \neq e \ (k a \neq 0)\)，则称元素 \(a\) 的阶为无穷．如果 \(\exists k \in \mathrm{N}\)，使 \(a^{k}=e \ (k a=0)\)，则称 \(\min \left\{k \in \mathrm{N} \mid a^{k}=e \ (k a =0)\right\}\) 为 \(a\) 的阶
- 任一个乘法群 \(G\) 中，有且仅有幺元的阶为 \(1\)
- \(G\) 中任一元 \(a\) 与其逆元 \(a^{-1}\) 有相同的阶
- 设 \(a\) 是群 \(G\) 中一元，则 \(a\) 的阶无穷 \(\leftrightarrow \forall m \neq n, m, n \in Z: a^{m} \neq a^{n}\)
- 设 \(a\) 是群 \(G\) 中一元，\(a\) 的阶为 \(d\)
- \(\forall h \in Z\)，有 \(a^{h}=e \leftrightarrow d \mid h\)
- \(\forall m, n \in Z\)，有 \(a^{m}=a^{n} \leftrightarrow d \mid(m-n) \leftrightarrow m \equiv n \pmod d\)
- 设 \(a\) 是群 \(G\) 中一元，\(a\) 的阶为 \(d\)，\(k \in \mathrm{N}\)
- \(a^{k}\) 的阶为 \(\dfrac{d}{(d, k)}\)，其中 \((d, k)\) 是 \(d, k\) 的最大公因数
- \(a^{k}\) 的阶为 \(d \leftrightarrow(d, k)=1\)
- 设 \(a, b\) 是群 \(G\) 中的元素，\(a\) 的阶为 \(m\)，\(b\) 的阶为 \(n\)，\(a b=b a\)，\((m, n)=1\)，则 \(a b\) 的阶为 \(m n\)
1.1.2 子群与商群
- 子群：设 \(H\) 是群 \(G\) 的一个非空子集，如果 \(H\) 对于 \(G\) 的运算也构成群，则称 \(H\) 为 \(G\) 的一个子群，记作 \(H \leqslant G\)
- 子群 \(H\) 的幺元就是原群 \(G\) 的幺元 \(e\)，子群 \(H\) 中任一元 \(a\) 的逆元就是在 \(G\) 中 \(a\) 的逆元 \(a^{-1}\)
- 对任一群 \(G\)，\(H=\{e\}\) 与 \(H=G\) 都是 \(G\) 的子群，称为 \(G\) 的平凡子群．\(G\) 的其他子群称为非平凡子群
- 设 \(H\) 是群 \(G\) 的非空子集，则下列条件等价
- \(H \leqslant G\)
- \(a, b \in H \rightarrow a b \in H, a^{-1} \in H\)
- \(a, b \in H \rightarrow a b^{-1} \in H\)
- 设 \(H\) 为群 \(G\) 的非空有限子集，则 \(H \leqslant G \leftrightarrow H\) 对 \(G\) 中的运算封闭
- 陪集：设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，\(a \in G\)，则分别称 \(a H=\{a h \mid h \in H\},\ H a=\{h a \mid h \in H\}\) 为以 \(a\) 为代表的 \(H\) 的左陪集，右陪集
- 设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，则由 \(a R b \leftrightarrow a^{-1} b \in H\) 确定的 \(G\) 中的关系 \(R\) 是一个等价关系，且 \(a\) 所在的等价类 \(\overline{a}\) 恰为以 \(a\) 为代表的 \(H\) 的左陪集 \(a H\)．故 \(H\) 的全体左陪集（重复的只取一个）的集合 \(\{a H\}\) 是 \(G\) 的一个分类
- 设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，\(a, b \in G\)，则 \(a H=b H \leftrightarrow a^{-1} b \in H\)
- 陪集空间：设 \(H\) 为群 \(G\) 的子群，\(G\) 关于等价关系 \(a R b \leftrightarrow a^{-1} b \in H\) 的商集合 \(G / R\) 称为 \(G\) 对 \(H\) 的左商集，也称为 \(G\) 对 \(H\) 的左陪集空间，也记为 \(G / H\)．\(G / H\) 的基数 \(|G / H|\) 称为 \(H\) 在 \(G\) 中的指数，记为 \([G: H]\)
- \(\text{Lagrange}\) 定理：设 \(G\) 是有限群，\(H \leqslant G\)，则有 \(|G|=[G: H] \cdot|H|\)，从而子群 \(H\) 的阶是群 \(G\) 的阶的因子
- 设 \(G\) 是有限群，\(K \leqslant G\)，\(H \leqslant K\)，则有 \([G: H]=[G: K] \cdot[K: H]\)
-
正规子群：设 \(G\) 是群，\(H \leqslant G\)，如果有 \(g^{-1}hg \in H, \forall g \in G, \forall h \in H\)，则称 \(H\) 为 \(G\) 的一个正规子群，记为 \(H \triangleleft G\)
- 平凡子群以及交换群的任何子群都是正规子群
- 设 \(G\) 是群，\(H \leqslant G\)，则下列条件等价
- \(H \triangleleft G\)
- \(gH=Hg, \forall g \in G\)
- \(g_{1} H \cdot g_{2} H=g_{1} g_{2} H, \forall g_{1}, g_{2} \in G\)
-
共轭关系：任取 \(g \in G\)，定义群 \(G\) 到自身内的映射 \(\operatorname{ad}(g): x \rightarrow g^{-1} x g, \ \forall x \in G\)，称 \(\operatorname{ad}(g)\) 为共轭映射．在群 \(G\) 中任取两个元素 \(a\) 和 \(b\)，如果存在元素 \(g \in G\)，使得 \(b=(\operatorname{ad}(g))(a)=g^{-1} a g\)，则称 \(b\) 共轭于 \(a\)
-
共轭关系是等价关系：设 \(G\) 为有限群，于是存在共轭关系下的代表元集 \(\left\{d_{1}, \cdots, d_{r}\right\}\)．记以 \(d_{j}\) 为代表元素的共轭等价类为 \(\mathfrak{S}_{j}\)，于是 \(G\) 分解为两两不相交的共轭等价类的并集
\[ G=\bigcup_{j=1}^{r} \mathfrak{S}_{j}, \ \mathfrak{S}_{i} \cap \mathfrak{S}_{j}=\varnothing, \ 1 \leqslant i<j \leqslant r \] -
设 \(G\) 为群，\(G\) 中子集 \(C(G)=\{x \in G \mid x g=g x, \forall g \in G\}\) 为 \(G\) 的正规子群，称为群 \(G\) 的中心，\(C(G)\) 中的元素称为群 \(G\) 的中心元素．\(G\) 中元素 \(g \in C(G)\) 当且仅当存在 \(\mathfrak{S}_{j}, 1 \leqslant j \leqslant r\) 使得 \(\mathfrak{S}_{j} = \{g\}\)，于是
\[ \begin{aligned} G&=C(G) \cup\left(\bigcup_{1 \leqslant j \leqslant r,\left|\mathfrak{S}_{j}\right|>1} \mathfrak{S}_{j}\right) \\ |G|&=|C(G)|+\sum_{1 \leqslant j \leqslant r,\left|\mathfrak{S}_{j}\right|>1}\left|\mathfrak{S}_{j}\right| \end{aligned} \]
-
-
设 \(H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{s}\) 是群 \(G\) 的 \(s\) 个子群（正规子群），则 \(H_{0}= H_{1} \cap H_{2} \cap \cdots \cap H_{s}\) 仍是 \(G\) 的子群（正规子群）
-
商群：设 \(G\) 是群，\(H \leqslant G\)，\(R\) 是 \(G\) 中由 \(a R b \leftrightarrow a^{-1} b \in H\) 定义的关系，则 \(R\) 是 \(G\) 中的同余关系 \(\leftrightarrow H \triangleleft G\)．此时商集合 \(G / R\) 对同余关系 \(R\) 导出的运算也构成一个群，称为 \(G\) 对 \(H\) 的商群，记为 \(G / H\)
1.2 群同态
- 同态：设 \(\left\{G_{1} ; \cdot\right\}\) 与 \(\left\{G_{2} ; *\right\}\) 是两个群，若 \(f\) 是 \(G_{1}\) 到 \(G_{2}\) 的同态，则称 \(f\) 是 \(G_{1}\) 到 \(G_{2}\) 的一个同态映射
- 特殊的同态
- 单同态：若 \(f\) 是 \(G_{1}\) 到 \(G_{2}\) 的嵌入，则称 \(f\) 是 \(G_{1}\) 到 \(G_{2}\) 的一个单同态映射
- 满同态：若同态 \(f\) 是满射，则称 \(f\) 是满同态，并称 \(G_{1}\) 与 \(G_{2}\) 是同态的，记为 \(G_{1} \sim G_{2}\)
- 同构：若 \(f\) 是 \(G_{1}\) 到 \(G_{2}\) 的同构，则称 \(f\) 是 \(G_{1}\) 到 \(G_{2}\) 的一个同构映射，并称群 \(G_{1}\) 与 \(G_{2}\) 是同构的，记为 \(G_{1} \cong G_{2}\)
- 自然同态：设 \(G\) 是一个群，\(H \triangleleft G\)，记 \(\pi\) 是 \(G\) 到 \(G/H\) 的映射，\(\pi(g)=g H, \ \forall g \in G\)．则 \(\pi\) 是满同态，称 \(\pi\) 为群 \(G\) 到商群 \(G / H\) 的自然同态
- 同态与同构的性质
- 若 \(f\) 是群 \(G_{1}\) 到群 \(G_{2}\) 的同态，\(g\) 是群 \(G_{2}\) 到群 \(G_{3}\) 的同态，则 \(g f\) 是 \(G_{1}\) 到 \(G_{3}\) 的同态．若 \(f, g\) 都是满（单）同态，则 \(g f\) 也是满 (单) 同态．若 \(f, g\) 都是同构，则 \(g f\) 也是同构．若 \(f\) 是同构，则 \(f^{-1}\) 也是同构
- 设 \(f\) 是群 \(G_1\) 到群 \(G_2\) 的同态，\(e_{1}, e_{2}\) 分别为 \(G_1, G_2\) 的幺元，则有 \(f\left(e_{1}\right)=e_{2}\) 及 \(\forall a \in G, f\left(a^{-1}\right)=f(a)^{-1}\)
- 设 \(f\) 是群 \(G_{1}\) 到群 \(G_{2}\) 的同态，\(H \leqslant G_{1}\)，则 \(H\) 的象集合 \(f(H)\) 也是 \(G_{2}\) 的子群．特别地，\(f\left(G_{1}\right) \leqslant G_{2}\)
- 特殊的同态
- 核：设 \(f\) 是群 \(G_{1}\) 到群 \(G_{2}\) 的同态，则 \(G_{2}\) 的幺元 \(e_{2}\) 的原象 \(f^{-1}[e] = \left\{a \in G_{1} \mid f(a)=e_{2}\right\}\) 称为同态映射 \(f\) 的核，记为 \(\operatorname{ker} f\)
- 设 \(f\) 是群 \(G_{1}\) 到群 \(G_{2}\) 的同态，则 \(\operatorname{ker} f \triangleleft G_{1}\)
- 设 \(f\) 是群 \(G_{1}\) 到群 \(G_{2}\) 的同态，则 \(f\) 是单同态 \(\leftrightarrow \operatorname{ker} f=\left\{e_{1}\right\}\)，这里 \(e_{1}\) 是 \(G_{1}\) 的幺元
- 群同态基本定理：设 \(f\) 是群 \(G_{1}\) 到群 \(G_{2}\) 的满同态映射，则 \(G_{1} / \operatorname{ker} f \cong G_{2}\)
- 设 \(G\) 为一群，\(f\) 是 \(G\) 到另一群的同态映射
- \(G\) 的同态象 \(f[G]\) 必同构于 \(G\) 的商群 \(G / \operatorname{ker} f\)
- \(G\) 的任一商群都可看作 \(G\) 的同态象
- 设 \(f\) 是群 \(G_{1}\) 到群 \(G_{2}\) 的满同态，\(N=\operatorname{ker} f\)
- \(f\) 建立了 \(G_{1}\) 中包含 \(N\) 的子群与 \(G_{2}\) 中子群间的双射
- 上述双射把正规子群对应到正规子群
- 若 \(H \triangleleft G_{1}, N \subseteq H\)，则 \(G_{1} / H \cong G_{2} / f[H]\)
- 设 \(G\) 是群，\(N \triangleleft G\)，\(\pi\) 是 \(G\) 到 \(G / N\) 的自然同态．则 \(\pi\) 建立了 \(G\) 中包含 \(N\) 的子群与 \(G / N\) 的子群间的双射，而且把正规子群对应到正规子群．又若 \(H \triangleleft G\)，\(N \subseteq H\)，则 \(G / H \cong (G / N) /(H / N)\)
- 设 \(G\) 是群，\(N \triangleleft G\)，\(\pi\) 是 \(G\) 到 \(G / N\) 的自然同态，\(H \leqslant G\)
- \(H N\) 是 \(G\) 中包含 \(N\) 的子群，且 \(H N=\pi^{-1}[\pi[H]]\)，即 \(H N\) 是 \(H\) 在 \(\pi\) 映射下的象集合 \(\pi[H]\) 的原象 \(\pi^{-1}[\pi[H]]\)
- \((H \cap N) \triangleleft H\)，且 \(\operatorname{ker}\left(\pi \upharpoonright H\right)=H \cap N\)
- \(H N / N \cong H /(H \cap N)\)
- 设 \(G\) 为一群，\(f\) 是 \(G\) 到另一群的同态映射
- 自同态与自同构：群 \(G\) 到自身的同态（同构）映射称为 \(G\) 的一个自同态（自同构），用 \(\operatorname{Aut}(G)\) 表示群 \(G\) 的自同构群
- 设 \(G\) 是群，则 \(\operatorname{Aut}(G) \leqslant S_{G}\)
- 设 \(G\) 为群，\(a \in G\)，定义映射 \(\sigma_{a}: G \rightarrow G\) 为 \(\sigma_{a}(g)=a g a^{-1}, \forall g \in G\)，则 \(\sigma_{u} \in \operatorname{Aut}(G)\) 称为由 \(a\) 决定的内自同构．记 \(\operatorname{Inn}(G)=\left\{\sigma_{a} \mid a \in G\right\}\)，则 \(\operatorname{Inn}(G) \triangleleft \operatorname{Aut}(G)\)，称 \(\operatorname{Inn}(G)\) 为 \(G\) 的内自同构群
- \(C(G)=\operatorname{ker} f\)，\(G / C(G) \cong \operatorname{Inn}(G)\)
1.3 群实例
1.3.1 循环群
- 由一个元素 \(a\) 反复运算生成的群 \(G=\left\{a^{n} \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\) 称为循环群，记为 \(\langle a\rangle\)，\(a\) 称为这个循环群的生成元
- 循环群都是交换群
- 循环群的任一子群也是循环群
- 设群 \(G=\langle a\rangle\)．若 \(G\) 是无限阶的，则 \(G\) 与 \(\{\mathbf{Z}; +\}\) 同构；若 \(G\) 是有限阶 \(m\) 阶的，则 \(G\) 与 \(\{\mathbf{Z}_{m} ;+\}\) 同构
- 设 \(G\) 是 \(m\) 阶循环群，\(m_{0}\) 是 \(m\) 的一个正整数因子，则存在 \(G\) 的惟一的 \(m_{0}\) 阶子群
- 设 \(G\) 是 \(m\) 阶群，则 \(G\) 是循环群的充要条件是 对 \(m\) 的每个正整数因子 \(m_{0}\)，都存在 \(G\) 的惟一的 \(m_{0}\) 阶子群
- 有限群 \(G\) 的任一元素 \(a\) 的阶是有限的，且是 \(G\) 的阶的因子
- 设 \(S\) 是群 \(G\) 中一个非空子集，记 \(S^{-1}=\left\{a^{-1} \mid a\right. \in S\}\)，则 \(\left\{x_{1} \cdots x_{m} \mid x_{1}, \cdots, x_{m} \in S \cup S^{-1}\right\}\) 是 \(G\) 的一个子群，称为 \(S\) 生成的子群，记为 \(\langle S\rangle\)
- 若 \(\langle a\rangle \subseteq G\)，则 \(\langle a\rangle\) 可以看作 \(G\) 中所有包含 \(\{a\}\) 的子群的交，它是 \(G\) 中包含 \(\{a\}\) 的最小的子群．若 \(S\) 是 \(G\) 中非空子集，则 \(\langle S\rangle\) 可以看作 \(G\) 中所有包含 \(S\) 的子群的交，它是 \(G\) 中包含 \(S\) 的最小的子群
- 如果 \(\langle S\rangle=G\)，则称 \(S\) 为群 \(G\) 的一个生成组．如果群 \(G\) 有一个有限子集 \(S\) 作为 \(G\) 的生成组，则称 \(G\) 为有限生成群
- 有限群自身就可以看作一个生成组，因此有限群一定是有限生成群，但有限生成群不一定是有限群
1.3.2 变换群与置换群
- 变换与置换：设 \(A\) 是非空集合，\(A\) 的所有可逆变换关于映射的复合运算构成的群称为 \(A\) 的全变换群，记为 \(\{S_{A}; \circ\}\)，简记为 \(S_{A}\)，其子群称为 \(A\) 的一个变换群．当 \(A\) 为含有 \(n\) 个元素的有限集时，\(S_{A}\) 也称作 \(n\) 元对称群，记作 \(S_{n}\)．\(S_{n}\) 中的一个元素称为一个 \(n\) 元置换．\(S_{n}\) 的一个子群称为一个 \(n\) 元置换群
- \(\text{Cayley}\) 定理：任何一个群都与一个变换群同构．特别地，任一有限群都与一个置换群同构
- \(n\) 元对称群 \(S_{n}\) 的阶为 \(n!\)
- 当一个置换能表为奇（偶）数个对换的乘积时，称为奇置换（偶置换）
- 两个偶置换之积是偶置换
- 两个奇置换之积是偶置换
- 偶置换与奇置换之积是奇置换，奇置换与偶置换之积是奇置换
- 偶置换的逆置换是偶置换，奇置换的逆置换是奇置换
- 轮换：设集合 \(\left\{i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{r}\right\}\) 为 \(\{1,2, \cdots, n\}\) 的一个子集．若 \(\sigma \in S_{n}\) 满足 \(\sigma\left(i_{1}\right)=i_{2}, \sigma\left(i_{2}\right)=i_{3}, \cdots, \sigma\left(i_{r-1}\right)=i_{r}, \sigma\left(i_{r}\right)=i_{1}\)，\(\sigma(k)=k, \forall k \in\{1,2, \cdots, n\} -\left\{i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{r}\right\}\)，则称 \(\sigma\) 为 \(S_{n}\) 中的一个 \(r-\)轮换或 \(r-\)循环置换，记为 \(\sigma=\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_n \\ \end{pmatrix}\)．\(i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{r}\) 均称为轮换 \(\sigma\) 中的文字，\(r\) 称为轮换 \(\sigma\) 的长．特别地，\(2-\)轮换 \(\begin{pmatrix} i & j \end{pmatrix}\) 称为对换，恒等置换可记为 \(1-\)轮换
- 在 \(S_{n}\) 中，\(r-\)轮换的阶为 \(r\)
- 在 \(S_{n}\) 中，如果若干个轮换间没有共同文字，则称它们是不相交的轮换
- 在 \(S_{n}\) 中，两个不相交的轮换的乘积是可交换的
- \(\forall \sigma \in S_{n}\)，\(\sigma\) 都可表示为 \(S_{n}\) 中一些不相交轮换之积
- 任一 \(n\) 元置换表示为不相交轮换的乘积时，如果不计次序，则表示方法是惟一的
- 任一 \(n\) 元置换都可以表示为一些对换的乘积
- 交错群：\(n\) 元偶置换的全体对置换的乘法构成一个群，称为 \(n\) 元交错群，记为 \(A_{n}\)
- \(A_{n} \triangleleft S_{n},\left|A_{n}\right|=\dfrac{n !}{2}\)
- 设置换 \(\sigma\) 表示为不相交轮换的乘积是 \(\sigma=\sigma_{1} \sigma_{2} \cdots \sigma_{s}\)，其中 \(\sigma_{i}\) 是 \(r_{i}-\) 轮换（\(i=1,2, \cdots, s\)），则作为群 \(S_{n}\) 中的元素，\(\sigma\) 的阶是 \(r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{s}\) 的最小公倍式 \(\left[r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{s}\right]\)
1.3.3 单群与可解群
- 单群：如果群 \(G\) 只有平凡的正规子群，则称 \(G\) 为单群
- 设 \(G\) 为交换群，\(G \neq\{e\}\)，则 \(G\) 为单群的充分必要条件是 \(G\) 为质数阶循环群
- 对 \(n\) 元交错群 \(A_{n}\)，当 \(n \neq 4\) 时都是单群，其中 \(n= 1,2,3\) 时，\(A_{n}\) 是交换单群；\(n \geqslant 5\) 时，\(A_{n}\) 是非交换单群
- 可解群：设 \(G\) 是群，如果有一非负整数 \(k\)，使 \(G^{(k)}=\{e\}\)，则称 \(G\) 为可解群
- 导出群：设 \(G\) 是群，\(a, b \in G\)，称 \(a^{-1} b^{-1} a b\) 是 \(a\) 与 \(b\) 的换位子，记为 \([a, b]\)．称 \(G\) 中所有换位子生成的子群为 \(G\) 的换位子群，也称为 \(G\) 的 \(1\) 次导出群（简称为导出群），记为 \([G, G]\)，也记为 \(G^{(1)}\)．\(\left(G^{(1)}\right)^{(1)}\) 称为 \(G\) 的 \(2\) 次导出群，也记为 \(G^{(2)}\)，从而称 \(G^{(k)}=\left(G^{(k-1)}\right)^{(1)}\) 称为 \(G\) 的 \(k\) 次导出群．定义 \(G^{(0)}\) 为 \(G\)
- \(G\) 中所有换位子的集合关于 \(G\) 的运算不一定构成群
- 设 \(G\) 是群，则 \(G^{(1)} \triangleleft G\)
- 交换群都是可解群
- 可解群的子群都是可解群
- 可解群的商群或同态象是可解群
- 设 \(G\) 是群，\(H \triangleleft G\)，若 \(H\) 和 \(G / H\) 都是可解群，则 \(G\) 也是可解群
- 当 \(n \leqslant 4\) 时，\(A_{n}\) 是可解群；当 \(n \geqslant 5\) 时，\(A_{n}\) 不是可解群
- 导出群：设 \(G\) 是群，\(a, b \in G\)，称 \(a^{-1} b^{-1} a b\) 是 \(a\) 与 \(b\) 的换位子，记为 \([a, b]\)．称 \(G\) 中所有换位子生成的子群为 \(G\) 的换位子群，也称为 \(G\) 的 \(1\) 次导出群（简称为导出群），记为 \([G, G]\)，也记为 \(G^{(1)}\)．\(\left(G^{(1)}\right)^{(1)}\) 称为 \(G\) 的 \(2\) 次导出群，也记为 \(G^{(2)}\)，从而称 \(G^{(k)}=\left(G^{(k-1)}\right)^{(1)}\) 称为 \(G\) 的 \(k\) 次导出群．定义 \(G^{(0)}\) 为 \(G\)