3 域论

3.1 多项式理论

3.1.1 有限域

本原元：设 \(F\) 是一个特征 \(p>0\) 的有限域，则乘法群 \(F^{*} = F - \{0\}\) 为循环群，其生成元称为有限域 \(F\) 的本原元
1. 任给正整数 \(n\) 及质数 \(p\)，存在元素个数为 \(p^{n}\) 的有限域 \(F\)，其由素域 \(\Pi_{p}\) 上的多项式 \(x^{p^{n}}-x\) 的所有不同根构成
2. 设 \(F\) 是特征为 \(p>0\) 的有限域，且 \(|F|=p^{n}\)．任取正整数 \(n\) 的因子 \(m\)，则唯一存在域 \(F\) 的子域 \(F_{0}\)，使得 \(\left|F_{0}\right|=p^{m}\)
设 \(F\) 为特征 \(p>0\) 的有限域，\(|F|=p^{n}\)．则 \(F\) 中共有 \(\varphi\left(p^{n}-1\right)\) 个本原元，其中 \(\varphi\) 为 \(\text{Euler}\) 函数

3.1.2 域上多项式环

一般域上多项式环：设 \(F\) 为域，\(x\) 是一个（文字）未定元，称 \(f(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}\) 为域 \(F\) 上的多项式，其中 \(a_{i} \in F, 0 \leqslant i \leqslant n\)．如果 \(a_{n} \neq 0\)，则称多项式 \(f(x)\) 的次数为 \(n\)，记作 \(\operatorname{deg}(f(x))=n\). \(a_{n}\) 称为首项系数
1. 记 \(F[x]\) 为域 \(F\) 上关于未定元 \(x\) 的所有多项式构成的集合，在 \(F[x]\) 中引进加法和乘法：设 \({\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} \in F[x]}\)，\({\displaystyle g(x)=\sum_{j=0}^{m} b_{j} x^{j} \in F[x]}\)，定义
  
  \[ \begin{aligned} f(x)+g(x)&=\sum_{i=0}^{\max \{n, m\}}\left(a_{i}+b_{i}\right) x^{i} \\ f(x) g(x)&=\sum_{k=0}^{n+m}\left(\sum_{i=0}^{k} a_{i} b_{k-i}\right) x^{k} \end{aligned} \]
  
  其中 \(a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots=a_{n+m}=0, b_{m+1}=b_{m+2}=\cdots=b_{m+n}=0\)．则 \(F[x]\) 是交换整环，称为域 \(F\) 上的多项式环
2. 作 \(F[x]^{*}\) 到 \(\mathrm{N} \cup\{0\}\) 的映射 \(\delta(f(x))=\operatorname{deg} f(x), \forall f(x) \in F[x]^{\cdot}\)，则可知 \(F[x]\) 是 \(\text{Euclid}\) 环
  1. 设 \(a(x), b(x) \in F[x]\)，而 \(b(x) \neq 0\)，则在 \(F[x]\) 中唯一存在多项式 \(q(x)\) 和 \(r(x)\)，使得 \(a(x)=q(x) b(x)+r(x)\)，其中 \(r(x)=0\) 或 \(r(x) \neq 0,0 \leqslant \operatorname{deg}(r(x))<\operatorname{deg}(b(x))\)
  2. 存在域 \(F\) 上的多项式 \(u(x)\) 和 \(v(x)\)，使得 \(u(x) f(x)+v(x) g(x)=(f(x), g(x))\)，其中 \((f(x), g(x))\) 为 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 的最大公因式，可用辗转相除法求出
  3. 唯一析因定理：设 \(f(x)\) 为域 \(F\) 上的多项式环 \(F[x]\) 中次数大于零的多项式，则 \(f(x)\) 有因式分解
    
    \[f(x)=a_{0} q_{1}(x) q_{2}(x) \cdots q_{t}(x) \]
    
    其中 \(q_{1}(x), q_{2}(x), \cdots, q_{t}(x)\) 为域 \(F\) 上次数大于零且首项系数为 \(1\) 的不可约多项式，则 \(s=t\)，并且存在 \(1,2, \cdots, s\) 的排列 \(j_{1} j_{2} \cdots j_{s}\)，使得 \(p_{i}(x)=q_{j_{i}}(x) \in F[x]\), \(i=1, \cdots, s\)
3. 设 \(f(x) \in F[x]\) 不可约，则 \(\langle f(x)\rangle\) 为 \(F[x]\) 的极大理想，因此 \(F[x] /\langle f(x)\rangle\) 是一个域
有限域上多项式环：设 \(\Pi_{p}[x]\) 为素域 \(\Pi_{p}\) 上的多项式环
1. 共轭根系：设 \(p(x)\) 为多项式环 \(\Pi_{p}[x]\) 中首项系数为 \(1\) 的 \(n\) 次不可约多项式，\(\alpha\) 为 \(p(x)\) 的根．则 \(\alpha, \alpha^{p}, \cdots, \alpha^{p^{n-1}}\) 两两不同，且为 \(p(x)\) 的所有根，这 \(n\) 个根称为 \(n\) 次不可约多项式 \(p(x)\) 的共轭根系，并有 \(p(x)=(x-\alpha)\left(x-\alpha^{p}\right) \cdots(x-\alpha^{p^{n-1}})\)
  1. \(x^{p^{n}}-x\) 是多项式环 \(\Pi_{p}[x]\) 中所有次数整除 \(n\) 的首项系数为 \(1\) 的不可约多项式的乘积，即 \(x^{p^{n}}-x={\displaystyle \prod_{d \mid n} \Phi_{d}(x)}\)，其中 \(\Phi_{d}(x)\) 表示 \(\Pi_{p}[x]\) 中所有不同的首项系数为 1 的 \(d\) 次不可约多项式的乘积
  2. 多项式环 \(\Pi_{p}[x]\) 中所有不同的 \(n\) 次首项系数为 \(1\) 的不可约多项式的个数为 \({\displaystyle \dfrac{1}{n} \sum_{d \mid n} \mu(d) p^{\frac{n}{d}}}\)
2. 本原多项式：设 \(F\) 为特征 \(p>0\) 的有限域．若多项式环 \(\Pi_{p}[x]\) 中首项系数为 \(1\) 的多项式 \(p(x)\) 是域 \(F\) 中的本原元的极小多项式，则称 \(p(x)\) 为本原多项式
  1. 设 \(F\) 为特征 \(p>0\) 的有限域，\(|F|=p^{n}\)．则多项式环 \(\Pi_{p}[x]\) 中首项系数为 \(1\) 的 \(n\) 次本原多项式恰有 \(\dfrac{1}{n} \varphi\left(p^{n}-1\right)\) 个
  2. 有限域的结构定理：任给质数 \(p\) 和正整数 \(n\)，则在同构意义下唯一存在元素个数为 \(p^{n}\) 的有限域

3.1.3 多项式的分裂域

分裂域：设 \(F\) 为域，\(f(x) \in F[x]\)，设 \(E\) 为 \(F\) 的一个扩域，如果 \(f(x)\) 在 \(E[x]\) 上可以分解为一次因式的乘积

\[ f(x)=a\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right) \cdots\left(x-\alpha_{n}\right), \ a \in F, \alpha_{i} \in E, i=1,2, \cdots, n \]

且 \(E=F\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right)\)，则称 \(E\) 为 \(f(x)\) 在 \(F\) 上的一个分裂域
设 \(f(x)\) 是域 \(F\) 上的多项式，且 \(\operatorname{deg} f(x)>0\)，则 \(f(x)\) 在 \(F\) 上的分裂域存在
1. 设 \(F_{1}, F_{2}\) 为两个域，\(\varphi: F_{1} \rightarrow F_{2}\) 为同构，则存在环 \(F_{1}[x]\) 到 \(F_{2}[x]\) 的同构 \(\varphi^{\prime}\) 使得 \(\varphi^{\prime} \upharpoonright F_{1}=\varphi\)．且 \(p(x) \in F_{1}[x]\) 不可约当且仅当 \(\varphi^{\prime}(p(x)) \in F_{2}[x]\) 不可约
2. 设 \(F_{1}, F_{2}\) 为域，\(\varphi: F_{1} \rightarrow F_{2}\) 为同构．\(K_{1}, K_{2}\) 分别为 \(F_{1}, F_{2}\) 的扩域．将 \(\varphi\) 扩充到 \(F_{1}[x]\) 上，仍记为 \(\varphi\)．设 \(p(x) \in F_{1}[x]\) 为不可约多项式．若 \(\alpha_{1}, \alpha_{2}\) 分别为 \(p(x)\) 和 \(p^{\prime}(x)=\varphi(p(x))\) 在 \(K_{1}\) 和 \(K_{2}\) 中的根，则 \(\varphi\) 可扩张为 \(F_{1}\left(\alpha_{1}\right)\) 到 \(F_{2}\left(\alpha_{2}\right)\) 上的同构 \(\varphi^{\prime}\) 使得 \(\varphi^{\prime} \upharpoonright {F_{1}}=\varphi, \varphi^{\prime}\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{2}\)
设 \(F_{1}, F_{2}\) 为域，\(\varphi: F_{1} \rightarrow F_{2}\) 为同构．将 \(\varphi\) 扩张到 \(F_{1}[x]\) 上，仍记为 \(\varphi\)．设 \(f(x) \in F_{1}[x]\) 且 \(E_{1}, E_{2}\) 分别为 \(f(x), \varphi(f(x))\) 在 \(F_{1}, F_{2}\) 上的分裂域．则存在 \(E_{1}\) 到 \(E_{2}\) 的同构 \(\varphi^{\prime}\) 使得 \(\varphi^{\prime} \upharpoonright {F_{1}}=\varphi\)

3.2 域的扩张

分式域：设整环 \(R\) 为域 \(F\) 的子环，若对任何 \(a \in F\)，存在 \(b, c \in R\) 使得 \(a=b c^{-1}\)，则称 \(F\) 为 \(R\) 的分式域
1. 设 \(R\) 为整环，则 \(R\) 的分式域存在
2. 整环 \(R\) 的分式域是包含 \(R\) 的最小域，因而惟一
素域：不包含任何非平凡子域的域
1. 设 \(\Pi\) 为一个素域，则 \(\Pi \cong \mathbf Q\) 或 \(\Pi \cong \mathbf Z_p\)（\(p\) 为质数）
2. 设 \(K\) 为域，\(p\) 为质数，则域 \(K\) 的特征不是零就是质数．特别地，有限域的特征一定为质数
  1. \(K\) 的特征为 \(p\) 当且仅当 \(p a=0, \ \forall a \in K\)
  2. \(K\) 的特征为零当且仅当 \(n a \neq 0, \ \forall n \in \mathrm{N}, a \in K^{*}\)
扩域：若域 \(F\) 是域 \(K\) 的子域，则称 \(K\) 为 \(F\) 的扩张，或称 \(K\) 为 \(F\) 的扩域
1. 设 \(K\) 为域 \(F\) 的扩域，\(S \subseteq K\)
  1. \({\displaystyle F(S)=\bigcup_{S^{\prime} \subseteq S} F\left(S^{\prime}\right)}\)，其中 \(S^{\prime}\) 取遍 \(S\) 的所有有限子集
  2. 若 \(S=S_{1} \cup S_{2}\)，则 \(F(S)=F\left(S_{1}\right)\left(S_{2}\right)=F\left(S_{2}\right)\left(S_{1}\right)\)
  3. \(F\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right)=F\left(\alpha_{1}\right)\left(\alpha_{2}\right) \cdots\left(\alpha_{n}\right)\)
2. 设 \(K\) 为域 \(F\) 的扩域，且 \(\alpha \in K\)．若存在域 \(F\) 上的非零多项式 \(f(x)\) 使得 \(f(\alpha)=0\)，则称 \(\alpha\) 为 \(F\) 上的代数元，否则称 \(\alpha\) 为 \(F\) 上的超越元
等价扩张：设 \(K_{1}, K_{2}\) 都是 \(F\) 的扩域，若存在 \(K_{1}\) 到 \(K_{2}\) 上的同构 \(\varphi\) 使得 \(\varphi \upharpoonright F=\mathrm{id}_{F}\)，则称 \(K_{1}, K_{2}\) 为 \(F\) 的等价扩张，\(\varphi\) 称为 \(F-\)同构．当 \(K_{1}=K_{2}\) 时，称 \(\varphi\) 为 \(F-\)自同构

3.2.1 单扩张

单扩张：设 \(K\) 为 \(F\) 的扩域且存在 \(\alpha \in K\) 使得 \(K=F(\alpha)\)，则称 \(K\) 为 \(F\) 的单扩张．若 \(\alpha\) 为 \(F\) 上的代数元，则称 \(K\) 为 \(F\) 的单代数扩张；若 \(\alpha\) 为 \(F\) 上的超越元，则 \(K\) 称为 \(F\) 的单超越扩张
1. 若 \(\alpha\) 是域 \(F\) 上的超越元，则 \(F(\alpha) \cong F(x)\)，其中 \(F(x)\) 是 \(F\) 上的多项式环 \(F[x]\) 的分式域
2. 若 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元，则 \(F(\alpha) \cong F[x] /\langle p(x)\rangle\)，其中 \(p(x)\) 是 \(F[x]\) 的一个由 \(\alpha\) 惟一确定的首一（即首项系数为一）不可约多项式且 \(p(\alpha)=0\)
极小多项式：设 \(K\) 为 \(F\) 的扩域，\(\alpha \in K\) 是 \(F\) 上的代数元．\(F [x]\) 中以 \(\alpha\) 为根的不可约首一多项式称为 \(\alpha\) 在 \(F\) 上的极小多项式，记为 \(\operatorname{Irr}(\alpha, F)\)，它的次数称为 \(\alpha\) 在 \(F\) 上的次数，记为 \(\operatorname{deg}(\alpha, F)\)
1. 对于 \(F\) 上的代数元 \(\alpha, F(\alpha) \cong F[x] /\langle\operatorname{Irr}(\alpha, F)\rangle\) 且 \(\langle\operatorname{Irr}(\alpha, F)\rangle =\{f(x) \in F[x] \mid \operatorname{Irr}(\alpha, F) \mid f(x)\}\)
2. 设 \(F(\alpha)\) 是 \(F\) 的单代数扩张，\(\operatorname{deg}(\alpha, F)=n\)，则 \(F(\alpha)\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 维线性空间，且 \(1, \alpha, \alpha^{2}, \cdots, \alpha^{n-1}\) 是 \(F(\alpha)\) 的一组基
单扩张的等价性
1. 若 \(F\left(\alpha_{1}\right), F\left(\alpha_{2}\right)\) 都是 \(F\) 的单超越扩张，则 \(F\left(\alpha_{1}\right), F\left(\alpha_{2}\right)\) 是 \(F\) 的等价扩张
2. 对任何 \(F[x]\) 上的首一不可约多项式 \(p(x)\)，存在 \(F\) 的单代数扩张 \(F(\beta)\) 使得 \(\operatorname{Irr}(\beta, F)=p(x)\)，且任何满足这个条件的两个单代数扩张一定是 \(F\) 的等价扩张
实数域的扩张

设 \(p(x) = x^2 + 1 \in \mathbf R[x]\)，则 \(p(x)\) 为极小多项式
1. 构造 \(\mathbf R\) 的二次扩域 \(\mathbf R[x]/(x^2 + 1)\)，定义映射 \(f: \mathbf R[x]/(x^2 + 1) \to \mathbf C\) 为 \(f(ax + b + (x^2 + 1)) = a \mathrm i + b\)，其中 \(a, b \in \mathbf R\)，则 \(f\) 为 \(R[x]/(x^2 + 1)\) 到 \(\mathbf C\) 的一个同构映射，即有 \(\mathbf R[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbf C\)
2. 设 \(\mathbf R(\mathrm i)\) 是使得 \(\operatorname{Irr}(\mathrm i, \mathbf R)=p(x)\) 的单扩域，则线性空间 \(\mathbf R(\mathrm i) = \{a_0 + a_1 \mathrm i \mid a_0, a_1 \in \mathbf R\} \cong \mathbf C \cong \mathbf R(-\mathrm i)\)

3.2.2 代数扩张

代数扩张：设 \(K\) 为域 \(F\) 的扩域，若 \(K\) 中的每个元素都是 \(F\) 上的代数元，则称 \(K\) 为 \(F\) 的代数扩张．当 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\) 为域 \(F\) 上的代数元时，记 \(F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)\) 为包含 \(F\) 的最小代数扩域．特别地，当 \(n=1\) 时，即为 \(F\) 的单代数扩张
1. 有限扩张与无限扩张：设 \(K\) 为 \(F\) 的扩域，若 \(K\) 作为 \(F\) 上的线性空间是有限维的，则称 \(K\) 为 \(F\) 的有限扩张．\(K\) 的维数称为 \(K\) 在 \(F\) 上的次数，记为 \([K: F]\)．若 \(K\) 作为 \(F\) 上的线性空间是无限维的，则称 \(K\) 为 \(F\) 的无限扩张
2. 设 \(F(\alpha)\) 为 \(F\) 的单扩张，则下列条件等价
  1. \(F(\alpha)\) 是 \(F\) 的代数扩张
  2. \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元
  3. \(F(\alpha)\) 是 \(F\) 的有限扩张
3. 设 \(E\) 为域 \(F\) 的有限扩张，\(K\) 为 \(E\) 的有限扩张，则 \(K\) 是 \(F\) 的有限扩张且 \([K: F]=[K: E][E: F]\)
  1. \(F\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right)\) 是域 \(F\) 的代数扩张当且仅当 \(F\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right)\) 是 \(F\) 的有限扩张当且仅当 \(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\) 是 \(F\) 上的代数元
  2. 域 \(F\) 上的两个代数元的和、差、积、商（分母不为零）仍为 \(F\) 上的代数元
  3. 设 \(E=F(S)\)，其中 \(S\) 的元素都是 \(F\) 上的代数元，则 \(E\) 是 \(F\) 的代数扩张
  4. 若 \(E\) 是域 \(F\) 的代数扩张，\(K\) 是 \(E\) 的代数扩张，则 \(K\) 是 \(F\) 的代数扩张
域扩张的一般过程：设 \(K\) 为 \(F\) 的扩张，\(K_{0}\) 为 \(F\) 在 \(K\) 中的代数闭包，则 \(K_{0}\) 是含于 \(K\) 的 \(F\) 的最大代数扩张，且对于任意 \(\delta \in K-K_{0}\)，\(\delta\) 是 \(K_{0}\) 上的超越元
1. 代数闭包：设 \(K\) 为 \(F\) 的扩张，\(K\) 中在 \(F\) 上为代数元的元素的集合 \(K_{0}\) 称为 \(F\) 在 \(K\) 中的代数闭包
2. 域的扩张都可以分成两步进行：先进行代数扩张，再进行超越扩张

3.2.3 可分扩张

设 \(F\) 是域，\(f(x) \in F[x]\)，若 \(f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0}\)，则称 \(F[x]\) 中多项式

\[ f^{\prime}(x)=n a_{n} x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_{1} \]

为 \(f(x)\) 的形式微商
1. 形式微商的主要性质
  1. \(a^{\prime}=0, \forall a \in F\)；当 \(F\) 的特征为 \(0\) 时，由 \(f^{\prime}(x)=0\) 可以推出 \(f(x) \in F\)
  2. \(x^{\prime}=1\)
  3. \((a f(x)+b g(x))^{\prime}=a f^{\prime}(x)+b g^{\prime}(x), \ \forall a, b \in F\), \(f(x), g(x) \in F[x]\)
  4. \((f(x) g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x), \ \forall f(x), g(x) \in F[x]\)
2. 设 \(F\) 为域，\(f(x) \in F[x]\)，\(K\) 为 \(f(x)\) 的分裂域，\(\alpha\) 是 \(f(x)\) 在 \(K\) 中的一个 \(k\) 重根，则当 \(\operatorname{Ch} F \gamma_{k}\) 时，\(\alpha\) 是 \(f^{\prime}(x)\) 的 \(k-1\) 重根，当 \(\operatorname{Ch} F \mid k\) 时，\(\alpha\) 是 \(f^{\prime}(x)\) 的至少 \(k\) 重根
3. 设 \(K\) 是 \(f(x)\) 的分裂域，则 \(f(x)\) 在 \(K\) 中无重根的充要条件是 \(\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=1\)
  1. 设 \(p(x)\) 是 \(F[x]\) 中的不可约多项式，\(\operatorname{deg} p(x) >0\)．则 \(p(x)\) 在其分裂域中有重根的充要条件是 \(p^{\prime}(x)=0\)
  2. 若 \(\operatorname{Ch} F=0\)，\(p(x)\) 为 \(F[x]\) 中不可约多项式且 \(\operatorname{deg} p(x)>0\)，则 \(p(x)\) 在其分裂域中无重根
可分多项式：设 \(F\) 为域，\(p(x) \in F[x]\) 为不可约多项式，若 \(p(x)\) 在其分裂域中只有单根，则称 \(p(x)\) 为 \(F\) 上可分的不可约多项式．若 \(f(x) \in F[x]\) 且 \(f(x)\) 的每个不可约因式都是可分的，则称 \(f(x)\) 为 \(F\) 上的可分多项式
1. 设 \(F\) 为域，若 \(F[x]\) 中每个多项式都是可分多项式，则称 \(F\) 为完备域
2. 设 \(F\) 的特征为 \(p\)，\(f(x)\) 为 \(F[x]\) 中不可分不可约多项式，则 \(f(x)\) 在其分裂域 \(K\) 上有分解
  
  \[ f(x)=c\left(x-\alpha_{1}\right)^{p^{e}}\left(x-\alpha_{2}\right)^{p^{e}} \cdots\left(x-\alpha_{r}\right)^{p^{e}} \]
  
  其中当 \(i \neq j\) 时，\(\alpha_{i} \neq \alpha_{j}, e \in \mathrm{N}\)．且
  
  \[ h(x)=c\left(x-\alpha_{1}^{p^{e}}\right)\left(x-\alpha_{2}^{p^{e}}\right) \cdots\left(x-\alpha_{r}^{p^{e}}\right) \]
  
  是 \(F[x]\) 中可分的不可约多项式
3. 设域 \(F\) 的特征为 \(p>0\)，则 \(F\) 为完备域的充分必要条件为对任何 \(a \in F\)，存在 \(b \in F\) 使 \(a=b^{p}\)
  1. 有限域是完备域
  2. 完备域的代数扩张也是完备域
可分扩张：设 \(K\) 是域 \(F\) 的扩张，\(\alpha \in K\) 是 \(F\) 上代数元，若 \(\operatorname{Irr}(\alpha, F)\) 可分，则称 \(\alpha\) 为 \(F\) 上的可分元素．如果 \(\operatorname{Irr}(\alpha, F)\) 不可分，则称 \(\alpha\) 为 \(F\) 上的不可分元素．\(F\) 的一个代数扩张 \(E\) 称为 \(F\) 的可分扩张，若 \(E\) 中任何元素都是 \(F\) 上的可分元素
1. 设 \(E=F\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right)\) 是域 \(F\) 上的有限扩张，且 \(\alpha_{i}, i=1,2, \cdots, n\)，都是 \(F\) 上的可分元素，则 \(E\) 是 \(F\) 的可分扩张
2. 设 \(K\) 为 \(F\) 的代数扩张，\(\alpha, \beta \in K\)．若 \(\alpha, \beta\) 都是 \(F 1\) 上的可分元素，则 \(\alpha \pm \beta, \alpha \beta, \alpha \beta^{-1} \ (\beta \neq 0)\) 都是 \(F\) 上的可分元素
3. 设 \(K\) 为域 \(F\) 上的有限可分扩张，则 \(K\) 是 \(F\) 的单代数扩张

3.3 Galois 理论

\(\text{Galois}\) 群与不变子域：设 \(K\) 是域 \(F\) 的有限扩张，则 \(K\) 的所有 \(F-\)自同构的集合关于映射的乘法构成一个群，称为 \(K\) 在 \(F\) 上的 \(\text{Galois}\) 群，记为 \(\operatorname{Gal}(K / F)\)．设 \(G\) 为域 \(K\) 的自同构群 \(\operatorname{Aut}(K)\) 的一个子群，则集合 \(\{a \in K \mid g(a)=a, \forall g \in G\}\) 是 \(K\) 的一个子域，称为 \(K\) 的 \(G-\)不变子域，记为 \(\operatorname{Inv} G\)
\(\text{Galois}\) 扩张：若域 \(F\) 的有限扩张 \(K\) 满足 \(\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(K / F))=F\)，则称 \(K\) 是 \(F\) 的 \(\text{Galois}\) 扩张
1. 正规扩张：设 \(F\) 为域，\(K\) 为 \(F\) 的一个代数扩张，若 \(F[x]\) 中的一个不可约多项式 \(p(x)\) 在 \(K\) 中有一个根，则 \(p(x)\) 的所有根都在 \(K\) 中，即在 \(K\) 中 \(p(x)\) 可以分解为一次因式的乘积，此时称 \(K\) 为 \(F\) 的正规扩张
2. 设 \(K\) 是域 \(F\) 的扩域，则下列条件等价
  1. \(K\) 是 \(F\) 的 \(\text{Galois}\) 扩张
  2. \(K\) 是 \(F\) 的有限可分正规扩张
  3. \(K\) 是可分多项式 \(f(x) \in F[x]\) 的分裂域，且此时有 \(|\mathrm{Gal}(K / F)|=[K: F]\)
\(\text{Galois}\) 基本定理
1. 定义 \(\Sigma\) 到 \(\Gamma\) 的映射 \(\textrm{Gal}: E \mapsto \textrm{Gal}(K / E), \forall E \in \Sigma\)，称之为 \(\text{Galois}\) 映射，则 \(\text{Galois}\) 映射是可逆映射，其逆映射为 \(\Gamma\) 到 \(\Sigma\) 的映射 \(\textrm{Inv}: H \mapsto \operatorname{Inv} H, \forall H \in \Gamma\)
2. \(\forall H_{1}, H_{2} \in \Gamma\) 有 \(H_{2} \subseteq H_{1} \leftrightarrow \operatorname{Inv} H_{1} \subseteq \operatorname{Inv} H_{2}\)
3. \(\forall H_{1}, H_{2} \in \Gamma, H_{2} \subseteq H_{1}\)，则有 \(\left[H_{1}: H_{2}\right]=\left[\operatorname{Inv} H_{2}: \operatorname{Inv} H_{1}\right]\)
4. \(\forall H_{1}, H_{2} \in \Gamma, H_{2} \subseteq H_{1}\)，则有 \(H_{2} \triangleleft H_{1} \leftrightarrow \operatorname{Inv} H_{2}\) 是 \(\operatorname{Inv} H_{1}\) 的正规扩张，且此时 \(\mathrm{Gal}\left(\operatorname{Inv} H_{2} / \operatorname{Inv} H_{1}\right) \cong H_{1} / H_{2}\)
设 \(F\) 是特征为 \(0\) 的域，\(f(x) \in F[x]\) 是无重根的多项式，则方程 \(f(x)=0\) 对 \(F\) 可用根式解的充要条件是 \(f(x)=0\) 对基域 \(F\) 的 \(\text{Galois}\) 群 \(G(f(x), F)\) 为可解群
1. 方程的 \(\text{Galois}\) 群：设 \(f(x)\) 是域 \(F\) 上的多项式，即 \(f(x) \in F[x]\)．设 \(F\) 是特征为 \(0\) 的域，\(f(x)\) 是无重根的多项式，记 \(K\) 是 \(f(x)\) 的分裂域，则称 \(\mathrm{Gal}(K / F)\) 为方程 \(f(x)=0\) 对基域 \(F\) 的 \(\text{Galois}\) 群，记为 \(G(f(x), F)\)
2. 方程可用根式解：设 \(K\) 是域 \(F\) 的扩张，若有中间域序列 \(F=F_{0} \subseteq F_{1} \subseteq \cdots \subseteq F_{i} \subseteq F_{i+1} \subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K\) 使得每一 \(F_{i+1}\) 都是 \(x^{n_{1+1}}-a_{i+1} \in F_{i}[x]\) 的分裂域，则称 \(K\) 是 \(F\) 的根式扩张．设多项式 \(f(x) \in F[x]\)，若有 \(F\) 的根式扩张 \(K\) 包含 \(f(x)\) 的分裂域，则称方程 \(f(x)=0\) 对 \(F\) 可用根式解
3. 次数不小于 \(5\) 的文字系数多项式（即方程所有系数是独立的或称代数无关的）方程不能用根式解