1 解析式与初等函数

代数解析式：一阶算术项集的元素
1. 代数式：只含有四则运算和开方运算的解析式
2. 超越式：含有初等超越运算的解析式
解析式的恒等：设 \(f(x), g(x)\) 为两个解析式
1. 若对于其定义域的公共部分的一切值都有相等的值，则称两个解析式是恒等的，记作 \(f(x) \equiv g(x)\) 或 \(f(x) = g(x)\)
2. 恒等变换：将一个给定解析式换成与之恒等的解析式
初等函数：由基本初等函数经过有限次代数运算及函数复合构成的，用一个解析式表示的函数
1. 初等代数函数：由基本初等函数 \(f_1(x) = x\) 与 \(f_2(x) = c\)（\(c\) 为常数）经过有限次代数运算的初等函数，也称作代数显函数
2. 初等超越函数：不是初等代数函数的初等函数
代数函数：凡能作为代数方程的解的函数．假设 \(P(x, y) = P_x(x) y^n + P_{n-1}y^{n-1} + \cdots + P_1(x) y + P_0\) 是两个变量 \(x, y\) 的非零多项式，如果以 \(y\) 为未知量，则代数方程 \(P(x, y) = 0\) 的各个根就是以 \(x\) 为自变量的代数函数

1.1 代数式

1.1.1 整式

整式：单项式与多项式的总称，是代数式的一种
1. 单项式：数字、字母或其乘积，其数字因数被称为单项式的系数，所有字母的指数和被称为单项式的次数
2. 多项式：若干个单项式的和，每个单项式称作多项式的项，次数最高项的次数称作多项式的次数
  1. 常数项：不含字母的项
  2. 同类型：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项．特别地，常数项都是同类项
一元多项式：设数域 \(F\) 上的多项式 \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots a_1x + a_0\)
1. \(a_n \neq 0\) 时，称 \(n\) 为多项式的次数，\(a_nx^n\) 为多项式的首项，\(a_n \neq 0\) 为首项系数
2. 若 \(\forall x \in F: f(x) \equiv 0\)，则 \(a_i = 0 \ (i = 0, 1, \cdots, n)\)
3. 多项式恒等定理：设数域 \(F\) 上的多项式 \(g(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots b_1x + b_0\)
  1. \(f(x) \equiv g(x) \leftrightarrow n = m \wedge a_i = b_i \ (i = 1, 2, \cdots, n)\)
  2. 若 \(f(x), g(x)\) 对于 \(x\) 的 \(n + 1\) 个不同的值都有相等的值，那么 \(f(x) \equiv g(x)\)
多元多项式：含两个以上变元的多项式
1. 特殊多项式
  1. 齐次多项式：若标准形式多项式各项次数均为 \(n\)，则称之为 \(n\) 次齐次多项式
  2. 对称多项式：设 \(f(x_1, x_2, \cdots , x_n)\) 是 \(n\) 元多项式，如果对任意 \(i, j \ (1 \leqslant i < j \leqslant n)\) 都有
    
    \[ f(x_1, \cdots x_i, \cdots, x_j, \cdots, x_n) = f(x_1, \cdots, x_j, \cdots, x_i, \cdots, x_n) \]
    
    则称该多项式为对称多项式
  3. 交代多项式：设 \(f(x_1, x_2, \cdots , x_n)\) 是 \(n\) 元多项式，如果对任意 \(i, j \ (1 \leqslant i < j \leqslant n)\) 都有
    
    \[ f(x_1, \cdots x_i, \cdots, x_j, \cdots, x_n) = -f(x_1, \cdots, x_j, \cdots, x_i, \cdots, x_n) \]
    
    则称该多项式为交代多项式
  4. 轮换多项式：设 \(f(x_1, x_2, \cdots , x_n)\) 是 \(n\) 元多项式，如果将变数字母 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) 按一定顺序轮换，多项式值不变，则称该多项式为轮换多项式
    1. 多项式的性质
  5. 对称式一定是轮换式，反之不一定成立
  6. 变元相同的两个对称式的四则运算（除法需要保证能整除）结果仍是对称式
  7. 变元相同的两个轮换式的四则运算（除法需要保证能整除）结果仍是轮换式
  8. 变元相同的两个交代式的和、差仍是交代式，其积、商（需要保证能整除）是对称式
  9. 变元相同的一个对称式与一个交代式的积、商（需要保证能整除）是交代式
  10. 多项式的因式分解：给定的数域上，讲一个多项式表示成若干个不可约多项式乘积的形式
因式分解的常用公式
1. 平方差公式：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
2. 立方差公式：\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)，用 \((-b)\) 代 \(b\) 得到立方和公式 \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
3. 完全平方公式：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)，用 \((-b)\) 代 \(b\) 得到 \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)

1.1.2 分式

分式：两个多项式的比 \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) （其中 \(g(x)\) 不恒为零）称作有理分式
1. 分式的恒等：如果两个分式 \(\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}\) 与 \(\dfrac{f_2(x)}{g_2(x)}\) 对于 \(x\) 在其公共定义域上的任意取值都有相等的值，那么 \(\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)} \equiv \dfrac{f_2(x)}{g_2(x)}\)
  1. \(\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)} \equiv \dfrac{f_2(x)}{g_2(x)}\) 当且仅当 \(f_1(x)g_2(x) = f_2(x)g_1(x)\)
  2. 若 \(\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)} \equiv \dfrac{f_2(x)}{g_2(x)}\) 且 \(g_1(x) = g_2(x)\)，则 \(f_1(x) = f_2(x)\)
2. 既约分式：如果分式 \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) 的分子和分母除常数因子外没有其他公因式，则称该分式为既约分式，称 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 互质
3. 分式的基本性质
  1. 如果 \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) 是一个分式，\(h(x)\) 是一个非零多项式，则 \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \equiv \dfrac{f(x) \cdot h(x)}{g(x) \cdot h(x)}\)
  2. 任何有理分式 \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) 都有一个既约分式与之恒等，除去数值因子外，这个既约分式是唯一的
代数延拓原理：如果分式 \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) 在 \(x = x_0\) 处失去意义，即 \(g(x_0) = 0\)，而其既约分式 \(\dfrac{f_0(x)}{g_0(x)}\) 在 \(x = x_0\) 处有意义，则约定 \(\dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} = \dfrac{f_0(x_0)}{g_0(x_0)}\)
部分分式
1. 真分式：如果一个分式的分子多项式次数小于分母多项式的次数，则称之为真分式，否则称之为假分式
  1. 两个真分式的和、差仍是真分式或零
  2. 设 \(p_1(x)\) 与 \(p_2(x)\) 是多项式，\(\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}\) 与 \(\dfrac{f_2(x)}{g_2(x)}\) 是真分式，若有 \(p_1(x) + \dfrac{f_1(x)}{g_1(x)} \equiv= p_2(x) + \dfrac{f_2(x)}{g_2(x)}\)，则必有 \(p_1(x) \equiv p_2(x)\) 且 \(\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)} \equiv \dfrac{f_2(x)}{g_2(x)}\)
2. 部分分式：在实数集内，形如 \(\dfrac{a}{(x - r)^k}\) 或 \(\dfrac{bx + c}{(x^2 + px + q)^l}\)（其中 \(k, l \in Z_+, a, b, c \in \mathbf R, p^2 - 4q < 0\)）的分式称作基本真分式或最简部分分式．将一个真分式化为基本真分式之和称作将分式展开为部分分式
  1. 设 \(\dfrac{f(x)}{g_1(x)g_2(x) \cdots g_n(x)}\) 是真分式，\(g_1(x), g_2(x), \cdots g_n(x)\) 都是不可约多项式且两两互质，则可求得唯一一组真分式 \(\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}, \dfrac{f_2(x)}{g_2(x)}, \cdots, \dfrac{f_n(x)}{g_n(x)}\) 使得 \(\dfrac{f(x)}{g_1(x)g_2(x) \cdots g_n(x)} = \dfrac{f_1(x)}{g_1(x)} + \dfrac{f_2(x)}{g_2(x)} + \cdots + \dfrac{f_n(x)}{g_n(x)}\)
  2. 设 \(\dfrac{f(x)}{g^n(x)}\) 是真分式，\(f(x)\) 的次数不小于 \(g(x)\) 的次数，则可求得唯一一组真分式 \(\dfrac{f_1(x)}{g(x)}, \dfrac{f_2(x)}{g^2(x)}, \cdots, \dfrac{f_n(x)}{g^n(x)}\) 使得 \(\dfrac{f(x)}{g^n(x)} = \dfrac{f_1(x)}{g(x)} + \dfrac{f_2(x)}{g^2(x)} + \cdots + \dfrac{f_n(x)}{g^n(x)}\)，其中 \(f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)\) 的次数都小于 \(g(x)\) 的次数

1.1.3 根式

根式：含有开方运算的代数式
1. \(n\) 次方根：如果 \(x^n = a\)，则称 \(x\) 为 \(a\) 的 \(n\) 次方根
2. 算术根：非负数 \(a\) 的非负 \(n\) 次方根记作 \(\sqrt[n]a \ (a \geqslant 0, n \in \mathbf Z_+, n > 1)\)，它是唯一存在的
运算法则与恒等变形
1. 根式的运算法则：对于算术根而言，设 \(A \geqslant 0, B \geqslant 0, n \in \mathbf Z_+, n > 1\)
  1. \(\sqrt[np]{A^{mp}} = \sqrt[n]{A^m}\)
  2. \(\sqrt[n]{AB} = \sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}\)
  3. \(\sqrt[n]{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}\)
  4. \((\sqrt[n]{A})^m = \sqrt[n]{A^m}\)
  5. \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{A}} = \sqrt[mn]{A}\)
2. 根式的化简
  1. 最简根式：如果一个根式的被开方数的幂指数与根指数互质，被开方数的每个因式的幂指数都小于根指数，且被开放数不含分母，则称此根式为最简根式
  2. 复合二次根式：设 \(A > 0, B > 0\) 且 \(A^2 - B > 0\)，则二次根式 \(\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\dfrac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\dfrac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}\)
设 \(P\) 是已知根式（\(P \not\equiv 0\)），若有根式 \(Q\)（\(Q \not\equiv 0\)）使乘积 \(PQ\) 为有理式，则称 \(Q\) 是 \(P\) 的共轭根式，或称 \(P, Q\) 互为共轭根式
1. 对于根式 \(P = \sqrt[n]{x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_m^{r_m}}\)，其中 \(r_1, r_2, \cdots, r_m < n\) 且为正整数，则 \(P\) 的共轭根式为 \(Q = \sqrt[n]{x_1^{n-r_1} x_2^{n-r_2} \cdots x_m^{n-r_m}}\)
2. 对于根式 \(P = \sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y}\)，其共轭根式为 \(Q = \sqrt[n]{x^{n-1}} + \sqrt[n]{x^{n-2}y} + \cdots + \sqrt[n]{xy^{n-2}} + \sqrt[n]{y^{n-1}}\)
3. 对于根式 \(P = \sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{y}\)，其共轭根式为 \(Q = \left\{\begin{aligned} & \sqrt[n]{x^{n-1}} - \sqrt[n]{x^{n-2}y} + \cdots - \sqrt[n]{xy^{n-2}} + \sqrt[n]{y^{n-1}} \\ & \sqrt[n]{x^{n-1}} - \sqrt[n]{x^{n-2}y} + \cdots + \sqrt[n]{xy^{n-2}} - \sqrt[n]{y^{n-1}} \end{aligned}\right.\)

1.2 超越式

1.2.1 指数式与对数式

指数式
1. 有理指数幂：设 \(a > 0, m, n \in \mathbf Z_+, n > 1\)，规定 \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) 且 \(a^{-\frac{m}{n}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\)
  1. 当底数 \(a = 0\) 时，\(0^{\frac{m}{n}} = 0 \ (m, n \in \mathbf Z_+)\)，\(0^0\) 无意义
  2. 当底数 \(a < 0\) 时，在分母为奇数时有意义，在分母为偶数时无意义
2. 无理指数幂
  1. 退缩闭区间：设 \(a > 1\)，\(\alpha = p.p_1 p_2 \cdots p_n\) 是正无理数，则序列 \([a^{\alpha_0^-}, a^{\alpha_0^+}], [a^{\alpha_1^-}, a^{\alpha_1^+}], \cdots, [a^{\alpha_n^-}, a^{\alpha_n^+}]\) 是一个退缩闭区间序列，其中 \(\alpha_n^-\) 与 \(\alpha_n^+\) 分别表示 \(\alpha\) 的精确到 \(\dfrac{1}{10^n}\) 的不足与过剩近似值；当 \(0 < a < 1\) 时，可以证明 \([a^{\alpha_0^+}, a^{\alpha_0^-}], [a^{\alpha_1^+}, a^{\alpha_1^-}], \cdots, [a^{\alpha_n^+}, a^{\alpha_n^-}]\) 是一个退缩闭区间序列
  2. 由退缩闭区间序列所确定的唯一实数称作幂 \(a^\alpha\)
3. 实数指数幂的运算法则：设 \(a, b > 0, m, n \in \mathbf R\)
  1. \(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\)
  2. \((a^m)^n = a^{mn}\)
  3. \((ab)^n = a^n b^n\)
对数：设 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1, N > 0\)，如果有实数 \(b\) 使得等式 \(a^b = N\) 成立，则称 \(b\) 是以 \(a\) 为底的 \(N\) 的对数，记作 \(\log_a N = b\)．其中 \(a\) 称作底数，\(N\) 称作真数
1. 对数存在定理：设 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)，则对于任意给定的正实数 \(N\)．都存在唯一的实数 \(b\) 使得 \(a^b = N\)
2. 对数的性质：设 \(a > 0, a \neq 1, M, N > 0\)
  1. 对数恒等式：\(a^{\log_a N} = N\)
  2. \(\log_a a = 1, \log_a 1 = 0 \ (a > 0, a \neq 1)\)
  3. \(\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N\)
  4. \(\log_a \left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N\)
  5. \(\log_a N^n = n\log_a N\)
  6. 换底公式：\(\log_a N = \dfrac{\log_b M}{\log_b N}\)
3. 常用对数：记 \(\lg N = \log_{10} N\)

1.2.2 三角式与反三角式

三角式的恒等变形
1. 同角三角式基本关系：\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, 1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha, 1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha\)
2. 诱导公式：设 \(k \in \mathbf Z\)
  1. \(\sin(2k \pi + \alpha) = \sin \alpha, \cos(2k \pi + \alpha) = \cos \alpha, \tan(2k \pi + \alpha) = \tan \alpha, \cot(2k \pi + \alpha) = \cot \alpha\)
  2. \(\sin(k \pi + \alpha) = -\sin \alpha, \cos(k \pi + \alpha) = -\cos \alpha, \tan(k \pi + \alpha) = \tan \alpha, \cot(k \pi + \alpha) = \cot \alpha\)
  3. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha, \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha, \tan\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot \alpha, \cot\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\tan \alpha\)
  4. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha, \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha, \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot \alpha, \cot\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tan \alpha\)
  5. \(\sin(-\alpha) = -\sin \alpha, \cos(-\alpha) = \cos \alpha, \tan(-\alpha) = -\tan \alpha, \cot(-\alpha) = -\cot \alpha\)
3. 和角公式与差角公式
  1. \(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta, \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta\)
  2. \(\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta, \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta\)
  3. \(\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \cdot \tan \beta}, \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 - \tan \alpha \cdot \tan \beta}\)
4. 二倍角公式
  1. \(\sin 2\alpha = \dfrac{2\tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = 2\sin \alpha \cos \alpha\)
  2. \(\cos 2\alpha = \dfrac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\)
  3. \(\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}\)
5. 和差化积与积化和差
  1. \(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}, \sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2}\)
  2. \(\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}, \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2}\)
  3. \(\sin \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)], \cos \alpha \cdot \sin \beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)]\)
  4. \(\cos \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)], \sin \alpha \cdot \sin \beta = -\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)]\)
反三角式的恒等变形
1. 三角运算
  1. \(\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}, \sin(\arctan x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}, \sin(\operatorname{arccot} x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\)
  2. \(\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}, \cos(\arctan x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}, \cos(\operatorname{arccot} x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\)
  3. \(\tan(\arcsin x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}, \tan(\arccos x) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x}, \tan(\operatorname{arccot} x) = \dfrac{1}{x}\)
  4. \(\cot(\arcsin x) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x}, \cot(\arccos x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}, \cot(\arctan x) = \dfrac{1}{x}\)
2. 反三角式的关系
  1. \(\arcsin(-x) = -\arcsin x, \arccos(-x) = \pi - \arccos x\)
  2. \(\arctan(-x) = -\arctan x, \operatorname{arccot}(-x) = \pi - \operatorname{arccot} x\)
  3. \(\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}, \arctan x + \operatorname{arccot} x = \dfrac{\pi}{2}\)
3. 互表关系
  1. \(\arcsin x = \arctan \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \ (-1 < x < 1)\)
  2. \(\arccos x = \operatorname{arccot} \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \ (-1 < x < 1)\)
  3. \(\arctan x = \arcsin \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\)
  4. \(\arcsin x = \left\{\begin{aligned} & \arccos \sqrt{1 - x^2}, & 0 \leqslant x < 1 \\ & \arccos \sqrt{1 - x^2}, & -1 \leqslant x < 0 \end{aligned}\right.\)
  5. \(\arccos x = \left\{\begin{aligned} & \arcsin \sqrt{1 - x^2}, & 0 \leqslant x < 1 \\ & \pi - \arcsin \sqrt{1 - x^2}, & -1 \leqslant x < 0 \end{aligned}\right.\)
  6. \(\arctan x = \left\{\begin{aligned} & \arccos \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}, & x \geqslant 0 \\ & -\arccos \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}, & x < 0 \end{aligned}\right.\)
\(\text{Euler}\) 公式：\(e^{\pm \mathrm{i} x}=\cos x \pm \mathrm{i} \sin x \ (x \in \mathbf C)\)

倍角的 \(\text{de Moivre}\) 公式

\(\text{de Moivre}\) 公式是 \(\text{Euler}\) 公式的推论：\({\displaystyle \cos n x+\mathrm{i} \sin n x=\sum_{k=0}^n \mathrm{i}^k\dbinom{n}{k} \cos ^{n-k} x \sin ^k x}\)，分离复数的实部和虚部得到三角函数的倍角公式

\[ \begin{aligned} &\cos n x=\cos ^n x-\dbinom{n}{2} \cos ^{n-2} x \sin ^2 x+\dbinom{n}{4} \cos ^{n-4} x \sin ^4 x-\cdots \\ &\sin n x=\dbinom{n}{1} \cos ^{n-1} x \sin x-\dbinom{n}{3} \cos ^{n-3} x \sin ^3 x+\dbinom{n}{5} \cos ^{n-5} x \sin ^5 x-\cdots \end{aligned} \]

1.3 初等函数

1.3.1 函数的性质

有界性：若函数 \(f(x)\) 在某个区间 \(X\) 内满足 \(A \leqslant f(x) \leqslant B\)，则称 \(f(x)\) 在 \(X\) 内有界．如果不存在满足此条件的 \(A\) 或 \(B\)，则称该函数是无界的
单调性：对于给定区间 \(E\) 上的函数 \(f(x)\)，对于任意 \(x_1, x_2 \in E\)，若有 \(x_1 < x_2 \to f(x_1) < f(x_2)\)，则称 \(f(x)\) 在 \(E\) 上是单调递增的；若有 \(x_1 < x_2 \to f(x_1) > f(x_2)\)，则称 \(f(x)\) 在 \(E\) 上是单调递减的
1. 若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 连续，在 \((a, b)\) 可导，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 单调递增当且仅当在 \((a, b)\) 内 \(f^{\prime}(x) \geqslant 0\)；\(f(x)\) 在 \([a, b]\) 单调递减当且仅当在 \((a, b)\) 内 \(f^{\prime}(x) \leqslant 0\)
2. 若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 连续，在 \((a, b)\) 可导且 \(f^{\prime}(x)\) 不变号，则若 \(f^{\prime}(x)>0\), 则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 严格单调递增；若 \(f^{\prime}(x)<0\), 则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 严格单调递减
奇偶性：设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，对于任意 \(x \in D\)，都如果有 \(f(-x) = -f(x)\)，则称 \(f(x)\) 为奇函数；若对于任意 \(x \in D\)，都有 \(f(-x) = f(x)\)，则称 \(f(x)\) 为偶函数
1. 设 \(g(x)\) 为奇函数，则当 \(f(x)\) 为奇函数（或偶函数）时，\(y = f[g(x)]\) 为奇函数（或偶函数）
2. 设 \(g(x)\) 为偶函数，则当 \(f(x)\) 为奇函数或偶函数时，\(y = f[g(x)]\) 为偶函数
周期性：设 \(f(x)\) 是定义在数集 \(D\) 上的函数，如果存在常数 \(T \neq 0\)，对任何 \(x \in D\) 都有 \(x \pm T \in D\)，且 \(f(x + T) = f(x)\) 总成立，则称 \(f(x)\) 为周期函数，常数 \(T\) 称作 \(f(x)\) 的一个周期
1. 设 \(f(x)\) 是定义在集合 \(D\) 上的周期函数，其最小正周期是 \(T\)
  1. 函数 \(k \cdot f(x) + c \ (k \neq 0)\) 仍然是 \(D\) 上的周期函数，其最小正周期是 \(T\)
  2. 函数 \(\dfrac{k}{f(x)} \ (k \neq 0)\) 仍然是 \(D\) 上周期函数，最小正周期仍为 \(T\)
  3. 函数 \(f(ax + b) \ (a \neq 0, ax + b \in D)\) 是以 \(\dfrac{T}{|a|}\) 为最小正周期的周期函数
2. 设 \(u = g(x)\) 是定义在集合 \(D\) 上的周期函数，其最小正周期为 \(T\)．如果 \(f(x)\) 是定义在集合 \(E\) 上的函数，且当 \(x \in D\)，\(g(x) \in E\)，则复合函数 \(f[g(x)]\) 是集合 \(D\) 上以 \(T\) 为周期的周期函数
3. 设 \(f_1(x)\) 和 \(f_2(x)\) 都是定义在集合 \(D\) 上的周期函数，它们的正周期分别为 \(T_1, T_2\)．如果 \(\dfrac{T_2}{T_1} \in \mathbf Q\)，则其和与积也是 \(D\) 上的周期函数，\(T_1, T_2\) 的公倍数是其和与积的一个周期
凹凸性：设函数 \(f(x)\) 在区间 \(D\) 上连续，对任意 \(x_1, x_2 \in D\)，若恒有 \(f\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\right) < \dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2}\)，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(D\) 上为凹函数；若恒有 \(f\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\right) > \dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2}\)，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(D\) 上为凸函数
1. 拐点：若曲线上点 \(\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)\) 使得曲线在此点的一边为凸函数，在另一边为凹函数，则称此点为曲线的拐点，也称扭转点
2. 设 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 内存在二阶导数 \(f^{\prime \prime}(x)\)，则
  1. 若在 \((a, b)\) 内有 \(f^{\prime \prime}(x)<0\)，则 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 为凸函数
  2. 若在 \((a, b)\) 内有 \(f^{\prime \prime}(x)>0\)，则 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 为凹函数
极值：设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续
1. 若对于一点 \(x_{0}\)，存在 \(x_{0}\) 的某一邻域 \(\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \ (\delta>0)\)，使对于此邻域中的任意点 \(x\) 都有 \(f(x) \leqslant f\left(x_{0}\right)\)，则称 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 有一极大值 \(f\left(x_{0}\right)\)，且 \(x_{0}\) 为极大值点
2. 如果在 \(x_{0}\) 的某一邻域 \(\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)\) 中总有 \(f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)\)，则称 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 有一极小值 \(f\left(x_{0}\right)\)，且 \(x_{0}\) 为极小值点
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点
1. 极值的必要条件：若 \(x_{0}\) 是 \(f(x)\) 的极值点，那么 \(x_{0}\) 是 \(f^{\prime}(x)\) 的零点或 \(f(x)\) 的不可导点
2. 极值的判别
  1. 设 \(f(x)\) 在 \(\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)\) 和 \(\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)\)（其中 \(\delta>0\)）可导，则
    1. 若在 \(\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)\) 内 \(f^{\prime}(x)<0\)，而在 \(\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)\) 内 \(f^{\prime}(x)>0\)，则 \(x_{0}\) 为极小值点
    2. 若在 \(\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)\) 内 \(f^{\prime}(x)>0\)，而在 \(\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)\) 内 \(f^{\prime}(x)<0\)，则 \(x_{0}\) 为极大值点
    3. 若 \(f^{\prime}(x)\) 在这两个区间内不变号，则 \(x_{0}\) 不是极值点
  2. 设 \(f(x)\) 一阶、二阶可导，且 \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0\)，则
    1. 若 \(f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)<0\)，则 \(f\left(x_{0}\right)\) 是极大值
    2. 若 \(f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0\)，则 \(f\left(x_{0}\right)\) 是极小值
渐近线：设 \(f(x)\) 是一个函数
1. 水平渐近线：若 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b}\) 或 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=b}\)，则称 \(y=b\) 是曲线 \(y=f(x)\) 在 \(x \rightarrow+\infty\) 或 \(x \rightarrow-\infty\) 时的一条水平渐近线
2. 垂直渐近线：若 \({\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\infty}\)，则称 \(x=c\) 是 \(y=f(x)\) 的一条垂直渐近线
3. 斜渐近线：设 \(\rho(M, P)=f(x)-(ax+b)\)，当 \(x \rightarrow \infty\) 时，\(\rho(M, P) \rightarrow 0\) 当且仅当 \(y=a x+b\) 是渐近线

1.3.2 基本初等函数

常值函数：形如 \(y = c\) 的函数，其中 \(c\) 为常数
幂函数：形如 \(y = x^\alpha\) 的函数，其中 \(\alpha\) 是给定的实数

指数函数与对数函数：设 \(\ln x = \log_e x\)，其中 \(e = {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac 1n\right)^n}\)

指数函数与对数函数的定义
1. 对于 \(a > 0, a \neq 1, x \in \mathbf R\)，记 \(y = a^x = e^{x \ln a}\)
2. 对于 \(a > 0, a \neq 1, x > 0\)，记 \(y = \log_a x = \dfrac{L(x)}{L(a)} = \dfrac{\ln x}{\ln a}\)

指数函数与对数函数的性质

项目	指数函数	对数函数
函数式	\(y = a^x \ (a > 0, a \neq 1)\)	\(y = \log_a x \ (a > 0, a \neq 1)\)
定义域	\(\mathbf R\)	\((0, +\infty)\)
值域	\((0, +\infty)\)	\(\mathbf R\)
单调性	\(a > 1\) 时为增函数 \(0 < a < 1\) 时为减函数	\(a > 1\) 时为增函数 \(0 < a < 1\) 时为减函数

三角函数与反三角函数

三角函数的定义
1. 正弦函数与余弦函数
  
  \[ \begin{aligned} & C(x) = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\ & S(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \end{aligned} \]
  
  其中 \(e^x = {\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}}\)．定义 \(\pi\) 为方程 \(\sin \pi = 0\) 在区间 \((3, 4)\) 上的根
2. 定义正切函数 \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)，余切函数 \(\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)
3. 定义正割函数 \(\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha}\)，余割函数 \(\csc \alpha = \dfrac{1}{\sin \alpha}\)

三角函数的性质

项目	正弦函数	余弦函数	正切函数	余切函数
函数式	\(y = \sin x\)	\(y = \cos x\)	\(y = \tan x\)	\(y = \cot x\)
定义域	\(\mathbf R\)	\(\mathbf R\)	\({\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbf Z} \left(n \pi-\dfrac{\pi}{2}, n \pi+\dfrac{\pi}{2}\right)}\)	\({\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbf Z} \left(n \pi, n \pi+\pi\right)}\)
值域	\([-1, 1]\)	\([-1, 1]\)	\(\mathbf R\)	\(\mathbf R\)
最小正周期	\(2\pi\)	\(2\pi\)	\(\pi\)	\(\pi\)
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数	奇函数
递增区间	\(\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right], k\in \mathbf Z\)	\(\left[-\pi + 2k\pi, 2k\pi\right], k\in \mathbf Z\)	\(\left(n \pi-\dfrac{\pi}{2}, n \pi+\dfrac{\pi}{2}\right)\)	无
递减区间	\(\left[\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right], k\in \mathbf Z\)	\(\left[2k\pi, \pi + 2k\pi\right], k\in \mathbf Z\)	无	\(\left(n \pi, n \pi+\pi\right)\)

反三角函数：对应三角函数在对应区间上的反函数

项目	反正弦函数	反余弦函数	反正切函数	反余弦函数
函数式	\(y = \arcsin x\)	\(y = \arccos x\)	\(y = \arctan x\)	\(y = \operatorname{arccot} x\)
定义域	\([-1, 1]\)	\([-1, 1]\)	\(\mathbf R\)	\(\mathbf R\)
值域	\(\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]\)	\([0, \pi]\)	\(\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)\)	\((0, \pi)\)
奇偶性	奇函数	非奇非偶	奇函数	非奇非偶
单调性	增函数	减函数	增函数	减函数

1.3.3 函数实例

双曲函数

双曲函数的定义
1. 双曲正弦：\(\sinh x=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}\)
2. 双曲余弦：\(\cosh x=\dfrac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}\)
3. 双曲正切：\(\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}\)
4. 双曲余切：\(\operatorname{coth} x=\dfrac{\cosh x}{\sinh x}=\dfrac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}\)
5. 双曲正割：\(\operatorname{sech} x=\dfrac{1}{\cosh x}=\dfrac{2}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}\)
6. 双曲余割：\(\operatorname{csch} x=\dfrac{1}{\sinh x}=\dfrac{2}{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}\)

双曲函数的性质

项目	双曲正弦	双曲余弦	双曲正切	双曲余切
函数式	\(y=\operatorname{sinh} x\)	\(y=\operatorname{cosh} x\)	\(y=\operatorname{tanh} x\)	\(y=\operatorname{coth} x\)
定义域	\(\mathbf R\)	\(\mathbf R\)	\(\mathbf R\)	\(\mathbf R\)
值域	\(\mathbf R\)	\([1,+\infty)\)	\((-1, 1)\)	\((-\infty, 1) \cup(1, +\infty)\)
奇偶性	奇函数	偶函数	偶函数	奇函数

反双曲函数

反双曲函数的定义：对应双曲函数的反函数
1. 反双曲正弦：\(\operatorname{arcsinh} x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\)
2. 反双曲余弦：\(\operatorname{arccosh} x=\ln \left(x\pm \sqrt{x^2-1}\right)\)
3. 反双曲正切：\(\operatorname{arctanh} x=\dfrac{1}{2} \ln \dfrac{1+x}{1-x}\)
4. 反双曲余切：\(\operatorname{arccoth} x=\dfrac{1}{2} \ln \dfrac{x+1}{x-1}\)
5. 反双曲正割：\(\operatorname{arcsech} x=\ln \left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)\)
6. 反双曲余割：\(\operatorname{arccsch} x=\ln \left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}\right)\)

反双曲函数的性质

项目	反双曲正弦	反双曲余弦	反双曲正切	反双曲余切
函数式	\(y=\operatorname{arcsinh} x\)	\(y=\operatorname{arccosh} x\)	\(y=\operatorname{arctanh} x\)	\(y=\operatorname{arccoth} x\)
定义域	\(\mathbf R\)	\([1,+\infty)\)	\((-1,1)\)	\((-\infty,-1) \cup(1,+\infty)\)
值域	\(\mathbf R\)	\([0,+\infty)\)	\(\mathbf R\)	\((-\infty, 0) \cup(0,+\infty)\)

取整函数与分数部函数：设 \(x, y \in \mathbf R\)，整数函数（也称 \(\text{Gaussian}\) 函数）\([x]\) 是不超过 \(x\) 的最大整数，称它为 \(x\) 的整数部分；分数部函数定义为 \(\{x\} = x - [x]\)
1. 取整函数与分数部函数的性质
  1. \(x \leqslant y \to [x] \leqslant [y]\)
  2. 若 \(m\in \mathbf Z\)，则 \([m + x] = m + [x]\)
  3. 若 \(0 \leqslant x < 1\)，则 \([x] = 0\)
  4. \([x] \leqslant x < [x] + 1, x - 1 < [x] \leqslant x, 0 \leqslant \{x\} < 1\)
  5. \([x] + [y] \leqslant [x + y], \{x + y\} \leqslant \{x\} + \{y\}\)
  6. \([x + y] = \left\{\begin{aligned} & [x] + [y], & \{x\} + \{y\} < 1 \\ & [x] + [y] + 1, & \{x\} + \{y\} \geqslant 1 \end{aligned}\right.\)
  7. \([-x] = \left\{\begin{aligned} & -[x], & x\in \mathbf Z \\ & -[x] - 1, & x \notin \mathbf Z \end{aligned}\right.\)
  8. \(\{x\} = \left\{\begin{aligned} & 0, & x\in \mathbf Z \\ & 1 - \{x\}, & x\ \notin \mathbf Z \end{aligned}\right.\)
2. 设 \(a, b \in \mathbf Z_+\)，则在 \(1, 2, \cdots, a\) 中能被 \(b\) 整除的恰有 \(\left[\dfrac{a}{b}\right]\) 个
3. 在 \(n!\) 的质因数分解中，质数 \(p\) 的指数是 \(\left[\dfrac{n}{p}\right] + \left[\dfrac{n}{p^2}\right] + \left[\dfrac{n}{p^3}\right] + \cdots = {\displaystyle \sum_{r = 1}^{\infty} \left[\dfrac{n}{p_r}\right]}\)，进一步地，有 \(n! = {\displaystyle \prod_{p \leqslant n} p^{\sum_{r=1}^{\infty}\left[\frac{n}{p^r}\right]}}\)