2 极限理论
2.1 等子与核
2.1.1 等子与余等子
-
设 \(f, g \in[A, B]\)
-
若 \(E \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 和 \(e \in[E, A]\) 满足
- \(f \circ e=g \circ e\)
- 对每个 \(D \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 以及 \(h \in[D, A]\)，当 \(f \circ h=g \circ h\) 时皆有唯一的 \(k \in[D, E]\) 使 \(e \circ k=h\)
则称 \(\langle E, e\rangle\) 为 \(f\) 与 \(g\) 的等子，记为 \(\operatorname{equ}(f, g)\)．通常用 \(E(f, g)\) 表示对象 \(E\)，用 \(\alpha(f, g)\) 表示态射 \(e\)，用 \(\beta(f, g, h)\) 表示 \(k\)
-
若 \(C \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 和 \(c \in[B, C]\) 满足
- \(c \circ f=c \circ g\)
- 对每个 \(D \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 以及 \(h \in[B, D]\)，当 \(h \circ f=h \circ g\) 时皆有唯一的 \(k \in[C, D]\) 使 \(k \circ c=h\)
则称 \(\langle c, C\rangle\) 为 \(f\) 与 \(g\) 的余等子，记为 \(\operatorname{coequ}(f, g)\)．通常用 \(\widetilde{E}(f, g)\) 表示对象 \(C\)，用 \(\widetilde{\alpha}(f, g)\) 表示 \(c\)
-
-
称 \(\mathscr{C}\) 有（余）等子当且仅当 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f, g \in[A, B]\) 蕴含 \(f\) 与 \(g\) 的（余）等子存在
- \(\mathscr{C}\) 有等子当且仅当 \(\mathscr{C}^{\text{op}}\) 有余等子
- \(\mathscr{C}\) 有余等子当且仅当 \(\mathscr{C}^{\text{op}}\) 有等子
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴且 \(A, B, D, E \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}, f, g \in[A, B], h \in[D, A]\) 且 \(f \circ h=g \circ h\)
- \(\alpha(f, g)\) 为单态射
- \(\alpha(f, g)=\alpha(g, f)\)
- \(f \circ \alpha(f, g)=g \circ \alpha(f, g)\)
- \(\alpha(f, g) \circ \beta(f, g, h)=h\)
- 若令 \(\delta(f)=\beta\left(f, f, \mathbf{I}_{\mathbf{A}}\right)\)，则 \(\alpha(f, f) \circ \delta(f)=\mathbf{I}_{A}\)，因此 \(\alpha(f, f)\) 为 \(\text{retraction}\)
- \(f=g \leftrightarrow \alpha(f, g)\) 为同构态射 \(\leftrightarrow \alpha(f, g)\) 为外态射
- \(\beta(f, g, h)=\gamma(f, g, h) \circ \delta(f \circ h)\)
- 若 \(K \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(k \in[K, A]\)，当令 \(\gamma(f, g, k)=\beta(f, g, k \circ \alpha(f \circ k, g \circ k))\) 时有 \(\alpha(f, g) \circ \gamma(f, g, k)=k \circ \alpha(f \circ k, g \circ k)\)
- 若 \(K \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(k \in[K, E(f, g)]\)，则 \(\beta(f, g, \alpha(f, g) \circ k)=k\)
- \(\alpha(f, g)\) 为单态射
2.1.2 积与余积
-
设 \(\mathscr{C}\) 为范畴且 \(\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 为 \(\mathscr{C}\) 的对象族
-
如果 \(P \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 和 \(\mathscr{C}\) 的态射族 \(\left(\pi_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 满足
- 若 \(i \in \mathbf{I}\)，则 \(\pi_{i} \in\left[P, A_{i}\right]\)
- 对任意的 \(P^{\prime} \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 及 \(\mathscr{C}\) 的态射族 \(\left(f_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\)，若当 \(i \in \mathbf{I}\) 时皆有 \(f_{i} \in\left[P^{\prime}, A_{i}\right]\)，则必有唯一的 \(\varphi \in\left[P^{\prime}, P\right]\) 使得 \(f_{i}=\pi_{i} \circ \varphi\)
则称 \(\left\langle P,\left(\pi_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\right\rangle\) 为 \(\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 的积，并常用 \(\mathop{\large ⨅ \normalsize} \left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 或 \(\mathop{\large ⨅ \normalsize} A_{i}\) 表示其中的 \(P\)
- 称 \(\pi_{i}\) 为 \(\mathop{\large ⨅ \normalsize} A_{i}\) 到 \(A_{i}\) 的投影
- 若 \(\mathbf{I}=\{1, \cdots, n\}\)，则用 \(\left\langle f_{1}, \cdots, f_{n}\right\rangle\) 表示唯一的 \(\varphi\)
-
如果 \(Q \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 和 \(\mathscr{C}\) 的态射族 \(\left(\mu_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 满足
- 若 \(i \in \mathbf{I}\)，则 \(\mu_{i} \in\left[A_{i}, Q\right]\)
- 对任意的 \(Q^{\prime} \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 及 \(\mathscr{C}\) 的任意态射族 \(\left(g_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\)，若当 \(i \in \mathbf{I}\) 时皆有 \(g_{i} \in\left[A_{i}, Q^{\prime}\right]\)，则必有唯一的 \(\psi \in\left[Q, Q^{\prime}\right]\) 使得 \(g_{i}=\psi \circ \mu_{i}\)
则称 \(\left\langle\left(\mu_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}, Q\right\rangle\) 为 \(\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 的余积，并常用 \(\bigsqcup \left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 或 \(\bigsqcup A_{i}\) 表示其中的 \(Q\)
- 称 \(\mu_{i}\) 为 \(\bigsqcup A_{i}\) 到 \(A_{i}\) 的嵌入
- 若 \(\mathbf{I}=\{1, \cdots, n\}\)，则用 \(\left[g_{1}, \cdots, g_{n}\right]\) 表示唯一的 \(\psi\)
-
-
设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(A, P, Q \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[P, A], g \in[A, Q]\)
- \(A\) 为终止对象当且仅当 \(\langle A, \varnothing\rangle\) 为 \(\varnothing\) 的积
- \(A\) 为初始对象当且仅当 \(\langle\varnothing, A\rangle\) 为 \(\varnothing\) 的余积
- \(\langle P, f\rangle\) 为 \(\{A\}\) 的积当且仅当 \(f\) 为同构态射
- \(\langle g, Q\rangle\) 为 \(\{A\}\) 的余积当且仅当 \(f\) 为同构态射
- 若 \(\mathscr{C}\) 的任意对象族 \((A_{i})_{i \in \mathbf{I}}\) 的（余）积都存在，则称 \(\mathscr{C}\) 有（余）积
- 若 \(\mathscr{C}\) 的任意有穷对象族 \(\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 的（余）积都存在，则称 \(\mathscr{C}\) 有有穷（余）积
- 若对任意的自然数 \(n>0\) 及 \(A_{1}, \cdots, A_{n} \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，对象族 \(\left(A_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) 的（余）积，则称 \(\mathscr{E}\) 有 \(n\) 元（余）积
- 设 \(\mathscr{C}\) 为有积范畴，且 \(A, A_{1}, A_{2} \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)
- 若 \(\left\langle A_{1} \times A_{2},\left\{\pi_{1}, \pi_{2}\right\}\right\rangle\) 为 \(\left\{A_{1}, A_{2}\right\}\) 的积且 \(h \in\left[A, A_{1} \times A_{2}\right]\)，则 \(\left\langle\pi_{1} \circ h, \pi_{2} \circ h\right\rangle=h\)
- 若 \(\left\langle\left\{\mu_{1}, \mu_{2}\right\}, A_{1} \sqcup A_{2}\right\rangle\) 为 \(\left\{A_{1}, A_{2}\right\}\) 的余积且 \(k \in\left[A_{1} \sqcup A_{2}, A\right]\)，则 \(\left[k \circ \mu_{1}, k \circ \mu_{2}\right]=k\)
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(A \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 为 \(\mathscr{C}\) 的对象族
- 设 \(\left\langle \mathop{\large ⨅ \normalsize} A_{i},\left(\pi_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\right\rangle\) 为 \(\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 的积，若 \(h, k \in\left[A, \mathop{\large ⨅ \normalsize} A_{i}\right]\) 使得 \(\pi_{i} \circ h=\pi_{i} \circ k\)，则 \(h=k\)
- 设 \(\left\langle\left(\mu_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}, \bigsqcup A_{i}\right\rangle\) 为 \(\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 的余积，若 \(h, k \in\left[\bigsqcup A_{i}, A\right]\) 使 \(h \circ \mu_{i}=k \circ \mu_{i}\)，则 \(h=k\)
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 为 \(\mathscr{C}\) 的对象族，且对任意的 \(i, j \in \mathbf{I}\)，皆有 \(\left[A_{i}, A_{j}\right] \neq \varnothing\)
- 若 \(\left\langle A_{i},\left(\pi_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\right\rangle\) 为 \(\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 的积，则每个 \(\pi_{i}(i \in \mathbf{I})\) 均为 \(\text{retraction}\)
- 若 \(\left\langle\left(\mu_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}, \bigsqcup A_{i}\right\rangle\) 为 \(\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 的余积，则每个 \(\mu_{i}(i \in \mathbf{I})\) 均为 \(\text{section}\)
2.1.3 回拉与外推
-
设 \(\mathscr{C}\) 为范畴且 \(f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2} \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\)
-
设 \(f_{1} \circ g_{2}=f_{2} \circ g_{1}\)，若 \(g_{1}^{\prime}, g_{2}^{\prime} \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 使 \(f_{1} \circ g_{2}^{\prime}=f_{2} \circ g_{1}^{\prime}\)，则有唯一的 \(\varphi \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 使
\[ g_{1}^{\prime}=g_{1} \circ \varphi \wedge g_{2}^{\prime}=g_{2} \circ \varphi \]则称 \(\left\langle g_{1}, g_{2}\right\rangle\) 为 \(f_{1}\) 与 \(f_{2}\) 的回拉，记为 \(\operatorname{pullback}\left(f_{1}, f_{2}\right)\)
-
设 \(g_{2} \circ f_{1}=g_{1} \circ f_{2}\)，若 \(g_{1}^{\prime}, g_{2}^{\prime} \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 使 \(g_{2}^{\prime} \circ f_{1}=g_{1}^{\prime} \circ f_{2}\)，则有唯一的 \(\psi \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 使
\[g_{1}^{\prime}=\psi \circ g_{1} \wedge g_{2}^{\prime}=\psi \circ g_{2} \]则称 \(\left\langle g_{1}, g_{2}\right\rangle\) 为 \(f_{1}\) 与 \(f_{2}\) 的外推，记为 \(\operatorname{pushout}\left(f_{1}, f_{2}\right)\)
-
-
设 \(\operatorname{pullback}\left(f_{1}, f_{2}\right)=\left\langle g_{1}, g_{2}\right\rangle\)，若 \(f_{i}(i=1,2)\) 为单态射，则 \(g_{i}\) 也是单态射
-
设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(A, B, C \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}, f \in[A, C]\) 且 \(g \in[B, C]\)．若 \(\langle A \times \left.B,\left\{\pi, \pi^{\prime}\right\}\right\rangle\) 为 \(\{A, B\}\) 的积且 \(\langle E, e\rangle=\mathrm{equ}\left(f \circ \pi, g \circ \pi^{\prime}\right)\)，则
\[ \operatorname{pullback}(f, g)=\left\langle\pi^{\prime} \circ e, \pi \circ e\right\rangle \] -
回拉与外推的合成性质：设 \(\mathscr{C}\) 是一个范畴
-
设 \(f \in[B, A], g \in[C, A], h \in[E, C], g^{\prime} \in[D, B], f^{\prime} \in[D, C], h^{\prime} \in[F, D], f^{\prime \prime} \in[F, E]\)，若
\[ \operatorname{pullback}(f, g)=\left\langle f^{\prime}, g^{\prime}\right\rangle \wedge \operatorname{pullback}\left(h, f^{\prime}\right)= \left\langle h^{\prime}, f^{\prime \prime}\right\rangle \]则 \(\operatorname{pullback} (f, g \circ h)=\left\langle f^{\prime \prime}, g^{\prime} \circ h^{\prime}\right\rangle\)
-
设 \(f \in[A, B], g \in[A, C], h \in[C, E], g^{\prime} \in[B, D], f^{\prime} \in[C, D], h^{\prime} \in[D, F], f^{\prime \prime} \in[E, F]\)，若
\[ \operatorname{pushout}(f, g)=\left\langle f^{\prime}, g^{\prime}\right\rangle \wedge \operatorname{pushout} \left(h, f^{\prime}\right)= \left\langle h^{\prime}, f^{\prime \prime}\right\rangle \]则 \(\operatorname{pushout} (f, h \circ g)=\left\langle f^{\prime \prime}, h^{\prime} \circ g^{\prime}\right\rangle\)
-
2.1.4 核与余核
-
设范畴 \(\mathscr{C}\) 有零对象，\(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[A, B]\)
- 称 \(\operatorname{equ}\left(f, \mathbf{O}_{A B}\right)\) 为 \(f\) 的核，记为 \(\operatorname{Ker}(f)\)，并用 \(\operatorname{ker}(f)\) 表示 \(\alpha\left(f, \mathbf{O}_{A B}\right)\)
- 称 \(\operatorname{coequ}\left(f, \mathbf{O}_{A B}\right)\) 为 \(f\) 的余核，记为 \(\operatorname{Cok}(f)\)，并用 \(\operatorname{coker}(f)\) 表示 \(\widetilde{\alpha}\left(f, \mathbf{O}_{A B}\right)\)
设范畴 \(\mathscr{C}\) 有零对象，若每个 \(f \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 的（余）核均存在，则称 \(\mathscr{C}\) 有（余）核
-
假定范畴 \(\mathscr{C}\) 有零对象、核与余核，\(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[A, B]\)
- \(\operatorname{ker}(f)\) 是单态射，\(\operatorname{coker}(f)\) 为外态射
- \(f \circ \operatorname{ker}(f)=\mathbf{O}_{E B}\) 且 \(\operatorname{coker}(f) \circ f=\mathbf{O}_{\mathbf{A E}}\)
-
若 \(h \in \mathscr{C}[D, A]\)，则 \(f \circ h=\mathbf{O}_{D B}\) 当且仅当有唯一的 \(k \in \mathscr{C}[D, E]\) 使 \(\operatorname{ker}(f) \circ k=h\)
若 \(h \in \mathscr{C}[B, D]\)，则 \(h \circ f=\mathbf{O}_{A D}\) 当且仅当有唯一的 \(k \in \mathscr{C}[\widetilde{E}, D]\) 使 \(k \circ \operatorname{coker}(f)=h\)
-
有唯一的 \(m \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 使 \(f=\operatorname{ker}(\operatorname{coker}(f)) \circ m\)；有唯一的 \(\widetilde{m} \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 使 \(f=\widetilde{m} \circ \operatorname{coker}(\operatorname{ker}(f))\)
- \(\operatorname{ker}(f)=\operatorname{ker}(\operatorname{coker}(\operatorname{ker}(f)))\) 与 \(\operatorname{coker}(f)=\operatorname{coker}(\operatorname{ker}(\operatorname{coker}(f)))\) 在同构意义下成立
-
设范畴 \(\mathscr{C}\) 有零对象且 \(f \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\)，若 \(h \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 使 \(f=\operatorname{ker}(h)\)（或 \(f=\operatorname{coker}(h)\)），则称 \(f\) 为核态射（或余核态射）
- \(f\) 为核态射当且仅当在同构意义下有 \(f=\operatorname{ker}(\operatorname{coker}(f))\)
- \(f\) 为余核态射当且仅当 \(f=\operatorname{coker}(\operatorname{ker}(f))\)
- 设范畴 \(\mathscr{C}\) 有零对象，核和余核．\(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[A, B]\)
- 存在 \(q \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 使 \(f=m \circ q\) 且 \(m=\operatorname{ker}(\operatorname{coker}(f))\)
- 若 \(f=m^{\prime} \circ q^{\prime}\) 且 \(m^{\prime}\) 为核态射，则有唯一的 \(t \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 使 \(m=m^{\prime} \circ t\) 且 \(q^{\prime}=t \circ q\)
- 若 \(\mathscr{C}\) 有等子且每个单态射 \(u \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 均为核态射，则 \(q\) 为外态射
2.2 锥与极限
2.2.1 锥与余锥
-
设图 \(\mathcal{D} = \left<V, E, \Psi\right>\) 且 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 为范畴 \(\mathscr{C}\) 中的一个图
-
若 \(L \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 和 \(\tau: V \rightarrow \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 满足
- 若 \(v \in V\)，则 \(\tau(v) \in\left[L, A_{v}\right]\)
- 若 \(e \in E\) 使 \(\Psi(e)=\langle u, v\rangle\)，则 \(f_{e} \circ \tau(u)=\tau(v)\)
则称 \(\langle L, \tau\rangle\) 为 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的一个锥，记为 \(\operatorname{con}_{\mathcal{D}, \Gamma}(L, \tau)\) 或简记为 \(\operatorname{con}(L, \tau)\)
-
若 \(L \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 和 \(\tau: V \rightarrow \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 满足
- 若 \(v \in V\)，则 \(\tau(v) \in\left[A_{v}, L\right]\)
- 若 \(e \in E\) 使 \(\Psi(e)=\langle u, v\rangle\)，则 \(\tau(v) \circ f_{e}=\tau(u)\)
则称 \(\langle\tau, L\rangle\) 为 \(\left<\mathcal{D}, \Gamma\right>\) 的一个余锥，记为 \(\operatorname{cocon}_{\mathcal{D}, \Gamma}(\tau, L)\) 或简记为 \(\operatorname{cocon}(\tau, L)\)
-
-
设 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 为范畴中的一个图
-
设 \(\langle L, \tau\rangle\) 和 \(\langle X, \alpha\rangle\) 均为 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的锥，若 \(h \in[L, X]\) 满足任意 \(v \in V\) 均有
\[ \alpha(v) \circ h=\tau(v) \]则称 \(h\) 为从 \(\operatorname{con}(L, \tau)\) 到 \(\operatorname{con}(X, \alpha)\) 的锥态射，记为 \(h: \operatorname{con}(L, \tau) \rightarrow \operatorname{con}(X, \alpha)\)
-
设 \(\langle\tau, L\rangle\) 和 \(\langle\alpha, X\rangle\) 均为 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的余锥．若 \(h \in[L, X]\) 满足任意 \(v \in V\) 均有
\[ h \circ \tau(v)=\alpha(v) \]则称 \(h\) 为从 \(\operatorname{cocon}(\tau, L)\) 到 \(\operatorname{cocon}(\alpha, X)\) 的余锥态射，记为 \(h: \operatorname{cocon}(\tau, L) \rightarrow \operatorname{cocon}(\alpha, X)\)
-
-
设 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 为范畴 \(\mathscr{C}\) 中的一个图。
- 若 \(\langle L, \tau\rangle,\langle X, \alpha\rangle\) 和 \(\langle Y, \beta\rangle\) 都是 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的锥
- \(\mathbf{I}_{L}: \operatorname{con}(L, \tau) \rightarrow \operatorname{con}(L, \tau)\)
- 若 \(h: \operatorname{con}(L, \tau) \rightarrow \operatorname{con}(X, \alpha)\) 且 \(k: \operatorname{con}(X, \alpha) \rightarrow \operatorname{con}(Y, \beta)\)，则 \(k \circ h: \operatorname{con}(L, \tau) \rightarrow \operatorname{con}(Y, \beta)\)
- 若 \(\langle\tau, L\rangle,\langle\alpha, X\rangle\) 和 \(\langle\beta, Y\rangle\) 都是 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的余锥
- \(\mathbf{I}_{L}: \operatorname{cocon}(\tau, L) \rightarrow \operatorname{cocon}(\tau, L)\)
- 若 \(h: \operatorname{cocon}(\tau, L) \rightarrow \operatorname{cocon}(\alpha, X)\) 且 \(k: \operatorname{cocon}(\alpha, X) \rightarrow \operatorname{cocon}(\beta, Y)\)，则 \(k \circ h: \operatorname{cocon}(\tau, L) \rightarrow \operatorname{cocon}(\beta, Y)\)
- 若 \(\langle L, \tau\rangle,\langle X, \alpha\rangle\) 和 \(\langle Y, \beta\rangle\) 都是 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的锥
2.2.2 极限与余极限
-
设 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 为范畴 \(\mathscr{C}\) 中的一个图
-
设 \(\langle L, \tau\rangle\) 为 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的一个锥，若对 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的任意一个锥 \(\langle X, \alpha\rangle\)，皆有唯一的锥态射
\[ h: \operatorname{con}(X, \alpha) \rightarrow \operatorname{con}(L, \tau) \]则称 \(\langle L, \tau\rangle\) 为 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的一个极限，记为 \(\varprojlim \langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\)
- 若 \(\mathscr{C}\) 中每一个图的极限存在，则称 \(\mathscr{C}\) 有极限或为完备的
- 若 \(\mathscr{C}\) 中每一个有穷图的极限存在，则称 \(\mathscr{C}\) 有有穷极限或有穷完备的
- 若 \(\varprojlim \langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle=\langle L, \tau\rangle\)，则 \((\tau(v))_{v \in V}\) 为整体单态射，即对任意的 \(X \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 及 \(h, k \in[X, L]\)，当对每个 \(v \in V\) 皆有 \(\tau(v) \circ h=\tau(v) \circ k\) 时，必有 \(h=k\)
-
设 \(\langle\tau, L\rangle\) 为 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的一个余锥，若对 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的任意一个余锥 \(\langle\alpha, X\rangle\)，皆有唯一的余锥态射
\[ h: \operatorname{cocon}(\tau, L) \rightarrow \operatorname{cocon}(\alpha, X) \]则称 \(\langle\tau, L\rangle\) 为 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的一个余极限，记为 \(\varinjlim \langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\)
- 若 \(\mathscr{C}\) 中每一个图的余极限存在，则称 \(\mathscr{C}\) 有余极限或为余完备的
- 若 \(\mathscr{C}\) 中每一个有穷图的余极限存在，则称 \(\mathscr{C}\) 有有穷余极限或有穷余完备的
- 若 \(\varinjlim \langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle=\langle\tau, L\rangle\)，则 \((\tau(v))_{v \in V}\) 为整体外态射，即对任意的 \(X \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 及 \(h, k \in[L, X]\)，当对每个 \(v \in V\) 皆有 \(h \circ \tau(v)=k \circ \tau(v)\) 时，必有 \(h=k\)
-
-
设 \(\mathscr{C}\) 是一个范畴且 \(\mathcal{D} = \left<V, E, \Psi\right>\) 是一个图
- 设 \(\mathscr{C}\) 有等子且 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 为 \(\mathscr{C}\) 中一个图．若 \(\mathcal{D}_{V}\) 的积和 \(\mathcal{D}_{E}\) 的积都存在，则 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的极限必存在
- 设 \(\mathscr{C}\) 有余等子且 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 为 \(\mathscr{C}\) 的一个图．若 \(\mathcal{D}_{V}\) 的余积和 \(\mathcal{D}_{E}\) 的余积都存在，则 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 的余极限必存在
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴
- 若 \(\mathscr{C}\) 有（余）积和（余）等子，则 \(\mathscr{C}\) 为（余）完备的
- 若 \(\mathscr{C}\) 有有穷（余）积和（余）等子，则 \(\mathscr{C}\) 为有穷（余）完备的
- 若 \(\mathscr{C}\) 有终止对象、二元积和等子，则 \(\mathscr{C}\) 为有穷完备的
- 若 \(\mathscr{C}\) 有初始对象、二元余积和余等子，则 \(\mathscr{C}\) 为有穷余完备的
- 若 \(\mathcal{D}\) 为范畴 \(\mathscr{A}\) 中的图
- 若 \(\varprojlim \mathcal{D}=\left\langle L,\left\{\gamma_{A} \mid A \in V\right\}\right\rangle\)，则如下结论成立
- 设 \(X \in \operatorname{Ob} \mathscr{A}\)，若 \(\sigma, \tau \in \mathscr{A}[X, L]\) 使得 \(\forall A \in V: \gamma_{A} \circ \sigma=\gamma_{A} \circ \tau\)，则 \(\sigma=\tau\)，即 \(\left(\gamma_{A}\right)_{A \in V}\) 为整体单态射
- 若 \(\varprojlim \mathcal{D}=\left\langle L^{\prime},\left\{\gamma_{A}^{\prime} \mid A \in V\right\}\right\rangle\)，则有唯一的同构态射 \(\sigma: L^{\prime} \rightarrow L\) 使得 \(\forall A \in V: \gamma_{A} \circ \sigma=\gamma_{A}^{\prime}\)
- 若有同构态射 \(\sigma: L^{\prime} \rightarrow L\) 使得 \(\forall A \in V: \gamma_{A} \circ \sigma=\gamma_{A}^{\prime}\)，则 \(\lim \mathcal{D}=\left\langle L^{\prime},\left\{\gamma_{A}^{\prime} \mid A \in V\right\}\right\rangle\)
- 若 \(\varinjlim \mathcal{D}=\left\langle\left\{\gamma_{A} \mid A \in V\right\}, L\right\rangle\)，则如下结论成立
- 设 \(X \in \operatorname{Ob} \mathscr{A}\)，若 \(\sigma, \tau \in \mathscr{A}[X, L]\) 使得 \(\forall A \in V: \sigma \circ \gamma_{A}=\tau \circ \gamma_{A}\)，则 \(\sigma=\tau\)，即 \(\left(\gamma_{A}\right)_{A \in V}\) 为整体外态射
- 若 \(\varinjlim \mathcal{D}=\left\langle\left\{\gamma_{A}^{\prime} \mid A \in V\right\}, L^{\prime}\right\rangle\)，则有唯一的同构态射 \(\sigma: L \rightarrow L^{\prime}\) 使得 \(\forall A \in V: \sigma \circ \gamma_{A}=\gamma_{A}^{\prime}\)
- 若有同构态射 \(\sigma: L \rightarrow L^{\prime}\) 使得 \(\forall A \in V: \sigma \circ \gamma_{A}=\gamma_{A}^{\prime}\)，则 \(\varinjlim \mathcal{D}=\left\langle\left\{\gamma_{A}^{\prime} \mid A \in V\right\}, L^{\prime}\right\rangle\)
- 若 \(\varprojlim \mathcal{D}=\left\langle L,\left\{\gamma_{A} \mid A \in V\right\}\right\rangle\)，则如下结论成立