1 图与范畴
1.1 范畴图
-
若 \(O, M\) 均为类且存在函数 \(\Phi: M \rightarrow O^{2}\) 使得 \(G = (O, \Phi[O])\) 是类上的有向图，则称 \(\mathcal G = \left<O, M, \Phi\right>\) 为范畴图，简称为图
- 称 \(O\) 为 \(\mathcal{G}\) 的结点类，其元素称为 \(\mathcal{G}\) 的结点；称 \(M\) 为 \(\mathcal{G}\) 的箭头类，其元素称为 \(\mathcal{G}\) 的箭头
- 若 \(f \in M\)，定义 \(\operatorname{source}: M \rightarrow O\) 与 \(\operatorname{target}: M \rightarrow O\) 是使得 \(\Phi(f) = (\operatorname{source}(f), \operatorname{target}(f))\) 的映射
- 称 \(\operatorname{source}(f)\) 为 \(f\) 的源，\(\operatorname{target}(f)\) 为 \(f\) 的靶，也可将范畴图记作 \(\mathcal G = \left<O, M, \operatorname{source}, \operatorname{target}\right>\)
- 若 \(f \in M\) 使得 \(A=\operatorname{source}(f)\) 且 \(B=\operatorname{target}(f)\)，则称 \(f\) 为从 \(A\) 到 \(B\) 的箭头，记为 \(f: A \rightarrow B\) 或 \(A \xrightarrow{f} B\)
- 若 \(A, B \in O\)，令 \(\mathcal{G}[A, B]=\{f \in M \mid \operatorname{source}(f)=A, \operatorname{target}(f)=B\}\)，通常简写为 \([A, B]\)
-
特殊的范畴图
- 若 \(O=\varnothing\)，则 \(\mathcal{G}=\langle\varnothing, \varnothing, \varnothing\rangle\)，则称 \(\mathcal{G}\) 为空图
- 若 \(M=\varnothing\)，则 \(\mathcal{G}=\langle O, \varnothing, \varnothing\rangle\)，则称 \(\mathcal{G}\) 为离散图
- 若 \(O\) 和 \(M\) 均为集合，则称 \(\mathcal{G}\) 为小图
- 若 \(O\) 和 \(M\) 均为有穷集合，则称 \(\mathcal{G}\) 为有穷图
- 若当 \(A, B \in O\) 时，\([A, B]\) 均为集合，则称 \(\mathcal{G}\) 为局部小图
- 若 \(f \in O\)，使 \(\operatorname{source}(f)=\operatorname{target}(f)\)，则称 \(f\) 为 \(\mathcal{G}\) 的自圈
- 若 \(\mathcal{G}\) 无自圈，且当 \(A, B \in O\) 时皆有 \(|[A, B]| \leqslant 1\)，则称 \(\mathcal{G}\) 为简单图
-
图同态：设图 \(\mathcal{G}=\langle O, M, \operatorname{source}, \operatorname{target}\rangle\) 且 \(\mathcal{G}^{\prime}=\langle O^{\prime}, M^{\prime}, \operatorname{source}', \operatorname{target}'\rangle\)，设 \(\Phi_{0}: O \rightarrow O^{\prime}\) 和 \(\Phi_{1}: M \rightarrow M^{\prime}\)
- 若 \(\Phi_{0} \circ \mathrm{source}=\mathrm{source}' \circ \Phi_{1}\) 且 \(\Phi_{0} \circ \mathrm{target}=\mathrm{target}^{\prime} \circ \Phi_{1}\)，则称 \(\left\langle\Phi_{0}, \Phi_{1}\right\rangle\) 为从 \(\mathcal{G}\) 到 \(\mathcal{G}^{\prime}\) 的图同态，记为 \(\Phi: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}^{\prime}\) 或 \(\mathcal{G} \simeq \mathcal{G}^{\prime}\)
- 设 \(\Phi_{1}: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}^{\prime}\)，若 \(\Phi_{0}\) 和 \(\Phi_{1}\) 均为双射，则称 \(\Phi\) 为图同构，记为 \(\mathcal{G} \cong \mathcal{G}^{\prime}\)
设 \(\Phi=\left\langle\Phi_{0}, \Phi_{1}\right\rangle\)，对任意 \(A\in O, f \in M\)，规定 \(\Phi(A) =\Phi_{0}(A), \Phi(f) =\Phi_{1}(f)\)
- 对图 \(\mathcal{G}=\langle O, M, \operatorname{source}, \operatorname{target}\rangle\)，取 \(I_{\mathcal{G}}=\left\langle I_{O}, I_{M}\right\rangle\)，则 \(I_{\mathcal{G}}: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}\)，称 \(I_{\mathcal{G}}\) 为 \(\mathcal{G}\) 的恒等图同态（同构）
-
设 \(\Phi: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}^{\prime}, \Psi: \mathcal{G}^{\prime} \rightarrow \mathcal{G}^{\prime \prime}\) 且 \(\mathcal{G}=\langle O, M, \operatorname{source}, \operatorname{target}\rangle\)，若令
\[ \begin{aligned} (\Psi \circ \Phi)(A) & =\Psi(\Phi(A)), A \in O \\ (\Psi \circ \Phi)(f) & =\Psi(\Phi(f)), f \in M \end{aligned} \]则 \(\Psi \circ \Phi: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}^{\prime \prime}\)，并称 \(\Psi \circ \Phi\) 为 \(\Psi\) 与 \(\Phi\) 的复合
-
设 \(\Phi: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}^{\prime}\)，若 \(\Psi: \mathcal{G}^{\prime} \rightarrow \mathcal{G}\) 使 \(\Phi \circ \Psi=\Pi_{\mathcal{G}}\) 且 \(\Psi \circ \Phi=I_{\mathcal{G}}\)，则称 \(\Psi\) 为 \(\Phi\) 的逆．若 \(\Psi: \mathcal{G}^{\prime} \rightarrow \mathcal{G}\) 为 \(\Phi\) 的逆，则称 \(\Phi\) 有逆
-
设 \(\mathcal{G}=\langle O, M, \operatorname{source}, \operatorname{target}\rangle\) 和 \(\mathcal{G}^{\prime}=\langle O^{\prime}, M^{\prime}, \operatorname{source}', \operatorname{target}'\rangle\) 均为图，\(\Phi: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}^{\prime}\) 且 \(\Psi: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}^{\prime}\)
-
定义 \(M^{\prime}\) 上的局部二元运算满足当 \(f, g \in M^{\prime}\) 且 \(\operatorname{target}^{\prime}(f)=\operatorname{source}^{\prime}(g)\) 时，恒有
- \(g \circ f \downarrow\) 当且仅当 \(\operatorname{source}^{\prime}(g)=\operatorname{target}^{\prime}(f)\)
- 若 \(g \circ f \downarrow\) 则 \(\operatorname{source}(g \circ f)=\operatorname{source}^{\prime}(f)\) 且 \(\operatorname{target}^{\prime}(g \circ f)=\operatorname{target}^{\prime}(g)\)
称具有该局部二元运算的图为演算系统
-
若 \(\alpha: O \rightarrow M^{\prime}\) 对任意 \(f \in M\) 有 \(\alpha(\operatorname{target}(f)) \circ \Phi(f)=\Psi(f) \circ \alpha(\operatorname{source}(f))\)，则称 \(\alpha\) 为 \(\Phi\) 到 \(\Psi\) 的自然变换，记为 \(\alpha: \Phi \rightarrow \Psi\)
-
1.2 范畴
1.2.1 范畴的概念
-
若图 \(\langle O, M, \mathrm{dom}, \mathrm{cod}\rangle\) 和 \(\mathrm{comp}: M \times M \rightharpoonup M\)（记作 \(g \circ f\) 或 \(gf\)）满足如下公理
- \(C_{0}\)：若 \(f, g \in M\)，则 \(g \circ f \downarrow\) 当且仅当 \(\operatorname{dom}(g)=\operatorname{cod}(f)\)
- \(C_{1}\)：若 \(f, g \in M\) 有 \(g \circ f \downarrow\)，则 \(\operatorname{dom}(g \circ f)=\operatorname{dom}(f)\) 且 \(\operatorname{cod}(g \circ f)= \operatorname{cod}(g)\)
- \(C_{2}\)：若 \(A \in O\)，则有 \(I_{A} \in M\) 使得
- \(\operatorname{dom}\left(I_{A}\right)=A=\operatorname{cod}\left(I_{A}\right)\)
- 若 \(g \in M\) 使 \(\operatorname{dom}(g)=A\)，则 \(g \circ I_{A}=g\)
- 若 \(f \in M\) 使 \(\operatorname{cod}(f)=A\)，则 \(I_{A} \circ f=f\)
- \(C_{3}\)：若 \(f, g, h \in M\)，则有
- \(h \circ (g \circ f) \downarrow\) 当且仅当 \((h \circ g) \circ f \downarrow\)
- 若 \(h \circ (g \circ f) \downarrow\) 则 \(h \circ (g \circ f)=(h \circ g) \circ f\)
称五元组 \(\mathscr{C}=\langle O, M, \mathrm{dom}, \mathrm{cod}, \mathrm{comp}\rangle\) 为范畴，称图 \(\langle O, M, \operatorname{dom}, \operatorname{cod}\rangle\) 为 \(\mathscr{C}\) 的基图，记为 \(\mathbf{G}(\mathscr{C})\)
- 称 \(O\) 为 \(\mathscr{C}\) 的对象类，记为 \(\operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，其元素称为 \(\mathscr{C}\) 的对象
- 若 \(A, B \in O\)，则记 \(\mathbf{G}(\mathscr{C})[A, B]=\mathscr{C}[A, B]\)，通常简写为 \([A, B]\)
- 若 \(A \in O\)，则称由公理 \(C_{2}\) 给出的态射 \(\mathbf{I}_{A}\) 为关于 \(A\) 的幺态射，简称幺态射
- 称 \(M\) 为 \(\mathscr{C}\) 的态射类，记为 \(\operatorname{Mor} \mathscr{C}\)，其元素称为 \(\mathscr{C}\) 的态射
- 若 \(f \in M\)，则称 \(\operatorname{dom}(f)\) 为 \(f\) 的论域，\(\operatorname{cod}(f)\) 为 \(f\) 的余论域
- 设 \(f \in M\)，若 \(A=\operatorname{dom}(f)\) 且 \(B=\operatorname{cod}(f)\)，则称 \(f\) 为一个从 \(A\) 到 \(B\) 的态射，记为 \(f: A \rightarrow B\) 或 \(A \xrightarrow{f} B\)
- 若 \(f, g \in M\)，使 \(\operatorname{comp}(g, f) \downarrow\)，则称 \(\operatorname{comp}(g, f)\) 为 \(g\) 与 \(f\) 的合成
- 设 \(\mathbf{I}\) 和 \(\mathbf{J}\) 为指标类
- 若 \(\eta: \mathbf{I} \rightarrow \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，当记 \(A_{i}=\eta(i)(i \in \mathbf{I})\) 时，则称 \(\left(A_{i}\right)_{i \in I}\) 为由 \(\mathbf{I}\) 标记的对象族
- 若 \(\xi: \mathbf{J} \rightarrow \operatorname{Mor} \mathscr{C}\)，当记 \(f_{j}=\xi(j)(j \in \mathbf{J})\) 时，则称 \(\left(f_{j}\right)_{j \in J}\) 为由 \(\mathbf{J}\) 标记的态射族
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴且 \(A, B, C, D \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)
- 若 \(A \neq C\) 或 \(B \neq D\)，则 \([A, B] \cap [C, D]=\varnothing\)
- 若 \(f \in[A, B]\) 且 \(g \in[B, C]\)，则 \(g \circ f \in[A, C]\)
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，若 \(A \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，则关于 \(A\) 的幺态射存在且唯一
-
设 \(\mathscr{C}\) 为范畴且 \(\mathbf{I}\) 和 \(\mathbf{J}\) 均为类，若 \(\mathcal{D}=\langle\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}, \left(f_{j}\right)_{j \in \mathbf{J}}, \Psi\rangle\) 满足
- \(\left\{A_{i} \mid i \in \mathbf{I}\right\} \subseteq \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(\left\{f_{j} \mid j \in \mathbf{J}\right\} \subseteq \operatorname{Mor} \mathscr{C}\)
- 若 \(j \in \mathbf{J}\) 使得 \(\Psi\left(f_{j}\right)=\left\langle A_{l}, A_{k}\right\rangle\)，且 \(l, k \in \mathbf{I}\)，则 \(\operatorname{dom}\left(f_{j}\right)=A_{l}\) 且 \(\operatorname{cod}\left(f_{j}\right)=A_{k}\)
则称 \(\mathcal{D}\) 为 \(\mathscr{C}\) 中的一个图，并令 \(\mathcal{D}_{V}=\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbf{I}}\) 且 \(\mathcal{D}_{E}=\left(f_{j}\right)_{j \in \mathbf{J}}\)
-
设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(\mathcal{D}=\langle V, E, \Psi\rangle\) 为图且 \(\Gamma: \mathcal{D} \rightarrow G(\mathscr{C})\) 为图同态，若有
- 对任意 \(v \in V, e \in E\)，定义 \(A_{v}=\Gamma(v), f_{e}=\Gamma(e), A_{e}=\operatorname{dom}\left(f_{e}\right), B_{e}=\operatorname{cod}\left(f_{e}\right)\)
- 定义 \(\mathcal{D}_{V}=\left(A_{v}\right)_{v \in V}, \mathcal{D}_{S}=\left(A_{e}\right)_{e \in E}, \mathcal{D}_{E}=\left(B_{e}\right)_{e \in E}\)
- 函数 \(\Psi^{\prime}\left(f_{e}\right)_{e \in E} \rightarrow\left(A_{v}\right)_{v \in V} \times\left(A_{v}\right)_{v \in V}\) 为 \(\Psi^{\prime}\left(f_{e}\right)=\left\langle\operatorname{dom}\left(f_{e}\right), \operatorname{cod}\left(f_{e}\right)\right\rangle\) 对任意 \(e \in E\) 成立
则称 \(\left\langle\left(A_{v}\right)_{v \in V},\left(f_{e}\right)_{e \in E}, \Psi^{\prime}\right\rangle\) 为 \(\mathscr{C}\) 中一个图，记为 \(\langle\mathcal{D}, \Gamma\rangle\) 或 \(\Gamma(\mathcal{D})\)
-
设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(\mathcal{D}\) 为 \(\mathscr{C}\) 中的图
- 称 \(\mathcal{D}\) 的如上图形式的三角形子图为交换的当且仅当 \(h=g \circ f\)
- 称 \(\mathcal{D}\) 的如上图形式的四边形子图为交换的当且仅当 \(g \circ f=k \circ h\)
- 若 \(\mathcal{D}\) 的所有上述形式的子图都是交换的，则称 \(\mathcal{D}\) 为交换的
-
特殊的范畴：设 \(\mathscr C\) 为范畴
- 称 \(\mathbf{0} = \left<\varnothing, \varnothing, \varnothing, \varnothing, \varnothing\right>\) 为空范畴
- 对任意 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，若每个 \([A, B]\) 均为集合，则称 \(\mathscr{C}\) 为局部小范畴
- 若 \(\operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 和 \(\operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 均为集合，则称 \(\mathscr{C}\) 为小范畴
- 若每个 \(f \in \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 均为幺态射，则称 \(\mathscr{C}\) 为离散范畴
- 若当 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 时皆有 \(|[A, B]| \leqslant 1\)，则称 \(\mathscr{C}\) 为简单范畴
-
典型范畴
-
集合相关典型范畴
范畴 对象 态射 复合 \(\operatorname{ANMFn}(X)\) \(X\) \(f: X \Rightarrow X\) \(\circledast\) \(\operatorname{MFn}(X)\) \(X\) \(f: X \Rightarrow X\) \(\circ\) \(\operatorname{PFn}(X)\) \(X\) \(f: X \rightharpoonup X\) \(\circ\) \(\operatorname{Set}(X)\) \(X\) \(f: X \rightarrow X\) \(\circ\) -
经典结构的典型范畴
范畴 对象 态射 范畴 对象 态射 \(\mathrm{Graph}\) 小图 图同态 \(\mathrm{Preoset}\) 拟序集 保序映射 \(\mathrm{Mon}\) 幺半群 幺半群同态 \(\mathrm{Poset}\) 偏序集 保序映射 \(\mathrm{Grp}\) 群 群同态 \(\mathrm{Metre}\) 度量空间 连续函数 \(\mathrm{Rng}\) 环 环同态 \(\mathrm{Top}\) 拓扑空间 连续函数 \(\mathrm{Field}\) 域 域同态 \(\mathrm{BanSP}\) \(\text{Banach}\) 空间 有界线性变换 \(\mathrm{Lat}\) 格 格同态 \(\mathrm{HilbSP}\) \(\text{Hilbert}\) 空间 有界线性变换 \(\mathrm{Mod}\) 模 模同态 \(\mathrm{LinSP}\) 连续线性空间 线性变换
-
1.2.2 范畴运算
-
子范畴：设范畴 \(\mathscr{A}\) 和 \(\mathscr{B}\) 满足
- \(\operatorname{Ob} \mathscr{B} \subseteq \operatorname{Ob} \mathscr{A}\) 且 \(\operatorname{Mor} \mathscr{B} \subseteq \operatorname{Mor} \mathscr{A}\)
- 若 \(A \in \operatorname{Ob} \mathscr{B}\)，则 \(\mathscr{B}\) 和 \(\mathscr{A}\) 关于 \(A\) 的幺态射相同
- \(\operatorname{dom}_{\mathscr{B}} \subseteq \operatorname{dom}_{\mathscr{A}}, \operatorname{cod}_{\mathscr{B}} \subseteq \operatorname{cod}_{\mathscr{A}}\) 且 \(\operatorname{comp}_{\mathscr{B}} \subseteq \operatorname{comp}_{\mathscr{A}}\)
则称 \(\mathscr{B}\) 为 \(\mathscr{A}\) 的子范畴，记为 \(\mathscr{B} \subseteq \mathscr{A}\)．易知子范畴关系 \(\subseteq\) 是自反的、传递的和反对称的
- 若 \(\mathscr{B} \subseteq \mathscr{A}\) 且 \(\mathscr{B} \neq \mathscr{A}\)，则称 \(\mathscr{B}\) 为 \(\mathscr{A}\) 的真子范畴，记为 \(\mathscr{B} \subseteq \mathscr{A}\)．易知真子范畴关系 \(\subseteq\) 是反自反的和传递的
- 若 \(\mathscr{B} \subseteq \mathscr{A}\) 且 \(\operatorname{Ob} \mathscr{B}=\operatorname{Ob} \mathscr{A}\)，则称 \(\mathscr{B}\) 为 \(\mathscr{A}\) 的宽子范畴
- 若 \(\mathscr{B} \subseteq \mathscr{A}\)，且当 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{B}\) 时皆有 \(\mathscr{B}[A, B]=\mathscr{A}[A, B]\)，则称 \(\mathscr{B}\) 为 \(\mathscr{A}\) 的完全子范畴
-
商范畴：设 \(\mathscr{A}\) 为范畴，若 \(\operatorname{Mor} \mathscr{A}\) 上的等价关系 \(\approx\) 满足
- 若 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{A}\) 且 \(f \in \mathscr{A}[A, B]\) 则 \([f]_{\approx} \subseteq \mathscr{A}[A, B]\)
- 若 \(f, f^{\prime}, g, g^{\prime} \in \operatorname{Mor} \mathscr{A}\) 使 \(f \approx f^{\prime}\) 且 \(g \approx g^{\prime}\)，则 \(g \circ f \approx g^{\prime} \circ f^{\prime}\)
则称 \(\approx\) 为 \(\mathscr{A}\) 上的同余关系．若 \(f, g \in \operatorname{Mor} \mathscr{A}\)，则令
\[ \begin{aligned} \operatorname{dom}^{\prime}\left([f]_{\approx}\right)&=\operatorname{dom}(f) \\ \operatorname{cod}^{\prime}\left([f]_{\approx}\right)&=\operatorname{cod}(f) \\ \operatorname{comp}^{\prime}\left([g]_{\approx},[f]_{\approx}\right)&= \left\{\begin{aligned} & [\operatorname{comp}(g, f)]_{\approx}, & \operatorname{comp}(g, f) \downarrow \\ & \uparrow, & \textsf{否则} \end{aligned}\right. \end{aligned} \]则称 \(\mathscr{A} / \approx=\left\langle\mathrm{Ob} \mathrm{\mathscr{A}}, \mathrm{Mor} \mathscr{A} / \approx, \mathrm{dom}^{\prime}, \mathrm{cod}^{\prime}, \mathrm{comp}^{\prime}\right\rangle\) 为 \(\mathscr{A}\) 关于 \(\approx\) 的商，则 \(\mathscr{A} / \approx\) 是一个范畴，称为 \(\mathscr{A}\) 关于 \(\approx\) 的商范畴
-
积范畴：设 \(\mathscr{A}_{i}=\left\langle O_{i}, M_{i} ; \operatorname{dom}_{i}, \operatorname{cod}_{i}, \operatorname{comp}_{i}\right\rangle \ (i=1,2)\) 均为范畴，令 \(O=O_{1} \times O_{2}, M=M_{1} \times M_{2}\)，若对任意 \(\langle f, g\rangle,\left\langle f^{\prime}, g^{\prime}\right\rangle \in M\) 有
\[ \begin{aligned} \operatorname{dom}(\langle f, g\rangle)&=\left\langle\operatorname{dom}_{1}(f), \operatorname{dom}_{2}(g)\right\rangle \\ \operatorname{cod}(\langle f, g\rangle)&=\left\langle\operatorname{cod}_{1}(f), \operatorname{cod}_{2}(g)\right\rangle \\ \operatorname{comp}\left(\left\langle f^{\prime}, g^{\prime}\right\rangle,\langle f, g\rangle\right)&=\left\{\begin{aligned} & \left\langle\operatorname{comp}_{1}\left(f^{\prime}, f\right), \operatorname{comp}_{2}\left(g^{\prime}, g\right)\right\rangle, & \operatorname{comp}_{1}\left(f^{\prime}, f\right) \downarrow \wedge \operatorname{comp}_{2}\left(g^{\prime}, g\right) \downarrow \\ & \uparrow, & \textsf{否则} \end{aligned}\right. \end{aligned} \]则 \(\mathscr{A}_{1} \times \mathscr{A}_{2}=\langle O, M, \mathrm{dom}, \mathrm{cod}, \mathrm{comp}\rangle\) 是一个范畴，称为 \(\mathscr{A}_{1}\) 与 \(\mathscr{A}_{2}\) 的积范畴
- 一般地，\(n\) 个范畴 \(\mathscr A_1, \mathscr A_2, \cdots, \mathscr A_n\) 的积范畴 \(\left(\cdots\left(\mathscr{A}_{1} \times \mathscr{A}_{2}\right) \times \cdots\right) \times \mathscr{A}_{n}\) 记作 \(\mathscr{A}_{1} \times \mathscr{A}_{2} \times \cdots \times \mathscr{A}_{n}\)
- 令 \(\mathscr{A}^{0}=\mathbf{0}\)，同时定义 \(\mathscr{A}^{1}=\mathscr{A}\) 且 \(\mathscr{A}^{n+1}=\mathscr{A}^{n} \times \mathscr{A}\)
-
和范畴：设 \(\mathscr{A}_{i}=\left\langle O_{i}, M_{i} ; \operatorname{dom}_{i}, \operatorname{cod}_{i}, \operatorname{comp}_{i}\right\rangle \ (i=1,2)\) 均为范畴，令 \(O=O_{1} \sqcup O_{2}, M=M_{1} \sqcup M_{2}\)，若对任意 \(f_{1}, g_{1} \in M_{1}, g_{2}, g_{2} \in M_{2}\) 有
\[ \begin{aligned} \operatorname{dom}\left(\left\langle f_{i}, i\right\rangle\right)&=\left\langle\operatorname{dom}_{i}\left(f_{i}\right), i\right\rangle \\ \operatorname{cod}\left(\left\langle f_{i}, i\right\rangle\right)&=\left\langle\operatorname{cod}_{i}\left(f_{i}\right), i\right\rangle \\ \operatorname{comp}\left(\left\langle f_i, i\right\rangle,\langle g_j, j\rangle\right)&=\left\{\begin{aligned} & \left\langle\operatorname{comp}_{i}\left(f_{i}, g_{i}\right), i\right\rangle, & i = j \wedge \operatorname{comp}_{i}\left(f_{i}, g_{i}\right) \downarrow \\ & \uparrow, & \textsf{否则} \end{aligned}\right. \end{aligned} \]则 \(\mathscr{A}_{1} \sqcup \mathscr{A}_{2}=\langle O, M, \mathrm{dom}, \mathrm{cod}, \mathrm{comp}\rangle\) 是一个范畴，称为 \(\mathscr{A}_{1}\) 与 \(\mathscr{A}_{2}\) 的和范畴，并可推广到 \(n\) 个范畴的情形
-
对偶范畴：设 \(\mathscr{C}=\langle O, M\), dom, cod, comp \(\rangle\) 为范畴，若令 \(O^{\prime}=O\) 且 \(M^{\prime}=\left\{f^{\mathrm{op}} \mid f \in M\right\}\)，并对任意的 \(f, g \in M\) 令
\[ \begin{aligned} \operatorname{dom}^{\prime}\left(f^{\mathrm{op}}\right) & =\operatorname{cod}(f) \\ \operatorname{cod}^{\prime}\left(f^{\mathrm{op}}\right) & =\operatorname{dom}(f) \\ \operatorname{comp}^{\prime}\left(g^{\mathrm{op}}, f^{\mathrm{op}}\right) & = \left\{\begin{aligned} & (\operatorname{comp}(f, g))^{\mathrm{op}}, & \operatorname{comp}(f, g) \downarrow \\ & \uparrow, & \textsf{否则} \end{aligned}\right. \end{aligned} \]则 \(\left\langle O^{\prime}, M^{\prime}, \operatorname{dom}^{\prime}, \mathrm{cod}^{\prime}, \mathrm{comp}^{\prime}\right\rangle\) 为范畴，称为 \(\mathscr{A}\) 的对偶范畴，记为 \(\mathscr{A}^{\mathrm{op}}\)
- \(\left(\mathscr{A}^{\mathrm{op}}\right)^{\mathrm{op}}=\mathscr{A}\)
- 对每个 \(A \in O\)，令 \(A^{\mathrm{op}}=A\)，称 \(A^{\mathrm{op}}\) 为 \(A\) 的对偶对象；对每个 \(f \in M\)，称 \(f^{\mathrm{op}}\) 为 \(f\) 的对偶态射
- 对偶原理：若 \(S\) 是一个对所有范畴皆真的命题，则 \(S\) 的对偶命题 \(S^{\mathrm{op}}\) 亦然
1.2.3 特殊态射与对象
-
设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[A, B]\)
- 若有 \(g \in[B, A]\) 使 \(f \circ g=\mathbf{I}_{B}\)，则称 \(f\) 有右逆或右可逆，\(g\) 为 \(f\) 的一个右逆，此时称 \(f\) 为 \(\text{retraction}\)
- 若有 \(g \in[B, A]\) 使 \(g \circ f=\mathbf{I}_{A}\)，则称 \(f\) 有左逆或左可逆，\(g\) 为 \(f\) 的一个左逆，此时称 \(f\) 为 \(\text{section}\)
若有 \(g \in[B, A]\) 使 \(f \circ g=\mathbf{I}_{B}\) 且 \(g \circ f=\mathbf{I}_{A}\)，则称 \(f\) 有逆或可逆，也称 \(f\) 为同构态射，\(g\) 为 \(f\) 的一个逆，记为 \(f^{-1}\)
- 若 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[A, B]\)，则 \(f\) 有逆当且仅当 \(f\) 有唯一的逆
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(A, B, C \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[A, B], g \in[B, C]\)
- 若 \(f\) 有逆，则 \(f^{-1}\) 也有逆且 \(\left(f^{-1}\right)^{-1}=f\)
- 若 \(f\) 和 \(g\) 均有逆，则 \(g \circ f\) 有逆且 \((g \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}\)
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(A, B, C \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[A, B], g \in[B, C]\)
- 若 \(f\) 和 \(g\) 均为 \(\text{section}\)，则 \(g \circ f\) 亦然
- 若 \(f\) 和 \(g\) 均为 \(\text{retraction}\)，则 \(g \circ f\) 亦然
- 若 \(f\) 和 \(g\) 均为同构态射，则 \(g \circ f\) 亦然
- 若 \(g \circ f\) 为 \(\text{section}\)，则 \(f\) 为 \(\text{section}\)
- 若 \(g \circ f\) 为 \(\text{retraction}\)，则 \(g\) 为 \(\text{retraction}\)
- 若 \(g \circ f\) 为同构态射，则 \(f\) 为 \(\text{section}\) 且 \(g\) 为 \(\text{retraction}\)
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴且 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)．若有同构态射 \(f \in[A, B]\) 则称 \(A\) 与 \(B\) 等价，记为 \(A \simeq B\)
- \(\simeq\) 是 \(\operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 上的一个等价关系
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴且 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)．若 \(A \simeq B\)，则对任意的 \(C \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，皆有双射 \(\sigma_{C}:[A, C] \rightarrow[B, C]\) 及双射 \(\widetilde{\sigma}_{C}:[C, A] \rightarrow[C, B]\)
-
设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[A, B]\)
- 若 \(f\) 可左消去，即如果 \(C \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 与 \(h, k \in[C, A]\) 使 \(f \circ h=f \circ k\)，则 \(h=k\)，则称 \(f\) 为单态射
- 若 \(f\) 可右消去，即如果 \(C \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 与 \(h, k \in[B, C]\) 使 \(h \circ f=k \circ f\)，则 \(h=k\)，则称 \(f\) 为外态射
若 \(f\) 可消去，即 \(f\) 既可左消去又可右消去，则称 \(f\) 为双态射
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴， \(A, B, C \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}, f \in[A, B]\) 且 \(g \in[B, C]\)
- 若 \(f\) 和 \(g\) 均为单态射，则 \(g \circ f\) 亦然
- 若 \(f\) 和 \(g\) 均为外态射，则 \(g \circ f\) 亦然
- 若 \(f\) 和 \(g\) 均为双态射，则 \(g \circ f\) 亦然
- 若 \(g \circ f\) 为单态射，则 \(f\) 为单态射
- 若 \(g \circ f\) 为外态射，则 \(g\) 为外态射
- 若 \(g \circ f\) 为双态射，则 \(f\) 为单态射且 \(g\) 为外态射
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[A, B]\)
- 若 \(f\) 为 \(\text{section}\)，则 \(f\) 为单态射
- 若 \(f\) 为 \(\text{retraction}\)，则 \(f\) 为外态射
- 若 \(f\) 为同构态射，则 \(f\) 为双态射
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴且 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{E}\)，若 \(f \in[A, B]\)，则 \(f\) 为同构态射当且仅当以下任一成立
- \(f\) 既是 \(\text{section}\)，又是外态射
- \(f\) 既是 \(\text{retraction}\)，又是单态射
- 设 \(f \in \operatorname{Set}[A, B]\)
- 若 \(A \neq \varnothing\)，则下列条件等价：① \(f\) 为单射；② \(f\) 为 \(\text{section}\)；③ \(f\) 为单态射
- 下列条件等价：① \(f\) 为满射；② \(f\) 为 \(\text{retraction}\)；③ \(f\) 为外态射
- 下列条件等价：① \(f\) 为双射；② \(f\) 为同构态射；③ \(f\) 为双态射
-
设 \(\mathscr{C}\) 为范畴且 \(A \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)
- 若对每个 \(B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 皆有 \(|[A, B]|=1\)，则称 \(A\) 为初始对象，用 \(\mathbf{I}_{A B}\) 表示 \([A, B]\) 中的唯一态射
- 若对每个 \(B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 皆有 \(|[B, A]|=1\)，则称 \(A\) 为终止对象，用 \(\mathbf{T}_{B A}\) 表示 \([B, A]\) 中的唯一态射
若 \(A\) 同时是初始对象与终止对象，则称 \(A\) 为零对象．设 \(B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，用 \(\mathbf{O}_{A B}\) 与 \(\mathbf{O}_{B A}\) 分别表示 \([A, B]\) 与 \([B, A]\) 中的唯一态射
- \(\mathbf{I}_{AA}=\mathbf{T}_{AA}=\mathbf{O}_{AA}=\mathbf{I}_{A}\) 且 \(\mathbf{O}_{AB}=\mathbf{I}_{A B}, \mathbf{O}_{B A}=\mathbf{T}_{BA}\)
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴且 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)
- 若 \(A\) 为初始对象，则 \(B\) 为初始对象当且仅当 \(B \simeq A\)
- 若 \(A\) 为终止对象，则 \(B\) 为终止对象当且仅当 \(B \simeq A\)
- 若 \(A\) 为零对象，则 \(B\) 为零对象当且仅当 \(B \simeq A\)
-
设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[A, B]\)
- 若对每个 \(C \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 及任意 \(h, k \in[C, A]\) 皆有 \(f \circ h=f \circ k\)，则称 \(f\) 为常态射
- 若对每个 \(C \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 及任意 \(h, k \in[B, C]\) 皆有 \(h \circ f=k \circ f\)，则称 \(f\) 为余常态射
若 \(f\) 既是常态射，又是余常态射，则称 \(f\) 为零态射
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，若任意 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 都有 \([A, B]\) 中存在零态射，那么称 \(\mathscr{C}\) 为点化范畴
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(A, B, C, D \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[A, B], g \in[B, C], h \in[C, D]\)
- 若 \(g\) 为常态射，则 \(h \circ g\) 和 \(g \circ f\) 均为常态射
- 若 \(g\) 为余常态射，则 \(h \circ g\) 和 \(g \circ f\) 均为余常态射
- 若 \(g\) 为零态射，则 \(h \circ g\) 和 \(g \circ f\) 均为零态射
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f, g \in[A, B]\)．若 \(f\) 为常态射，\(g\) 为余常态射且 \([B, A] \neq \varnothing\)，则 \(f=g\)
- 设 \(\mathscr{C}\) 为范畴且 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)
- 若 \(A\) 为初始对象，则 \(\mathbf{I}_{A B}\) 为余常态射
- 若 \(A\) 为终止对象，则 \(\mathbf{T}_{A B}\) 与常态射
- 若 \(A\) 为零对象，则 \(\mathbf{O}_{A B}\) 为余常态射，\(\mathbf{O}_{B A}\) 为常态射
- 若 \(A\) 和 \(B\) 均为零对象，则 \(\mathbf{O}_{A B}\) 和 \(\mathbf{O}_{B A}\) 皆为零态射
-
如果 \(\mathscr{C}\) 为范畴，则下列条件等价：
- 若 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，则 \([A, B]\) 中有零态射
- 若 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，则 \([A, B]\) 中有唯一的零态射
- 若 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，则 \([A, B]\) 中有唯一的常态射
- 若 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，则 \([A, B]\) 中有唯一的余常态射
- 若 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，则 \([A, B]\) 中既有常态射，又有余常态射
-
存在函数 \(\sigma: \operatorname{Ob} \mathscr{C} \times \operatorname{Ob} \mathscr{C} \rightarrow \operatorname{Mor} \mathscr{C}\) 满足如下条件：
- 若 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)，则 \(\sigma(A, B) \in[A, B]\)
- 若 \(A, B, C \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(f \in[B, C]\)，则 \(f \circ \sigma(A, B)=\sigma(A, C)\)
- 若 \(A, B, C \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 且 \(g \in[A, B]\)，则 \(\sigma(B, C) \circ g=\sigma(A, C)\)
称函数 \(\sigma\) 为 \(\mathscr{A}\) 的零态射选择函数
-
设 \(\mathscr{C}\) 为范畴，\(Z \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 为零对象且 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\)
- \(\mathbf{I}_{Z B} \circ \mathbf{T}_{A Z}\) 为零态射
- 若 \(Z^{\prime} \in \operatorname{Ob} \mathscr{C}\) 也是零对象，则 \(\mathbf{I}_{Z^{\prime} B} \circ \mathbf{T}_{A Z^{\prime}}=\mathbf{I}_{Z B} \circ \mathbf{T}_{A Z}\)
1.2.4 范畴的同构
-
设 \(F: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{B}\) 为协变函子，若有协变函子 \(G: \mathscr{B} \rightarrow \mathscr{A}\) 使得
\[ G \circ F=\mathbf{I}_{\mathscr{A}} \wedge F \circ G=\mathbf{I}_{\mathscr{B}} \]则称 \(F\) 为同构函子，并称 \(G\) 为 \(F\) 的一个逆．若存在同构函子 \(F: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{B}\)，则称 \(\mathscr{A}\) 同构于 \(\mathscr{B}\)，记为 \(\mathscr{A} \cong \mathscr{B}\)
- 范畴的同构 \(\cong\) 是等价关系
- 恒等函子 \(I_{\mathscr{A}}: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{A}\) 是同构函子
- 若 \(F: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{B}\) 为同构函子
- \(F\) 的逆存在且唯一，常用 \(F^{-1}\) 表示
- \(F^{-1}: \mathscr{B} \rightarrow \mathscr{A}\) 也是同构函子，且有 \(\left(F^{-1}\right)^{-1}=F\)
- 若 \(G: \mathscr{B} \rightarrow \mathscr{A}\) 为同构函子，则 \(G \circ F: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{C}\) 也是同构函子，且有 \((G \circ F)^{-1}=F^{-1} \circ G^{-1}\)
- 若 \(F: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{B}\) 为协变函子，则以下条件等价
- \(F\) 为同构函子
- 函数 \(F: \operatorname{Mor} \mathscr{A} \rightarrow \mathrm{Mor} \mathscr{B}\) 为双射
- \(F\) 为忠信的和完全的，且函数 \(F: \operatorname{Ob} \mathscr{A} \rightarrow \operatorname{Ob} \mathscr{B}\) 为双射
-
设 \(\mathscr{A}\) 为范畴，称 \(\mathscr{A}\) 为骨架范畴当且仅当 \(\mathscr{A}\) 满足 \(A, B \in \operatorname{Ob} \mathscr{A}\) 使得 \(A \simeq B\) 蕴含 \(A=B\)
- 称范畴 \(\mathscr{B}\) 为 \(\mathscr{A}\) 的骨架当且仅当 \(\mathscr{B}\) 满足
- \(\mathscr{B}\) 为 \(\mathscr{A}\) 的完全子范畴
- \(\mathscr{B}\) 为骨架范畴
- \(\mathscr{B}\) 为极大的，即当 \(\mathscr{A}\) 的完全子范畴 \(\mathscr{C}\) 为骨架范畴且有 \(\mathscr{B} \subseteq \mathscr{C}\) 时，皆有 \(\mathscr{C}=\mathscr{B}\)
- 设 \(\mathscr{A}\) 为范畴，则有
- \(\mathscr{A}_{\varphi}\) 为 \(\mathscr{A}\) 的骨架
- 若 \(\widetilde{\mathscr{A}}\) 为 \(\mathscr{A}\) 的骨架，则 \(\widetilde{\mathscr{A}} \cong \mathscr{A}_{\varphi}\)
- 若 \(\mathscr{A}_{1}\) 和 \(\mathscr{A}_{2}\) 均为 \(\mathscr{A}\) 的骨架，则 \(\mathscr{A}_{1} \cong \mathscr{A}_{2}\)
- 若范畴 \(\mathscr{A}\) 有骨架 \(\widetilde{\mathscr{A}}\) 且范畴 \(\mathscr{B}\) 有骨架 \(\widetilde{\mathscr{B}}\) 使得 \(\widetilde{\mathscr{A}} \cong \widetilde{\mathscr{B}}\)，则称 \(\mathscr{A}\) 等价于 \(\mathscr{B}\) 或 \(\mathscr{A}\) 和 \(\mathscr{B}\) 等价，记作 \(\mathscr{A} \simeq \mathscr{B}\)
- \(\mathscr{A} \simeq \mathscr{A}\)
- 若 \(\mathscr{A} \simeq \mathscr{B}\)，则 \(\mathscr{B} \simeq \mathscr{A}\)
- 若 \(\mathscr{A} \simeq \mathscr{B}\) 且 \(\mathscr{B} \simeq \mathscr{C}\)，则 \(\mathscr{A} \simeq \mathscr{C}\)
- 若 \(\mathscr{A}\) 和 \(\mathscr{B}\) 均为骨架范畴，则 \(\mathscr{A} \simeq \mathscr{B}\) 当且仅当 \(\mathscr{A} \cong \mathscr{B}\)
- 称范畴 \(\mathscr{B}\) 为 \(\mathscr{A}\) 的骨架当且仅当 \(\mathscr{B}\) 满足
-
若协变函子 \(F: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{C}\) 为忠信的、完全的和稠密的，则称 \(F\) 为等价函子
-
设 \(\widetilde{\mathscr{A}}\) 为范畴 \(\mathscr{A}\) 的骨架且 \(E: \widetilde{\mathscr{A}} \rightarrow \mathscr{A}\) 为包含函子
- 若 \(A \in \operatorname{Ob} \mathscr{A}\)，则存在唯一的 \(\widetilde{A} \in \operatorname{Ob} \widetilde{\mathscr{A}}\) 使得 \(\widetilde{A} \simeq A\)
- \(E\) 为等价函子
- 存在等价函子 \(P: \mathscr{A} \rightarrow \widetilde{\mathscr{A}}\) 使得 \(P \circ E=I_{\widetilde{\mathscr{A}}}\)
通常称函子 \(P\) 为投影函子
-
若 \(\mathscr{A} \simeq \mathscr{B}\) 当且仅当存在等价函子 \(F: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{B}\)
- 若 \(\mathscr{A} \cong \mathscr{B}\)，则 \(\mathscr{A} \simeq \mathscr{B}\)
-